辽宁省辽阳市2023-2024学年高二数学上学期1月期末考试试题（含解析）

高二考试数学试卷

注意事项：

1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干

净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

4.本试卷主要考试内容：人教B版选择性必修第一、二册。

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求

的.

1.直线3%-丁+6=0与两坐标轴围成的三角形的面积为（）

A.4B.8C.6D.12

2.某地气象局天气预报的准确率为3士，则4次预报中恰有3次准确的概率是（）

4

2727927

A.---B.—C.—D.—

128641632

3.已知抛物线炉=20；（〃>0）的焦点为分，点p（如4）在C上，|FP卜5,则直线7的斜率为（）

3243

A.±-B.±-C.±-D.±-

2334

4.同一个宿舍的8名同学被邀请去看电影，其中甲和乙两名同学要么都去，要么都不去，丙同学不去，其他

人根据个人情况可选择去，也可选择不去，则不同的去法有（）

A.32种B.128种C.64种D.256种

5.某市高三年级男生的身高1（单位：cm）近似服从正态分布N（171,16）,现在该市随机选择一名高三男生，

则他的身高位于［171,179)内的概率(结果保留三位有效数字)是()

参考数据：X<+0.683,P"-2crWX<4+2b)a0.954,

P(/Z-3CT<X<XZ+3b)x0.997.

A.0.477B.0.478C.0.479D.0.480

6.如图，在三棱柱ABC—AgG中，"为AC1的中点，设=BB、=b,BM=c,则CA=()

1

B.ci+2b—2cC.2a+b—2cD.a-2b+2c

2

7.小明参加某射击比赛，射中得1分，未射中扣1分，已知他每次能射中的概率为一，记小明射击2次的得

3

分为X则o(x)=()

8丝

1-620一

9-B.99D.9

8.已知直线y=x+1与圆心在x轴上的圆"相切，圆〃与圆儿（兄―2）+/=1外切，则圆"的半径为（）

A.后-1或4后+4B.272-2

C.40+4D.20-2或40+4

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全选对

的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9.若2x-展开式的二项式系数之和为64,则下列结论正确的是（）

A.该展开式中共有6项B.各项系数之和为1

C.常数项为-60D.只有第4项的二项式系数最大

10.某班星期一上午要安排语文、数学、英语、物理4节课，且该天上午总共4节课，下列结论正确的是（）

A.若数学课不安排在第一节，则有18种不同的安排方法

B.若语文课和数学课必须相邻，且语文课排在数学课前面，则有6种不同的安排方法

C.若语文课和数学课不能相邻，则有12种不同的安排方法

D.若语文课、数学课、英语课按从前到后的顺序安排，则有3种不同的安排方法

11.如图，在正方体ABCD-A4CQ中，户为的中点，AQ=tABx,Ze[0,1],则下列说法正确的是

2

41

A.PQ±AXB

B.当/=；时，PQ〃平面BCG4

c.当。=工时，匐与切所成角的余弦值为巫

311

D.当/=；时，平面PA百

了22

12.已知椭圆C：—+^-=1,直线Mx+y-3=0与C交于,N（X2，%）两点，若王=2%2，则

实数2的取值可以为（）

1

A.B.C.3D.4

56

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.某产品的广告费用与销售额的统计数据如下表：

广告费用X/万元1.82.235

销售额0万元t71416

根据上表数据得到y与x的回归直线方程为j=3.75%-1.25,则t=

14.在一个布袋中装有除颜色外完全相同的3个白球和7个黑球，从中随机摸取1个球，有放回地摸取3次,

o

记摸取白球的个数为X若E（X）="则相=,P（X=2）=

15.有6道不同的数学题，其中有4道函数题，2道概率题，每次从中随机抽出1道题，抽出的题不再放回.在

第一次抽到函数题的条件下，第二次还是抽到函数题的概率是.

16.已知某人每次投篮的命中率为"（0＜夕＜1）,投进一球得1分，投不进得0分，记投篮一次的得分为X,

则嘴呆的最大值为

3

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.（10分）

某高校《线性代数》课程的老师随机调查了该课程学生的专业情况，调查数据如下：

单位：人

数学专业非数学专业总计

男生ef120

女生60g80

总计160h200

（1）求e,f,g,方的值，并估计男生中是非数学专业的概率;

（2）能否有90%的把握认为选数学专业与性别有关？

附：/2=________,

'(a+b)(c+d)(a+c)伍+d)

a=P(#2之女)0.10.050.010.0050.001

k2.7063.8416.6357.87910.828

18.（12分）

已知直线/：kx—y—k=0,左eR,圆G+（>-=1,/过定点4/与圆C相交于点弘N,

且________.

仄①ACLCN；②△0W为等边三角形；③|AM|+|AN|=3这三个条件中任选一个填入题中的横线上，并解

答问题.

（1）求"的值；

（2）求△<W的面积.

19.（12分）

已知抛物线C：J=4x,过点尸（4,0）的直线）交，于48两点.

（1）若线段"的中点为Q（5,1）,求/的斜率；

（2）证明：以线段/夕为直径的圆过坐标原点。.

