江苏省扬州市2024年中考二模数学试题（含解析）

江苏省扬州市2024年中考二模数学试题

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再

选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）

1.下列选项中，可以用来证明命题“若层则是假命题的反例是（）

A.a=-2,b=lB.a=3,b=-2C.a=0,b=lD.a=2,b=l

2.某校举行“汉字听写比赛”，5个班级代表队的正确答题数如图.这5个正确答题数所组成的一组数据的中位数和众

3.如图，平面直角坐标系xOy中，四边形（M3C的边。4在x轴正半轴上，轴，ZOAB=90°,点C（3,2）,

连接OC.以OC为对称轴将。4翻折到反比例函数的图象恰好经过点4、B,则上的值是（）

13169

A.9B.C.D.3百

T

4.计算土年的值为（）

A.±3B.±9C.3D.9

5.某中学篮球队12名队员的年龄如下表：

年龄：（岁）13141516

人数1542

关于这12名队员的年龄，下列说法错误的是（）

A.众数是14岁B.极差是3岁C.中位数是14.5岁D.平均数是14.8岁

6.某商店有两个进价不同的计算器都卖了80元，其中一个赢利60%,另一个亏本20%,在这次买卖中，这家商店（）

A.赚了10元B.赔了10元C.赚了50元D.不赔不赚

7.函数y=H万的自变量x的取值范围是（）

A.x>lB.x<lC.%<1D.x>l

8.如图，直线A5c。被直线所所截，4=55，下列条件中能判定AB//CD的是（）

A.Z2=35°B.Z2=45°C.Z2=55D.Z2=125

9.如图，AB//CD,DE±BE,BF.O尸分另ij为NABE、NCDE的角平分线，则()

10.下列计算正确的有（）个

①（-2a2）3=-6a。②（x-2）（x+3）=x2-6③（x-2）2—x2-4④-2m3+m3=-m3⑤-I6—-1.

A.0B.1C.2D.3

二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）

11.如图，一束光线从点4（3,3）出发，经过y轴上点C反射后经过点5（1,0）,则光线从点A到点5经过的路径长为

3

12.在Rt4ABC中,NC=90。，若A3=4,sinA=二，则斜边AB龙上的高CD的长为.

13.如图，已知点A（a,b）,0是原点，OA=OAi,OA±OAi,则点Ai的坐标是

14.一元二次方程x（x-2）=x-2的根是.

15.如图，在4ABC中，ZC=90°,D是AC上一点，DE_LAB于点E,若AC=8,BC=6,DE=3,则AD的长为

16.阅读理解：引入新数i,新数i满足分配律，结合律，交换律.已知『=-1,那么（l+z）（l-，）=

三、解答题（共8题，共72分）

17.（8分）为了计算湖中小岛上凉亭P到岸边公路1的距离，某数学兴趣小组在公路1上的点A处，测得凉亭P在北

偏东60。的方向上；从A处向正东方向行走200米，到达公路1上的点B处，再次测得凉亭P在北偏东45。的方向上,

如图所示.求凉亭P到公路1的距离.（结果保留整数，参考数据：72=1.414,73=1.732）

18.（8分）如图，AB是。。的直径，D为。O上一点，过弧BD上一点T作。O的切线TC,且TCLAD于点C.

（1）若NDAB=50。，求NATC的度数;

二，求AD的长.

19.（8分）如图，小巷左石两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离5c为0.7米，梯子

顶端到地面的距离AC为2.4米，如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，梯子顶端到地面的距离A7）为

1.5米，求小巷有多宽.

