2024-2025学年八年级数学上册：探索三角形全等的条件（ASA与AAS）

专题L5探索三角形全等的条件（ASA与AAS）

（知识梳理与考点分类讲解）

第一部分【知识点归纳】

【知识点一】三角形全等的判定方法——角边角（ASA）

（1）基本事实：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角边角”或

（2）书写格式：

如图，在AIBC和△⑷*。中，

'AA=AA

<AB=AB'

NB=ZB'

KABC=AA'B'C

【知识点二】三角形全等的判定方法角角边（AAS）

（1）基本事实：两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角角

边”或“44SD

（2）三个角对应相等的两个三角形不一定全等.

如图，在AIBC和A4DE中，如果DE〃3C,那么乙10石=乙8,£AED=/.C,又乙4=乙4,

但△N5C和不全等.这说明，三个角对应相等的两个三角形不一定全等.

BC

【知识点三】判定方法的选择

（1）选择哪种判定方法，要根据具体的已知条件而定，见下表:

试卷第1页，共8页

已知条件可选择的判定方法

一边一角对应相等SASAASASA

两角对应相等ASAAAS

两边对应相等SASSSS

（2）如何选择三角形证全等

（1）可以从求证出发，看求证的线段或角（用等量代换后的线段、角）在哪两个可能全等

的三角形中，可以证这两个三角形全等；

（2）可以从已知出发，看己知条件确定证哪两个三角形全等；

（3）由条件和结论一起出发，看它们一同确定哪两个三角形全等，然后证它们全等；

（4）如果以上方法都行不通，就添加辅助线，构造全等三角形.

第二部分【题型展示与方法点拨】

【题型1】用ASA和AAS证明三角形全等

［例1］（24-25八年级上•全国•假期作业）

1.已知：点3、£、C、F在一条直线上，AC//DF,=C尸.求证：△Z8C0△£）£1厂.

【变式1］（23-24八年级上•陕西渭南・期末）

2.如图，点E在“8C外部，点。在。8C的边3C上，DE交4c于点、F,若

Zl=Z2=Z3,BC=DE,贝1|()

A.AABD出LAFEB.△ZFE也△4DC

试卷第2页，共8页

C./\AFE^/\DFCD./^ABC^^ADE

【变式2］（23-24八年级上•河南周口・期中）

3.如图，在。BC中，40是8C边上的高，BE是/C边上的高，且40、BE交于点F,若

BF=AC,CD=4,BD=IQ,则线段版的长为.

【题型2】用ASA和AAS证明三角形全等与三角形全等性质综合求值

【例2】（2024七年级下•全国・专题练习）

4.如图，在A4BC中，AB=AC=2,N8=/C=40。，点。在线段3C上运动（。不与

B、C重合），连接作//。£=40。，交线段NC于E.

⑴当/8。/=115。时，ZEDC=J,/DEC=_°；

（2）当。C等于多少时，AABD为DCE,请说明理由.

【变式1］（23-24七年级下•重庆•期中）

5.如图，在A/IBC中，BF平分/4BC,过点A作B尸的垂线，交BF于点、P,交3C于点

E,若APBC面积为6cm2,A/PC的面积为;cn?,则的面积为（）cn?.

【变式2】（23-24七年级下•上海黄浦•期末）

6.如图，在四边形48CD中，AB=AD,ABLAD,AC1DC.过点B作BELC/,垂足

试卷第3页，共8页

为点、E.若8=2,CE=4,则四边形/8C。的面积是.

【题型3】添加条件证明三角形全等

【例3】（2024•广东阳江•一模）问题情境：

7.问题情境：在数学探究活动中，老师给出了如图所示的图形及下面三个等式：

①4B=AC,②DB=DC,（3）ZBAD=ZCAD,若以其中两个等式作为已知条件，能否得

到余下一个等式成立？

解决方案：探究与A/CD全等.

问题解决：

（1）当选择①②作为已知条件时，△43。与A/CD全等吗？

（填“全等”或“不全等”），依据是；

（2）当选择两个等式作为已知条件时，不能说明△/AD之但补充一个条件

例如也可以证明LABD/ACD，请写出过程.

