考研数学三（定积分及应用）模拟试卷1（共110题）

考研数学三（定积分及应用）模拟试卷1（共4套）（共110题）考研数学三（定积分及应用）模拟试卷第1套一、选择题(本题共2题，每题1.0分，共2分。)1、设F(x)=∫0xf(t)dt(x∈[0，2])，则()．A、

B、

C、

D、

标准答案：B知识点解析：当0≤x≤1时，F(x)=∫0xt2dt=当1＜x≤2时，F(x)=I=∫0xf(t)dt=∫01t2dt+∫1x(2-t)dt选B．2、双纽线(x2+y2)2=x2-y2所围成的区域面积可表示为()．A、

B、

C、

D、

标准答案：A知识点解析：双纽线(x2+y2)2=x2-y2的极坐标形式为r2=cos2θ，再根据对称性，有面积A=4×r2dθ=cos2θdθ，选A．二、填空题(本题共8题，每题1.0分，共8分。)3、=________.标准答案：知识点解析：=∫01xsin2πxdx=πxsin2πxd(πx)∫0πtsin2tdt=∫0πsin2tdt=∫0πsin2tdt=sin2tdt4、∫0π=________.标准答案：知识点解析：∫0π=∫0π｜sinx+cosx｜dx5、=________.标准答案：知识点解析：则故6、设区域D由与x轴围成，区域D绕y轴旋转一周而成的旋转体的体积为________．标准答案：π2知识点解析：取[x，x+dx][0，2]，dV=2πxydx=2πx，则7、∫-11[x2ln(x+)+(x2+1)]dx=________．标准答案：知识点解析：因为为奇函数，所以x2ln为奇函数，而∫01x2sin2tcos2tdt=(sin2t-sin4t)dt=I2-I4=∫01，所以原式=8、设f(x)∈C[1，+∞)，广义积分∫1+∞f(x)dx收敛，且满足f(x)=∫1+∞f(x)dx，则f(x)=________．标准答案：知识点解析：令∫1+∞f(x)dx=A，则由f(x)=∫1+∞f(x)dx，得A=∫1∞，解得A=，所以f(x)=9、=_________(其中a为常数)．标准答案：知识点解析：令则10、设f(x)连续，则∫0xtf(x-t)dt=_______．标准答案：f(x)知识点解析：由∫0xtf(x-t)dt∫x0(x-u)f(u)(-du)=x∫0xf(u)du-∫0xuf(u)du得∫0xtf(x-t)dt=[x∫0xf(u)du-∫0xuf(u)du]=∫0xf(u)du+xf(x)-xf(x)=∫0xf(u)du，故∫0xtf(x-t)dt=∫0xf(u)du=f(x)．三、解答题(本题共18题，每题1.0分，共18分。)11、计算标准答案：则知识点解析：暂无解析12、当x≥0时，f(x)=x，设当x≥0时，求∫0xf(t)g(x-t)dt．标准答案：∫0xf(t)g(x-t)dt∫x0f(x-u)g(u)(-du)=∫0xf(x-u)g(u)du，(1)当0≤x≤时，∫0xf(t)g(x-t)dt=∫0x(x-u)sinudu=x-sinx；(2)当x＞时，∫0xf(t)g(x-t)dt=(x-u)sinudu=x-1，于是∫0xf(t)g(x-t)dt=知识点解析：暂无解析13、设f(x)连续，且F(x)=∫0x(x-2t)f(t)dt．证明：(1)若f(x)是偶函数，则F(x)为偶函数；(2)若f(x)单调不增，则F(x)单调不减．标准答案：(1)设f(-x)=f(x)，因为F(-x)=∫0-x(-x-2t)f(t)dt∫0x(-x+2u)f(-u)(-du)=∫0x(x-2u)f(u)du=F(x)，所以F(x)为偶函数．(2)F(x)=∫0x(x-2t)f(t)dt=x∫0xf(t)dt-2∫0xtf(t)dt，F’(x)=∫0xf(t)dt-xf(x)=x[f(ξ)-f(x)]，其中ξ介于0与x之间，当x＜0时，x≤ξ≤0，因为f(x)单调不增，所以F’(x)≥0，当x≥0时，0≤ξ≤x，因为f(x)单调不增，所以F’(x)≥0，从而F(x)单调不减．知识点解析：暂无解析14、求∫0nπ｜cosx｜dx．标准答案：∫0nπx｜cosx｜dx=∫0π｜cosx｜dx+∫π2πcosx｜dx+…+∫(n-1)πnπx｜cosx｜dx，∫0πx｜cosx｜dx=∫0π｜cosx｜dx=cosxdx=π，∫π2πx｜cosx｜dx∫0π(t+π)｜cost｜dt=∫0πt｜cost｜dt+π∫0π｜cost｜dt=π+2π=3π，∫2π3πx｜cosx｜dx∫0π(t+2n)｜cost｜dt=∫0πt｜cost｜dt+2π∫0π｜cost｜dt=5π，则∫0nπx｜cost｜dx=π+3π+…+(2n-1)π=n2π．