第1章 整式的乘除（单元测试·培优卷）-2023-2024学年七年级数学下册专项突破讲与练（北师大版）

第1章整式的乘除（单元测试·培优卷）一、单选题1．下列计算结果为的是（

）A． B． C． D．2．已知，，m，n为正整数，则为（

）.A． B． C． D．3．已知，，则的值为（

）A．16 B．22 C．28 D．364．碳纳米纤维是指由多层石墨片卷曲而成的纤维状纳米碳材料，它的直径一般为，长度分布在，具有质轻、导热性良好及很高的导电性和强度等特性，一碳纳米纤维的直径约为，将用科学记数法表示为（

）A． B． C． D．5．某文具店以每支a元的价格买入了100支笔，然后加价销售．卖出一半的笔后，在现价的基础上降价卖出剩下的笔，则文具店共盈利（）A．元 B．元 C．元 D．元6．若代数式，则（）A． B．9 C．10 D．7．若是一个完全平方式，则的值是（

）A． B． C． D．8．按一定规律排列的单项式：则第n个单项式是（

）A．B． C． D．二、填空题9．若，则．10．．11．化简：12．计算：．13．已知正整数m、、、都是质数，并且，则.14．已知，例如．又规定，则．15．已知实数满足，则的最大值为．16．某农户租两块土地种植沃柑，第一块是边长为的正方形，第二块是长为，宽为的长方形，则第二块比第一块的面积多了．三、解答题17．计算：（1）； （2）．18．计算题（1） （2）19．按要求完成下列各小题：（1）先化简，再求值：，其中；（2）已知，，m，n均为正整数，求及（用含a，b的式子表示）．20．为着力打造天蓝地绿水净、宜居宜业宜游的绿都郑州，完成2023年12月31日前的新建绿地任务，郑州加快推进生态郑州、美丽郑州建设．如图，现新建一块长为，宽为的长方形绿地，并在绿地中间修建横向和纵向宽度都为a的道路，将空地分成四块大小不同区域．

（1）求绿地（空白部分）的面积；（用含a、b的式子表示）（2）若，，求绿地（空白部分）的面积．21．若的展开式中不含和的项．（1）求，的值；（2）求代数式的值．22．初中数学中很多公式都可以通过表示几何图形面积的方法进行直观推导和解释，如图，请你利用这个图形的几何意义证明某个数学公式．