20.（8分）图1是一商场的推拉门，已知门的宽度AD=2米,且两扇门的大小相同（即A5=CD）,将左边的门ABB^

绕门轴AA向里面旋转37。，将右边的门。2G绕门轴。。向外面旋转45。，其示意图如图2,求此时3与C之间的

距离（结果保留一位小数）.（参考数据：sin37°«0.6,cos37°«0.8,必1.4）

图1图2

21.（8分）规定：不相交的两个函数图象在竖直方向上的最短距离为这两个函数的“亲近距离”

（1）求抛物线-2x+3与x轴的“亲近距离”；

（2）在探究问题：求抛物线y=--2x+3与直线y=x-l的“亲近距离”的过程中，有人提出：过抛物线的顶点向x轴

作垂线与直线相交，则该问题的“亲近距离”一定是抛物线顶点与交点之间的距离，你同意他的看法吗？请说明理由.

1,2

（3）若抛物线y=，-2x+3与抛物线》=—x'+c的“亲近距离”为一，求c的值.

43

22.（10分）（1）计算：|-3|+（逐+兀）（-y）2-2COS60°；

（2）先化简，再求值：（工——二）+与与，其中a=-2+夜.

a—1。+1a—1

23.（12分）（5分）计算：三一；一;二-;-卜。一-JsmtfO*.

24.城市小区生活垃圾分为：餐厨垃圾、有害垃圾、可回收垃圾、其他垃圾四种不同的类型.

（1）甲投放了一袋垃圾，恰好是餐厨垃圾的概率是；

（2）甲、乙分别投放了一袋垃圾，求恰好是同一类型垃圾的概率.

参考答案

一、选择题(共10小题，每小题3分，共30分)

1、A

【解析】

根据要证明一个结论不成立，可以通过举反例的方法来证明一个命题是假命题.由此即可解答.

【详解】

•.,当”=-2,5=1时，(-2)2>12,但是-2V1,

•­a=-2,b=l是假命题的反例.

故选A.

【点睛】

本题考查了命题与定理，要说明数学命题的错误，只需举出一个反例即可，这是数学中常用的一种方法.

2、D

【解析】

将五个答题数，从小打到排列，5个数中间的就是中位数，出现次数最多的是众数.

【详解】

将这五个答题数排序为：10,13,15,15,20,由此可得中位数是15,众数是15,故选D.

【点睛】

本题考查中位数和众数的概念，熟记概念即可快速解答.

3、C

【解析】

设B(1,2),由翻折知OC垂直平分AA，，A，G=2EF,AG=2AF,由勾股定理得OC=而，根据相似三角形或

锐角三角函数可求得A，(三，三)，根据反比例函数性质k=xy建立方程求k.

2613

【详解】

如图，过点C作CD，x轴于D,过点A，作ACx轴于G,连接AA，交射线OC于E,过E作EF，x轴于F,

设B(-,2),

2

在RtAOCD中，OD=3,CD=2,ZODC=90°,

・•・oc=y/oD12+CD2=A/32+22=A/13，

由翻折得，AAr±OC,ArE=AE,

.•.sinZCOD=^=-^|

9k

：.AE=83=匕=叵

k9

OC13

VZOAE+ZAOE=90°,ZOCD+ZAOE=90°,

AZOAE=ZOCD,

EFOD

Z.sinZOAE==sinZOCD,

AEOC

ODAE37133

・・EF=-----------=-?=x--k7=-k7,

OC7131313

VcosZOAE===cosZOCD,

AEOC

:.AF="AE=3乂叵k二k

OC7131313

•・・EF_Lx轴，A，G_Lx轴,

・・・EF〃A'G,

.EFAFAE1

AG-A？-2*

64

AA!G=2EF=—k,AG=2AF=—k

1313

145

・•・OG=OA-AG=-k——k=——k

21326

上k,9k),

2613

：.-k--k=k,

2613

Vk^O,

7169

k-----

15

故选c.

【点睛】

本题是反比例函数综合题，常作为考试题中选择题压轴题，考查了反比例函数点的坐标特征、相似三角形、翻折等,

解题关键是通过设点B的坐标，表示出点A，的坐标.

4、B

【解析】

•/(±9)2=81,

.,.+781=±9.

