考研数学三（多维随机变量及其分布）模拟试卷1（共113题）

考研数学三（多维随机变量及其分布）模拟试卷1（共4套）（共113题）考研数学三（多维随机变量及其分布）模拟试卷第1套一、选择题(本题共8题，每题1.0分，共8分。)1、设随机变量X与Y都服从正态分布，则()A、X与Y一定独立．B、(X，Y)服从二维正态分布．C、X与Y未必独立．D、X+Y服从一维正态分布．标准答案：C知识点解析：事实上，X与Y都服从正态分布，二者在已知条件下得不到它们之间的必然联系．(X，Y)服从二维正态分布的充分必要条件是aX+by服从一维正态分布，其中a，6不同时为0．即使(X，Y)服从二维正态分布，X与Y也未必服从正态分布，见(26)题，因此选项(B)和(D)都不正确．2、边缘分布均为正态分布的二维随机变量其联合分布()A、必为二维正态分布．B、必为均匀分布．C、不一定为二维正态分布．D、由两个边缘分布确定．标准答案：C知识点解析：边缘分布可由联合概率分布确定，但联合概率分布需要在诸如独立等条件下才能由边缘分布确定，因此(D)不正确．例如，如果(X，Y)的概率密度为－∞＜x，y＜+∞．其不服从二维正态分布，但X和Y都服从标准正态分布．3、设随机变量X，Y，Z相互独立，且X服从N(1，2)，Y服从N(2，2)，Z服从N(3，7)，a=P{X＜Y}，b=P{Y＜Z}，则()A、a＞b．B、a＜b．C、a=b．D、a，b大小不能确定．标准答案：A知识点解析：由于X服从N(1，2)，Y服从N(2，2)，且X与Y相互独立，从而X—Y服从N(－1，4)，同理Y－Z服从N(－1，9)．从而a>b．4、设相互独立的随机变量X1和X2的分布函数分别为F1(x)和F2(x)，概率密度分别为f1(x)和f2(x)，则随机变量y=min(X1，X2)的概率密度f(x)=()A、f1(x)f2(x)．B、f1(x)F1(x)+f2(x)F2(x)．C、f1(x)[1－F2(x)]+f2(x)[1－F1(x)]．D、f1(x)F2(x)+f2(x)F1(x)．标准答案：C知识点解析：Y=min(X1，X2)的分布函数为FY(x)=1－[1－F1(x)][1－F2(x)]，所以fY(x)=FY′(x)=f1(x)[1－F2(x)]+f2(x)[1－F1(x)]，因此选(C)．5、设(X，Y)服从二维正态分布，且X与Y不相关，fX(x)，fY(y)分别表示X，Y的概率密度，则在Y=y的条件下，X的条件概率密度fX(x|y)为()A、fX(x)．B、fY(y)．C、fX(x)fY(y)．D、标准答案：A知识点解析：由于X与Y不相关，从而X与Y独立，所以fX|Y(x|y)=fX(x)．6、设随机变量X和Y相互独立，且都服从指数分布E(λ)，则下列结论正确的是()A、X+Y服从E(2λ)．B、X-Y服从E(2λ)．C、min(X，Y)服从E(2λ)．D、max(X，Y)服从E(2λ)．标准答案：C知识点解析：由于X和Y相互独立，且都服从E(λ)，其分布函数为的分布函数Fmin(x)=1-[1－F(x)]2=1－e-2λx，x＞0．即rain(X，Y)服从E(2λ)．7、设随机变量X与Y相互独立，且X在区间(0，1)上服从均匀分布，Y的概率分布为记的分布函数，则函数FZ(z)的间断点的个数为()A、0个．B、1个．C、2个．D、3个．标准答案：B知识点解析：因为X在区间(0，1)上服从均匀分布，所以X的分布函数于是当z＜0时，FZ(z)=0；当0≤z＜1时，当1≤z＜2时，当z≥2时，显然，z=0是FZ(z)的间断点，因此选(B)．8、设X，Y为连续型随机变量，且则P{min(X，Y)≤0}=()A、

B、

C、

D、

标准答案：D知识点解析：事件{max(X，Y)≥0}的对立事件为{X＜0，Y＜0}，由得又{XY≤0}{min(X，Y)≤0}，且{X＜0，Y＜0}={min(X，Y)≤0}－{Xy≤0}，故二、填空题(本题共2题，每题1.0分，共2分。)9、设随机变量(X，Y)的联合分布函数为则关于X的边缘分布函数为FX(x)=______________．标准答案：知识点解析：10、设(X，Y)的概率密度为－∞＜x，y＜+∞，则Z=X—Y的概率密度fZ(z)=_______________．标准答案：知识点解析：由已知条件X和Y相互独立，且都服从正态分布N(0，1)，从而Z=X－Y服从N(0，2)，即三、解答题(本题共17题，每题1.0分，共17分。)设X在区间(0，1)上服从均匀分布，在X=x(0＜x＜1)条件下Y在(0，x)上服从均匀分布，求11、X与Y的联合概率密度f(x，y)及P(X+Y＞1)；标准答案：由于X在(0，1)上服从均匀分布，所以X的概率密度又Y在X=x的条件下在(0，x)上服从均匀分布，故条件概率密度知识点解析：暂无解析12、Y的概率密度fY(y)．标准答案：知识点解析：暂无解析设随机变量(X，Y)的概率密度为求13、系数k；标准答案：由有得k=1．知识点解析：暂无解析14、边缘概率密度；标准答案：当x＞0时，当x≤0时，fX(x)=0．即当y＞0时，有令u=x(1+y)，有当y≤0时fY(y)=0．即知识点解析：暂无解析15、X和Y是否独立．标准答案：当x＞0，y＞0时，f(x，y)≠fX(x)·fY(y)，所以X与Y不相互独立．