专题3 两直线的位置关系（提升练）-2023-2024学年七年级数学下册专项突破讲与练（北师大版）

专题2.3两直线的位置关系（分层练习）（提升练）单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）1．（2023上·河北邯郸·七年级校考期末）已知，则的余角为（

）A． B． C． D．2．（2020下·辽宁抚顺·七年级统考期末）为直线上一点，，若，则（

）A．30° B．40° C．50° D．60°3．（2023上·全国·七年级专题练习）如图，将三个大小不同的正方形的一个顶点重合放置，则三个角的数量关系为（）A． B．C． D．4．（2018下·七年级课时练习）数学课上，同学们在练习过点B作线段AC所在直线的垂线段，正确的是（

）A．A B．B C．C D．D5．（2023下·安徽池州·七年级统考期末）在同一个平面内，是直线外一点，分别是上三点，已知，，若点到的距离是，则（

）A． B． C． D．6．（2023下·辽宁朝阳·七年级校考期中）若与相等且互补，与是对顶角，则的一半是（

）A． B． C． D．7．（2020下·山东潍坊·七年级统考期中）把一张长方形纸片沿翻折后，点，分别落在、的位置上，交于点，则图中与互补的角有（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个8．（2020上·福建福州·七年级统考期末）图，C是直线AB上一点，CD⊥AB，EC⊥CF，则图中互余的角的对数与互补的角的对数分别是（

）A．3，4 B．4，7 C．4，4 D．4，59．（2021上·河北承德·八年级校考期末）如图，正方形网格中，ABC的顶点A，B，C都在格点上，对于点P，Q，M，N分别与点B，C为顶点构成三角形，面积与ABC不相等的是（

）A．P B．Q C．M D．N10．（2023下·山东聊城·七年级统考期末）下列说法中，错误的是（

）A．互余且相等的两个角各是B．一个角的余角一定小于这个角的补角C．如果，那么的余角与的余角的和等于的余角D．如果，那么的余角与的余角的和等于的补角填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）11．（2023下·上海长宁·六年级校联考期末）已知与互补，，则的大小是．12．（2020上·江苏盐城·七年级统考期末）已知：如图，直线AB、CD相交于点O，∠COE＝90°，∠BOD∶∠BOC＝1∶5，过点O作OF⊥AB，则∠EOF的度数为．

13．（2021下·湖北武汉·七年级校考阶段练习）已知和的两边分别互相垂直，且比的2倍少，求的度数．14．（2023下·七年级课时练习）如图，中，，P为直线上一动点，连，则线段的最小值是．15．（2023上·吉林长春·七年级吉林省第二实验学校校考期末）如图，直线、相交于点，．若与的度数之比为，则的度数是．

