西藏拉萨市2025届高三数学（文）下学期第二次模拟考试试卷（含解析）

拉萨市2025届高三其次次模拟考试试卷

文科数学

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有

一项是符合题目要求的.

1.已知集合0={工|"=仇(久—1)1,I=[0,1,2,31，则|4CB=|()

A.@B.国C.D.

【答案】B

【解析】

【分析】

依据对数的性质，求出集合A,然后进行交集的运算，即可得到答案.

【详解】由题意，依据对数的运算性质，可得心=f*|y=仇(x-l)}=

所以瓦逋三豆囱，故选B.

【点睛】本题主要考查了集合的交集运算，以及对数的运算性质，其中解答中熟记对数的运

算性质，精确求解集合A是解答的关键，着重考查了运算与求解实力，属于基础题.

2.已知a为实数，若复数恒而I三因为纯虚数，则回

A.,2B.1C.1D.2

~22

【答案】A

【解析】

【分析】

依据复数的运算法则进行化简，结合复数是纯虚数，进行求解即可.

【详解】(a+i)(l-2i)=a+2+(l-2a)i，

•.•复数是纯虚数，

a+2=0且1-2aH0，

得a=-2且已丰

即(2=-2,

故选：A.

【点睛】本题主要考查复数的运算以及复数的概念，依据复数是纯虚数建立条件关系是解决

本题的关键.

3.在一般中学新课程改革中，某地实施“3+1+2”选课方案。该方案中“2”指的是从政

治、地理、化学、生物4门学科中任选2门。假设每门学科被选中的可能性相等，那么政治

和地理至少有一门被选中的概率是()

A.1B.1C.2D.5

6236

【答案】D

【解析】

【分析】

本题可从反面思索，两门至少有一门被选中的反面是两门都没有被选中，两门都没被选中包

含1个基本领件，代入概率的公式，即可得到答案.

【详解】设4=｛两门至少有一门被选中，则[=｛两门都没有选中｝,彳包含1个基本领件，

则p⑷所以p⑷=144故选)

【点睛】本题主要考查了古典概型及其概率的计算，其中解答中合理应用对立事务和古典概

型及其概率的计算公式求解是解答的关键，着重考查了运算与求解实力，属于基础题.

4.2，方为平面对量，已知五=(2,4)，日-2万=(0,8)，则及，方夹角的余弦值等于()

A.B._3C.3D.1

-5—555

【答案】B

【解析】

【分析】

由题意利用两个向量的数量积的定义，两个向量的数量积公式，求得，夹角的余弦值.

【详解】已知)=(2,4)，-3_(08)''而=前-@-23)]=(1,-2丫

，a•b=2-8=-6-

设,夹角,又之•加=向•历|.cos。=•祖•cos。=lOcos。，

•••10cos0=-6,...8se=-；，

故选：B.

【点睛】本题主要考查两个向量的数量积的定义，两个向量的数量积公式的应用，属于基础

题.

5.等差数列｛a“｝的前兀项和为Sn，且。8-。5=9,$8-$5=66,贝!］。33=（）

A.82B.97C.100D.115

【答案】C

【解析】

【分析】

先求出公差，再依据等差数列的求和公式，求得刖=4,即可求解a33,得到答案.

【详解】因为等差数列｛斯｝的前n项和为S”且。8-。5=9,所以3d=9,解得d=3，

又由S8T5=66,所以8%+等x3-5%-*X3=66,解得…

所以a33=由+32d=4+32X3=100,故选C.

【点睛】本题主要考查了等差数列的通项公式，以及等差数列的求和公式的应用，其中解答

中熟记等差数列的通项公式和前n项和公式，合理精确计算是解答的关键，着重考查了运算

与求解实力，属于基础题.

6.将函数:y=sin（2x+3的图像向右平移（个单位长度后，所得图像的一个对称中心为

儿（勤）B.fnC.Jo)D./)

【答案】A

【解析】

【分析】

利用函数尸上in（ax+e）图象变换规律，求得平移后的解析式，再令2x三一4”，

~6~

求得结论.