知识点解析：暂无解析15、设f(x)=-∫01f(x)dx，求∫01f(x)dx．标准答案：令∫01f(x)dx=A，对f(x)=-∫01f(x)dx两边积分得A=∫01-A，于是故∫01f(x)dx=知识点解析：暂无解析16、设f(x)=∫0x标准答案：因为，所以原式=arctan知识点解析：暂无解析17、求∫-11(｜x｜+x)e-｜x｜dx．标准答案：由定积分的奇偶性得∫-11(｜x｜+x)e-｜x｜dx=∫-11｜x｜e-｜x｜dx=2∫01xe-xdx=-2∫01xd(e-x)=-2xe-x｜01+2∫01e-xdx=2e-1-2e-x｜01=2-知识点解析：暂无解析18、求∫-22(3x+1)max{2，x2}dx．标准答案：∫-22(3x+1)max{2，x2}dx=∫-22max{2，x2}dx=2∫02max{2，x2}dx，由max{2，x2}=得∫-22(3x+1)max{2，x2}dx知识点解析：暂无解析19、求∫-11(2+sinx)标准答案：∫-11(2+sinx)知识点解析：暂无解析20、计算∫01exdx．标准答案：知识点解析：暂无解析21、设f(x)在[a，b]上连续，且f(x)＞0，证明：存在ξ∈(a，b)，使得∫aξf(x)dx=∫ξbf(x)dx．标准答案：令g(x)=∫axf(t)dt-∫xbf(t)dt，因为f(x)在[a，b]上连续，且f(x)＞0，所以g(a)=-∫abf(t)dt＜0，g(b)=∫abf(t)dt＞0，由零点定理，存在ξ∈(a，b)，使得g(ξ)=0，即∫aξf(x)dx=∫ξbf(x)dx．知识点解析：暂无解析22、设f(x)连续，证明：∫0x[∫0tf(u)du]dt=∫0xf(t)(x-t)dt．标准答案：今F(x)=∫0xf(t)dt，则F’(x)=f(x)，于是∫0x[∫0tf(u)du]dt=∫0xF(t)dt，∫0xf(t)(x-t)dt=x∫0xf(x)dt-∫0xtf(t)dt=xF(x)-∫0xtdF(t)=xF(x)-tF(t)｜0x+∫0xF(t)dt=∫0xF(t)dt．命题得证．方法二因为∫0x[∫0xf(u)du]dt=∫0xf(u)du，∫0xf(t)(x-t)dt=[x∫0xf(t)dt-∫0xtf(t)dt]=∫0xf(t)dt，所以∫0x[∫0xf(u)du]dt-∫0xf(t)(x-t)dt≡C0，取x=0得C0=0，故∫0x[∫0tf(u)du]dt=∫0xf(t)(x-t)dt．知识点解析：暂无解析23、设f(x)，g(x)在[a，b]上连续，证明：存在ξ∈(a，b)，使得f(ξ)∫ξbg(x)dx=g(ξ)∫aξf(x)dx．标准答案：令φ(x)=∫axf(t)dt∫bxg(t)dt，显然φ(x)在[a，b]上可导，又φ(a)=φ(b)=0，由罗尔定理，存在ξ∈(a，b)，使得φ’(ξ)=0，而φ’(x)=f(x)∫bxg(t)dt+g(x)∫axf(t)dt，所以f(ξ)∫bξg(x)dx+g(ξ)∫aξf(x)dx=0，即f(ξ)∫ξbg(x)dx=g(ξ)∫aξf(x)dx．知识点解析：由f(c)∫xbg(t)dt=g(x)∫axf(t)dt得g(x)∫axf(t)dt+f(x)∫bxg(t)dt=0即∫axf(t)dt∫bxg(t)dt=0，则辅助函数为9(x)=∫axf(t)dt∫bxg(t)dt．24、求曲线y=cosx与x轴围成的区域分别绕x轴、y轴旋转一周形成的几何体体积．标准答案：Vx=cos2xdx=cos2xdx=2π×取[x，x+dx]，则dVy=2πxcosxdx，故Vy=xcosxdx=xd(sinx)=知识点解析：暂无解析25、求圆x2+y2=2y内位于抛物线y=x2上方部分的面积．标准答案：由所求面积为A=∫-11-x2]dx=2∫01[(1+)-x2]dx=知识点解析：暂无解析26、设曲线y=a+x-x3，其中a＜0．当x＞0时，该曲线在x轴下方与y轴、x轴所围成图形的面积和在x轴上方与x轴所围成图形的面积相等，求a．标准答案：设曲线y=a+x-x3与x轴正半轴的交点横坐标为α，β(α＜β)，由条件得-∫0α(a+x-x3)dx=∫αβ(a+x-x3)dx，移项得∫0α(a+x-x2)dx+∫αβ(a+x-x3)dx=∫0β(a+x-x3)dx=0β(4a+2β-β3)=0，因为β＞0，所以4α+2β-β3=0．