知识点解析：暂无解析一电子仪器由两部分构成，以X和Y分别表示两部分部件的寿命(单位：千小时)，已知X和Y的联合分布函数为16、问X和Y是否独立；标准答案：关于X和Y的边缘分布函数为因为F(x，y)=FX(x)FY(y)，所以X和Y是相互独立的．知识点解析：暂无解析17、求两部件的寿命都超过100小时的概率α.标准答案：α=P{X＞0．1，Y＞0．1}=P{X＞0．1}P{Y＞0．1}=[1－P{X≤0．1}][1－P{Y≤0．1}]=e－0.1．知识点解析：暂无解析18、设(X，Y)的概率密度为－∞＜x，y＜+∞，求fX(x)．标准答案：注意到所以知识点解析：暂无解析19、已知随机变量X和Y相互独立，且都服从正态分布N(0，σ2)，求常数R，使得概率标准答案：X的概率密度为Y的概率密度为由于X和Y相互独立，从而联合概率密度为解得知识点解析：暂无解析设随机变量U在区间[－2，2]上服从均匀分布，令求20、(X，Y)的联合概率分布；标准答案：(X，Y)可能取的值为(－1，－1)，(－1，1)，(1，－1)，(1，1)，P{X=－1，Y=－1}=P{U≤－1}P{U≤1}=P{X=－1，Y=1}=P{U≤－1}P{U＞1}=0，P{X=1，Y=－1}=P{U＞－1}P{U≤1}=P{X=1，Y=1}=P{U＞－1}P{U＞1}=知识点解析：暂无解析21、Z=XY的概率分布．标准答案：Z=XY可能取值为－1和1．知识点解析：暂无解析22、设随机变量X和Y相互独立，概率密度分别为求Z=2X+Y的概率密度．标准答案：【解法1】由于X和Y相互独立，因此(X，Y)的概率密度为Z的分布函数为如图3—7和图3—8，当z≤0时，有FZ(z)=0；当0＜z＜2时，有当z≥2时，有因此，Z=2X+Y的概率密度为【解法2】由于X与Y相互独立，因此Z=2X+Y的概率密度为当0＜x＜1时，有当z≤0时，fZ(z)=0；当0＜z＜2时，有当z≥2时，有从而Z的概率密度为知识点解析：暂无解析23、设二维随机变量(X，Y)在区域b={(x，y)|1≤x≤3，1≤y≤3}上服从均匀分布，求Z=|X－Y|的概率密度fZ(z)．标准答案：如图3-9所示，由已知，(X，Y)的概率密度为设Z=|X－Y|的分布函数为FZ(z)，则FZ(z)=P{|X－Y|≤z}．当z＜0时，FZ(z)=0，当0≤z＜2时，当z≥2时，FZ(z)=1，从而注：均匀分布可用几何型概率计算概率．知识点解析：暂无解析24、设随机变量X和Y相互独立，都在(－a，a)上服从均匀分布，求Z=XY的概率密度．标准答案：如图3一10所示，因为X和Y相互独立，都在(－a，a)上服从均匀分布，所以(X，Y)的联合概率密度为设Z=XY的分布函数为当z＜－a2时，FZ(z)=0；当z≥a2时，FZ(z)=1；当0≤z＜a2时，当z=0时，当一a2≤z＜0时，所以知识点解析：暂无解析25、设随机变量X和Y相互独立，其分布函数分别为求U=X+Y的概率密度fU(u)．标准答案：显然X可能取值为0和1，由全概率公式，知U=X+Y的分布函数为概率密度为知识点解析：暂无解析设相互独立的两个随机变量X，Y服从相同的分布，且X的概率分布为又随机变量Z=min{X，Y}．26、求(X，Z)的概率分布；标准答案：(X，Z)可能取值为(0，0)，(0，1)，(1，0)，(1，1)．P{X=0，Z=1}=0，即(X，Z)的概率分布为知识点解析：暂无解析27、X与Z是否相互独立?标准答案：由于P{X=0，Z=1}=0，故X与Z不相互独立．知识点解析：暂无解析考研数学三（多维随机变量及其分布）模拟试卷第2套一、选择题(本题共8题，每题1.0分，共8分。)1、设随机变量Xi～(i=1，2)，且满足P(X2X2=0)=1，则P(X1=X2)等于()．A、0B、C、D、1标准答案：A知识点解析：由题意得P(X1=-1，X2=-1)=P(X1=-1，X2=1)=P(X1=1，X2=-1)=P(X1=1，X2=1)=0，P(X1=-1，X2=0)=P(X1=-1)=，P(X1=1，X2=0)=P(X1=1)=P(X1=0，X2=-1)=P(X2=-1)=，P(X1=0，X2=1)=P(X2=1)=故P(X1=0，X2=0)=0，于是P(X1=X2)=P(X1=-1，X2=-1)+P(X1=0，X2=0)+P(X1=1，X2=1)=0，选A．2、设随机变量X，Y相互独立，X～U(0，2)，Y～E(1)，则P(X+Y＞1)等于()．A、B、1-eC、eD、2e标准答案：A知识点解析：由X～U(0，2)，Y～E(1)得fX(x)=再由X，Y相互独立得(X，Y)的联合密度函数为则P(X+Y＞1)=1-P(X+Y≤1)=1-e-ydxdy=1-∫01dx∫01-xe-ydy=1-(1-ex-1)dx=1-(1-1+e-1)=1-选A．3、设随机变量(X，Y)的分布函数为F(x，y)，用它表示概率P(-X＜a，Y＜y)，则下列结论正确的是()．A、1-F(-a，Y)B、1-F(-a，y-0)C、F(+∞，y-0)-F(-a，y-0)D、F(+∞，y)-F(-a，y)标准答案：C知识点解析：P(-X＜a，Y＜y)=P(X＞-a，Y＜y)因为P(Y＜y)=P(X＞-a，Y＜y)+P(X≤-a，Y＜y)，所以P(X＞-a，Y＜y)=P(Y＜y)-P(X≤-a，Y＜y)=F(+∞，y-0)-F(-a，y-0)，选C．