2024-2025学年八年级数学上册：探索勾股定理 专项练习（基础练）

专题L2探索勾股定理（专项练习）（基础练）

一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）

（23-24八年级下•安徽阜阳•期中）

1.在中，ZC=90°,AC=12,BC=9,则正方形4RDE的面积为（）

（23-24八年级下•黑龙江•期中）

2.如图是以直角三角形各边为边在三角形外部画正方形得到的.每个正方形中的数字及字

母S表示所在正方形的面积，其中S的值为（）

（17-18八年级下•山东临沂•期末）

3.设a、b是直角三角形的两条直角边，若该三角形的周长为12,斜边长为5,则ab的值

是（）

A.6B.8C.12D.24

（23-24八年级下•宁夏吴忠•期中）

4.在RtZX/BC中，斜边2C=2,则AB2+/C2+8C2等于（）

A.8B.4C.6D.以上都不对

U8-19七年级下•河南南阳•期末）

5.如图，在A48C中，NB=10,AC=6,BC=8,将折叠，使点C落在N8边上的点£

处，40是折痕，则△ADE的周长为（）

试卷第1页，共8页

A

（23-24八年级下•陕西商洛•期末）

6.甲、乙两人玩跑步游戏，两人从同一地点同时出发，甲往西跑了12米，乙往北跑了16

米，此时他们两人之间的距离为（）

A.16米B.20米C.24米D.32米

（2024・四川眉山・中考真题）

7.如图，图1是北京国际数学家大会的会标，它取材于我国古代数学家赵爽的“弦图”，是

由四个全等的直角三角形拼成.若图1中大正方形的面积为24,小正方形的面积为4,现将

这四个直角三角形拼成图2,则图2中大正方形的面积为（）

（21-22八年级上•江苏泰州•期中）

8.对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美"四边形N3CD,点E

为对角线AD上任意一点，连接/£、CE.若N8=5,BC=3,则4炉（小等于（）

（2024八年级下•北京•专题练习）

9.如图，在水塔。的东北方向32m处有一抽水站在水塔的东南方向24m处有一建筑工

试卷第2页，共8页

地8,在42间建一条直水管，则水管的长为（）

南

A.45mB.40mC.50mD.56m

（23-24八年级下•浙江杭州•期中）

10.如图，平行四边形/BCD的对角线/C,8。相交于点。，且AC,BD,点、P为AB边

上一动点（不与点力,8重合），PEJL04于点E,PFLOB于点、F,若4C=8,BD=6,

则E厂的最小值为（）

125

A.3B.2C.—D.-

52

二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）

（23-24八年级下•江苏镇江•期中）

11.如图所示，是一块由花园小道围成的边长为12米的正方形绿地，在离C处5米的绿地

旁边B处有健身器材，为保护绿地，不直接穿过绿地从A到8,而是沿小道从8,

这样多走了米.

（21-22八年级下•河南三门峡•阶段练习）

12.如图，一棵大树（树干与地面垂直）在一次强台风中于离地面8米的8处折断倒下,

倒下后的树顶C与树根/的距离为15米，则这棵大树在折断前的高度为米.

试卷第3页，共8页

（23-24八年级下•辽宁抚顺•期中）

13.如图，在Rt448C中，ZC=90°,AB=5,BC=3,以点B为圆心，8C的长为半径

画弧，交AB于点D,再以点A为圆心，为半径画弧，交AC于点E,则CE的长

为-,

（重庆市九龙坡区2023-2024学年八年级下学期期末数学试题）

14.如图，面积分别为a,6,c,d（c<a<d<»的四个正方形围成的四边形48CD中,

（2024八年级下•全国•专题练习）

15.定义:我们把三角形某边上高的长度与这边中点到高的距离的比值称为三角形某边的“中

偏度值”.如图，中，N4CB=90°,AC=4,BC=3,CD是48边上的高，则“8C

中AB边的“中偏度值”为.

（2024•浙江台州•二模）

16.如图，直线48〃直线。，直线EF分别交CD于点、E,F.射线EG平分

NBEF,交CD于点G；GHLEF于点、H,若E尸=5,EH=2,则HG=.