16．（2023上·辽宁沈阳·七年级统考期末）在直线l上顺次取三点A，O，B，过点O作射线，，若，，则的度数为．17．（2019上·浙江杭州·七年级期末）平面内不过同一点的条直线两两相交，它们交点个数记作，并且规定，则，．18．（2023上·辽宁沈阳·七年级沈阳市雨田实验中学校考期末）一副三角板按图1方式拼接在一起，其中边，与直线重合，，，保持三角板不动，将三角板绕着点O顺时针旋转一个角度，（如图2），在转动过程中两块三角板都在直线的上方，当平分由，，其中任意两边组成的角时，的值为．三、解答题（本大题共6小题，共58分）19．（8分）（2024上·宁夏吴忠·七年级统考期末）如果两个角的和等于，就说这两个角互为余角．如果两个角的和等于就说这两个角互为补角．（1）若的余角是，的补角是，则和之间有怎样的数量关系？（2）若一个角的补角是这个角的余角的4倍，求这个角的度数．20．（8分）（2023下·七年级课时练习）如图，直线AB，CD相交于点O，．（1）若，判断ON与CD的位置关系．请将下面的解题过程补充完整，在括号内填写理由．解：ON______CD．理由如下：因为，所以______°．所以______．又因为，所以______（等量代换），即．所以__________（__________）．若，求的度数．21．（10分）（2021下·八年级课时练习）如图，直线，与的面积相等吗？为什么？你还能画出一些与面积相等的三角形吗？22．（10分）（2024上·河北保定·七年级统考期末）如图点A，O，B在同一条直线上，过点O作射线，，，，且和互余，与互余，平分．（1）判断和之间满足的数量关系，并说明理由．（2）判断是否平分，并说明理由．23．（10分）（2023上·重庆忠县·七年级统考期末）过直线上的点引如图所示的射线、、、，满足，，平分，平分．（1）求的大小；（2）判断点是否在同一直线上；（3）在图②中，过点作，延长至点，说明．24．（12分）（2024上·山西大同·七年级校联考期末）综合与探究如图①，直角三角尺ABC和直角三角尺ADE的顶点A重合，且顶点E，A，C在一条直线上，，，，保持三角尺ABC不动，将三角尺ADE绕顶点A顺时针旋转（旋转至点E落在射线AC上时停止）．（1）当三角尺ADE旋转至如图②所示的位置时，若，求的度数．（2）当三角尺ADE旋转至AD在内时（如图③），与之间有何数量关系？请说明理由．（3）在旋转的过程中，当与互余时，直接写出的度数．参考答案：1．C【分析】本题主要考查了余角的概念及角度的计算．两个角的和等于，则这两个角互为余角.掌握余角的概念是解题的关键．解：的余角为.故选：C2．C【分析】首先根据垂线的定义可知：∠COD=90°，从而可得到∠1+∠2=90°，由∠1=40°，即可得出结果．解：∵OC⊥OD，∴∠COD=90°，∵∠1=40°，∴∠2=180°-∠COD-∠1=180°-90°-40°=50°．故选：C．【点拨】本题主要考查的是垂线的定义、角的互余关系；熟练掌握垂线的定义是解决问题的关键．3．C【分析】本题主要考查了正方形的性质，余角的计算，正确理解这一关系是解决本题的关键．解：根据，即可求得，，代入，从而求解．解：如图：∵三个大小相同的正方形，∴，∴，，∴，即，故选：C．4．A解：A.根据垂线段的定义，故A正确；B.BD不垂直AC，所以错误；C.是过点D作的AC的垂线，所以错误；D.过点C作的BD的垂线，也错误.故选：A.5．A【分析】根据“直线外一点到直线上各点的所有线段中，垂线段最短”进行解答即可．解：∵直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短，∴点P到直线l的距离，即．故选：A．【点拨】本题主要考查了点到直线的距离，熟知直线外一点到直线上各点的所有线段中，垂线段最短是解答本题的关键．6．B【分析】根据互补的两个角的和等于，以及与互补且相等可求，再根据对顶角相等求出，进一步即可得解解：∵与互补且相等，与是对顶角，的一半是，故选B【点拨】本题考查了对顶角相等的性质，补角的定义，是基础题，熟记性质与概念是解题的关键7．C【分析】根据对折的性质可知，∠FEG=∠FEC，找出与∠FEC互补的角即可．解：∵将长方形纸片沿翻折得到如上图形∴∠FEG=∠FEC，∠EFD=∠EF由图形知，∠FEC与∠FCB互补∵AD∥BC，∴∠FEC与∠EFD互补∴∠EF与∠EFD也互补故选：C【点拨】本题考查对折的性质和互补的性质，解题关键是将∠FEG转化为∠FEC．8．B【分析】根据垂直的定义、角互余与互补的定义即可得．解：，，，，，，，，，，则图中互余的角的对数为4对；，，点C是直线AB上一点，，，，又，，，，则图中互补的角的对数为7对，故选：B．【点拨】本题考查了垂直的定义、角互余与互补的定义，熟练掌握各定义是解题关键．9．B【分析】利用平行线的性质，以及三角形同底等高面积相等的性质进行判定即可解答．解：因为正方形网格中，P，Q，M，N都在网格格点上，如图，过A点作BC的平行线，则这条平行线经过N，根据两平行线之间距离相等的特点，可得，N与点B，C为顶点构成三角形，面积与ABC相等，故D选项不符合题意；过M点作BC的平行线，恰好经过M点、P点，根据三边对应相等可得,M、P分别与点B，C为顶点构成三角形，面积与ABC相等，故A、C选项不符合题意；与中，底边BC相等，但是高不相等，所以与面积不相等，Q分别与点B，C为顶点构成三角形，面积与ABC不相等，故B选项符合题意；故正确选项为:B．【点拨】题目主要考查了两平行线间距离相等，两个三角形同底等高则面积相等的性质．10．C【分析】根据如果两个角的和为，称这两个角互为余角；如果两个角的和为，称这两个角互为补角，以此计算即可．解：A.互余且相等的两个角各是，正确，不符合题意；B.设这个为，则它的余角为，它的补角为，故，正确，不符合题意；C.的余角为，的余角为，的余角为，的余角与的余角的和等于，错误，符合题意；D.的余角为，的余角为，的余角为，的余角与的余角的和等于，正确，不符合题意；故选Ｃ．【点拨】本题考查了余角，补角的计算，正确理解定义是解题的关键．11．【分析】根据与互补，得到，代入计算即可．解：∵与互补，∴；∵，∴，故答案为：．【点拨】本题考查了两个角的互补即两个角的和为，正确理解定义，熟练掌握计算方法是解题的关键．12．30°或150°【分析】作出图形，分OF、OE在直线AB的同侧或异侧两种情况讨论.根据平角的定义可求∠BOD，根据余角的定义可求∠BOE，根据余角的性质和角的和差关系可求∠EOF或∠EOF'的度数即可.解：∵∠BOD：∠BOC=1：5，∠BOD+∠BOC=180°，∴∠BOD=30°.∵∠COE=90°，∴∠DOE=90°，∴∠BOE=90°-30°=60°.①若OF、OE在直线AB的同侧.∵FO⊥AB，∴∠FOB=90°，∴∠EOF=∠BOD=30°.②若OF'、OE在直线AB的同侧.∵F'O⊥AB，∴∠F'OB=90°，∴∠EOF'=∠EOB+∠F'OB=60°+90°=150°.综上所述：∠EOF的度数为30°或150°.