又因为(β，0)为曲线y=a+x-x3与x轴的交点，所以有a+β-β3=0，从而有β=-3aa-3a+27a3=0知识点解析：暂无解析27、求由曲线y=4-x2与x轴围成的部分绕直线x=3旋转一周所成的几何体的体积．标准答案：取[x，x+dx][-2，2]，则dV=2π(3-x)(4-x2)dx，V=2π∫-22(3-x)(4-x2)dx=6π∫-22(4-x2)dx=12π∫02(4-x2)dx=12π×=64π．知识点解析：暂无解析28、设直线y=kx与曲线y=所围平面图形为D1，它们与直线x=1围成平面图形为D2．(1)求k，使得D1与D2分别绕x轴旋转一周成旋转体体积V1与V2之和最小，并求最小值；(2)求(1)中条件成立时的SD1+SD2．标准答案：(1)由方程组得直线与曲线交点为V1(k)=V2(k)=，则V(k)=，因为V’’(k)＞0，所以函数V(k)当k=时取最小值，且最小值为(2)因为SD1+SD2=，所以(1)中条件成立时SD1+SD2=知识点解析：暂无解析考研数学三（定积分及应用）模拟试卷第2套一、选择题(本题共2题，每题1.0分，共2分。)1、下列广义积分发散的是()．A、∫-11B、∫-11C、∫0+∞e-x2dxD、∫2+∞标准答案：A知识点解析：∫-11中，x=0为该广义积分的瑕点，且sinx～x1，由1≥1，得广义积分∫-11发散；为该广义积分的瑕点，且收敛，同理∫01也收敛，故∫-11收敛；∫0+∞e-x2dx中，e-x2为连续函数，因为x2e-x2=0，所以∫0+∞e-x2dx收敛；根据广义积分收敛的定义，∫2+∞收敛，选A．2、设f(x)，g(x)在区间[a，b]上连续，且g(x)＜f(x)＜m，则由曲线y=g(x)，y=f(x)及直线x=a，x=b所围成的平面区域绕直线y=m旋转一周所得旋转体体积为()．A、π∫ab[2m-f(x)+g(x)][f(x)-g(x)]dxB、π∫ab[2m-f(x)-g(x)][f(x)-g(x)]dxC、π∫ab[m-f(x)+g(x)][f(x)-g(x)]dxD、π∫ab[m-f(x)-g(x)][f(x)-g(x)]dx标准答案：B知识点解析：由元素法的思想，对[x，x+dx][a，b]，dV={π[m-g(x)]2-π[m-f(x)]2)dx=π[2m-f(x)-g(x)][f(x)-g(x]dx．则V=π∫ab[2m-f(x)-g(x)][f(x)-g(x)]dx，选B．二、填空题(本题共7题，每题1.0分，共7分。)3、=________.标准答案：ln2-知识点解析：=∫01xln(1+x2)dx=ln(1+x2)d(1+x2)∫12lntdt=lnt｜12=∫12t=ln2-4、∫02=________.标准答案：知识点解析：5、=_______．标准答案：知识点解析：6、=_________.标准答案：知识点解析：因为在[-a，a]上连续的函数f(x)有∫-aaf(x)dx=∫0a[f(x)+f(-x)]dx，所以7、设f(x)=e-t2dt，则∫01=_________.标准答案：e-1-1知识点解析：=-2∫01=-∫01e-xdx=e-1-1．8、∫0+∞x7e-x2dx=______．标准答案：3知识点解析：∫0+∞x7e-x2dx=∫0+∞x6e-x2d(x2)=∫0+∞t3e-tdt==3．9、曲线y=x4e-x2(x≥0)与x轴围成的区域面积为________．标准答案：知识点解析：A=∫0+∞x4e-x2dx∫0+∞t2e-t.e-tdt三、解答题(本题共18题，每题1.0分，共18分。)10、设f(x)=xe2x+2∫01f(x)dx，求∫01f(x)dx．标准答案：令A=∫01f(x)dx，对f(x)=xe2x+2∫01f(x)dx两边积分，得A=∫01xe2xdx+2A，解得A=∫01f(x)dx=-∫01xe2xdx=∫01xd(e2x)=知识点解析：暂无解析11、设L：，过原点O作L的切线OP，设OP、L及x轴围成的区域为D．(1)求切线方程；(2)求区域D的面积；(3)求区域D绕x轴旋转一周而成的旋转体的体积．标准答案：(1)设切点为由，解得a=2，切点为P(2，1)，故切线OP：y=(2)区域D的面积为(3)区域D绕x轴旋转一周而成的旋转体的体积为知识点解析：暂无解析12、设φ(x)=∫sinxcos2xln(1+t2)dt，求φ’(x)．