试卷第4页，共8页

AE,B

C/FG\D

（23-24八年级下•广东广州•期中）

17.如图，在Rt448C中，ZACB=90°,BC=6,点。为斜边48上的一点，连接。，

将△BCD沿C。翻折，使点3落在点£处，点尸为直角边/C上一点，连接。尸，将△/。尸

沿。尸翻折，点/恰好与点E重合.若/。=5,则EF的长为.

18.清代数学家梅文鼎在著作《平三角举要》中，对宋代数学家秦九韶提出的计算三角形面

积的“三斜求积术”给出了一个完整的证明，证明过程中创造性地设计直角三角形，得出了一

1AAD2_jz-»2、

个结论：如图，是锐角三角形/8C的高，贝"。=73C+———当

21nC]

/3=15,3C=14,/C=13时，线段8。的长为

三、解答题（本大题共6小题，共58分）

（23-24八年级下•安徽阜阳•阶段练习）

19.如图，在“3C中，ZC=90°,AC>BC,把。8C沿直线DE折叠，使点N与点3重

合，若A3CE的周长为28,AB=20,求。8C的面积.

试卷第5页，共8页

A

（23-24八年级下•重庆沙坪坝•期中）

20.已知在RM48C中，ZACB=90°,AC=9,48=15,BD=5,过点。作于

点、H.

（1）求CD的长；

⑵求。H的长.

（22-23八年级下•广东广州•期中）

21.如图，在笔直的公路42旁有一座山，从山另一边的C处到公路上的停靠站A的距离为

/C=15km,与公路上另一停靠站3的距离为3c=20km,停靠站A、B之间的距离为

^5=25km,为方便运输货物现要从公路上的。处开凿隧道修通一条公路到C处，且

CD1AB.

⑴请判断“3C的形状？

（2）求修建的公路CD的长.

（23-24八年级下•江西新余•期末）

22.《算法统宗》是中国古代数学名著，作者是我国明代数学家程大位.在《算法统宗》中

有一道“荡秋千”的问题：“有一架秋千，当它静止时，踏板离地1尺，将它往前推送10尺

（水平距离）时，秋千的踏板就和人一样高，这个人的身高为5尺，秋千的绳索始终拉得很

直，问绳索有多长？”

试卷第6页，共8页

(23-24八年级上•江苏泰州•期末)

23.在中，ZC=90°,进行如下操作:

(1)如图1,将Rt4/BC沿某条直线折叠，使斜边的两个端点A与B重合，折痕为DE,若

AC=3,BC=4,求CD的长；

(2)如图2,将直角边/C沿直线/D折叠，使它落在斜边45上，且与AE重合，若/。=3,

BC=4,求CD的长.

(23-24八年级上•河南南阳•阶段练习)

24.综合与实践

【问题背景】数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法，借助这种方法可将抽象的数

学知识变得直观，从而可以帮助我们快速解题，初中数学里的一些代数公式，很多都可以通

过表示几何图形面积的方法进行直观推导和解释.如图1,在中，

NACB=90。,8c=a,AC=b,AB=c,以Rt^ABC的三边长向外作正方形的面积分别为

S\凡凡.

图3

【解决问题】试猜想％Sz，$3之间存在的等量关系，直接写出结论

试卷第7页，共8页

【拓展探究】如图2,如果以的三边长a,b,c为直径向外作半圆，那么上面的结论

是否成立？请说明理由.

【推广应用】如图3,在中，NACB=9Q°,三边分别为5,12,13,分别以它的三边

为直径向上作半圆，请直接写出图3中阴影部分的面积.

试卷第8页，共8页

1.c

【分析】此题主要考查了勾股定理以及正方形的面积求法，得出/笈的值是解题关键.

【详解】解：因为NC=900,/C=12,BC=9,所以正方形NODE的面积为

AB2=BC2+AC2=92+122=225,

故选C.

2.D

【分析】本题主要考查了勾股定理，根据勾股定理可知面积为4和面积为3的正方形的边长

的平方和等于面积为S的正方形边长的平方，据此可得答案.