故选B.

5、D

【解析】

分别利用极差以及中位数和众数以及平均数的求法分别分析得出答案.

解：由图表可得：14岁的有5人，故众数是14,故选项A正确，不合题意；

极差是：16-13=3,故选项B正确，不合题意；

中位数是：14.5,故选项C正确，不合题意；

平均数是：(13+14x5+15x4+16x2)-12=14.5,故选项D错误，符合题意.

故选D.

“点睛”此题主要考查了极差以及中位数和众数以及平均数的求法，正确把握相关定义是解题关键.

6、A

【解析】

试题分析：第一个的进价为：80+(1+60%)=50元，第二个的进价为：80+(1—20%)=100元，则80x2—(50+100)=10元,

即盈利10元.

考点：一元一次方程的应用

7、D

【解析】

根据二次根式的意义，被开方数是非负数.

【详解】

根据题意得

解得x>l.

故选D

【点睛】

本题考查了函数自变量的取值范围的确定和分式的意义.函数自变量的范围一般从三个方面考虑：

(1)当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；

(2)当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；

(3)当函数表达式是二次根式时，被开方数非负数.

8、C

【解析】

试题解析：A、由/3=N2=35。，Nl=55。推知N母N3,故不能判定AB〃CD,故本选项错误;

B、由N3=N2=45。，/1=55。推知N1RN3,故不能判定AB〃CD,故本选项错误；

C、由N3=N2=55。，Nl=55。推知N1=N3,故能判定AB〃CD,故本选项正确；

D、由N3=N2=125。，Nl=55。推知N及N3,故不能判定AB〃CD,故本选项错误；

故选C.

9^D

【解析】

如图所示，过E作EG〃A5.".'AB//CD,J.EG//CD,

：.ZABE+ZBEG=180°,NCDE+NDEG=180。,

：.ZABE+ZBED+ZCDE=360°.

又•：DELBE,BF,。尸分别为NA3E,NCDE的角平分线，

：.ZFBE+ZFDE=-(NABE+NCDE)=-(360°-90°)=135°,

22

:.ZBFD=3600-ZFBE-ZFDE-/5ED=360。-135°-90°=135°.

故选D.

【点睛】

本题主要考查了平行线的性质以及角平分线的定义的运用，解题时注意：两直线平行，同旁内角互补.解决问题的关

键是作平行线.

10、C

【解析】

根据积的乘方法则，多项式乘多项式的计算法则，完全平方公式，合并同类项的计算法则，乘方的定义计算即可求解.

【详解】

①(-2a2)3=-8a6,错误；

②(x-2)(x+3)=x2+x-6,错误;

(3)(x-2)2=x2-4x+4,错误

@-2m3+m3=-m3,正确；

⑤-a=-1,正确.

计算正确的有2个.

故选C.

【点睛】

考查了积的乘方，多项式乘多项式，完全平方公式，合并同类项，乘方，关键是熟练掌握计算法则正确进行计算.

二、填空题(本大题共6个小题，每小题3分，共18分)

11、2

【解析】

延长AC交x轴于B，.根据光的反射原理，点B、B，关于y轴对称，CB=CB\路径长就是AB，的长度.结合A点坐

标，运用勾股定理求解.

【详解】

延长AC交x轴于B，.则点B、B，关于y轴对称，CB=CB\作AD，x轴于D点.则AD=3,DB，=3+1=1.

由勾股定理AB=2

AAC+CB=AC+CB^AB=2.即光线从点A到点B经过的路径长为2.

考点：解直角三角形的应用

点评：本题考查了直角三角形的有关知识，同时渗透光学中反射原理，构造直角三角形是解决本题关键

,48

12、—

25

【解析】

BC3

如图，•・•在RtAABC中，ZC=90o,AB=4,sinA=——=-,

AB5

,AC卡—曰=：，

；CD是AB边上的高，

..16348

・・CD=AC*sinA=­x———.