20.（12分）

为了推动足球运动的发展，某足球比赛允许不同俱乐部的运动员参加.现有来自甲俱乐部的运动员4名，其中

知名选手2名；乙俱乐部的运动员5名，其中知名选手3名.从这9名运动员选择5名参加比赛.

（1）求选出的5人中恰有2人是知名选手，且这2名知名选手来自同一俱乐部的概率；

（2）设随机变量才为选出的5人中知名选手的人数，求才的分布列与数学期望.

21.（12分）

如图，在四棱台ABC。—44G2中，底面46缪是菱形，A3=2A&=24与=2,ZABC=60°,A&L

平面ABCD.

4

（1）证明：BD1CCX.

（2）棱AC上是否存在一点£,使得二面角E-A"-。的余弦值为：？若存在，求线段位的长；若不存在,

请说明理由.

22.（12分）

22

已知双曲线C：与一与=1（。＞0,。＞0）的右顶点为4左焦点为凡过点尸且斜率为1的直线与C的

ab

一条渐近线垂直，垂足为小且=

（1）求c的方程.

（2）过点M（-2,0）的直线交C于P（x，x）,两点，直线/户，四分别交y轴于点G，H,试问在x

轴上是否存在定点7,使得TGL7H?若存在，求点7的坐标；若不存在，请说明理由.

5

高二考试数学试卷参考答案

1.c

直线与y轴交于点（。,6）,与X轴交于点（—2,0）,所以围成的三角形的面积为gx6x2=6.

2.B

<3Y127

由题意可知，4次预报中恰有3次准确的概率尸二C：x?x—=

4⑷464

3.D

因为|万|=5,所以4+q=5,解得p=2,则/（0,1）,P（±4,4）,所以直线〃的斜率为土：.

4.C

若甲、乙都去，剩下的5人每个人都可以选择去或不去，有25种去法；若甲、乙都不去，剩下的5人每个人

都可以选择去或不去，有种去法.故一共有25+25=64种去法.

5.A

由题意可知，〃=171,a=4,所以尸（171«X<179）=P（〃WX<〃+2b）a0.954+2=0.477.

6.A

连接BC］（图略）.易知。］=2cM=2（3M—8C）.因为++所

以BC=2BM—BA—BB「所以8=—23加+2"+234=2a+2Z?—2c.

7.B

224111

由题意可知，力的取值可能为-2,0,2.因为P（X=2）=—x—=一，p（X=—2）=—x—二一,

v733917339

7144149

P(X=0)=C；x—x—二—所以5(X)=§x2+(—2)x§+§x0=1.故

v72339

D。)

8.D

如图，过点〃作直线y=x+l的垂线，垂足为户，设圆〃的半径为r.易知直线y=x+l的倾斜角为45

点4的坐标为（一1,0）.

6

若点〃在点”左侧，则有J51PMi+|〃叫=3,即「+1+血—=3,解得厂=——=20—2；若点〃(记

V2+1

为M')在点"右侧，A/P垂直于y=x+l,则J5PM[―阳叫=3,即后一—1=3,解得

=40+4.

V2-1

9.BD

因为二项式系数之和为64,所以“=6,则该展开式中共有7项，A错误；令x=l,得该展开式的各项系数

之和为1,B正确；通项1+1=C>(2X)6-1—十)=(—1)、C>26T•:一5:令6_|厂=0,得厂=4,

(=(—1)4XC：X22=60,C错误；二项式系数最大的是C：,它是第4项的二项式系数，D正确.

10.ABC

对于A,有C；A；=18种排法，故A正确；对于B,采用捆绑法，有A；=6种排法，故B正确；对于C,采用

A4

插空法，有A：A；=12种排法，故C正确；对于D,有*=4种排法，故D错误.

11.ABC

建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体的棱长为1,则所以QP=

45=(1,0,-1),所以QP・A3=0,所以A正确.

当/=；时，QP=1o,g,o[=；8C,所以PQ〃BC,从而PQ〃平面BCG耳，B正确.

当"g时，QP=[H]，℃=。，0，°)，所以夕。与必所成角的余弦值为cos0c的=*，C正

确.

当/=；时，A.QAB,=Q,0,-||-(l,0,l)^0,所以4Q不垂直于A耳，所以AQ不垂直于平面以与，D

7

错误.

由%=4%2，得X=3+4（%-3）.因为点"（%,斗）在椭圆，上，

2

(2X2)+3-3X)2

-------------1----------------------------

1,(2%+3-32)~-fi外,

所以《94消去马得

224

2+五=1,

194

1Q0_C132-5

解得/”又应＜2,所以<2,显然Xwl,解得(1,5).

62

13.3

Z+37/+37

因为钎18+2.2+3+5=3,上乙，所以匕H=3.75x3—1.25,解得1=3.

444

27

14.1；——

64

339

易知X~B\3,二一.因为石(x)=—,所以3x——=—,解得m=1,所以

vm+3'74m+34

P(X=2)=W=||

15.|

4x3242

设事件A="第一次抽到函数题"，3="第二次抽到函数题”，则P（AB）=——=—,P（A）=-=-,所

6x5563

以脚力常!