4、设随机变量X，Y相互独立，且X～N(0，1)，Y～N(1，1)，则()．A、P(X+Y≤0)=B、P(X+Y≤1)=C、P(X-Y≤0)=D、P(X-Y≤1)=标准答案：B知识点解析：X，Y独立，X～N(0，1)，Y～N(1，1)，X+Y～N(1，2)P(X+Y≤1)=，选B．5、设X，Y相互独立且都服从N(0，4)分布，则()．A、P(max{X，Y}＞0)=B、P(min{X，Y}≥0)=C、P(X+Y＞0)=D、P(X-Y≥0)=标准答案：B知识点解析：因为X，Y相互独立且都服从N(0，4)分布，所以X±Y～N(0，8)，从而P(X+Y≥0)=，P(X-Y≥0)=，故C、D都不对；P(max{X，Y)＞0)=1-P(max(X，Y)≤0)=1-P(X≤0，Y≤0)=1-P(X≤0)P(Y≤0)，因为X～N(0，4)，Y～N(0，4)，所以P(X≤0)=P(Y≤0)=，从而有P(max{X，Y}＞0)=，A不对；P(min{X，Y}≥0)=P(X≥0，Y≥0)=P(X≥0)P(Y≥0)=，选B．6、设X，Y为两个随机变量，P(X≤1，Y≤1)=，P(X≤1)=P(Y≤1)=，则P(min(X，Y)≤1)=()．A、

B、

C、

D、

标准答案：C知识点解析：令A={X≤1}，B={Y≤1}，则P(AB)=，P(A)=P(B)=P(min{X，Y}≤1)=1-P(min{X，Y}＞1)=1-P(X＞1，Y＞1)==P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)=选C．7、设二维随机变量(X，Y)在区域D：x2+y2≤9a2(a＞0)上服从均匀分布，P=P(X2+9Y2≤9a2)，则()．A、p的值与a无关，且p=B、p的值与a无关，且p=C、p的值随a值的增大而增大D、p的值随a值的增大而减少标准答案：B知识点解析：因为(X，Y)在区域D：x2+y2≤9a2上服从均匀分布，所以(X，Y)的联合密度函数为p=P{X2+9Y2≤9a2}=f(x，y)dxdy=，选B．8、设(X，Y)服从二维正态分布，则下列说法不正确的是()．A、X，Y一定相互独立B、X，Y的任意线性组合l1X+l2Y服从正态分布C、X，Y都服从正态分布D、p=0时X，Y相互独立标准答案：A知识点解析：因为(X，Y)服从二维正态分布，所以B，C，D都是正确的，只有当ρ=0时，X，Y才相互独立，选A．二、填空题(本题共4题，每题1.0分，共4分。)9、设X～P(1)，Y～P(2)，且X，Y相互独立，则P(X+Y=2)=______．标准答案：知识点解析：P(X+Y=2)=P(X=0，Y=2)+P(X=1，Y=1)+P(X=2，Y=0)，由X，Y相互独立得P(X+Y=2)=P(X=0)P(Y=2)+P(X=1)P(Y=1)+P(X=2)P(Y=0)10、设随机变量X，Y相互独立且都服从二项分布B(n，p)，则P(min{X，Y}=0)______．标准答案：2(1-p)n-(1-p)2n知识点解析：令A=(X=0)，B=(Y=0)，则P(min{X，Y}=0)=P(A+B)=P(A)+P(B)=P(AB)=P(X=0)+P(Y=0)=P(X=0，Y=0)=2(1-p)n-(1-p)2n．11、设二维随机变量(X，Y)的联合密度函数为f(x，y)=则a=______，P(X＞Y)=______．标准答案：6；知识点解析：由1=a∫0+∞e-2xdx∫0+∞e-3ydy，得a=6，于是P{X＞Y}=∫0+∞dx∫0x6e-2x-3ydy=2∫0+∞e-2x(1-e-3x)dx=12、设随机变量X～N(0，σ2)，y～N(0，4σ2)，且P(X≤1，Y≤-2)=，则P(X＞1，Y＞-2)=______．标准答案：知识点解析：令{X≤1}=A，{Y≤-2}=B，P(A)=且P(AB)=，则P(X＞1，Y＞-2)==1-P(A+B)=1-P(A)-P(B)+P(AB)=三、解答题(本题共18题，每题1.0分，共18分。)13、设X，Y的概率分布为，且P(XY=0)=1．(1)求(X，Y)的联合分布；(2)X，Y是否独立?标准答案：(1)因为P(XY=0)=1，所以P(X=-1，Y=1)=P(X=1，Y=1)=0，P(X=-1，Y=0)=P(X=-1)=，P(X=1，Y=0)=P(X=1)=P(X=0，Y=0)=0，P(X=0，Y=1)=P(Y=1)=(X，Y)的联合分布律为：(2)因为P(X=0，Y=0)=0≠P(X=0)P(Y=0)=，所以X，Y不相互独立．知识点解析：暂无解析14、设起点站上车人数X服从参数为λ(λ＞0)的泊松分布，每位乘客中途下车的概率为p(0＜p＜1)，且中途下车与否相互独立，以Y表示中途下车人数．(1)求在发车时有n个乘客的情况下，中途有m个乘客下车的概率；(2)求(X，Y)的概率分布．标准答案：(1)设A={发车时有n个乘客}，B={中途有n个人下车}，则P(B｜A)=P(Y=m｜X=n)=Cnmpm(1-p)n-m(0≤m≤n)．(2)P(X=n，Y=m)=P(AB)=P(B｜A)P(A)=Cnmpm(1-p)n-m.e-λ(0≤≤m≤≤n，n=0，1，2，…)．知识点解析：暂无解析15、袋中有10个大小相等的球，其中6个红球4个白球，随机抽取2次，每次取1个，定义两个随机变量如下：就下列两种情况，求(X，Y)的联合分布律：(1)第一次抽取后放回；(2)第一次抽取后不放回．