标准答案：φ’(x)=-2ln(1+cos22x)sin2x-ln(1+sin2x)cosx．知识点解析：暂无解析13、求∫01xarctanxdx．标准答案：∫01xarctanxdx=∫01arctanxd(x2)=x2arctanx｜01-dx知识点解析：暂无解析14、求∫02π｜sinx-cosx｜dx．标准答案：∫02π｜sinx-cosx｜dx=｜sinx｜dx知识点解析：暂无解析15、求∫01标准答案：知识点解析：暂无解析16、设y’=arctan(x-1)2，y(0)=0，求∫01y(x)dx．标准答案：∫01y(x)dx=xy(x)∫01-∫01xarctan(x-1)2dx=y(1)-∫01(x-1)arctan(x-1)2d(x-1)-∫01arctan(x-1)2dx=∫01arctan(x-1)2d(x-1)2=∫01arctantdt=(tarctant｜01-∫01知识点解析：暂无解析17、计算下列定积分：标准答案：(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)(8)知识点解析：暂无解析18、设f(x)=求∫02πf(x-π)dx．标准答案：∫02πf(x-π)dx=∫02πf(x-π)d(x-π)=∫-ππF’(x)dx=∫-π0+∫0πxsin2xdx=-arctan(cosx)｜-π0+∫0πsin2xdx知识点解析：暂无解析19、求+sin2x]cos2xdx．标准答案：因为为奇函数，所以+sin2x]cos2xdx=sin2xcos2xdx=sin2x(1-sin2x)dx=2(I2-I4)知识点解析：暂无解析20、求函数f(x)=∫0x2(2-t)e-tdt的最大值与最小值．标准答案：因为f(x)为偶函数，所以只研究f(x)在[0，+∞)内的最大值与最小值即可．令f’(x)=2x(2-x2)e-x2=0，得f(x)的唯一驻点为x=当x∈(0，)时，f’(x)＞0，当x∈(，+∞)时，f’(x)＜0，注意到驻点的唯一性，则x=及x=为函数f(x)的最大值点，最大值为因为f(+∞)=f(-∞)=I(2-t)e-tdt=1及f(0)=0，所以最小值为0．知识点解析：暂无解析21、设f(x)在[a，b]上连续，证明：∫abf(x)dx=(b-a)∫01f[a+(b-a)x]dx．标准答案：∫abf(x)dx∫01f[a+(b-a)t].(b-a)dt=(b-a)∫01f[a+(b-a)t]dt=(b-a)∫01f[a+(b-a)x]dx．知识点解析：暂无解析22、设f(x)在区间[0，1]上可积，当0≤x＜y≤1时，｜f(x)-f(y)｜≤｜arctanx-arctany｜，又f(1)=0，证明：｜∫01f(x)dx｜≤ln2．标准答案：由｜f(x)｜=｜f(x)-f(1)｜≤｜arctanx-arctan1｜=｜arctanx-｜得｜∫01f(x)dx｜≤∫01｜f(x)｜dx≤∫01｜arctanx-｜dx=∫01(-arctanx)dx=-∫01arctanxdx=-xarctanx｜01+∫01ln(1+x2)｜01=ln2．知识点解析：暂无解析23、设f(t)在[0，π]上连续，在(0，π)内可导，且∫0πf(x)cosxdx=∫0πf(x)sinxdx=0．证明：存在ξ∈(0，π)，使得f’(ξ)=0．标准答案：令F(x)=∫0xf(t)sintdt，因为F(0)=F(π)=0，所以存在x1∈(0，π)，使得F’(x1)=0，即f(x1)sinx1=0，又因为sinx1≠0，所以f(x1)=0．设x1是f(x)在(0，π)内唯一的零点，则当x∈(0，π)且x≠x1时，有sin(x-x1)f(x)恒正或恒负，于是∫0πsin(x-x1)f(x)dx≠0．而∫0πsin(x-x1)f(x)dx=cosx1∫0πf(x)sinxdx-sinx1∫0πf(x)cosxdx=0，矛盾，所以f(x)在(0，π)内至少有两个零点．不妨设f(x1)=f(x2)=0，x1，x2∈(0，π)且x1＜x2，由罗尔定理，存在ξ∈(x1，x2)(0，π)，使得f’(ξ)=0．知识点解析：暂无解析24、求曲线y=x2-2x与直线y=0，x=1，x=3所围成区域的面积S，并求该区域绕y轴旋转一周所得旋转体的体积V．标准答案：所求面积为S=∫12｜f(x)｜dx=J(2x-x2)dx+I(x2-2x)dx=(x2-x3)｜12+(x3-x2)｜23=2；Vy=2π∫13x｜f(x)｜dx=2π[∫12x(2x-x2)dx+∫23x(x2-2x)dx]=2π[(x3-x4)｜12+(x4-x3)｜23]=9π．