【详解】将函数y=sin（2x工”）的图象向右平移兀个单位长度后，所得图象对应的函数解

+66

析式为尸sin（2x_»

一6

令2入_2_A兀，求得x_”上,kGZ,故函数的对称中心为（竺工三,0）,kGZ,

_g一_2+122+12

故选：A.

【点睛】本题主要考查函数尸/sin（3x+小）的图象变换规律，正弦函数的图象的对称性,

属于基础题.

7.已知双曲线2仁_［的一条渐近线过点（h4），则，的离心率为

A.迈B.3c.衽D.3

【答案】C

【解析】

【分析】

求得双曲线的渐近线方程，由题意可得b=2,再由离心率公式，计算可得所求值.

【详解】双曲线.2/，的渐近线方程为y=+bx,

C-x~^=1~

由题意可得4=可得匕=2，

则双曲线的离心率为6=3=户五=也.

故选：C.

【点睛】本题考查双曲线的方程和性质，主要是渐近线方程和离心率的求法，考查方程思想

和运算实力，属于基础题.

8.已知a=O50-8,b=0.8°5>c=0,808­则（）

A-c<b<aB.c<a<b

C-a<b<cD.a<c<b

【答案】D

【解析】

【分析】

利用指数函数与募函数的单调性进行大小比较，即可得到答案.

【详解】由题意，依据指数函数与幕函数的单调性，

可得a=O.508<0.505,b=O.80-5>0.5%所以b>a，

又由c=0.8°,8>0.50,8,所以c>a，

又由b=0.8°'>c=0.8*所以a<c<b，故选D.

【点睛】本题主要考查了指数函数与募函数的单调性的应用，其中解答中合理应用指数函数

与事函数的单调性进行大小比较是解答的关键，着重考查了运算与求解实力，属于基础题.

9.执行如图所示的程序框图，则输出的的值为（）

C.5D.6

【答案】B

【解析】

【分析】

依据程序框图，进行模拟运算，即可求解，得到答案.

【详解】由题意，模拟程序框图，可得：

S=1,7=1，满意推断条件S47；

S=3,7=1+5=9,i=2，满意推断条件S<T；

S=9,T=4+5=9/=3，满意推断条件SWT，

S=27,7=9+5=14』=4，不满意推断条件SW7，

输出结果i=4，故选B.

【点睛】本题主要考查了循环结构的程序框图的识别与计算结果的输出问题，其中解答中利

用模拟程序的运算，逐次求解推断是解答的关键，着重考查了运算与求解实力，属于基础题.

10.在正方体中，点《，尸分别是棱4B，的中点，则直线CE与。1尸所成角

的大小为（）

A.UB.gC.uD.g

6432

【答案】D

【解析】

【分析】

以。为原点，物为X轴，加为了轴，DD1为Z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求

出直线位与。/所成角的大小.

【详解】

连接。尸，。FCCE=。在正方形4BC0中，tan4coF=tanNECB=：'故得到三角形

△DCF=△CBE•；+々CFO=?^ECB+A.C0F=1

故得到CE1DF，所以CE1DF

故得到直线B与D/所成角为兀.

2

故选：D.

【点睛】本题考查异面直线所成角的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基

础学问，考查空间想象实力、运算求解实力，考查化归与转化思想、数形结合思想，是中档

题.

11.设椭圆E的两焦点分别为成，&，以F1为圆心，IF1&I为半径的圆与E交于P，Q两点，若

4PFF2为直角三角形，贝比的离心率为（）

A.4-1B.隹-1C.遇D.y/2+l

~2~~2

【答案】B

【解析】

【分析】

由4PFF2为直角三角形，得ZPF/2=90°，可得|PFi|=2c,|PF2l=2Mc，利用椭圆的定义

和离心率的概念，即可求解.