标准答案：(1)(X，Y)的可能取值为(0，0)，(1，0)，(0，1)，(1，1)．知识点解析：暂无解析16、设(X，Y)在区域D：0＜x＜1，｜y｜≤x内服从均匀分布．(1)求随机变量X的边缘密度函数；(2)设Z=2X+1，求D(Z)．标准答案：(1)(X，Y)的联合密度函数为则fX(x)=∫-∞+∞f(x，y)dy=(2)因为E(X)=∫0xx×2xdx=，E(X2)=∫01x2×2xdx=所以D(X)=E(X2)=[E(X)]2=，D(Z)=D(2X+1)=4D(X)=知识点解析：暂无解析17、设(X，Y)的联合概率密度为(1)(X，Y)的边缘密度函数；(2)Z=2X-Y的密度函数．标准答案：(1)当0＜x＜1时，fX(x)=∫-∞+∞f(x，y)dy=∫02xdy=2x，当x≤0或x≥1时，fX(x)=0，所以fX(x)=同理fY(y)=(2)当z≤0时，F(z)=0；当z≥2时，F(z)=1；当0＜z＜2时，P(Z＞z)=f(x，y)dxdy=dx∫02x-zdy=1-z+F(z)=1-P(Z＞z)=z-所以fZ(z)=知识点解析：暂无解析18、随机变量(X，Y)的联合密度函数为(1)求常数A；(2)求(X，Y)落在区域x2+y2≤内的概率．标准答案：(1)由1=∫-∞+∞dx∫-∞+∞f(x，y)dy(2)令区域D：x2+y2≤，(X，Y)落在区域D内的概率为知识点解析：暂无解析19、设两台同样的记录仪，每台无故障工作的时间服从参数为5的指数分布，首先开动其中一台，当发生故障时停用而另一台自动开动．求两台记录仪无故障工作的总时间T的概率密度．标准答案：用X，Y分别表示两台记录仪先后开动无故障工作的时间，则T=X+Y，由已知条件得X，Y的密度为fX(x)=当t≤0时，FT(t)=0；当t＞0时，FT(t)=P(X+Y≤t)=f(x，y)dxdy=fX(x).fY(y)dxdy=25∫0te-5xdx∫0t-xe-5ydy=5∫0te-5x[1-e-5(t-x)]dx=5∫0t(e-5x-e-5t)dx=(1-e-5t)-5te-5t，T的密度函数为知识点解析：暂无解析20、设X，Y相互独立，且X～N(1，2)，Y～N(0，1)，求Z=2X-Y+3的密度函数．标准答案：因为X，Y相互独立且都服从正态分布，所以X，Y的线性组合仍服从正态分布，即Z=2X-Y+3服从正态分布，由E(Z)=2E(X)-E(Y)+3=5，D(Z)=4D(X)+D(Y)=9，则Z的密度函数为fZ(z)=知识点解析：暂无解析21、设X在区间[-2，2]上服从均匀分布，令求：(1)Y，Z的联合分布律；(2)D(Y+Z)．标准答案：(1)因为X在区间[-2，2]上服从均匀分布，所以fX(x)=(Y，Z)的可能取值为(-1，-1)，(-1，1)，(1，-1)，(1，1)．P(Y=-1，Z=-1)=P(X≤-1，X≤1)=P(X≤-1)=P(Y=-1，Z=1)=P(X≤-1，X＞1)=0；P(Y=1，Z=-1)=P(X＞-1，X≤1)=P(-12]=(-2)2×=2，则D(Y+Z)=2．知识点解析：暂无解析22、设二维随机变量(X，Y)的联合分布律为则在Y=1的条件下求随机变量X的条件概率分布．标准答案：因为P(Y=1)=0．6，所以P(X=0｜Y=1)=P(X=1｜Y=1)=知识点解析：暂无解析23、设二维随机变量(X，Y)的联合密度为(1)求c；(2)求X，Y的边缘密度，问X，Y是否独立?(3)求Z=max{X，Y)的密度．标准答案：(1)1=c∫0+∞dx∫0+∞xe-x(y+1)dy=c=1．(2)当z≤0时，fX(x)=0；当x＞0时，fX(x)=∫0+∞xe-x(y+1)dy=e-x．当y≤0时，fY(y)=0；当y＞0时，fY(y)=∫0+∞xe-x(y+1)dx=显然当x＞0，y＞0时，f(x，y)≠fX(x)fY(y)，所以X，Y不相互独立．(3)当z≤0时，FZ(z)=0；当z＞0时，FZ(z)=P(Z≤z)=P(max{X，Y}≤z)=P(X≤z，Y≤z)=∫0zdx∫0zxe-x(y+1)dy=1-e-z+则fZ(z)=知识点解析：暂无解析24、设随机变量(X，Y)的联合密度为求：(1)X，Y的边缘密度；(2)标准答案：(1)fX(x)=∫-∞+∞f(x，y)dy(2)知识点解析：暂无解析25、设(X，Y)的联合密度函数为(1)求a；(2)求X，Y的边缘密度，并判断其独立性；(3)求fX｜Y(x｜y)．标准答案：(1)由∫-∞+∞dx∫-∞+∞f(x，y)dy=a∫0+∞xdx∫x+∞e-ydy=a∫0+∞xe-xdx=1，得a=1．(2)当x≤0时，fX(x)=0；当x＞0时，fX(x)=∫-∞+∞f(x，y)dy=∫x+∞xe-ydy=xe-x．于是fX(x)=当y≤0时，fY(y)=0；当y＞0时，fY(y)=∫-∞+∞f(x，y)dx=∫0yxe-ydx=y2e-y．于是fY(y)=因为f(x，y)≠fX(x)fY(y)，所以X，Y不独立．(3)fX｜Y(x｜y)=知识点解析：暂无解析26、设一设备开机后无故障工作时间X服从指数分布，平均无故障工作时间为5小时，设备定时开机，出现故障自动关机，而在无故障下工作2小时便自动关机，求该设备每次开机无故障工作时间Y的分布．