2019-2020学年新教材高中数学第4章指数对数函数与幂函数单元质量测评含解析新人教B版必修第二册

PAGE1-第四章指数、对数函数与幂函数单元质量测评本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分，考试时间120分钟．第Ⅰ卷(选择题，共60分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．函数y＝eq\r(logeq\s\do8(\f(1,2))3x－2)的定义域是()A．[1，＋∞) B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)，＋∞))C.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(2,3)，1)) D.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(2,3)，1))答案D解析若使函数有意义，则必有logeq\s\do8(\f(1,2))(3x－2)≥0,3x－2>0，即0<3x－2≤1⇒eq\f(2,3)<x≤1.故选D.2．下列幂函数中过点(0,0)，(1,1)的奇函数是()A．y＝xeq\s\up15(－eq\f(1,2)) B．y＝x4C．y＝x－3 D．y＝xeq\s\up15(eq\f(1,3))答案D解析函数过点(0,0)，排除A，C；函数为奇函数，排除B，故选D.3．已知a>0且a≠1，下列四组函数中表示相等函数的是()A．y＝logax与y＝(logxa)－1B．y＝alogax与y＝xC．y＝2x与y＝logaa2xD．y＝logax2与y＝2logax答案C解析选项A中函数y＝logax的定义域为(0，＋∞)，函数y＝(logxa)－1的定义域为(0,1)∪(1，＋∞)，故不选；选项B中函数y＝alogax的定义域为(0，＋∞)，函数y＝x的定义域为R，故不选；选项C中，函数y＝2x的定义域为R，函数y＝logaa2x可化为y＝2x，且定义域也为R，选C；选项D中函数y＝logax2的定义域为{x|x≠0}，函数y＝2logax的定义域为(0，＋∞)，故不选，所以本题应选C.4．函数f(x)＝x3－1在区间[1，m]上的平均变化率为7，则m的值为()A．2B．3C．4D．5答案A解析根据题意，函数f(x)＝x3－1在区间[1，m]上的平均变化率为eq\f(Δf,Δx)＝eq\f(m3－1－13－1,m－1)＝m2＋m＋1，则有m2＋m＋1＝7，即m2＋m－6＝0，解得m＝－3或m＝2，又由m>1，则m＝2.故选A.5．已知f(xn)＝lnx，则f(2)的值是()A．ln2 B.eq\f(1,n)ln2C.eq\f(1,2)ln2 D．2ln2答案B解析令xn＝2，则x＝2eq\s\up15(eq\f(1,n))，∴f(2)＝ln2eq\s\up15(eq\f(1,n))＝eq\f(1,n)ln2.6．二次函数y＝ax2＋bx＋c与函数y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,b)))x的图像可能是下图中的()答案C解析由选项知0<eq\f(a,b)<1，则－eq\f(b,2a)<－eq\f(1,2).故选C.7．函数f(x)＝eq\f(1,x)－lnx的零点个数为()A．0B．1C．2D．3答案B解析如图，在同一坐标系中作出y＝eq\f(1,x)与y＝lnx的图像，由图像可知f(x)＝eq\f(1,x)－lnx只有一个零点．8．设9a＝4b＝6，则eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＝()A．2B．log65C．log56D.eq\f(5,6)答案A解析由9a＝4b＝6，得a＝log96，b＝log46，所以eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＝eq\f(1,log96)＋eq\f(1,log46)＝log69＋log64＝log636＝2.9．已知函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(|lgx|，0＜x≤10，,－\f(1,2)x＋6，x＞10.))若a，b，c互不相等，且f(a)＝f(b)＝f(c)，则abc的取值范围是()A．(1,10)B．(5,6)C．(10,12)D．(20,24)答案C解析设a＜b＜c，由f(a)＝f(b)＝f(c)，得|lga|＝|lgb|.∵a，b，c互不相等，∴lga＝－lgb.∴ab＝1.作出函数f(x)的图像如图所示，由图像可知10＜c＜12，∴10＜abc＜12.10．下列函数中，随着x的增长，增长速度最快的是()A．y＝50 B．y＝1000xC．y＝0.4·2x－1 D．y＝eq\f(1,1000)ex答案D解析指数函数y＝ax在a>1时呈爆炸式增长，而且底数a越大，增长速度越快．故选D.11．设函数f(x)＝ln(1＋x)－ln(1－x)，则f(x)是()A．奇函数，且在(0,1)上是增函数B．奇函数，且在(0,1)上是减函数C．偶函数，且在(0,1)上是增函数D．偶函数，且在(0,1)上是减函数答案A解析函数f(x)的定义域为(－1,1)，f(－x)＝ln(1－x)－ln(1＋x)＝－f(x)，故f(x)为奇函数．当0＜x＜1时，y＝ln(1＋x)是增函数，y＝ln(1－x)是减函数，故f(x)＝ln(1＋x)－ln(1－x)在(0,1)上是增函数．故选A.12．设函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3x－1，x＜1，,2x，x≥1，))则满足f[f(a)]＝2f(a)的a的取值范围是()A.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(2,3)，1)) B．[0,1]C.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)，＋∞)) D．[1，＋∞)答案C解析因为y＝2x与y＝3x－1在(－∞，1)上没有公共点，故由f[f(a)]＝2f(a)可得f(a)≥1，故有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＜1，,3a－1≥1))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a≥1，,2a≥1，))解得a的取值范围是eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)，＋∞)).故选C.第Ⅱ卷(非选择题，共90分)二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上)13．若a＝log43，则2a＋2－a＝________.