知识点解析：暂无解析25、设L：y=sinx(0≤x≤)，由x=0，L及y=sint围成面积S1(t)；由y=sint，L及x=围成面积S2(t)，其中0≤t≤(1)t取何值时，S(t)=S1(t)+S2(t)取最小值?(2)t取何值时，S(t)=S1(t)+S2(t)取最大值?标准答案：S1(t)=tsint-∫0tsinxdx=tsint+cost=1，S2(t)=sinxdx-sint=cost-sint，S(t)=S1(t)+S2(t)=sint+2cost-1．由S’(t)=cost=0得(1)当t=时，S(t)最小，且最小面积为(2)当t=0时，S(t)最大，且最大面积为S(0)=1．知识点解析：暂无解析26、曲线y=(x-1)(x-2)和x轴围成平面图形，求此平面图形绕y轴旋转一周所成的旋转体的体积．标准答案：取[x，x+dx][1，2]，dV=2πx｜(x-1)(x-2)｜dx=-2πx(x-1)(x-2)dx，V=-2π∫12(x3-3x2+2x)dx=知识点解析：暂无解析27、过曲线y=x2(x≥0)上某点作切线，使该曲线、切线与x轴所围成图形的面积为，求切点坐标、切线方程，并求此图形绕z轴旋转一周所成立体的体积．标准答案：设切点坐标为(a，a2)(a＞0)，则切线方程为y-a2=2a(x-a)，即y=2ax-a2.知识点解析：暂无解析考研数学三（定积分及应用）模拟试卷第3套一、选择题(本题共3题，每题1.0分，共3分。)1、设f(x)为可导函数，F(x)为其原函数，则()．A、若f(x)是周期函数，则F(x)也是周期函数B、若f(x)是单调函数，则F(x)也是单调函数C、若f(x)是偶函数，则F(x)是奇函数D、若f(x)是奇函数，则F(x)是偶函数标准答案：D知识点解析：令f(x)=cosx-2，F(x)=sinx-2x+C，显然f(x)为周期函数，但F(x)为非周期函数，A不对；令f(x)=2x，F(x)=x2+C，显然f(x)为单调增函数，但F(x)为非单调函数，B不对；令f(x)=x2，F(x)=x3+2，显然f(x)为偶函数，但F(x)为非奇非偶函数，C不对；若f(x)为奇函数，F(x)=∫axf(t)dt，因为F(-x)=∫a-xf(t)dt∫-axf(-u)(-du)=∫-axf(u)du=∫-aaf(u)du+∫axf(u)du=∫axf(u)du=F(x)，所以F(x)为偶函数，选D．2、设在区间[a，b]上f(x)＞0，f’(x)＜0，f’’(x)＞0，令S1=∫abf(x)dx，S2=f(b)(b-a)，S3=[f(a)+f(b)]，则()．A、S1＜S2＜S3B、S2＜S1＜S3C、S3＜S1＜S2D、S2＜S3＜S1标准答案：B知识点解析：因为函数f(x)在[a，b]上为单调减少的凹函数，根据几何意义，S2＜S1＜S3，选B．3、在曲线y=(x-1)2上的点(2，1)处作曲线的法线，由该法线、x轴及该曲线所围成的区域为D(y＞0)，则区域D绕x轴旋转一周所成的几何体的体积为()．A、

B、

C、

D、

标准答案：D知识点解析：过曲线y=(x-1)2上点(2，1)的法线方程为y=+2，该法线与x轴的交点为(4，0)，则由该法线、z轴及该曲线所围成的区域D绕x轴旋转一周所得的几何体的体积为V=π∫12(x-1)4dx+π∫24，选D．二、填空题(本题共7题，每题1.0分，共7分。)4、设f(x)连续，则∫0xtn-1f(xn-tn)dt=_______．标准答案：xn-1f(xn)知识点解析：由∫0xtn-1f(xn-tn)dt=∫0xf(xn-tn)d(xn-tn)∫0xnf(u)du，得∫0xtn-1f(xn-tn)dt=∫0xnf(u)du=f(xn).nxn-1=xn-1f(xn)．5、∫-ππ=________.标准答案：知识点解析：6、设f(2)=3，∫02f(x)dx=2，则∫01xf’(2x)dx=________．标准答案：1知识点解析：∫01xf’(2x)dx=∫012xf’(2x)d(2x)∫02tf’(t)dt=∫02tdf(t)=tf(t)｜02-∫02f(t)dt=f(2)-∫02f(t)dt==1.7、设f(x)是以T为周期的连续函数，且F(x)=∫0xf(t)dt+bx也是以T为周期的连续函数，则b=_______．