【详解】如图所示，因4PFF2为直角三角形，所以ZPF/2=9O°，

所以忸尸1|=26忸尸21=2版，则2c+2根c=2a，解得e=£=偃故选B

【点睛】本题主要考查了椭圆的标准方程及其简洁的几何性质的应用，其中解答中合理利用

椭圆的定义和离心率的概念求解是解答的关键，着重考查了运算与求解实力，属于基础题.

12.已知函数r若触6[-2,1]，使得/（，+稻+/（＞-乃＜0成立，则

f(x)=-Y|人|O111«A*

实数A的取值范围是（）

A.(-1,+oo)B.(3,+oo)C.(0,+oo)D.

（-00-1）

【答案】A

【解析】

由题函数“、3T的定义域为R,且

r（X）=F7T+X+smx

Z3X-1即函数f（%）为及奇函数，且

♦(F=+(T)+sin(r)=(3*+1+%+sinxl=—f(%),

/21n3•3X在xe[-2,1]上恒成立，即函数函数/Xx）在刀6[-2,1]上单调

f(x)=；------+1+cos%>0

/\J(3*+1)2

递增，若3xe|-2,1]，使得/(x2+%)+/■(%-k)<0成立，即

f(x2+x)<—/(%—fc)=>/(x2+x)</(/c-x)=>x2+x<k-x

2

则问题转化为mxe[-2,1],k>x+2,x>即上>(/+2动1^11,在％6[-2,1|上丫=%2+2%

得最小值为-1,故实数k的取值范围是（_1,+8）,

故选A.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.设Sy满意约束条件0,则目标函数z=工+y的最大值为—

,y＞0

【答案】3

【解析】

【分析】

作出约束条件所表示的平面区域，结合图象确定函数的最优解，解求解目标函数的最大值,

得到答案。

【详解】由题意，作出约束条件表示的平面区域，如图所示，

目标函数2=%+,，可化为直线y=—x+z，

当直线y=_x+z过点A时，直线在y轴上的截距最大，此时目标函数取得最大值，

又由｛2%+4-4,0,解得4(1,2)，

所以目标函数z=x+y的最大值为z=1+2=3。

【点睛】本题主要考查简洁线性规划求解目标函数的最值问题.其中解答中正确画出不等式

组表示的可行域，利用“一画、二移、三求”，确定目标函数的最优解是解答的关键，着重

考查了数形结合思想，及推理与计算实力，属于基础题.

14.已知函数=必+a]og3x，若/'(2)=6，则/(5)=•

【答案】1Z

8

【解析】

【分析】

依据题意，由/'(2)的值分析可得f(2)=8+alog32=6,变形可得alog32=-2,则有则

1_1川“？，代入计算可得答案.

)(2)=㈤+al°g32=8-山。832

【详解】函数/'(X)=r3+alog3%，若/'(2)=6,

则.(2)=8+alog32=6,变形可得alog32=-2,

人IJIlJlf(12)=(21),3+alog321=18_alog32=后17.’

故答案为：u.

8

【点睛】本题考查函数值的计算，关键是求出函数的解析式，属于基础题.

15.已知以点（1,2）为圆心的圆C与直线x+2y=0相切，则圆。的方程为.

【答案】（X-1）2+（y-2）2=5

【解析】

【分析】

依据题意，设圆。的半径为r,由直线与圆的位置关系可得I1+2X2I后结合圆的标准

方程分析可得答案.

【详解】依据题意，设圆。的半径为r,

以点（1,2）为圆心的圆。与直线x+2y=0相切，则圆心到直线的距离为半径，则有

则圆C方程为（X-1）2+（y_2）2=5；

故答案为：（X-1）2+（y-2）2=5.