答案eq\f(4\r(3),3)解析由a＝log43得4a＝3⇒2a＝eq\r(3)，则2a＋2－a＝eq\r(3)＋eq\f(1,\r(3))＝eq\f(4\r(3),3).14．若函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－x＋6，x≤2，,3＋logax，x＞2))(a＞0，且a≠1)的值域是[4，＋∞)，则实数a的取值范围是________．答案(1,2]解析当x≤2时，y＝－x＋6≥4，依题意得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3＋loga2≥4，,a＞1，))解得1＜a≤2，即实数a的取值范围是(1,2]．15．有以下结论：①函数y＝log2(1－x)的增区间是(－∞，1)；②若幂函数y＝f(x)的图像经过点(2，eq\r(2))，则该函数为偶函数；③函数y＝3|x|的值域是[1，＋∞)．其中正确结论的序号是________(把所有正确结论的序号都填上)．答案③解析①中令u＝1－x，则y＝log2u，根据复合函数的单调性可判断①错误；②∵eq\r(2)＝2α，∴α＝eq\f(1,2)，∴y＝xeq\s\up15(eq\f(1,2))，x∈[0，＋∞)，不具有奇偶性，故②错误；③中|x|≥0，∴3|x|≥1，∴y＝3|x|的值域为[1，＋∞)，故③正确．16．已知y＝log4(－ax＋3)在[0,1]上是关于x的减函数，则实数a的取值范围是________．答案(0,3)解析eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－a<0，,－a＋3>0))⇒0<a<3.三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)设0<x<1，a>0且a≠1.试比较|loga(1－x)|与|loga(1＋x)|的大小．解eq\f(|loga1－x|,|loga1＋x|)＝|log(1＋x)(1－x)|，∵0<x<1，∴0<1－x<1,1<1＋x<2,0<1－x2<1，∴|log(1＋x)(1－x)|＝－log(1＋x)(1－x)＝log(1＋x)eq\f(1,1－x)＝log(1＋x)eq\f(1＋x,1－x2)>log(1＋x)(1＋x)＝1.∴|loga(1－x)|>|loga(1＋x)|.18．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝3x，且f(a)＝2，g(x)＝3ax－4x.(1)求g(x)的解析式；(2)当x∈[－2,1]时，求g(x)的值域．解(1)由f(a)＝2，得3a＝2，a＝log32，∴g(x)＝(3a)x－4x＝(3log32)x－4x＝2x－4x＝－(2x)2＋2x.∴g(x)＝－(2x)2＋2x.(2)设2x＝t，∵x∈[－2,1]，∴eq\f(1,4)≤t≤2.g(t)＝－t2＋t＝－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(t－\f(1,2)))2＋eq\f(1,4)，由g(t)在t∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,4)，2))上的图像可得，当t＝eq\f(1,2)，即x＝－1时，g(x)有最大值eq\f(1,4)；当t＝2，即x＝1时，g(x)有最小值－2.故g(x)的值域是eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－2，\f(1,4))).19．(本小题满分12分)定义在(－∞，＋∞)上的任意函数f(x)都可以表示成一个奇函数g(x)和一个偶函数h(x)的和，如果f(x)＝lg(10x＋1)，x∈R，求g(x)和h(x)．解由已知f(x)＝g(x)＋h(x)，且f(－x)＝g(－x)＋h(－x)，又g(x)是奇函数，h(x)是偶函数，∴g(x)＝－g(－x)，h(－x)＝h(x)．∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(fx＝gx＋hx，,f－x＝－gx＋hx.))∴g(x)＝eq\f(1,2)[f(x)－f(－x)]＝eq\f(1,2)lgeq\f(10x＋1,10－x＋1)＝eq\f(x,2)，h(x)＝eq\f(1,2)[f(x)＋f(－x)]＝eq\f(1,2)[lg(10x＋1)＋lg(10－x＋1)]＝eq\f(1,2)lgeq\f(10x＋12,10x)＝lg(1＋10x)－eq\f(x,2).20．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝loga(1＋x)＋loga(3－x)(a>0且a≠1)．(1)求函数f(x)的定义域；(2)若函数f(x)的最小值为－2，求实数a的值．解(1)由题意，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1＋x>0，,3－x>0.))解得－1<x<3.∴函数f(x)的定义域为(－1,3)．(2)∵f(x)＝loga[(1＋x)(3－x)]＝loga(－x2＋2x＋3)＝loga[－(x－1)2＋4]，若0<a<1，则当x＝1时，f(x)有最小值loga4，∴loga4＝－2，a－2＝4，又0<a<1，∴a＝eq\f(1,2).若a>1，则当x＝1时，f(x)有最大值loga4，f(x)无最小值．综上可知，a＝eq\f(1,2).21．(本小题满分12分)某企业拟共用10万元投资甲、乙两种商品．已知各投入x万元时，甲、乙两种商品可分别获得y1，y2万元的利润，利润曲线P1：y1＝axn，P2：y2＝bx＋c，如图所示．(1)求函数y1，y2的解析式；(2)为使投资获得最大利润，应怎样分配投资额？解(1)由图知P1：y1＝axn过点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(5,4)))，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4，\f(5,2)))，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(5,4)＝a·1n，,\f(5,2)＝a·4n，))∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝\f(5,4)，,n＝\f(1,2)，))∴y1＝eq\f(5,4)xeq\s\up15(eq\f(1,2))，x∈[0，＋∞)．P2：y2＝bx＋c过点(0,0)，(4,1)，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(0＝0＋c，,1＝4b＋c，))∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(c＝0，,b＝