标准答案：因为X～E(λ)，所以E(X)==5，从而λ=，根据题意有Y=min{X，2}．当y＜0时，F(y)=0；当y≥2时，F(y)=1；当0≤y＜2时，F(y)=P(Y≤y)=P(min{X，2}≤y)=P(X≤y)=1-故Y服从的分布为知识点解析：暂无解析27、设(X，Y)～f(x，y)=(1)判断X，Y是否独立，说明理由；(2)判断X，Y是否不相关，说明理由；(3)求Z=X+Y的密度．标准答案：(1)0＜x＜1时，fX(x)=∫-∞+∞f(x，y)dy=∫0x12y2dy=4x3，则fX(x)=同理fY(y)=因为当0＜y＜x＜1时，f(x，y)≠fX(x)fY(y)，所以X，Y不独立．(2)E(x)=∫-∞+∞xf(x)dx=∫014x4dx=E(Y)=∫-∞+∞yf(y)dy=∫0112y3(1-y)dy=E(XY)=∫-∞+∞dx∫-∞+∞xyf(xy)dy=∫01dx∫0x12xy3dy=因为Cov(X，Y)=E(XY)-E(X)E(Y)=，所以X，Y相关．(3)fZ(z)=∫-∞+∞f(x，z-x)dx，当z＜0或z≥2时，fZ(z)=0；当0≤z＜1时，fZ(z)=12(z-z)2dx=当1≤z＜2时，fZ(z)=12(z-x)2dx=-4(z-1)3．所以有fZ(z)=知识点解析：暂无解析28、设随机变量X，Y相互独立且都服从标准正态分布，令U=X2+Y2．求：(1)fU(u)；(2)P{U＞D(U)｜U＞E(U))．标准答案：(1)因为X，Y相互独立且都服从标准正态分布，所以(X，Y)的联合密度函数为f(x，y)=(-∞＜x，y＜+∞)．Fu(u)=P(U≤u)．当u＜0时，FU(u)=0；当u≥0时，FU(u)=P(U≤u)=P(X2+Y2≤u)所以fU(u)=即U服从参数为λ=的指数分布．(2)E(U)=2，D(U)=4，P{U＞D(U)｜U＞E(U))=P(U＞4｜U＞2)=因为P(U＞4)=1-P(U≤4)=1-(1-e-2)=e-2，P(U＞2)=1-(1-e-1)=e-1，所以P{U＞D(U)｜U＞E(U))=e-1．知识点解析：暂无解析29、设X，Y相互独立，且X～B，Y～N(0，1)，令U=max{X，Y}，求P{1＜U≤1．96}(其中Ф(1)=0．841，Ф(1．96)=0．975)．标准答案：P(U≤u)=P(max{X，Y}≤u)=P{X≤u，Y≤u}=P(X≤u)P(Y≤u)，P(U≤1．96)=P(X≤1．96)P(Y≤1．96)=[P(X=0)+P(X=1)]P(Y≤1．96)=Ф(1．96)=0．4875，P(U≤1)=P(X≤1)P(Y≤1)=×Ф(1)=0．4205，则P(1＜U≤1．96)=P(U≤1．96)-P(U≤1)=0．067．知识点解析：暂无解析30、设随机变量X～U(0，1)，Y～E(1)，且X，Y相互独立，求随机变量Z=X+Y的概率密度．标准答案：X～U(0，1)，Y～E(1)因为X，Y相互独立，所以f(x，y)=fX(x)fY(y)=于是FZ(z)=P{Z≤z}=P{X+Y≤z}=f(x，y)dxdy．当z≤0时，FZ(z)=0；当0＜z＜1时，FZ(z)=f(x，y)dxdy=∫0xdx∫0z-xe-ydy=z+e-z-1；当z≥1时，FZ(z)=f(x，y)dxdy=∫01dx∫0z-xe-ydy=e-z-e1-z+1．所以知识点解析：暂无解析考研数学三（多维随机变量及其分布）模拟试卷第3套一、选择题(本题共6题，每题1.0分，共6分。)1、关于随机事件{X≤a，Y≤b}与{X>a，Y>b}，下列结论正确的是()A、为对立事件．B、为互不相容事件．C、为相互独立事件．D、P{X≤a，Y≤b}>P{X＞a，Y＞b}．标准答案：B知识点解析：如图3—1所示，选项(A)、(D)都是不一定成立的．如果{X≤a，Y≤b}与{X＞a，Y＞b}相互独立，则应P{(X≤a，Y≤b)(X＞a，Y＞b)}=0，不一定与P{X≤a，Y≤b}P{X＞a，Y＞b}相等，故(C)不正确．综上，应选(B)．2、设随机变量(X，Y)的分布函数为F(x，y)，则(Y，X)的分布函数G(x，y)为()A、F(x，y)．B、F(y，x)．C、F(－x，－y)．D、F(－y，－x)．标准答案：B知识点解析：G(x，y)=P{Y≤x，X≤y}：P{X≤y，Y≤x}=F(y，x)．故应选(B)．3、设二维随机变量(X，Y)的分布函数为则常数A和B的值依次为()A、

B、

C、

D、

标准答案：C知识点解析：F(x，y)能够作为分布函数，则需满足0≤F(x，y)≤1，F(+∞，+∞)=1，F(－∞，－∞)=F(x，－∞)=F(－∞，y)=0，关于x，y单调不减且右连续，故满足此条件的只有(C)．4、设随机变量X和Y相互独立，且有相同的分布函数F(x)，Z=X+Y，FZ(z)为Z的分布函数，则下列成立的是()A、FZ(2z)=2F(z)．B、FZ(2z)=[F(z)]2C、FZ(2z)≤[F(z)]2D、FZ(2z)≥[F(z)]2标准答案：D知识点解析：如图3—2所示，FZ(2z)=P{Z≤2z}－P{X+Y≤2z}，X+Y≤2z对应区域为A，由于X和Y相互独立，且有相同的分布函数F(x)，从而[F(z)]2=F(z)F(z)=P{X≤z}P{Y≤z}=P{X≤z，Y≤z}，X≤z，Y≤z对应区域B，显然故FZ(2z)≥[F(z)]2，因此选(D)．