初中数学++直线与圆的位置关系（第2课时）+九年级数学上册（青岛版）

3.4直线与圆的位置关系第2课时青岛版九年级上册第3章——对圆的进一步认识学习目标：1.判定一条直线是否是圆的切线并会过圆上一点作圆的切线.2.理解并掌握圆的切线的判定定理及性质定理.3.能运用圆的切线的判定定理和性质定理解决问题.重点：理解并掌握圆的切线的判定定理及性质定理.难点：利能运用圆的切线的判定定理和性质定理解决问题.转动雨伞时飞出的雨滴，用砂轮磨刀时擦出的火花，都是沿着什么方向飞出的？生活中常看到切线的实例，如何判断一条直线是否为切线呢？学完这节课，你就都会明白.一、课堂导入切线切点回顾直线与圆相切：.O直线与圆相切.判断直线和圆相切有哪两种办法？1.

和圆有且只有一个公共点的直线是圆的切线.定义法：2.圆心到直线的距离等于半径的直线是圆的切线.数量法（d=r

）：直线与圆的位置关系定义判定方法相离相交相切形数公共点的个数圆心到直线的距离与半径的关系常添加的辅助线：作圆心到直线的距离0个相离1个相切2个相交d＞r相离d＝r相切d＜r相交直线何时变为切线

如图,AB是⊙O的直径,直线CD经过点A,CD与AB的夹角为∠α,当CD绕点A旋转时,你能写出一个命题来表述这个事实吗?1.随着∠α的变化,点O到CD的距离如何变化?直线CD与⊙O的位置关系如何变化?2.当∠α等于多少度时,点O到CD的距离等于半径?此时,直线CD与⊙O有怎样的位置关系?

为什么?CD二、探究新知1.直线AB经过半径OA的外端点A.2.直线AB垂直于半径OA.切线的判定定理经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.ABCＯ应用格式：∵OA⊥AB∴直线AB是⊙O的切线.OA是半径，于A注意：∵OA为⊙O的半径OA⊥l于A∴l为⊙O的切线◆经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.切线的判定定理OlA◆使用格式：P97？你能证明这一定理吗？1.判断下列命题是否正确.

⑴经过半径外端的直线是圆的切线.()⑵垂直于半径的直线是圆的切线.()

⑶过半径的端点与半径垂直的直线是圆的切线.()⑷和圆只有一个公共点的直线是圆的切线.()⑸过直径一端点且垂直于直径的直线是圆的切线.()×××利用判定定理时，要注意直线须具备以下两个条件，缺一不可:(1)直线经过半径的外端;(2)直线与这半径垂直.√√已知一个圆和圆上的一点，如何过这个点画出圆的切线？l.O.A第一步：连接OA;第二步：过A点作OA的垂线l.【判断】下列各直线是不是圆的切线?如果不是,请说明为什么?AO(3)OA(1)OAB(2)(1)不是,因为没有垂直.(2)(3)不是,因为没有经过半径的外端点A.1.定义法：直线和圆只有一个公共点时，我们说这条直线是圆的切线;2.数量关系法：圆心到这条直线的距离等于半径(即d=r)时，直线与圆相切；3.判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。lAlOlrd归纳：判断一条直线是一个圆的切线有三种方法：例1、如图，点D在⊙O的直径AB的延长线上，点C在⊙O上，AC=CD,∠D=300求证：CD是⊙O的切线OABCD对学讨论：分析题目，结合切线关键词，写下证明过程。口诀：有公共点，连半径，证垂直证明：连接OC.∵AC=CD，∠D=300∴∠CAB=∠D=300.∵OA=OC，∴∠OCA=∠CAB=300.∴∠COD=600.∴在△OCD中，∴∠OCD=1800-600-300=900.∴OC⊥CD.∵OC为⊙O半径，且OC⊥CD.

∴CD为⊙O的切线.OABCD例2：如图，以点D为圆心，DB长为半径作⊙D．∠ABC=90°，∠BAC的平分线交BC于点D，求证：AC是⊙D的切线．群学讨论：1、结合切线关键词，分析题目，并写下证明过程。2、合理分工，上台板书并展示口诀：无公共点，作垂直，证半径证明：过点D作DE⊥AC于E∵∠ABC=90°，∴DB⊥AB∵AD平分∠BAC,DB⊥AB，DE⊥AC，∴DB=DE∴DE为⊙D的半径，且DE⊥AC∴