【变式1］（2024•浙江杭州•一模）

8.如图，点C、点E分别在线段48上，线段3c与DE交于点尸，且满足

AB=AD.下列添加的条件中不能推得△/BCgZUOE的是（）

A.AC=AEB.BF=DFC.BE=CDD.BC=DE

试卷第4页，共8页

【变式2](2024•陕西渭南•二模)

9.如图，在。8C和△/£)£中，点。在3C上，AB=AD,/BAD=NCAE,请你再添加

一个条件：,使得“BC三"DE,并说明理由.

【题型4】灵活运用SSS、SAS、ASA、AAS证明三角形全等

【例4】(23-24八年级上•辽宁葫芦岛•期末)

10.【初步探索】

(1)如图1：在四边形中，AB=AD,ZB=ZADC=90°,E、/分别是3C、CD

上的点，SLEF=BE+FD,探究图中/8/E、NFAD、/E4尸之间的数量关系.

小王同学探究此问题的方法是：延长ED到点G,使。G=2E连接/G,先证明

△ABEdADG,再证明小E尸2"GF,可得出结论，他的结论应是.

【灵活运用】

(2)如图2,若在四边形48C。中，AB=AD,ZS+ZZ>=180°,E、尸分别是3C、CD

上的点，且EF=BE+FD,上述结论是否仍然成立，并说明理由.

【拓展延伸】

(3)已知在四边形/3CZ)中，ZABC+ZADC=1SO°,AB=AD,若点£在C2的延长线上,

点尸在CD的延长线上，如图3所示，仍然满足跖=3E+即，若/C=70。，请直接写出

NEAF的度数.

7--------1.u1'——.........LF

ECBEC

图1图2用3

【变式1］（23-24七年级下•全国•课后作业）

11.下列条件能判定△NBC咨尸的是（）

A.AB=DE,BC=EF,ZA=NDB.AB=DE,BC=EF,ZC=ZE

试卷第5页，共8页

C.NA=ND,AB=EF,ZB=ZED.NA=ND,AB=DE,ZB=ZE

【变式2】（2024七年级下•上海•专题练习）

12.如图，点。、E分别在48、AC±,BE与CD相交于点O,连接/。，如果

AB=AC,AD=AE,那么图中的全等三角形共有对.

第三部分【中考链接与拓展延伸】

1、直通中考

[例1]（2023・重庆・中考真题）

13.如图，在RtZUBC中，ABAC=90°,4B=AC,点、D为BC上一点、,连接过点3

作于点£,过点C作C尸，交4D的延长线于点?若BE=4,CF=\,则EF

的长度为.

【例2】（2020・贵州毕节・中考真题）

14.如图，在一个宽度为48长的小巷内，一个梯子的长为。，梯子的底端位于N8上的点

P,将该梯子的顶端放于巷子一侧墙上的点C处，点C到22的距离3c为6,梯子的倾斜

角/BPC为45。；将该梯子的顶端放于另一侧墙上的点。处，点。到的距离为。，

且此时梯子的倾斜角44尸。为75。，则/台的长等于（）

试卷第6页，共8页

b+c

ab

A.B.C.~2~D.c

2、拓展延伸

【例1】(23一24八年级下•山东青岛•期中)

15.如图，ACYBC,BD1AD,AD=BC.求证：BD=AC.

以下是合作小组三名同学关于此题的讨论：

小丽说：“我可以根据全等三角形的判定定理'AAS，证明两个三角形全等，从而得到

BD=AC."

小颖说：“我可以根据直角三角形全等的判定定理'HL，证明两个三角形全等，从而得到

BD=AC.”

小雨说：“我可以根据三角形的面积相等，来证明=”

看了他们的讨论，你一定也有了自己的主意，请写出你的证明.

【例2】

16.如图，在。中，AB=AC=20cm,ZB=ZC,BC=18cm,点。为4B的中点，

如果点P在线段8C上以6厘米/秒的速度由点8向点C运动，同时点。在线段C/上由C

点向/点运动.当一个点停止运动时，另一个点也随之停止运动.