标准答案：∫0Tf(t)dt知识点解析：F(x+T)=∫0x+Tf(t)dt+b(x+T)-∫0xf(t)dt+bx+∫xx+tf(t)dt+bT=F(x)+∫xx+Tf(t)dt+bT=F(x)+∫0Tf(t)dt+bT，由F(x+T)=F(x)，得b=∫0Tf(t)dt．8、=________.标准答案：知识点解析：9、设f(x)二阶连续可导，且f(0)=1，f(2)=3，f’(2)=5，则∫01xf(2x)dx=________．标准答案：2知识点解析：∫01xf’’(2x)dx=∫012xf’’(2x)d(2x)∫02tf’’(t)dt=∫02tdf’(t)=[tf’(t)｜02-∫02f’(t)dt]=(10-f(t)｜02)=2．10、∫1+∞=________.标准答案：知识点解析：三、解答题(本题共17题，每题1.0分，共17分。)11、讨论反常积分∫02的敛散性，若收敛计算其值．标准答案：因为又因为收敛．于是知识点解析：暂无解析12、设φ(x)=∫0x(x-t)2f(t)dt，求φ’’(x)，其中f(x)为连续函数．标准答案：φ(x)=x2∫0xf(t)dr-2x∫0xtf(t)dt+∫0xt2f(t)dr，φ’(x)=2x∫0xf(t)dt+x2f(x)-2∫0xtf(t)dt-2x2f(x)+x2f(x)=2x∫0xf(t)dt-2∫0xtf(t)dt，φ’’(x)=2∫0xf(t)dt+2xf(x)-2xf(x)=2∫0xf(t)dt，φ’’’(x)=2f(x)．知识点解析：暂无解析13、设求∫02f(x-1)dx．标准答案：∫02f(x-1)dx=∫02f(x-1)d(x-1)=∫-11f(x)dx=∫-10+∫011n(1+x)dx=arctanx｜-10+xln(1+x)｜∫01-∫01dx知识点解析：暂无解析14、设f(x)∈C[-π，π]，且f(x)=+∫-ππf(x)sinxdx，求f(x).标准答案：令∫-ππf(x)sinxdx=A，则f(x)=+A，于是f(x)sinx=+Asinx，两边从-π到π积分得则知识点解析：暂无解析15、求∫01x4标准答案：∫01x4sin4t(1-sin2t)dt=I4-I6知识点解析：暂无解析16、(1)设f(t)=∫0tex2dx，求∫01t2f(t)dt．(2)设f(x)=∫0xecostdt，求∫0πf(x)cosxdx．标准答案：(1)∫01t2f(t)dt=∫01f(t)d(t3)=f(t)｜01-∫01t3et2dt，因为f(1)=0，所以∫01t2f(t)dt=∫02t3er2dt=∫01t2et2d(t2)=∫01xexdx=sin3xdx=，(2)∫0πf(x)cosxdx=∫0πf(x)d(sinx)=f(x)sinx｜0π-∫0πf’(x)sinxdx=-∫0πf’(x)sinxdx=-∫0πecosxsinxdx=∫0πecosxd(cosx)=ecosx｜0π=e-1-e．知识点解析：暂无解析17、求标准答案：∫-11｜t｜dt=2∫01tdt=1．知识点解析：暂无解析18、求∫013x2arcsinxdx．标准答案：∫013x2arcsinxdx3tsin2td(sint)=td(sin3t)=tsin3tsin3tdt=知识点解析：暂无解析19、求∫0π标准答案：知识点解析：暂无解析20、计算标准答案：知识点解析：暂无解析21、设f(x)为连续函数，(1)证明：∫0πxf(sinx)dx=∫0πf(sinx)dx=f(sinx)dx；(2)证明：∫02πf(｜sinx｜)dx=f(sinx)dx；(3)求∫0π标准答案：(1)令I=∫0πxf(sinx)dx，则I=∫0πxf(sinx)dx∫π0(π-t)f(sint)(-dt)=∫0π(π-t)f(sint)dt=∫0π(π-x)f(sinx)dx=π∫0πf(sinx)dx-∫0πxf(sinx)dx=π∫0πf(sinx)dx-I，则I=∫0πxf(sinx)dx=∫0πf(sinx)dx=f(sinx)dx．(2)∫02πf(｜sinx｜)dx=∫-ππf(｜sinx｜)dx=2∫0πf(｜sinx｜)dx=2∫0πf(sinx)dx=f(sinx)dx．(3)知识点解析：暂无解析22、设f(a)=f(b)=0，∫abf2(x)dx=1，f’(x)∈C[a，b]．(1)求∫abxf(x)f’(x)dx；(2)证明：∫abf’2(x)dx∫abx2f2(x)dx≥标准答案：(1)∫abxf(x)f’(x)dx=∫abxdf2(x)=f2(x)｜ab-∫abf2(x)dx=(2)∫abxf(x)f’(x)dx=(∫abxf(x)f’(x)dx)2=∫abf’2(x)dxIx2f2(x)dx．