5525

48

故答案为：

13、(-b,a)

【解析】

解：如图，从A、Ai向x轴作垂线，设Ai的坐标为(x,y),

设NAOX=a,ZAiOD=p,Ai坐标(x,y)贝！|a+0=”9()Osina=cosP”cosa="sin0"sina=；i^=cos0=7^

同理COS。=忘7=6加0=忐

所以x=-b,y=a,

【点评】重点理解三角函数的定义和求解方法，主要应用公式sina=cos0,cosa=sinp.

14、1或1

【解析】

移项后分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可得答案.

【详解】

X(X-1)=x-1,

x(x-1)-(x-1)=0,

(x-1)(x-1)=0,

x-1=0,x-1=0,

Xl=l,Xl=l,

故答案为：1或1.

【点睛】

本题考查了解一元二次方程的应用，能把一元二次方程转化成一元一次方程是解此题的关键.

15、1

【解析】

如图，由勾股定理可以先求出AB的值，再证明△AEDs^ACB,根据相似三角形的性质就可以求出结论.

【详解】

在RtZkABC中，由勾股定理.得

AB=764+36=10,

VDE±AB,

/.ZAED=ZC=90°.

•/NA=NA,

/.△AED^AACB,

.DE_AD

*'5C-AB*

.3_AD

••——------9

610

，AD=1.

故答案为1

【点睛】

本题考查了勾股定理的运用，相似三角形的判定及性质的运用，解答时求出AAEDs^ACB是解答本题的关键.

16、2

【解析】

根据定义即可求出答案.

【详解】

由题意可知:原式=1芋=1-(-1)=2

故答案为2

【点睛】

本题考查新定义型运算，解题的关键是正确理解新定义.

三、解答题(共8题，共72分)

17、凉亭P到公路1的距离为273.2m.

【解析】

分析：作PDLAB于D,构造出RtAAPD与RtABPD,根据AB的长度.利用特殊角的三角函数值求解.

【详解】

详解：作PD_LAB于D.

设BD=x,则AD=x+L

VZEAP=60°,

/.ZPAB=90°-60°=30°.

在RtABPD中，

；NFBP=45。，

ZPBD=ZBPD=45°,

/.PD=DB=x.

在RtAAPD中,

VZPAB=30°,

.*.PD=tan30°«AD,

BPDB=PD=tan30°«AD=x=—(1+x),

3

解得：x~273.2,

.\PD=273.2.

答：凉亭P到公路1的距离为273.2m.

【点睛】

此题考查的是直角三角形的性质，解答此题的关键是构造出两个特殊角度的直角三角形，再利用特殊角的三角函数值

解答.

18、(2)65°s(2)2.

【解析】

试题分析：(2)连接OT,根据角平分线的性质，以及直角三角形的两个锐角互余，证得CT_LOT,CT为。O的切线;

(2)证明四边形OTCE为矩形，求得OE的长，在直角ZkOAE中，利用勾股定理即可求解.

试题解析：(2)^gOT,VOA=OT,/.ZOAT=ZOTA,XVATZBAD,AZDAT=ZOAT,ZDAT=ZOTA,

，OT〃AC,XVCT1AC,/.CT±OT,，CT为。O的切线；

(2)过O作OE_LAD于E,则E为AD中点，又：CT_LAC,：.OE//CT,，四边形OTCE为矩形，VCT=.,

/.OE=J,又；OA=2,.•.在RtAOAE中，AE=J®妒一噬端/.AD=2AE=2.

考点：2.切线的判定与性质；2.勾股定理；3.圆周角定理.

19、2.7米.

【解析】

先根据勾股定理求出AB的长，同理可得出BD的长，进而可得出结论.

【详解】

在RtAACB中,VZACB=90°,BC=0.7米,AC=2.2米,

.,.AB2=0.72+2.22=6.1.