【点睛】本题考查直线与圆相切的性质，留意直线与圆相切的判定方法，属于基础题.一般

直线和圆的题许多状况下是利用数形结合来解决的，联立的时候较少；在求圆上的点到直线

或者定点的距离时，一般是转化为圆心到直线或者圆心到定点的距离，再加减半径，分别得

到最大值和最小值；涉及到圆的弦长或者切线长时，常常用到垂径定理。

16.△4BC的内角4B,C的对边分别为a,b,c,已知匕=2，c=3，C=2B＞则△4BC的

面积为.

【答案】15"

16

【解析】

【分析】

由已知利用正弦定理，二倍角的正弦函数公式可求cosB的值，依据同角三角函数基本关系

式可求sinB的值，利用二倍角公式可求sinC，cosC的值，依据两角和的正弦函数公式可求sinA

的值，即可利用三角形的面积公式计算得解.

【详解】7b=2'c=3，C=2B，

由正弦定理_L=二，可得：-_=-_，可得：2_3_3,

sinB-sinCsinB-sinCsinB-sin28-2sinBcosB

•••可得：cosB=^可得：sinB=Qcos历=4，

..可行.SEC—sin2B=2sinBcosF=萼'cosC=cos2B=2cos2B-1=

・••sin/=sin(B+C)=sinBcosC4-cos5sinC=-^x|x=唾’

1.15"15".

S=/csin/=2x2x3x记=

故答案为：15".

16

【点睛】本题主要考查了正弦定理，同角三角函数基本关系式，二倍角公式，两角和的正弦

函数公式，三角形的面积公式在解三角形中的综合应用，考查了计算实力和转化思想，属于

基础题.解三角形时，有时可用正弦定理，有时也可用余弦定理，应留意用哪一个定理更便

利、简捷一般来说，当条件中同时出现好及/、a2时，往往用余弦定理，而题设中假如

边和正弦、余弦函数交叉出现时，往往运用正弦定理将边化为正弦函数再结合和、差、倍角

的正余弦公式进行解答.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17〜21题为必考

题，每个试题考生都必需作答。第22、23题为选考题，考生依据要求作答。

(-)必考题：共60分。

17.已知｛a,J是等差数列，且1g%=0,lga4=1.

(1)求数列｛斯｝的通项公式

(2)若由，ak,a6是等比数列｛外｝的前3项，求"的值及数列｛斯+与｝的前〃项和.

【答案】(1)«n=3n-2.(2)fc=2A=3n2_in+i(4n_1)

【解析】

【分析】

(1)干脆利用已知条件求出数列通项公式;(2)利用等比数列的性质得到公比以及数列｛0｝

的通项，进而｛斯+蜃｝求出数列的通项公式，进一步利用分组法求出数列的和.

【详解】(1)数列｛斯｝是等差数列，设公差为4且lgai=0,lga4=l.

则：/ar=l,

\ai+3d=10

解得：d=3

所以：a”=1+3(n—1)=3n—2.

(2)若。1，ak>是等比数列｛与｝的前3项，

则：城=。厂。6,依据等差数列的通项公式得到：ak=3k-2,

代入上式解得：fc=2；«1>0,2,。6是等比数列｛与｝的前3项，的=1,。2=4,

所以：等比数列｛%｝的公比为q=4・

n1

由等比数列的通项公式得到：bn=4~.

则斯+以=3九-2+4"T，

故：Sn=(1+1)+(4+41)4-...+(3n-2+4”】)，

n(3n-1)4n-l,

=-2-+4^7

=|n2-|n+|(4n-1),

【点睛】本题考查的学问要点：数列的通项公式的求法及应用，分组求和的应用，主要考查

学生的运算实力和转化实力，属于基础题型.数列求和常用法有：错位相减，裂项求和，分

组求和等.