知识点解析：暂无解析23、设f(x)在[0，2]上连续，在(0，2)内可导，f(0)=f(2)=0，且｜f’(x)｜≤2．证明：｜∫02f(x)dx｜≤2．标准答案：由微分中值定理得f(x)-f(0)=f’(ξ1)x，其中0＜ξ1＜x，f(x)-f(2)=f’(ξ2)(x-2)，其中x＜ξ2＜2，于是从而｜∫02f(x)dx｜≤∫02｜f(x)｜dx=∫01｜f(x)｜dx+∫12｜f(x)｜dx≤∫012xdx+∫122(2-x)dx=2．知识点解析：暂无解析24、设L：y=e-x(x≥0)．(1)求由y=e-x、x轴、y轴及x=a(a＞0)所围成平面区域绕z轴旋转一周而得的旋转体的体积V(a)；(2)设V(c)=V(a)，求c．标准答案：(1)V(a)=π∫0ae-2xdx=(1-e-2a)．(2)由V(c)=(1-e-2c)，V(a)=(1-e-2c)=，解得c=ln2．知识点解析：暂无解析25、设f(x)=∫-1x(1-｜t｜)dt(x＞-1)，求曲线y=f(x)与x轴所围成的平面区域的面积．标准答案：当-1＜x≤0时，f(x)=∫-1x(1-｜t｜)dt=∫-1x(t+1)dt当x＞0时，f(x)=∫-10(t+1)dt+∫0x(1-t)dt=即由=0得x=1+故所求的面积为知识点解析：暂无解析26、设平面图形D由x2+y2≤2x与y≥x围成，求图形D绕直线x=2旋转一周所成的旋转体的体积．标准答案：取[x，x+dx][0，1]，则dV=2π(2-x)dx，知识点解析：暂无解析27、设曲线(0＜a＜4)与x轴、y轴所围成的图形绕x轴旋转一周所得立体体积为V1(a)，绕y轴旋转所得立体体积为V2(a)，问a为何值时，V1(a)+V2(a)最大，并求最大值．标准答案：曲线与x轴和y轴的交点坐标分别为(a，0)，(0，b)，其中b=4-a．曲线可化为y=，对任意的[x，x+dx][0，a]，dV2=2πx.ydx=2πx于是V2=2π∫0ax.a2b，根据对称性，有V1=ab2．于是V(a)=V1(a)+V2(a)=a(4-a)．令V’(a)=(4-2a)=0a=2，又V’’(2)＜0，所以a=2时，两体积之和最大，且最大值为V(2)=知识点解析：暂无解析考研数学三（定积分及应用）模拟试卷第4套一、选择题(本题共2题，每题1.0分，共2分。)1、设M=cos4xdx，N=(sin3x+cos4x)dx，P=(x2sin3x-cos4x)dx，则有()．A、N＜P＜MB、M＜P＜NC、N＜M＜PD、P＜M＜N标准答案：D知识点解析：cos4xdx=0．N=(sin3x+cos4x)dx=cos4xdx＞0，P=(x2sin3x-cos4x)dx=cos4xdx＜0，则P＜M＜N，选D．2、曲线y=x(x-1)(2-x)与x轴所围成的图形面积可表示为()．A、-∫02x(x-1)(2-x)dxB、∫01x(x-1)(2-x)dx-∫12x(x-1)(2-x)dxC、-∫01x(x-1)(2-x)dx+∫12x(x-1)(2-x)dxD、∫02x(x-1)(2-x)dx标准答案：C知识点解析：曲线y=x(x-1)(2-x)与x轴的三个交点为x=0，x=1，x=2，当0＜x＜1时，y＜0；当1＜x＜2时，y＞0，所以围成的面积可表示为C的形式，选C．二、填空题(本题共8题，每题1.0分，共8分。)3、=________.标准答案：知识点解析：4、∫0xxsin(x-t)2dt=________．标准答案：∫0xsinuxn-1f(xn)du+xsinxxn-1f(xn)知识点解析：由∫0xxsin(x-t)xn-1f(xn)dt=x∫0xsin(x-t)xn-1f(xn)dtx∫0xsinuxn-1f(xn)du，得∫0xxsin(x-t)xn-1f(xn)dt=(x∫0xsinuxn-1f(xn)du)=∫0xsinuxn-1f(xn)du+xsinxxn-1f(xn)．5、∫02πx｜sinx｜dx=_________．标准答案：4π知识点解析：∫02πx｜sinx｜dx=∫0πx｜sinx｜dx+∫π2πx｜sinx｜dx，∫0πx｜sinx｜dx=∫0πxsinxdx=∫0πsinxdx=sinxdx=π。∫π2πx｜sinx｜dx∫0π(π+t)｜sin(π+t)｜dt=π∫0πsintdt+∫0πtsintdt=2π+π=3π，则∫02πx｜sinx｜dx=4π．