计数原理-2025届高考数学一轮复习例题训练集

（33）计数原理——2025届高考数学一轮复习经典例题训练集【配

套新教材】

学校：___________姓名：班级：考号：

一、选择题

1.如图，从甲村到乙村有3条路可走，从乙村到丙村有2条路可走，从甲村不经过乙

村到丙村有2条路可走，则从甲村到丙村的走法种数为（）

A.3B.6C.7D.8

2.（三―gj的展开式中的常数项为（）

A.40

B.60

C.80

D.120

3.从4艘驱逐舰和5艘护卫舰中任意选出3艘参加护航任务，其中至少要有驱逐舰和

护卫舰各1艘的选法种数是（）

A.70B.84C.135D.145

5

4.（2—x）s=6/Q+ciyX+++a5x>贝!]（/+4+%）-（4+。3+%）=（）

A.-32

B.32

C.-243

D.243

5.5位大学生在若假期间主动参加A,B,C三个社区的志愿者服务，且每个社区至少

有1人参加，则不同的安排方法共有（）

A.30种B.90种C.120种D.150种

二、多项选择题

6.带有编号1、2、3、4、5的五个球，则（）

A.全部投入4个不同的盒子里，共有45种放法

B.放进不同的4个盒子里，每盒至少一个，共有C：种放法

C.将其中的4个球投入4个盒子里的一个(另一个球不投入),共有C；C；种放法

D.全部投入4个不同的盒子里，没有空盒，共有C；A：种不同的放法

/]丫

7.已知XH----f=(neN*)的展开式中共有7项,则该二项展开式中()

、x?

A.所有项的二项式系数和为64B.所有项的系数和为1

C.二项式系数最大的项为第4项D.有理项共有4项

三、填空题

8.5名学生站成一排照相，甲不站排头、乙不站排尾的站法种数是，

9.若(2x-工)的展开式中二项式系数之和为32,则(x+2y)(x-y)"的展开式中Yy4的

系数为.

10.甲、乙、丙、丁、戊五位同学分别写了一张新年贺卡，然后放在一起，现在五人

均从中抽取一张，则这五位同学中恰有2人都抽到自己的贺卡的概率为.

参考答案

1.答案：D

解析：由题图可知，从甲村直接到丙村的走法有2种，从甲村到乙村再到丙村的走法

有3x2=6（种），所以从甲村到丙村的走法共有6+2=8（种）.

2.答案：A

解析：［-2］的展开式的通项为*=C"5-（-4=（-2）匕/2"而

G_lYx_2Y=x3r_2YIf2?令5_才+3=。，得一4,令

k）kXJkJCJXkJCJ

5-2—1=0,得r=2,所以（三—［J的展开式中的常数项为

（―2）4.C：—（—2）2（2；=40.

3.答案：A

解析：从4艘驱逐舰和5艘护卫舰中任意选出3艘参加护航任务，其中至少要有驱逐

舰和护卫舰各1艘：①选出1艘驱逐舰和2艘护卫舰，则有C；C；=40种选法；②选出

2艘驱逐舰和1艘护卫舰，则有C；C；=30种选法.所以按照分类加法计数原理可得一共

有40+30=70（种）选法.故选A.

4.答案：D

解析：（2-X）5=%+。逮+口2关2+。3/+&尤4+。5关5，令X=l,得

+a1+a,+/+%+%=1；x=-1,d导Gg—%+%—%+%—%=3、=243.因止匕

.故选D.

5.答案：D

解析：因为每个社区至少有1人参加，所以这5位大学生共分为三组,

尔

共有1,2,2和1,1,3两种情况.若是1,2,2,则共有CxA；=90（种）；

z~ilz~il「3

若是1,1,3,则共有4yxA^=60（种），

所以共有60+90=150（种）不同的方法.

故选：D.

6.答案：ACD

解析：A:由分步计数原理，五个球全部投入4个不同的盒子里共有45种放法，故正

确；

B:由排列数公式，五个不同的球放进不同的4个盒子里，每盒至少一个，共有C；A：种

放法，故错误；

C:将其中的4个球投入一个盒子里共有C：C；=20种放法，故正确；

D:全部投入4个不同的盒子里，没有空盒，共有：C；A：种不同的放法，故正确.

7.答案：ACD

（1丫

解析：由题意知〃=6,则x+—二的展开式的通项为

C6~~

舟2(—0,1,2,,6).

对于A,所有项的二项式系数和为26=64,故A正确；

对于B,令x=l,得（1+]=百，因此所有项的系数和为1|J,不为1,故B错

误；

对于C,由二项式系数的性质，可知的展开式中第4项的二项式系数最

大，为C1=20,故C正确；

对于D,当6-包eZ,即厂=0,2,4,6时，对应的项为有理项，共有4项，故D正确.故

选ACD.

8.答案：78

解析：甲不站排头，乙不站排尾站法种数可分为两类，第一类甲站在排尾，站法有A：

种，

第二类甲不站在排尾，先排甲，有A；种站法，再排乙，有A；种站法，剩下的三人有

A；种站法,故有A；xA；xA；种站法.由此所有的总站法有A：+A；xA；xA；=78（种）.

9.答案：-15

解析：由［2x-工)的展开式中二项式系数之和为32得，2"=32,故"=5,(x->)"的

展开式通项为(-l)y,故(x+2y)(x-W的展开式中含/；/的项为

(-1尸C”-瓦伊+(一1产20产出尸,则左=4,左2=3，则所求系数为

(-1)4C^+(-1)3X2C^=-15.

10.答案：-

6

解析：五位同学从5张不同新年贺卡中分别抽一张，共有A：=120种情况，记4=恰有

2人都抽到自己的贺卡，分两步考虑：

第一步，选择抽到自己贺卡的2个人，共有C；=1O种情况；

第二步，假设抽到自己贺卡的2个人为丁、戊，则甲、乙、丙没抽到自己的