在RtZkA'BD中，VZArDB=90°,A，D=L5米，BD2+AD2=AB,2,

.,.BD2+1.52=6.1,

/.BD2=2.

VBD>0,

；.BD=2米.

ACD=BC+BD=0.7+2=2.7米.

答:小巷的宽度CD为2.7米.

【点睛】

本题考查的是勾股定理的应用，在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，

关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图.领会数形结合的思想的应用.

20、1.4米.

【解析】

过点B作BEJ_AD于点E,过点C作CF_LAD于点F,延长FC到点M,使得BE=CM,贝！|EM=BC,在RtAABE、

RtACDF中可求出AE、BE、DF、FC的长度，进而可得出EF的长度，再在RtAMEF中利用勾股定理即可求出EM

的长，此题得解.

【详解】

过点B作BELAD于点E,过点C作CFLAD于点F,延长FC到点M,使得BE=CM,如图所示，

VAB=CD,AB+CD=AD=2,

/.AB=CD=1,

在RtAABE中，AB=1,ZA=37°,

BE=AB・sinNAa0.6,AE=AB«cosZA=0.8,

在RtACDF中，CD=1,ND=45°,

:.CF=CD«sinZD»0.7,DF=CD«cosZD-0.7,

VBE±AD,CF1AD,

/.BE/7CM,

又；BE=CM,

二四边形BEMC为平行四边形，

；.BC=EM,CM=BE.

在RtAMEF中，EF=AD-AE-DF=0.5,FM=CF+CM=1.3,

•*.EM=7EF2+FM2M.4，

...B与C之间的距离约为1.4米.

【点睛】

本题考查了解直角三角形的应用、勾股定理以及平行四边形的判定与性质，正确添加辅助线，构造直角三角形，利用

勾股定理求出BC的长度是解题的关键.

21、(1)2；(2)不同意他的看法，理由详见解析；(3)c=L

【解析】

⑴把尸x2-2x+3配成顶点式得到抛物线上的点到x轴的最短距离，然后根据题意解决问题；

(2)如图，尸点为抛物线产炉-2》+3任意一点，作P?〃y轴交直线产L1于Q,设P(f,户-2什3),则Q(f,f-1),则

PQ=P-2什3-(t-1),然后利用二次函数的性质得到抛物线j=x2-2x+3与直线j=x-1的“亲近距离”，然后对他的看

法进行判断

11

⑶M点为抛物线尸工2-2/3任意一点，作MN〃7轴交抛物线丁=一炉9+。于N,设产-2什3),则N«,-t2+c),

44

51

与⑵方法一样得到MN的最小值为-—c,从而得到抛物线尸以2/3与抛物线丁=——9+。的“亲近距离*所以

3-4

52

--c=-,然后解方程即可.

33

【详解】

(l)*.*j=x2-2x+3=(x-1)2+2,

...抛物线上的点到x轴的最短距离为2,

二抛物线J=x2-2x+3与x轴的“亲近距离”为：2；

⑵不同意他的看法.理由如下：

如图，尸点为抛物线y=/-2x+3任意一点，作PQ〃了轴交直线y=x-1于Q,

设P(f,Z2-2t+3),则/-1),

37

-2f+3-(t-1)=户-3t+4=(t-—)2+~,

37

当上万时，尸。有最小值，最小值为I，

7

二抛物线J=x2-2x+3与直线y=x-l的“亲近距离”为一，

4

而过抛物线的顶点向x轴作垂线与直线相交，抛物线顶点与交点之间的距离为2,

不同意他的看法；

(3)M点为抛物线j=x2-2x+3任意一点，作MN//y轴交抛物线y=:/。于乂

设M(f,好-2什3),则N(f，

4

,1,3,34,5

:.MN=#-2什3-(―F+c)=—户-2f+3-c=-(t--)2+--c,

44433

45

当Z=一时，MN有最小值，最小值为——c,