AC是⊙D的切线E(1)有交点，连半径,证垂直;(2)无交点，作垂直,证半径.证切线时辅助线的添加方法例1例2有切线时常用辅助线添加方法

见切点，连半径，得垂直.常见辅助线的添加方法

改变切线判定定理的题设与结论：

如果直线l是⊙O的切线，切点为A,那么半径OA与直线l是不是一定垂直呢？切线的性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径.∵直线l切⊙O于点Ａ，∴OA⊥l几何符号表达：l.O.A反证法思考证明：（1）假设AB与CD不垂直,过点O作一条直线垂直于CD,垂足为M；（2）则OM<OA,即圆心到直线CD的距离小于⊙O的半径,因此,CD与⊙O相交.这与已知条件“直线与⊙O相切”相矛盾；CDBOA（3）所以⊙O的半径OA与直线CD垂直.M如图，直线CD与⊙O相切，求证：⊙O的半径OA与直线CD垂直.反证法证明切线的性质1.圆的切线和圆只有一个公共点.2.圆心到切线的距离等于半径.3.圆的切线垂直于过切点的半径.切线的性质归纳

如图，△ABC为等腰三角形，O是底边BC的中点，腰AB与⊙O相切于点D.求证：AC是⊙O的切线.

例3.OADBCE证明：连接OD,作OE⊥AC

于E.∴∠OEC=90°.∵AB是⊙O的切线,∴OD⊥AB.∴∠ODB=90°=∠OEC.∵AB=AC,∴∠B=∠C.∵O是BC的中点，∴OB=OC.∴△OBD≌△OCE(AAS),∴OD=OE.

∴AC与⊙O相切.证明：如图，过O作OE⊥AC,垂足为E,连接OD，OA,∵⊙O与AB相切于E

，∴OD⊥AB.又∵△ABC为等腰三角形，O是底边BC的中点．∴AO平分∠BAC，EBOCDA∴OE＝OD，

即OE是⊙O半径.∴AC是⊙O的切线．方法二：(1)有交点，连半径,证垂直;(2)无交点，作垂直,证半径.证切线时辅助线的添加方法有切线时常用辅助线添加方法见切点，连半径，得垂直.切线的其他重要结论(1)经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点;(2)经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心.要点归纳◆判定定理◆性质定理知切线，得垂直证垂直，得切线l为⊙O的切线找可能切点连半径证垂直找切点连半径得垂直1.如图，以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB是小圆的切线，点P为切点，求证：AP＝BP.

证明：连接OP.∵AB切⊙O于点P，∴OP⊥AB.∴AP=BP(垂径定理).三、课堂练习2.如图,∠ABC=45°，AB是☉O上的直径，直线AC交☉O点A,且AB=AC.求证：AC是☉O的切线.解析：直线AC经过半径的一端，因此只要证OA垂直于AB即可.证明：∵AB=AC，∠ABC＝45°，∴∠ACB＝∠ABC＝45°.∴∠BAC=180°-∠ABC-ACB=90°.∵AB是☉O的直径，∴AC是☉O的切线.AOCB3.如图，AB是⊙O的直径,∠B=∠CAD.求证：AC是⊙O的切线.证明：∵AB是⊙O的直径，∴∠BDA=90°.∴∠B+∠BAD=90°.又∵∠B=∠CAD.∴∠CAD+∠BAD=∠BAC=90°.∵AC过点A,∴AC是⊙O的切线.4.已知：直线AB经过⊙O上的点C，并且OA=OB，CA=CB.求证：直线AB是⊙O的切线.OBAC证明：连接OC.

∵OA＝OB,CA＝CB,

∴OC是等腰三角形OAB底边AB上的中线.∴AB⊥OC.

∵OC是⊙O的半径,∴AB是⊙O的切线.OABCEP证明：连接OP.∵AB=AC,∴∠B=∠C.∵OB=OP，∴∠B=∠OPB，∴∠OPB=∠C.∴OP∥AC.∵PE⊥AC，∴PE⊥OP.∴PE为⊙O的切线.5.如图,△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交边BC于P，PE⊥AC于E.求证:PE是⊙O的切线.6.如图,AB=AC,AB是⊙O的直径,⊙O交BC于D,DM⊥AC于M.求证:DM与⊙O相切OCDMBA∴DM与⊙O相切．证法一：连接OD.∵AB=AC,∵OB=OD,∴∠BDO=∠C,∵DM⊥AC,∴∠B=∠C.∴∠BDO=∠B.∴OD∥AC.∴DM⊥OD.证法二：连接OD,AD.∴DM是⊙O的切线.∵AB是⊙O的直径,∵AB=AC,∵OB=OA,∵DM⊥AC,∴AD⊥BC.∴BD=CD.∴OD∥AC.∴OD⊥DM.7.如图，AB是⊙O的直径,AC是弦,∠BAC的平分线AD交⊙O于点D，DE是⊙O的切线,交AC的延长线于点E.求证：DE⊥AC.

证明：连接OD.∵AD是∠BAC的平分线,∴∠EAD=∠DAO.又∵OA=OD.∴∠DAO=∠ODA.∴∠ODA=∠EAD.∴OD∥AC.又∵DE是⊙O的切线,∴∠ODE=90°.∴∠E=90°.即DE⊥AC.切线的判定方法定义法数量关系法判定定理1个公共点，则相切d=r，则相切经过圆的半