(1)用含有t的代数式表示CP,则CP=cm.

(2)若点0的运动速度与点P的运动速度相等，经过1秒后，&BPD与ACQP是否全等,请

说明理由；

⑶若点0的运动速度与点P的运动速度不相等，那么当点。的运动速度为多少时，能够使

△BPD与&CQP全等?

试卷第7页，共8页

试卷第8页，共8页

1.见解析

【分析】此题考查了全等三角形的判定，由平行线的性质得到=斯，/ACB=/F,

由线段之间的关系得到5C=斯,即可证明四△D£/（ASA）.

【详解】证明：・・,45〃。£,

・•・/B=ZDEF,

•・.AC//DF,

・•・/ACB=ZF,

•：BE=CF,

；.BE+EC=CF+EC,

即BC=EF,

在^ABC和^DEF中，

AB=/DEF

<BC=EF,

ZACB=ZF

.•.△ZBC丝△。斯（ASA）.

2.D

【分析】本题考查了全等三角形的判定方法，三角形外角的性质，熟练掌握全等三角形的判

定方法是解答本题的关键.

根据已知条件，得到/l+ZD/C=/2+ZCUC,/1+NB=N3+ZADE,从而得至U

/BAC=/DAE,ZB=AADE,利用全等三角形的判定方法，得到△4BC0a4D£（AAS）,

由此得到答案.

【详解】解：根据题意得：

Zl=Z2=Z3,

Zl+ADAC=Z2+ADAC,Z1+ZB=Z3+ZADEf

/.ABAC=ZDAE,AB=ZADE,

在^ABC和/\ADE中,

ABAC=ZDAE

<ZB=/ADE,

BC=DE

答案第1页，共15页

AABC^AADE(AAS),

故选：D.

3.6

【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，利用AAS证明△3。尸也△/DC,得

DF=CD=4,AD=BD=1。,即可得出答案.

【详解】解：•.・40是3C边上的高，BE是/C边上的高，

ZADB=NAEB=90°,

■1-ZAFE=ZBFD,

ZCAD=ZDBF,

在XBDF和/\ADC中，

ABDF=NADC

<ZDBF=ADAC,

BF=AC

:BDF知ADC(AAS),

DF=CD=4,AD=BD=IO,

AF=AD-DF^\0-4=6.

故答案为：6.

4.(1)25,115

⑵2

【分析】此题主要考查三角形综合题，全等三角形的判定与性质，三角形外角的性质等知识

点的理解和掌握，此题涉及到的知识点较多，综合性较强.

(1)利用邻补角的性质和三角形内角和定理解题；

(2)当DC=2时，利用ZDEC+/EDC=140。，ZADB+ZEDC=1400,求出

ZADB=ZDEC,再利用48=。。=2,即可得出△48。gZkOCE.

【详解】(1)解：•・•//£>£=40。，280/=115。，

ZEDC=180°-ZADB-ZADE=180°-115°-40°=25°,

ZAED=ZEDC+NC=40°+25°=65°,

/DEC=180°-ZAED=115°；

答案第2页，共15页

(2)解：当。C=2时，AABDdDCE,理由如下：

ZC=40°,

.-.ZDEC+ZEDC=140°,

又=40°,

ZADB+ZEDC=140°,

ZADB=ZDEC,

在AABD和△DCE中，

ZADB=NDEC

<NB=NC,

AB=DC=2

△/瓦理△OCE(AAS).

5.C

【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质,中线平分三角形的面积，利用B尸平分ZABC,

点A作3尸的垂线，得到=则APEC的面积等于△在(7的面积为;cn?,“Bp的面

积等于AAPE的面积，即可解答，证明a/PB当AEPB是解题的关键.

【详解】解：尸平分/48C,过点A作防的垂线，

.­.AABP=NEBP,NAPB=ZEPB=90°,

在&4PB与AEPB中,

ZABP=NEBP

<NAPB=NEPB,

PB=PB

.•.△4P的△EPB(AAS),

AP=PE,

则APEC的面积等于4APC的面积为gcm?,

132

••S&APB=S&PBE=S&PEC_S&PEC=§cm,

故选：c.