【详解】解：•••每个正方形中的数及字母S表示所在正方形的面积，

,每个正方形中的数字以及字母S表示所在正方形的边长的平方，

•••由勾股定理得：S=4+3=7；

故选：D.

3.C

【分析】由该三角形的周长为12,斜边长为5可知a+b+5=12,再根据勾股定理和完全平

方公式即可求出成的值.

【详解】解：•••三角形的周长为12,斜边长为5,

；.a+b+5=12,

•••a+b=7,①

•••a、b是直角三角形的两条直角边，

・4+9=52,②

由②得a?+b2=(a+b)2-2ab=52

•••72-2ab=52

ab=12,

故选C.

【点睛】本题考查勾股定理和三角形的周长以及完全平方公式的运用，解题的关键是熟练掌

握勾股定理以及完全平方公式.

4.A

【分析】本题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键.根据勾股定理可知

BC2=AB2+AC2,进而可知AB2+AC2+BC2=BC2+BC2.

【详解】解：•••在RtZUBC中，斜边为3C,

答案第1页，共13页

BC2=AB2+AC2,

•••BC=2,

■-4=AB2+AC2,

■■AB2+AC2+BC2=BC2+BC2=4+4=?,,

故选A.

5.C

【分析】利用勾股定理求出AB=10,利用翻折不变性可得AE=AC=6,推出BE=4即可解决

问题.

【详解】在RtAABC中，

■-AC=6,BC=8,ZC=9O°,

.•・/8=病7记=10，

由翻折的性质可知：AE=AC=6,CD=DE,

；.BE=4,

：./\BDE的周^z=DE+BD+BE=CD+BD+E=BC+BE=S+4=12.

故选：C.

【点睛】本题考查翻折变换，勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考

常考题型.

6.B

【分析】本题考查了勾股定理的应用，根据题意得到直角三角形，并掌握勾股定理是解题关

键.根据题意得甲乙二人所走路线构成一个直角，根据勾股定理即可求解.

【详解】解：由题意得，甲乙二人所走路线构成一个直角，即NC=90。，AC=12m,

8c=16m,

在RtZUBC中，

AB=y]AC2+BC2=A/122+162=20(m).

故选B.

答案第2页，共13页

7.D

【分析】本题考查勾股定理，设直角三角形的两直角边为。，b,斜边为c,根据图1,

结合已知条件得到/+/=C2=24,(a-b)1=a2+b2-2ab=4,进而求出面的值，再进一

步求解即可.

:小正方形的面积是4,

—=a~+b~—2ab=4,

二.ab=10,

.1

・••图2中最大的正方形的面积=。2+4*；；"=24+2*10=44；

2

故选：D.

8.C

【分析】连接NC,与AD交于点O,根据题意可得NC13。，在RM40E与RtACOE中,

利用勾股定理可得/炉一。"=/02一。02,在Rt4OB与RMCOB中,继续利用勾股定理可

^AO2-CO2=AB2-BC2,求解即可得.

【详解】解：如图所示：连接/C,与8。交于点。，

D

••对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形,

AB

AC1BD,

在RM/OE中，AE2=AO2+OE-,

在放△COE中，CE=CCP+OEZ,

答案第3页，共13页

■■■AE2-CE2=AO2-CO2,

在3405中，AO"=AB2-OB2,

在放ACOB中，CO2=BC2-OB2,

AO2-CO2=AB2-BC2=52-32=16,

■­AE2-CE2=16,

故选：c.

【点睛】题目主要考查勾股定理的应用，理解题意，熟练运用勾股定理是解题关键.

9.B

【分析】本题考查勾股定理的应用，根据题意抽象出直角三角形是关键.由题意可知东北方

向和东南方向间刚好是一直角，利用勾股定理解图中直角三角形即可.

【详解】解：•••在水塔。的东北方向32m处有一抽水站在水塔的东南方向24m处有一建

筑工地2

ZAOC=NBOC=45°,

ZAOB=90°,

•・,OA=32m,OB=24m,

•••AB=7322+242=40m.

故选：B.