（1）利用这个图形可以证明的数学公式是；（2）在证明（1）中数学公式的过程中，渗透的主要数学思想是什么？（3）请你写出完整的证明过程．23．【知识探索】观察以下等式：…按以上等式的规律，发现：．（1）利用多项式乘以多项式的法则，证明成立；【知识运用】（2）已知，，求的值；（3）已知，求的值．24．（1）【知识再现】完全平方公式：或，我们把式子和分别叫做和的完全平方式和差的完全平方式，统称完全平方式．如果式子是完全平方式，那么______；（2）【知识迁移】______；（3）【知识运用】①求式子的最小值；②若，求的值．参考答案：1．D【分析】此题主要考查了积的乘方运算以及合并同类项和同底数幂的乘除运算，正确掌握运算法则是解题关键．直接利用幂的乘方运算法则以及合并同类项法则和同底数幂的乘除运算法则分别分析得出答案．解：A、与不是同类项，不能合并，故此选项错误；B、，故此选项错误；C、，故此选项错误；D、，故此选项错误；故选D．2．B【分析】本题考查了同底数幂的乘法，熟练掌握幂的运算法则是解题的关键．根据同底数幂的乘法运算法则即可得出答案．解：，，m，n为正整数，，故选B．3．A【分析】本题考查了完全平方公式．解答本题的关键是明确题意，利用完全平方公式把式子变形为．根据，，利用完全平方公式把式子变形为，再把已知条件代入即可求值．解：，，，故选：A．4．A【分析】绝对值小于的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数所决定．本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，为由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数所决定．解：米米．故选：A．5．B【分析】本题考查了列代数式及整式混合运算的应用，根据数量关系列出式子，再利用有理数的混合运算法则即可求解，理清题意，列出代数式是解题的关键．解：，，，故选：B．6．C【分析】本题考查配方法，根据完全平方公式的特点，进行配方，即可解题．解：，，即，，解得，故选：C．7．C【分析】本题考查了完全平方式，先根据两平方项确定出这两个数，再根据完全平方公式的乘积二倍项即可确定的值，根据平方项确定出这两个数是解题的关键．解：∵是一个完全平方式，∴，∴，故选：．8．A【分析】本题考查数字变化的规律，观察所给单项式的系数和次数，发现规律即可解决问题．解：由题知，第一个可以看成，后面的单项式的系数依次增大倍，且单项式的系数依次，所以第n个单项式的系数为：；故选：A．9．16【分析】本题主要考查了幂的乘方计算，根据进行计算求解即可．解：∵，∴，故答案为：16．10．【分析】本题考查了同底数幂的除法以及积的乘方、负整数指数幂，需熟练掌握且区分清楚，才不容易出错；首先计算积的乘方，把各个因式分别乘方，然后按照同底数幂的除法法则计算；解：，故答案为：．11．/【分析】本题考查了整式的混合运算，先计算乘法，在合并同类项，熟练运用计算法则是解题的关键．解：，，，故答案为：．12．【分析】本题考查整式的除法运算，掌握多项式除以单项式的运算法则是解题关键．依据多项式除以单项式法则求解即可．解：原式故答案为：．13．793【分析】本题考查了幂的乘方，质数的意义；从是质数入手是解题的关键；质数中唯一的偶数是2，其余的质数都是奇数，根据两个奇数的和为偶数，则可断定中必为偶数，由此分析即可求解．解：因为m、n、都是质数，所以必为偶数，所以m、n至少有一个为2．当时，，不相等且都不是质数，矛盾；当时，，此时，符合题意，所以；当时，，不满足条件．综上，．14．【分析】本题考查求代数式的值，解题的关键是熟练掌握题目中的运算公式．根据题目中的运算公式代入求解即可．解：，故答案为：．15．【分析】本题考查完全平方公式的应用，非负数的性质．利用配方法和非负数的性质求解即可．解：∵，∴，．∵∴．可得，∴的最大值为．故答案为：．16．【分析】本题考查了整式混合运算的应用，先根据面积公式求出第二块的面积和第一块的面积，再相减即可，掌握整式的运算法则是解题的关键．解：由题意得，，，，∴第二块比第一块的面积多了，故答案为：．17．（1）4；（2）【分析】本题考查实数的混合运算，整式的混合运算，掌握实数和整式混合运算的运算顺序和计算法则是解题关键．（1）先化简绝对值，负整数指数幂，零指数幂，算术平方根，乘方，然后再计算；（2）先算乘方，乘法，然后再算加减．（1）解：＝＝；（2）解：＝＝．18．（1）；（2）【分析】本题考查幂的混合运算，整式的混合运算，掌握积的乘方，幂的乘方，单项式除以单项式的运算法则及乘法公式是解题关键．（1）先算乘方，然后再计算单项式除以单项式；（2）先计算完全平方公式，平方差公式，然后在合并同类项进行计算．（1）解：原式＝＝；（2）解：原式＝＝．19．（1），；（2）；【分析】本题考查整式乘法的化简求值和同底数幂的乘法及幂的乘方逆运算，掌握运算法则和运算顺序是解题的关键．（1）先按照单项式乘以多项式和多项式乘以多项式的法则展开，然后合并，最后代入数值计算解题；（2）按照同底数幂的乘法逆运算和幂的乘方逆运算计算解题．（1）解：，当时，原式；（2）解：；．20．（1）；（2）【分析】本题主要考查多项式乘多项式，熟练掌握多项式乘多项式的乘法法则是解决本题的关键．（1）根据多项式乘多项式的乘法法则解决此题．（2）将，代入求值．（1）解：用平移法得到变换图形如下，空白部分为长为，宽为的长方形，

故面积为；（2）解：当，时，原式．21．（1），；（2）【分析】本题考查多项式乘多项式，代数式求值，积的乘方的逆运算：（1）先利用多项式乘多项式法则将原式展开，令展开式中和项的系数为0，即可计算出，的值；（2）根据（1）中结论可得，将原式变形为，再将以及，的值代入计算即可．（1）解：，展开式中不含和的项，，，解得，；（2）解：由（1）得，，，．22．（1）平方差公式或；（2）数形结合；（3）证明见分析【分析】本题考查了公式与几何图形的意义，数形结合思想，公式的证明．（1）根据图形整体面积等于各部分面积之和即可解答．（2）根据数形结合思想解答即可．（3）根据面积的意义，证明即可掌握面积法是解题关键．（1）解：根据题意，得平方差公式或，故答案为：平方差公式或．（2）解：主要思想是数形结合思想．（3）解：由题意可知：长方形的长，宽，∴，∵长方形的长，宽，∴长方形与长方形的面积相等，∴=+=，∵=，=，∴

．23．（1）证明见分析；（2）；（3）的值为【分析】本题考查多项式乘以多项式法则，完全平方公式等知识，掌握完全平方公式是解题的关键．（1）运用多项式乘以多项式法则运算即可；（2）先求出，再利用（1）中的结论代入计算即可；（3）设，，则有，再求出和，从而利用（1）的结论计算即可．解：（1）∵，∴．（2）∵，．∴，∴．（3）由，得，设，，则，∴，，∴，∴