18.某网络平台从购买该平台某课程的客户中，随机抽取了100位客户的数据，并将这100

个数据按学时数，客户性别等进行统计，整理得到如表；

学时数『5,10)1『10,15)1『15,20)1『20,25)1『25,30)|『30,35)1『35,40)|

男性181299642

女性24827134

叵依据上表估计男性客户购买该课程学时数的平均值同一组中的数据用该组区间的中点值

作代表，结果保留小数点后两位；

②从这100位客户中，对购买该课程学时数在20以下的女性客户依据分层抽样的方式随机

抽取7人，再从这7人中随机抽取2人，求这2人购买的学时数都不低于15的概率.

画将购买该课程达到25学时及以上者视为“非常爱好该课程者”，25学时以下者视，为

“非非常爱好该课程者”请依据已知条件完成以下2x2列联表，并推断是否有99.9%的把握

认为“非常爱好该课程者”与性别有关？

非非常爱好该课程者非常爱好该课程者合计

男性

女性

合计100

附：“2_______n(ad-be/_____,n=a+b+c+d

K=(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

P(K2>fco)0.1000.0500.0250.0100.001

2.7063.8415.0246.63510.828

【答案】（1）平均值为16.92-（2）2（3）见解析

7

【解析】

【分析】

（1）依据平均数的公式进行计算即可；（2）利用分层抽样的方法，利用列举法结合古典概型的

概率公式进行计算即可；（3）完成2X2列联表，计算代的值，利用独立性检验的性质进行推

断即可.

【详解】（1）由题意知，在100位购买该课程的客户中，男性客户购买该课程学时数的平均

值为

-1；

x=而（7.5X18+12.5X12+17.5X9+22.5X9+27.5X6+32.5X4+37.5X2）

亡16.92

所以估计男性客户购买该课程学时数的平均值为16.92-

（2）设“所抽取的2人购买的学时数都不低于15为事务A,

依题意依据分层抽样的方式分别在学时数为［5,10），/0,15），［15,20）的女性客户中抽取1人

设为a），2人设为4B）

4人，设为J,c2,c3,c4）,从7人中随机抽取2人所包含的基木事务为：

aA,aB,ac\,ac2,ac3,ac4,AB,Ac\,Ac2,4c3,4c4,BcltBc2,Bc3,Bc4,ctc2,C1C3,

QC4,C2c3,C2c4,C3C4,共21种，

其中事务力所包含的基本领件为：C1C2，C1C3,C1C4,C2c3,C2c4,C3C4,共6个,

则事务A发生的概率0

r-21-7

(3)依题意得2X2列联表如下

非非常爱好该课程者非常爱好该课程者合计

男性481260

女性162440

合计6436100

贝IJ2n(ad-bc)2100(48X24-16X12)2.

K=(a+b)(c+d)(a+c)(h+d)=-64X36x60x40~~16.667>10,828

故有99.9%6的把握认为“非常爱好该课程者”与性别有关.

【点睛】本题主要考查古典概型的概率计算，以及独立性检验的应用，利用列举法是解决本

题的关键考查学生的计算实力.对于古典概型，要求事务总数是可数的，满意条件的事务个

数可数，使得满意条件的事务个数除以总的事务个数即可.

19.如图，在三棱锥人-BCD中，△4BC是等边三角形，/.BAD=/.BCD=90°>点尸是〃

的中点，连接第，DP

(1)证明：平面4CDJ.平面^

(2)若BD=亚，/，求三棱锥4-BCD的体积•

\'、COSZ,.RBDPnD=-y

【答案】(1)见证明；(2)巡

3

【解析】

【分析】

(1)证明PO14C，PB14C，得出4cl平面2劭，从而证明平面4CDJ.平面被P；(2)利用直

角三角形以及余弦定理求出48的值,计算△BPD的面积和的值,即可求得三棱锥4-BCD

的体积.