故答案为：30°或150°.【点拨】本题考查了余角、邻补角.熟练掌握平角等于180度，直角等于90度，余角的定义和性质是解答本题的关键.13．或【分析】有两种情况：①如图1，根据，列方程可得结论；②如图2，根据，列方程可得结论．解：设，则，分两种情况：①如图1，和的两边分别互相垂直，

，即，，；②如图2，，，

，，，，综上所述，的度数为或，故答案为：或．【点拨】此题主要考查了角的计算，以及垂直的定义，关键是根据图形理清角之间的和差关系．14．【分析】根据垂线段最短，得到当时，的值最小，利用等积法进行计算即可。解：∵点到直线的距离，垂线段最短，∴当时，的值最小，在中，∵，∴，即：，∴，故答案为．【点拨】本题考查垂线段最短，解题的关键是学会利用面积法求高，属于中考常考题型．15．120【分析】根据题意求得，进而根据对顶角相等得出，根据即可求解．解：，与的度数之比为，，直线、相交于点，，，，故答案为：120．【点拨】本题考查了对顶角相等，几何图形中角度的计算，数形结合是解题的关键．16．或【分析】先求解，分两种情况讨论：当在的内部时，当在的外部时，再根据角的和差关系可得答案．解：∵，，∴，如图，当在的内部时，

此时，∴，当在的外部时，此时，∴，故答案为：或．【点拨】本题考查了角的和差运算，邻补角的含义，根据角的和差关系求出的度数是解决本题的关键．17．1..【分析】条直线相交只有一个交点，条直线相交，交点数是，条直线相交，交点数是，即，可写出，的解.解：求平面内不过同一点的条直线两两相交的交点个数，可由简入繁，当2条直线相交时，交点数只有一个；当3条直线相交时，交点数为两条时的数量第3条直线与前两条的交点2个，即交点数是；同理，可以推导当n条直线相交时，交点数是，即，，，本题的答案为：1，.【点拨】本题考查了平面内直线两两相交交点数的计算，涉及到一种很重要的数学方法数学归纳法的初步应用接触，此方法在推导证明中比较常用.18．或或【分析】分①当在左边且平分时，②当在右边且平分时，③当在右边且平分时，三类讨论位置，根据平角定义列式即可得到答案．解：①当在左边且平分时，∵，，∴；②当在右边且平分时，∵，∴，∵，∴，∴；③当在右边且平分时，∵，∴，∴，综上所述的值为或或．【点拨】本题考查角平分线及角度加减，解题的关键是分类讨论位置．19．（1）；（2）60度．【分析】本题考查了余角和补角的定义，熟练掌握以上知识点是解题的关键．（1）根据题意列代数式，求解即可．（2）根据题意列一元一次方程，求解即可．（1）解：，．（2）解：设这个角为x度，则它的余角为度，它的补角为度．根据题意可得：，解得，答：这个角的度数为度．20．（1）⊥，90，，，，垂直的定义；（2）解：（1）⊥

90

垂直的定义（2）因为，所以．因为，所以．所以．所以．所以．所以．21．相等，见分析【分析】根据平行线间距离处处相等，证明即可．解：面积相等，理由如下：如图所示，作于M点，于N点，∵，∴AM=DN，∵，，∴，经过证明，只要以BC为底边，顶点落在上的三角形，面积均与的面积相等，如下图：，等，均满足面积等于的面积．【点拨】本题考查平行线的基本性质，掌握平行线间的距离处处相等，是解题关键．22．（1），理由见分析；（2）平分，理由见