5、设X1和X2是两个相互独立的连续型随机变量，其概率密度分别为f1(x)和fZ(x)，分布函数分别为F1(x)和F2(x)，则下列说法正确的是()，A、f1(x)+f2(x)必为某一随机变量的概率密度．B、f1(x)f2(x)必为某一随机变量的概率密度．C、F1(x)+F2(x)必为某一随机变量的分布函数．D、F1(x)F2(x)必为某一随机变量的分布函数．标准答案：D知识点解析：由已知条件，有选项(A)不正确；例如令故选项(B)不正确；F1(+∞)+F2(+∞)=2，故选项(C)不正确，因此选(D)．6、已知随机变量X和Y相互独立，其概率分布为随机变量Y的概率分布为则下列式子正确的是()A、X=YB、P{X=Y}=0．C、D、P{X=Y}=1．标准答案：C知识点解析：二、解答题(本题共24题，每题1.0分，共24分。)7、已知二维随机变量(X，Y)的联合概率分布为分别按下列已知条件，求α，β．(1)如果P{X+Y=1}=0．4；(2)如果X与Y不相关；系数ρxy=0；(3)已知事件{X=0}与{Y=1}相互独立；(4)设F(x，y)为(X，Y)分布函数，且标准答案：由题意α+β=0．4．(1)P{X+Y=1}=P{(x=0，Y=1)∪(X=1，Y=0)}=P{X=0，Y=1}+P{X=1，Y=0}=α+0．1=0．4，从而α=0．3，／3=0．1；(2)X与Y不相关的充分必要条件是协方差cov(X，Y)=E(XY)－E(X)E(Y)=0．又E(XY)=0×(－1)×0．1+0×0×0．2+0×1×α+1×(-1)×β+1×0×0．1+1×1×0．2=-β+0．2，同理可求E(X)E(Y)=0．2-β，从而0．3α+0．8β=0．17，即α=0．3，β=0．1；(3)已知P{l，=1，X=0}=P{Y=1}P{X=0}，即α=(α+0．2)(0．3+α)，解得α=0．3，β=0，1或α=0．2，β=0．2．(4)=P{X=0，Y=－1}+P{X=0，Y=1}+P{X=0，Y=0}=0．1+α+0．2=0．4，从而α=0．1，β=0．3．知识点解析：暂无解析在集合{1，2，3}中取数两次，每次任取一个数，作不放回抽样，以X与Y分别表示第一次和第二次取到的数，8、求(X，Y)联合概率分布；标准答案：(X，Y)可能取的值为(1，1)，(1，2)，(1，3)，(2，1)，(2，2)(2，3)，(3，1)，(3，2)，(3，3)．P{X=1，Y=1}=P{X=1}P{Y=1|X=1}=×0=0，同理P{X=2，Y=2}=P{X=3，Y=3}=0．同理P{X=1，Y=3}=P{X=2，Y=3}=P{X=2，Y=1}=P{X=3，Y=1}=P{X=3，Y=2}=故随机变量(X，Y)的联合分布律为知识点解析：暂无解析9、求在X=2的条件下关于Y的边缘分布律．标准答案：求在X=2的条件下关于Y的边缘分布为知识点解析：暂无解析已知随机变量X的概率分布为随机变量Y的概率分布为又设Z=X+Y，且Z的概率分布为10、求(X，Y)的概率分布；标准答案：X可能取的值为0，1，2，1，可能取的值为0，1，而P{X=0，Y=0}=P{X+Y=0}=P{X=2，Y=1}=P{X+Y=3}=故可得如下表格形式知识点解析：暂无解析11、X与Y是否相互独立?标准答案：因为pij=pi．pj(i=1，2，3；j=1，2．)，所以X与Y是相互独立的．知识点解析：暂无解析已知随机变量X的概率分布为随机变量Y的概率分布为而且P{XY=0}=1．12、求(X，Y)的联合概率分布；标准答案：由已知条件P{XY=0}=1，知P{XY≠0}=0，P{XY≠0}=P{X=－1，Y=1}+P{X=1，Y=1}=0，从而P{X=－1，Y=1}=P{X=1，Y=1}=0．又P{X=－1}=P{X=－1，Y=0}+P{X=－1，Y=1}=从而P{X=－1，Y=0}=P{X=1}=P{X=1，Y=0}+P{X=1，Y=1}=从而P{Y=1}=P{X=－1，Y=1}+P{X=0，Y=1}+P{X=1，Y=1}=0+P{X=0，Y=1}+0=从而同理可求P{X=0，Y=0}=0．即(X，Y)的概率分布为知识点解析：暂无解析13、问X与Y是否相互独立，为什么?标准答案：因为P{X=一1，Y=1}=0，而从而X与Y不相互独立．知识点解析：暂无解析14、求P{X≠Y}．标准答案：P{X≠Y}=1-P{X=Y}=1-P{X=0，Y=0}-P{X=1，Y=1}.知识点解析：暂无解析设随机变量X在1，2，3，4四个数字中等可能取值，随机变量Y在1～X中等可能地取一整数值.15、求(X，Y)的概率分布；标准答案：X可能取值为1，2，3，4，Y可能取值为1，2，3，4．故(X，Y)的概率分布为知识点解析：暂无解析16、P{X=Y}．标准答案：知识点解析：暂无解析17、一射手进行射击，击中目标的概率为p(0＜p＜1)，射击到击中目标两次为止，以X表示首次击中目标进行的射击次数，以Y表示总共射击的次数，求X和Y的联合概率分布及条件概率分布．标准答案：X可能取的值为1，2，…，Y可能取的值为2，3，…，P{X=m，Y=n}=(1－p)n-2p2，n=2，3，…，m=1，2，…，n－1．所以条件分布为m=1，2，…，n－1．P{Y=n|X=m}=p(1－p)n－m－1，n=m+1，…．