6、∫0+∞x3e-2xdx=________．标准答案：知识点解析：∫0+∞x3e-2xdx=∫0+∞(2x)3e-2xd(2x)∫0+∞t3e-tdt=7、∫01=_________.标准答案：知识点解析：8、设f(x)在[0，1]上连续，且f(x)=+∫01xf(x)dx，则f(x)=________.标准答案：知识点解析：令∫01xf(x)dx=k，则两边积分何得∫01xf(x)dx=∫01+∫01kxdx，即k=，所以k=，从而9、设则∫-15f(x-1)dx______.标准答案：+ln3知识点解析：∫-15f(x-1)dx=∫-15f(x-1)d(x-1)=∫-24f(x)dx=∫-20f(x)dx+∫04f(x)dx10、∫e+∞=_______.标准答案：1知识点解析：三、解答题(本题共18题，每题1.0分，共18分。)11、设f(x)=∫1xe-t2dt，求∫01f(x)dx．标准答案：∫01f(x)dx=xf(x)｜01-∫01xf’(x)dx=-∫01xe-x2dx=∫01e-x2d(x2)=e-x2｜01=知识点解析：暂无解析12、求∫0ln5标准答案：令=t，则x=ln(1+t2)，于是=4-2arctan2．知识点解析：暂无解析13、设φ(x)=∫abln(x2+t)dt，求φ’(x)，其中a＞0，b＞0．标准答案：φ(x)=∫abln(x2+t)d(x2+t)=∫x2+ax2+blnudu，φ’(x)=2xln(x2+b)-2xln(x2+a)=2xln知识点解析：暂无解析14、求∫0nπ｜cosx｜dx．标准答案：∫0nπ｜cosx｜dx=n∫0π｜cosx｜dx=cosxdx=2n．知识点解析：暂无解析15、设f(x)=∫1xe-t2dt，求∫01x2f(x)dx．标准答案：∫01x2f(x)dx=∫01f(x)d(x3)=x3f(x)｜01-∫01x3f’(x)dx=∫01x3e-x2dx=∫01te-tdt=(te-t｜01-∫01e-tdt)=(2e-1-1)．知识点解析：暂无解析16、设f(x)=f(x-π)+sinx，且当x∈[0，π]时，f(x)=x，求∫π3πf(x)dx．标准答案：∫π3πf(x)dx=∫π3π[f(x-π)+sinx]dx=∫π3πf(x-π)dx+∫π3πsinxdx=∫02πf(x)dx=∫0πxdx+∫π2πf(x)dx=+∫π2π[f(x-π)+sinx]dx=+∫π2πf(x-π)dx+∫π2πsinxdx=+∫π3πxdx-2=π2-2．知识点解析：暂无解析17、设f(x)=sin3x+∫-ππxf(x)dx，求∫0πf(x)dx．标准答案：令∫-ππxf(x)dx=A，则f(x)=sin3x+A，xf(x)=xsin3x+Ax两边积分得∫-ππxf(x)dx=∫-ππxsin3xdx+∫-ππAxdx，即A=∫-ππxsin3xdx=2∫0πxsin3xdx=π∫0πsin3xdx=sin3xdx=，从而f(x)=sin3x+故∫0πf(x)dx=∫0π(sin3x+)dx=∫0πsin3xdx+∫0πdx=(1+π2)．知识点解析：暂无解析18、求标准答案：知识点解析：暂无解析19、求标准答案：∫-10｜t｜.etdt=-∫-10td(et)=-tet｜-10+∫-10etdt=-e-1+1-e-1=1-2e-1．知识点解析：暂无解析20、设f(2)=，f’(2)=0，∫02f(x)dx=1，求∫01x2f’’(2x)dx．标准答案：∫01x2f’’(2x)dx=∫01(2x)2f’’(2x)d(2x)∫02t2f’’(t)dt=∫02t2d[f’(t)]=[t2f’(t)｜02-2∫02tf’(t)dt]=∫02tdf(t)=[tf(t)｜02-∫02f(t)dt]=[2f(2)-1]=0．知识点解析：暂无解析21、计算标准答案：x=1为被积函数的无穷间断点，则知识点解析：暂无解析22、证明：sinnxcosnxdx=2-nsinnxdx．标准答案：sinnxcosnxdx=2-n-1sinn2xd(2x)=2-n-1∫0πsinnxdx=2-nsinnxdx．知识点解析：暂无解析23、设f(x)在区间[0，1]上可导，f(1)=x2f(x)dx．证明：存在ξ∈(0，1)，使得2f(ξ)+ξf’(ξ)=0．标准答案：令φ(x)=x2f(x)，由积分中值定理得f(1)=x2f(x)dx=c2f(