6.24

【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握一线三等角全等模型是解题的关

键.根据垂直可得//CD=/BE/=/n43=90。，从而可得aD+ZD/C=90。，

答案第3页，共15页

ZDAC+ZEAB=90°,进而可得NO=NE45,然后利用AAS证明△4DC/△胡£,从而可得

AC=BE,DC=AE=2,进而可得8£=%。=6,最后根据四边形/BCD的面积A/OC的

面积的面积，进行计算即可解答.

【详解】解:•/45_LAD,ZC_LOC,5£_La,

/./ACD=/BEA=ZDAB=90°,

ZD+ADAC=90°,ADAC+/EAB=90°,

ZD=/EAB,

・「AD=AB,

△/DC之△A4E(AAS),

:.AC=BE,DC=AE=2,

-：CE=4

..BE=AC=AE+CE=2+4=6,

二•四边形4BC。的面积的面积+Z\/8C的面积

=-DCAC+-ACBE

22

=—x2x6+—x6x6

22

=6+18

=24

故答案为：24.

7.(1)全等；SSS

(2)当选择②③作为已知条件时，不能说明补充条件NB=NC,证明见解

析

【分析】本题主要考查了全等三角形的判定：

(1)利用SSS即可证明△/瓦速△/C。；

(2)当选择①③作为已知条件时，可以利用SAS证明四△/CD；当选择②③作已

知条件时，不能说明据此根据全等三角形的判定定理补充条件证明即

可.

【详解】(1)解：当选择①②作为已知条件时，

在△48。和A/CD中，

答案第4页，共15页

AB=AC

<ADAD,

DB=DC

.•.△ZB。g△ZCD(SSS),

故答案为：全等；sss；

(2)解；当选择①③作为已知条件时，可以利用SAS证明义△4CD；当选择②③

作为已知条件时，不能说明△工8。0△/C。，补充条件NB=NC,证明如下：

在A4BD和A/CD中，

ABAD=ACAD

<DB=DC,

ZB=ZC

.-.AABD^AACD(AAS)；

8.D

【分析】本题考查了三角形全等的判定.利用全等三角形的判定方法一一判断即可.

【详解】解：A、若添加/C=/E,SAS能证明△4BC也△/£>£,故不符合题意；

B、若添加BF=DF,连接AF,先证^ABF^ADF得出48=ND,利用ASA证明

△ABCdADE,故不符合题意；

C、若添加BE=CD,可得出/C=/£,则可利用SAS证明△NBCg/MOE,故不符合题

J忌±C.；

D、若添加3c=。£,则不能证明故符合题意；

故选：D.

9.NC=NE,理由见解析

【分析】本题考查了三角形全等的判定条件，判定三角形全等的定理有：

AAS、SSS、ASA、SAS、HL,熟练掌握三角形全等的判定定理是解题的关键.

根据已知条件可推知，两个三角形有一组角、一组边分别对应相等，只需要再添加一组对应

角相等，构成AAS或ASA即可证得两三角形全等(也可添加条件/C=/E,构成SAS).

【详解】解：添加的条件是：NC=2E.

理由：•；/BAD=NCAE,

ZBAD+ZCAD=ZCAE+ZCAD,即ABAC=NDAE.

在442c和△4DE中，ZBAC=ZDAE,ZC=ZE,AB=AD,

答案第5页，共15页

...AABC空△4DE(AAS).

注：答案不唯一，添加/C=/E或45c=ZADE均可.