知识点解析：暂无解析设A，B是两个事件，且令求18、(X，Y)的概率分布；标准答案：得又得(X，Y)可能取值为(0，0)，(0，1)，(1，0)，(1，1)．知识点解析：暂无解析19、Z=X2+Y2的概率分布；标准答案：Z可能取值为0，1，2．知识点解析：暂无解析20、问X，Y是否相互独立．标准答案：由于P{X=1，Y=1}=P(AB)=P{X=1{P{y=1}=P(A)P(B)=所以X，Y不是相互独立的．知识点解析：暂无解析设某班车起点上车人数X服从参数为λ(λ＞0)的泊松分布，如果每位乘客在中途下车的概率为p(0＜p＜1)，并且他们在中途下车与否是相互独立的．用Y表示在中途下车的人数，求21、在发车时有n个乘客的条件下，中途有m个人下车的概率；标准答案：设A表示事件“发车时有n个乘客上车”，B表示“中途有m个人下车”，则P(B|A)=P{Y=m|X=n}．由二项分布，有P(B|A)=Cmpm(1－p)n-m，0≤m≤n，n=0，1，2，…．知识点解析：暂无解析22、(X，Y)的联合概率分布．标准答案：由乘法公式，有P{X=n，Y=m}=P(AB)=P(A)P(B|A)．又由于X服从参数为λ的泊松分布，因此从而(X，Y)的联合概率分布为知识点解析：暂无解析23、已知二维随机变量(X，Y)的概率密度为求(X，Y)的联合分布函数．标准答案：如图3—3，由密度函数的定义，将xOy平面分成5个部分．分布函数(1)当x＜0或y＜0时，F(x，y)=0．(2)当0≤x＜1，0≤y＜1时，(3)当0≤x≤1，y≥1时，(4)当x≥1，0≤y＜1时，(5)当x≥1，y≥1时，F(x，y)=1．知识点解析：暂无解析24、设二维随机变量(X，Y)在平面区域G上服从均匀分布，其中G是由x轴，y轴以及直线y=2x+1所围成的三角形域，则(X，Y)的关于X的边缘概率密度为()标准答案：B知识点解析：由已知条件，如图3-4所示，25、设平面区域D是由x轴，y轴以及直线所围成的三角形域，二维随机变量(X，Y)在D上服从均匀分布，则fX|Y(x|y)=()(0＜y＜2)标准答案：A知识点解析：由已知条件，如图3-5所示，故应选(A)．设随机变量X关于随机变量Y的条件概率密度为而Y的概率密度为求26、(X，Y)的概率密度f(x，y)；标准答案：由题设条件和条件概率密度公式可得知识点解析：暂无解析27、关于X的边缘概率密度fX(x)；标准答案：因此有知识点解析：暂无解析28、标准答案：知识点解析：暂无解析29、X与Y是否相互独立?标准答案：因为f(x，y)≠fX(x)·fY(y)(0＜x＜y＜1)，所以X与Y不相互独立．知识点解析：暂无解析30、设随机变量X与Y相互独立，下表列出了二维随机变量(X，Y)的联合分布及关于X与Y的边缘分布中的数值，试求未知参数ai(i=1，2，3，…，8)．标准答案：由已知条件，有知识点解析：暂无解析考研数学三（多维随机变量及其分布）模拟试卷第4套一、选择题(本题共5题，每题1.0分，共5分。)1、设随机变量X，y相互独立，它们的分布函数为FX(x)，FY(y)，则Z＝min{X，Y}的分布函数为()．A、FZ(z)＝max{FX(z)，FY(z)}B、FZ(z)＝min{FX(z)，FY(z)}C、FZ(z)＝1－[1－FX(z)][1－FY(z)]D、FZ(z)＝FY(z)标准答案：C知识点解析：fZ(z)＝P(Z≤z)＝P(min{X，y}≤z)＝1－P(min{X，Y}＞z)＝1－P(X＞z，Y＞z)＝1－P(X＞z)P(Y＞z)＝1－[1－P(X≤z)][1－P(Y≤z)]＝1－[1－FX(z)][1－FY(z)]，选C．2、设随机变量X，Y相互独立，它们的分布函数为FX(x)，FY(y)，则Z＝max(X，Y)的分布函数为()．A、FZ(z)＝max{FFX(z)，FY(z))B、FZ(z)＝FX(z)FY(z)C、FZ(z)＝max{FX(z)，FY(z)}D、FZ(z)＝FY(z)标准答案：B知识点解析：FZ(z)＝P(Z≤z)＝P(max{X，Y}≤z)＝P(X≤z，Y≤z)＝P(X≤z)P(Y≤z)＝FX(z)FY(z)，选B．3、设随机变量X与Y相互独立且都服从参数为λ的指数分布，则下列随机变量中服从参数为2λ的指数分布的是()．A、X＋YB、X－yC、max{X，Y}D、min{X，Y}标准答案：D知识点解析：由于X～E(λ)，所以密度函数为f(x)＝分布函数为F(x)＝E(X)＝，D(X)＝，因为E(X＋Y)＝，E(X－Y)＝0，而max{X，Y)的分布函数是F2(x)≠所以A，B，C项都不对，选D．事实上，min{X，Y)的分布函数为P(min{X，Y}≤x)＝1－P(min{X，Y}>x)＝1－P(X＞x，Y＞x)＝1－P(X＞x)P(Y＞x)＝1－[1－F(x)]2＝4、设随机变量X和Y都服从正态分布，则()．A、X＋Y一定服从正态分布B、(X，Y)一定服从二维正态分布C、X与Y不相关，则X，Y相互独立D、若X与Y相互独立，则X－Y服从正态分布标准答案：D知识点解析：若X，Y独立且都服从正态分布，则X，Y的任意线性组合也服从正态分布，选D．5、若(X，Y)服从二维正态分布，则①X，Y一定相互独立；②若Pxy＝0，则X，Y一定相互独立；③X和Y都服从一维正态分布；④X，Y的任意线性组合服从一维正态分布．上述几种说法中正确的是()．