10.C

【分析】本题考查了矩形的判定和性质，垂线段最短，勾股定理，先根据勾股定理计算出

AB,再证明四边形PEO尸是矩形，得到EF=PO,再根据垂线段最短求出尸。的最小值即

可.

【详解】解：如下图所示，连接OP,

答案第4页，共13页

D

-AC1BD,且四边形ZBCQ是平行四边形，

11

：.A0=-AC=4,BO=—DB=3,

22

••AB7ACP+BO?=5,

-PELOA,PFLOB,AC1BD,

・•・四边形PEO厂是矩形，

EF=PO,

・•.当PO最小时，EF最小,

当尸时，当尸。最小，

当P0_L/8时，S.^-AOxBO^-ABxPO,

OB22

/.PO=y,

故选：C.

11.4

【分析】本题考查了勾股定理在实际生活中的运用，解题的关键是正确的运用勾股定理求

AB.在直角小8。中，48为斜边，已知/C,BC,则根据勾股定理可以求斜边48,根

据少走的距离为/C+3C-可以求解.

【详解】解：在RtZ\48C中，48为斜边，

AB=口AC。+BC?=V122+52=13米，

少走的距离为

AC+BC-AB=12+5-13=4（米），

故答案为：4.

12.25

【分析】利用勾股定理即可求解.

【详解】解：由题意得：

在RtZX/BC中，ZTI=90°,AB=8（米），AC=15（米），

答案第5页，共13页

:.BC=yjAB2+AC2=V82+152=17（米），

.1这棵大树在折断前的高度为：17+8=25（米），

故答案为：25.

【点睛】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键.

13.2

【分析】本题考查了勾股定理及用尺规画线段，正确认识尺规作图和掌握勾股定理是解题关

键.先通过尺规作图确定3C=BD,AD=AE,再利用勾股定理求"C,即可求解.

【详解】解：•••以点8为圆心，3C的长为半径画弧，交4B于点D,再以点A为圆心，AD

为半径画弧，交4c于点、E,AB=5,BC=3,

；.BC=BD=3,AD=AE=AB-BD=2,

在RtZ\A8C中，AC7AB2-BC?=收-3?=4,

.■.EC=AC-AE=4-2=2,

故答案为：2.

14.10

【分析】本题考查了勾股定理的应用，根据题意可知：a=AB2,b=BC2,c=DC2,

d=AD2,根据勾股定理可以表示出a+d=6+c,进而求出”的长，掌握勾股定理是关

键.

【详解】解：根据题意可知：a=AB2,b=BC2,c=DC2,d=AD2,

在RtZXZBO与Rt^BCD中，

■-BD2=AB2+AD2，BD2=DC1+BC1,

*.a+d=b+c,

=b+c=12,

•,.（/=10,

故答案为：10.

24,3

15.—##3-

77

【分析】本题主要考查勾股定理，解答本题的关键是明确题意，求出A8边上的高和该边上

的中点到高的距离.根据题意和题目中的数据，可以计算出中边上的高和该边上

的中点到CD的距离，再求它们的比值即可.

【详解】解：作CE为△NC3的中线，

答案第6页，共13页

•：-ACBC=-ABCD,

22

...J-x4x3=-x5xCD,

22

CD=£,

BD=y/BC2-CD2=J3Tm=I，

•••CE为斜边上的中线，48=5,

：.BE=-,

2

597

:,ED=BE—BD=----=——，

2510

一7

即点£到8的距离为正，

12

-T24

则。5C中45边的“中偏度直，为：-y=y.

To

24

故答案为：—.

16.4

【分析】此题考查了平行线的性质、勾股定理.根据角平分线定义及平行线的性质求出

NFEG=/FGE,根据等腰三角形的判定得出即=Gb=5,再根据勾股定理求解即可.

【详解】解：・・・EG平分/班尸，

/BEG=NFEG,

•・•AB//CD,

/BEG=ZFGE,

:.AFEG=AFGE,

EF=GF=5,

答案第7页，共13页

•：EF=5,EH=2,

:.FH=EF-EH=3,

•・・GH上EF于点H,

:.HG=yjGF2-FH2=4,

故答案为：4.