【详解】（1）证明：如图所示,

因为△4BC是等边三角形，NB4D=NBCD=90°，

所以Rt△ABCgRt△BCD，可得4D=CD，

又因为点尸是的中点，则PC14C，PB1AC>

又PDcPB=P，PDc平面PBD,PBc平面PBD,

所以平面4CD1平面BDP；

（2）设4B=a，在中，BD=@，则）D=而讲_江=m-（^；

在等边中，BP=9=。

在等腰△中’DP=^AD2-AP2=^6-a2-（1a）2=^6-|a2；

在△/，，/）中，由“PO=T，得siMBPO*

由余弦定理得BO?=BP2+DP2-2-BP-cos^BPD，

即6=12+6ta2.2x¥axJ^x（_,解得a=2；

所以△BPD的面积为S=^.BPDP-sinzBPD=y

所以三棱锥人BCD的体积为昨.$△BPD=；x24=彖

【点睛】本题考查了平面与平面垂直的判定问题，也考查了空间想象实力和逻辑思维实力，

以及三棱锥体积的计算问题，是中档题.在证明面面垂直时，其常用方法是在其中一个平面

内找两条相交直线和另一平面内的某一条直线垂直.

20.已知椭圆c：£+^_］（a>b>0）的一个焦点为点Pp述）在‘上，

（1）求椭圆C的方程；

（2）若直线：y=x+m与椭圆C相交于4，B两点，问y轴上是否存在点M，使得是以

M为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，求点M的坐标；若不存在，说明理由.

【答案】(1)»/(2)见解析

4+T=1

【解析】

【分析】

(1)先求出C的值，再依据,+：=1，又a2=/+c2=b2+l，即可得到椭圆的方程;(2)假

设y轴上存在点M(0,t),△4BM是以〃为直角顶点的等腰直角三角形，设做小"),B(x2,yi),

线段46的中点为N(%o,yo)，依据韦达定理求出点"的坐标，再依据4MIBM，MN1b即

可求出0的值，可得点〃的坐标

【详解】(1)由题意可得c=1，点7V22m、在C上,

48

・.・痴+而=1'

又=b2+c2=b2+1'

解得a?=4，b2=3>

二椭圆。的方程为W产

4+T=1

(2)假设y轴上存在点M(O,t)，△4BM是以〃为直角顶点的等腰直角三角形，

设力8(%2沙2)，线段"的中点为N(xo,yo)，

由1上或一1，消去了可得7%2+8皿:+4病-12=0，

y=x-^-m

△=64m2-28(4m2-12)=16(21-3m2)>0，解得m2<7，

8m,4m2-12,

%]+%2=-~y~X1X2=­y—

Xi4-x24m,,3m,

%0=-^~=--7-yo=%o+m=^

4m3m,

^(-v*v)

依题意有AMIBM，MNLb

由MN12，可得t-9，可得四

^rxl=-1

由4M18M可得以t%-t,

----------------=—1

XlX2

・.・yi=+m,%=%2+m,

代入上式化简可得2%*2+2(m-t)(xi+%2)+(m-1)2=0,

则2(4*-12)8m28m?，

7—C~7~)+(7)=()

解得771=±书,

当m=时，点小、满意题意，当巾=_$时，点,“八色满意题意

丫M(0,-y)VM(O,y)

【点睛】本题主要考查直线与圆锥曲线位置关系，所运用方法为韦达定理法：因直线的方程

是一次的，圆锥曲线的方程是二次的，故直线与圆锥曲线的问题常转化为方程组关系问题，

最终转化为一元二次方程问题，故用韦达定理及判别式是解决圆锥曲线问题的重点方法之

一，尤其是弦中点问题，弦长问题，可用韦达定理干脆解决，但应留意不要忽视判别式的作

用.

21.已知函数=e*T+a,g(x)=Inx，其中a>-2-

(1)探讨函数y=/(x)与y=g(x)的图象的交点个数；

(2)若函数y=/(久)与y=g(x)的图象无父点，设直线y=t与的数y=/(X)和y=g(x)的图象

分别交于点RQ.证明：|PQ|>a+l.