8

16.2-2^3

由题意可知，不服从两点分布，可得E（X）=p,0<p<l,

D(X)=(l-p)p.

4D(X)-3_4/?(l-/?)-3=2—2/?——=2—2p+<2-22p-^—=2—2^/3,当且仅当

2E(X)—2p2P〔"2pJN'2P

2p=—,即/?=1时，----（/）、一取得最大值2—2.

2p22E（X）

17.解:（1）由题意可知，e=160—60=100,……1分

/=120-100=20,……2分

^=80-60=20,……3分

/?=200—160=40.……4分

201

故男生中是非数学专业的概率P=上匕=土.……5分

1206

〜「2200x(100x20-60x20)25

(2)由题意可知/2=------\----------------------L=—«2.083.8分

160x40x120x8012

又因为1—90%=10%,而且查表可得P（/>2.706）=0.1,

由于2.083<2.706,所以没有90%的把握认为选数学专业与性别有关.……10分

18.解：直线/：y=左（九一1）过定点A（l,0）.2分

选①.（1）因为ACLCN,所以CN〃x轴.……3分

设N（x,6），则（x—1『+（6—若『=1，解得x=0或无=2,……5分

所以直线/的斜率左=走二。=一百或左=走二9=百.……6分

0-12-1

9

整理得2y2—36y+3=0，yN-yM=^.又%=G所以加……10分

因为。V〃x轴，|OV|=1,所以S^〃Nc=gxlxG—孚］=曰.……12分

选②.（1）因为△口〃为等边三角形，所以圆心。到直线/的距离d=lxsinP=Y3,……3分

32

5分

解得左=土石.……6分

8分

整理得2y2—3道y+3=0,解得y=退或y=#.……10分

不妨设点”的纵坐标为JL则CN〃X轴，|CN|=1,所以％MNC=94凤］:宇.12分

注：或直接求工他叫=gxl2xsin1=q・

10

3

选③.（1）因为|AA1|+|AN|=3,所以点力到弦睇的中点£的距离为5,3分

3

此时cosNC4E=^=孝，所以NC4E=3O°,

5分

所以直线/的倾斜角为60°或120。，则左=土石.6分

/

（2）联立方程组《消去X得士8分

整理得2y2—3道y+3=0,解得y=退或y=#

10分

不妨设点"的纵坐标为四，则。V〃x轴，|OV|=1,所以S^MNC=LX1XV3-

12分

一彳

19.解：设直线，的方程为了=切+4,B（x2,y2）.1分

x=my+4,1

联立方程组消去x^y-Amy-16=0,3分

『4羽

所以％+%=4根，%%=一16.4分

（1）因为线段47的中点为所以％+%=4根=2,解得加=g,……5分

所以/的斜率为2.……6分

（2）证明：因为。4=（外,%）,08=（九2,%），所以。4-OS=^x2+yry2.8分

22

又XX=&•近=16,所以。4・。8=16—16=0,……10分

44

所以NAOB=90°,故以线段46为直径的圆过坐标原点。.……12分

20.解：（1）设“选出的5人中恰有2人是知名选手且这2名知名选手来自同一俱乐部”为事件4……1分

5分

则.”弋户1

（2）由题意可知，才的取值可能为1,2,3,4,5.

clc45

P(x=i)6分

年126

11

P（X=2）=^=|2,……7分

c903

p（X=3）=*=3,……8分

P（X=4）=^=竺，……9分

''段63

「51

P（X=5）=—1-=，10分

\）Cg126

所以随机变量才的分布列为

12345

52010101

P

126632163126

……11分

A/s15c20010/10<125

E(X)=lx-----F2Xi-3xF4XF5X=—.12分

'71266321631269

21.(1)证明：如图，连接〃?，AC.

因为ABCD—44G2为棱台，所以44，G-。四点共面.

又因为四边形26切为菱形，所以3。，AC.……2分

因为44,_1平面/及/,5£>u平面/及/,所以44]3D.

又因为A&AC=A且AArACu平面ACC]A，所以50,平面ACGA.……4分

因为CQu平面ACCiA，所以5DLCG.……6分

(2)解：取宽的中点0,连接第.

因为底面"优》是菱形，且NABC=60°,所以△力6c是正三角形，所以AQL8C,

即AQLAD.

又44,，平面/况》,所以以/为原点，AQ,AD,A4所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间

直角坐标系，则A(O,0,0),4(。，。/)，〃(。/，1)，e(Ao,o).

12

假设点£存在，设点£的坐标为（、后,尢0）,-1<2<1,可得AE=（g,40）,AD1=（0,1,1）.

/、n•AE=A/3X+Ay-0,

设平面ARE1的法向量为〃=（x,y,z）,则v

n-ADX=y+z=0.

取x=/l,可得y=-0，z=g,所以〃=（/,—6,6）.又平面ADD］的一个法向量为AQ=（6,o,o1

所以cos（AQ〃）=产凶=L解得几=±巫.……9分

'/也用荷45

由于二面角E—A“—。为锐角，则点£在线段宓上，所以4=巫，即。e=1—巫.

155

故比