A、①②③B、②③④C、①③④D、①②④标准答案：B知识点解析：因为(X，Y)服从二维正态分布，所以X，Y都服从一维正态分布，aX＋bY服从一维正态分布，且X，Y独立与不相关等价，所以选B．二、填空题(本题共3题，每题1.0分，共3分。)6、设随机变量x，y相互独立，且X～N(0，4)，Y的分布律为Y～，则P(X＋2Y≤4)＝____________．标准答案：0．46587知识点解析：P(X＋2Y≤4)＝P(Y＝1)P(X≤4－2Y｜Y＝1)＋P(Y＝2)P(X≤4－2Y｜Y＝2)+P(y＝3)P(X≤4－2Y｜Y＝3)＝P(X≤2)＋P(X≤0)＋P(X≤－2)＝(1)＋(－1)＝0．46587．7、设(X，y)的联合分布函数为F(x，y)＝则P(max{X，Y}＞1)＝____________．标准答案：e－2＋e－3－e－5知识点解析：由FX(x)＝F(x，＋∞)＝，得X～E(2)，同理Y～E(3)，且X，Y独立．P(max{X，Y}＞1)＝P(X＞1或Y＞1)＝1－P(X≤1，Y≤1)＝1－P(X≤1)P(Y≤1)＝1－FX(1)FY(1)＝1－(1－e－2)(1－e－3)＝e－2＋e－3－e－5．8、设X，Y相互独立且都服从(0，2)上的均匀分布，令Z＝min{X，Y}，则P(0＜Z＜1)＝____________．标准答案：知识点解析：由X，Y在(0，2)上服从均匀分布得FX(x)＝FY(y)＝因为X，Y相互独立，所以FZ(z)＝P(Z≤z)＝1－P(Z＞z)＝1－P(min{X，Y}＞z)＝1－P(X＞z，Y＞z)＝1－P(X＞z)P(Y＞z)＝1－[1－P(X≤z)][1－P(Y≤z)]＝1－[1－FX(z)][1－FY(z)]，于是P(0＜Z＜1)＝FZ(1)－FZ(0)＝1－．三、解答题(本题共18题，每题1.0分，共18分。)设随机变量X，Y独立同分布，且P(X＝i)＝，i＝1，2，3．设随机变量U＝max{X，y)，V=min{X，Y}．9、求二维随机变量(U，V)的联合分布；标准答案：由于X,Y相互独立，所以P(U＝V＝i)＝P(X＝i，Y＝i)＝P(X＝i)P(Y＝i)＝，i＝1，2，3；P(U＝2，V＝1)＝P(X＝2，Y＝1)＋P(X＝1，Y＝2)＝；P(U＝3，V＝1)＝P(X＝3，Y＝1)＋P(X＝1，Y＝3)＝；P(U＝3，V＝2)＝P(X＝3，Y＝2)＋P(X＝2，Y＝3)＝；P(U＝1，V＝2)＝P(U＝1，V＝3)＝P(U＝2，V＝3)＝0．所以（U，V）的联合分布律为知识点解析：暂无解析10、求Z＝UW的分布；标准答案：P(Z＝1)＝P(UV＝1)＝P(U＝1，V＝1)＝；P(Z＝2)＝P(UV＝2)＝P(U＝l，V＝2)＋P(U＝2，V＝1)＝；P(Z＝3)＝P(UV＝3)＝P(U＝1，V＝3)＋P(U＝3，V＝1)＝；P(Z＝4)＝P(UV＝4)＝P(U＝2，V＝2)＝；P(Z＝6)＝P(UV＝6)＝P(U＝2，V＝3)＋P(U＝3，V＝2)＝；P(Z＝9)＝P(UV＝9)＝P(U＝3，V＝3)＝．所以Z的分布律为Z～．知识点解析：暂无解析11、判断U，V是否相互独立?标准答案：由于P(U＝1)＝P(X＝l，Y＝1)＝，P(V＝1)＝P(X＝1，Y＝1)＋P(X＝2，Y＝1)＋P(X＝3，Y＝1)＋P(X＝1，Y＝2)＋P(X＝1，Y＝3)＝，而P(U＝1)P(V＝1)＝≠P(U＝1，V＝1)＝，所以U，V不相互独立．知识点解析：暂无解析12、求P(U＝V)．标准答案：P(U＝V)＝P(U＝1，V＝1)＋P(U＝2，V＝2)＋P(U＝3，V＝3)＝．知识点解析：暂无解析13、设随机变量X与Y相互独立，下表列出二维随机变量(X，Y)的联合分布律及关于X和Y的边缘分布律的部分数值，试将其余的数值填入表中空白处．标准答案：由p11＋p21＝p·1，得p11＝，因为X，Y相互独立，所以p1·×p·1＝p11，于是p1·＝，由p1·×p·2＝p12得p·2＝，再由p12＋p22＝p2·得p22＝，由p11＋p12＋p13＝p1·得p13＝，再由p1·×p3·＝p13得p·3＝，由p13＋p23＝p·3得p23＝，再由p1·＋p2·＝1得p2·＝．知识点解析：暂无解析设二维随机变量(X，Y)的联合密度函数为f(x，y)＝14、求随机变量X，Y的边缘密度函数；标准答案：fX(x)＝f(x，y)dy．当x≤0时，fX(x)＝0；当x＞0时，fX(x)＝f(x，y)dy＝2e－(x＋2y)dy＝e－xe－2yd(2y)＝e－x，则fX(x)＝fY(y)＝f(x，y)dx，当y≤0时，fY(y)＝0；当y＞0时，fY(y)＝2e－(x＋2y)dx＝2e－2ye－xdx＝2e－2y，则fY(y)＝知识点解析：暂无解析15、判断随机变量X，Y是否相互独立；标准答案：因为f(x，y)＝fX(x)fY(y)，所以随机变量X，Y相互独立．知识点解析：暂无解析16、求随机变量Z＝X＋2Y的分布函数和密度函数．标准答案：FZ(z)＝P(Z≤z)＝P(X＋2Y≤z)＝f(x，y)dxdy，当z≤0时，FZ(z)＝0；当2＞0时，FZ(z)＝f(x，y)dxdy＝e－xdx2e－2ydy＝e－xdxe－2yd(2y)＝e－x(1－ex－z)dx＝1－e－z－ze－z，则FZ(z)＝，FZ(z)＝知识点解析：暂无解析设随机变量(X，Y)的联合密度函数为f(x，y)＝17