10.(1)ZBAE+ZFAD^ZEAF,理由见解析；(2)仍然成立，理由见解析；(3)125°

【分析】(1)延长W0到点G,使DG=BE,连接/G,可判定三△4DG,进而得出

ZJBAE=ZDAG,AE=AG,再判定△4EF三A/G尸，可得出

ZEAF=ZGAF=ND4G+ZDAF=NBAE+ZDAF,据止匕得出结论；

(2)延长FD到点G,使DG=BE,连接NG,先判定三ZX/OG,进而得出

ZBAE=ZDAG,AE=AG,再判定△/£尸三A/G尸，可得出

NEAF=ZGAF=ND4G+ZDAF=NBAE+ZDAF；

(3)在。。延长线上取一点G,使得DG=8£,连接/G,先判定△4DG三,再判

定八AEFmAAGF,得出/F/E=/E4G,最后根据NE4E+NE4G+NG/E=360。，推导得到

2ZFAE+ZDAB=360°,利用N4BC+N/QC=180。，NC=70°推导出/D4B的度数，即可得出

结论.

【详解】解：(1)ZBAE+ZFAD^ZEAF,理由如下：

如图1,延长ED到点G,使DG=BE,连接/G,

在“BE和A4DG中,

'AB=AD

<ZB=ZADG=90°,

BE=DG

.•."BE三"DG(SAS),

:.NBAE=NDAG,AE=AG,

■：EF=BE+DF,DG=BE,

EF=BE+DF=DG+DF=GF,

在△/£尸和A/G厂中，

答案第6页，共15页

AE=AG

<AF=AF,

EF=GF

尸三A/G尸(SSS),

ZEAF=NGAF=ZDAG+ZDAF=NBAE+NDAF.

故答案为：ZBAE+ZFAD=ZEAF；

(2)上述结论仍然成立，理由如下：

如图2,延长ED到点G,使DG=BE,连接4G,

3•.•N8+N/D尸=180°,N/DG+N2DF=180°,

I

REC

图2

/.ZB=ZADG,

在△/BE和△力。G中，

AB=AD

<ZB=NADG,

BE=DG

.."BE三"DG(SAS),

:./BAE=/DAG,AE=AG,

在△/£1尸和小G厂中，

AE=AG

<AF=AF,

EF=GF

:.AAEF=^AGF(SSS),

/LEAF=ZGAF=ZDAG+ZDAF=NBAE+ZDAF；

(3)如图3,在。。延长线上取一点G,使得DG=BE,连接/G,

答案第7页，共15页

ZABC+ZADC=1SO°,ZABC+ZABE=1SO°,

/ADC=/ABE,

在和△4QG中，

'AB=AD

<AABE=NADC,

BE=DG

..△/BE三△4QG(SAS),

AG=AE,NDAG=NBAE,

'：EF=BE+FD=DG+FD=GF,AF=AF,

在△4£户和A4G厂中，

AE=AG

<AF=AF,

EF=GF

：.^AEF=^AGF(SSS),

ZFAE=/FAG,

•••ZFAE+/FAG+ZGAE=360°,

2ZFAE+(/GAB+NBAE)=360°,

2ZFAE+(/GAB+ZDAG)=360°,

即2ZFAE+ZDAB=360°,

ZEAF=1800--ZDAB.

2

•・•/ABC+NADC=180。，/BCD=70°,

.,.ZCU8=180。—70。=110。，

ZEAF=180°--xll0°=125°

2

【点睛】本题属于四边形综合题，主要考查了全等三角形的判定以及全等三角形的性质的综

答案第8页，共15页

合应用，解决问题的关键是作辅助线构造全等三角形，根据全等三角形的对应角相等进行推

导变形.解题时注意：同角的补角相等.

11.D

【分析】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、

SAS、ASA、AAS、HL.注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形

全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角.

【详解】解：选项A,AB=DE,BC=EF,NA=ND,不是两边及其夹角，不能判断三

角形全等；

选项B,AB=DE,BC=EF,NC=NE,不是两边及其夹角，不能判断三角形全等；

选项C,ZA=ND,AB=EF,ZB=ZE,AB、E/不是对应边，不能判断三角形全等；

选项D,当乙4=ND,AB=DE,='时，符合“ASA"，所以之△。斯.

故选：D.