7

17.-

4

【分析】根据折叠的性质和勾股定理定理即可解答.本题主要考查了翻折变换、直角三角形

斜边中线的性质、勾股定理等知识点，灵活利用相关性质定理是解答本题的关键.

【详解】解：•・・△BCD沿CD翻折，使点5落在点E处，

/.BD=DE,BC=CE=6,AB=ZCED,

••・将△4。尸沿。尸翻折，点/恰好与点E重合，

:"A=/DEF,AD=DE,AF=EF,

"FED+/CED=9G。,AD=DB,

：.CD=DA=DB=-AB

•・•AD=5,

AB=10,

■■AC=^IAB2-BC2=7100-36=8

.■.CF^S-AF,

■■EF2+CE~=CF\

.-.^F2+62=(8-y4F)2,

7

AF=~.

4

7

故答案为：—.

4

18.9

【分析】本题考查了勾股定理，三角形的面积，准确熟练地进行计算是解题的关键.

4B?-4C?

根据80=58C+和/8=15,BC=14,AC=13,可以计算出AD的长.

BC

【详解】解：,:BD=Q,/8=15,BC=14,AC=13,

答案第8页，共13页

152-132

=14+=9,

14

故答案为：9.

19.O8C的面积为96

【分析】本题考查了轴对称的性质，勾股定理等.利用折叠的性质，得到=是解题

的关键.

根据折叠的性质可知=利用三角形周长可求出3C+NC的值，再根据勾股定理可求

出NC与8C的长，进而求出三角形的面积即可.

【详解】解：由折叠可知/£=

C^BCE=BC+CE+BE=BC+CE+AE=BC+AC=28,

•••ZC=90°,48=20,

BC2+AC2=AB-=400，即(28-BC)°+BC2=400

又<AC>BC,

.-.AC=16,BC=12,

:.S.RC=-2A2C-BC=-xl6xU=96.

答：08c的面积为96.

20.(1)7

(2)3

【分析】本题考查了勾股定理；

（1）RM/3C中，由勾股定理得2C=12,进而根据=即可求解;

（2）根据等面积法，即可求解.

【详解】（1）解：•・•/4C8=90。，AC=9,AB=\5,

.•.RtA4BC中，由勾股定理得：BC=^AB2-AC2=7152-92=12-

:.CD=CB-BD=12-5=I.

⑵•••DH1.AB,

：DR

.SZ…AAUD=-2ABDH=-2BD-AC,

答案第9页，共13页

・•.-xl5«D//=-x5x9,

22

:.DH=3.

21.(1)“3c是直角三角形

(2)12km

【分析】本题考查了勾股定理，勾股定理逆定理的应用，以及三角形的面积公式等知识，熟

练掌握这两个定理是解题关键.

(1)根据勾股定理的逆定理，由/C2+2C2=/g2得至2c是直角三角形.

(2)利用的面积公式可得，CD-AB=AC-BC,从而求出CD的长.

【详解】(1)解：是直角三角形.

•.tAC=15km,BC=20km,AB=25km,

152+202=252,

：.AC2+BC2=AB2,

NACB=90°,

.•.“BC是直角三角形.

(2)解：CD1AB,

:.S4A.BRe■r=-2AB-CD=-AC-BC,

ACBC15x20、

CD=----------=---------=12(km).

AB25''

答：修建的公路。的长是12km.

22.14.5尺.

【分析】设绳索有无尺长，由勾股定理得出方程，解方程即可.本题考查了勾股定理的应用,

理解题意，由勾股定理得出方程是解题的关键.

【详解】解：

•••ZCEF=NBFE=ZBCE=90°

四边形3CEF是矩形

答案第10页，共13页

BF=CE=5

依题意得DE=1,AB=AD

则设绳索有x尺长，

在Rt2\/BC中，BC2+AC2=AB2

gpiO2+(x+l-5)2=x2,

解得：x=14.5,

即绳索长14.5尺.

7

23.⑴§

【分析】本题主要考查勾股定理与折叠问题以及一元一次方程的应用.

(1)由折叠的性质可得2。=/。，然后设