【答案】(1)见解析(2)见证明

【解析】

【分析】

(1)原问题等价于求解方程e'T+a=In久根的个数，据此构造函数，分类探讨即可确定交点

的个数；(2)由(1)可知，当函数y=/(x)与y=g(x)的图象无交点时，a>-l，据此构造函

数证明题中的不等式即可.

【详解】(1)函数y=/■(>)与y=g(x)的图象交点个数即方程+a=In其根的个数，

设F(x)=e*T+a-Inx，x>0-

则尸'(x)=e，T」在(°，+8)上单调递增'且=().

当xe(0,1)时，F,(x)<F(l)=0，则尸(x)在(0,1)上单调递减;

当x6(1,+8)时，F(x)>9(1)=0,，则尸(功在(1,+8)上单调递增.

所以，当刀=1时，F(x)m；n=F(l)=l+a.

当a+l>0，即a>-l时，函数P(x)无零点，即函数y=f(x)与y=g(x)的图象无交点；

当a=—i时，函数尸(幻有一个零点，即函数y=f(x)与y=g(x)的图象有一个交点；

当一2<a<—1时，F(e。)=e，一1>0.又F(l)=1+a<()•

F(3)=e2+a-ln3>e2-2-ln3>e2-4>0,所以F(x)=ex-1+a-lnx在(e。1)和(1,3)上分别

有一个零点.

所以，当一2<a<-l时，F(x)有两个零点，即函数y=/(X)与y=g(x)的图象有两个交点.

综上所述：当a>_l时，函数7=/。)与7=9。)的图象的交点个数为0;

当a=-1时，函数y=f(x)与y=g(x)的图象的交点个数为1；

当—2<a<—1时，函数y=f(x)与y=g(x)的图象的父点个数为2.

(2)由⑴可知,当函数y=f(x)与y=g(x)的图象无交点时,a>-1.

设Q(n,t)>由得m=1+/n(t-a)，由ln=t得n=eJ

|PQ|=\n-m\—|ef—ln(t—a)-1|-

设/i(t)=ef—ln(t—a)—1>

先证明不等式et21+t，再证明t-/n(t-a)Na+1，te(a,+oo).

设p(t)=e'-l—t.则p'(t)=e£-1-

当te(0,+8)时，p<t)=》一1>0,p(t)=?-l-t(0,+8)上单调递增，

当te(-8,0)时，p<t)=eJ<0,p(t)=et-l-t在(-8,0)上单调递减，

所以p(t)2P(0)=0，即eNl+卜

设q(t)=t-ln(t_a)_a_l.则，⑴=X=Ezfzl.

vI人t-at-a

当16(。,。+1)时，q，(t)<0，q(t)单调递减:

当te(a+1,+8)时,q，(t)>o,q(t)单调递增.

所以q(t)>q(a+1)=0>即t—ln(t—a)>a+1-

所以h(t)=e1—ln(t—a)—1>1+t—ln(t—a)-1=t—ln(t-a)>a+1-

因为t=a+1时,t—ln(t—a)2a+1中等号成立‘t=0时,e’NZ+t中等号成立,

而£=。+1>0,所以等号不能同时成立・

所以h(t)=ec—ln(t—a)—1>a+1-

所以|PQ|>a+L

【点睛】本题主要考查导数探讨函数零点的个数，导数证明不等式的方法，分类探讨的数学

思想等学问，属于中等题.利用导数证明不等式常见类型及解题策略(1)构造差函数

h(x)=f(x)_g(x).依据差函数导函数符号，确定差函数单调性，利用单调性得不等量关系，

进而证明不等式.(2)依据条件，找寻目标函数.一般思路为利用条件将求和问题转化为对

应项之间大小关系，或利用放缩、等量代换将多元函数转化为一元函数.

(二)选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。假如多做，则按所做的

第一题计分。

22.在直角坐标系xOy中，曲线Q的参数方程为产=cost(为参数).以坐标原点为极点，》轴

[y=sin2t

的正半轴为极轴建立极坐标系，直如的极坐标方程为