12.5

【分析】本题考查了全等三角形的判定，解题关键是熟练掌握全等三角形的判定方法；选用

哪一种方法，取决于题目中的已知条件.已知=AD=AE,先根据“SAS”证明

△ABE为ACD,则BE=CD,NABE=NACD,再证明AD=CE,即可根据“AAS”证明

△BOD出ACOE,得OD=OE,OB=OC,然后根据“SSS”证明△BCD@/XCBE,同样方法

可得△NOD四ZX/OE,△月08名△/OC,从而可判断图中的全等三角形共有5对.

【详解】解：在AABE和A4CD中，

AB=AC

<NBAE=ZCAD,

AE=AD

:."BE学"CD(SAS),

BE=CD,ZABE=ZACD,

-：AB=AC,AD=AE,

BD=CE,

在ABOQ和中，

'/BOD=NCOE

<ADBO=/ECO,

BD=CE

答案第9页，共15页

.•.""g△COE(AAS),

OD=OE,OB—OC,

在A5CQ和ACBE中，

BD=CE

<CD=BE,

BC=CB

.•.△BCD会△CBE(SSS),

在△4。。和中，

AD=AE

<OD=OE,

AO=AO

,AAOD^AAOE(SSS),

在“。和“OC中，

AB=AC

<OB=OC,

AO=AO

.•.△NO的“OC(SSS),

综上所述，图中的全等三角形共有5对.

故答案为：5.

13.3

【分析】证明尸。名48瓦4,得到BE=4F,CF=AE,即可得解.

【详解】解：,:/BAC=90。,

ZEAB+ZEAC=90°,

-BELAD,CFLAD,

­.ZAEB=ZAFC=90°,

ZACF+ZEAC=90°f

・・・ZACF=/BAE,

在△/尸C和45胡中：

ZEB=ZCFA

<ZACF=ZBAE,

AB=AC

答案第10页，共15页

.・.△4尸（*A5£/（AAS）,

：.AF=BE=^AE=CF=\,

・・.£尸=4尸—/£=4—1=3,

故答案为：3.

【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质.利用同角的余角相等和等腰三角形的两腰相等

证明三角形全等是解题的关键.

14.D

【分析】过点C作CE1AD于点E,证明及“PQ皂及△CD£即可解决问题.

【详解】过点C作CE1AD于点E,则CE//AB,

/.ZPCE=ZBPC=45°

ZDPC=180°-75°-45°=60°,且PD=PC,

「.△PC。为等边三角形，

CD=PD=a,ZPCD=ZCDP=60°,

•・•ZPCE=45°,

NDCE=ZDCP-/PCE=60。—45。=15。，

•・・/APD=75。,ZDAP=90°,

ZPDA=90°-75°=15°,

.-.ZDCE=ZPDA=15°,

/.ZCDE=ZPDC+ZPDA=60°+15°=75°,

/.ZAPD=ZCDE,

在Rt^APD和Rt/\CDE中，

ZDCE=ZPDA

<CD=PD,

/CDE=NDPA

答案第11页，共15页

Rt^APD三Rt/\CDE,

CE=DA=c,

故选：D.

【点睛】此题主要考查了全等三角形的应用，作辅助线CE是解答此题的关键.

15.见解析

【分析】本题目考查了三角形全等的判定方法，解题关键是熟练掌握三角形全等的判定定理

是解题的关键；

①根据垂线的知识可得ND=/C=90。，在结合AAS证明&△50C,最后根据全等

三角形的性质得出结论；②连接22,根据直角三角形的HL,证明Rta/AD之

即可得出结论；③）连接42,证明g△80C,可得$愕（®=S/Ysoc，再结合二角形面

积计算方法即可得出结论；④连接DC,证明△/。。0△台。。，得乙4=NB,OD=OC,在

利用AAS证明△/DC之△BCD,得出结论.

【详解】小丽方法：

ACLBC,BD±AD,

：.ZD=ZC=90°.

.•.在△NOD和A50C中，

'ZD=ZC

<ZAOD=ZBOC

AD=BC

：./\AOD咨/\BOC(AAS)

AO-BO,DO=CO.

/.AO+CO=BO+DO,BPBD=AC.

小颖方法：

连接48.

•••AC1BC,B