2025年高考数学大题复习训练：分组法和并项法求数列前n项和（原卷）

第03讲分组法和并项法求数列前n项和

考法呈现

弘考法一：分组法求数列前n项和

例题分析

［例1］已知数列5｝满足四+||+…+9冶(neN*).

(1)求｛an｝的通项公式；

(2)在｛an｝相邻两项中间插入这两项的等差中项，求所得新数列｛6n｝的前2〃项和72n.

满分秘籍

若数列｛溯的通项公式为G=为土切，且｛aj,｛4｝为等差或等比数列，可

采用分组分别求和法求数列｛cj的前A项和.

变式训练

【变式1-1］已知正项数列｛aj的前律项和为Sn，满足an=2/3-1.

⑴求数列｛%｝的通项公式；

⑵若bn=ancos等，求数列｛%｝的前3n+1项和也什〉

【变式1-2】在等比数列｛册｝中，已知a2=4,a5=32.

⑴求数列｛%｝的通项公式；

(2)设%=(-1)".log2an,求数列｛垢｝的前n项和Sn.

【变式1-3］在等比数列｛an｝中,a7=8a4,S^a2,a3-4,。4-式成等差数列.

(1)求｛%J的通项公式；

n

(2)设"=(-l)log2an,数列｛⑥｝的前n项和为〃，求满足1底1=20的人的值.

【变式1-41S.为数列｛册｝的前n项和，已知6Sn=碎+3an-4,且a“>0.

(1)求数列｛册｝的通项公式期；

2345678910

(2)数列出„｝依次为：的,3,a2,3,3,a3,3,3,3,a4,3,3,3,3-,规律是在为和必+i中间插入k(keN*)

项，所有插入的项构成以3为首项，3为公比的等比数列，求数列仍”｝的前100项的和.

弘考法二：并项法求数列前n项和

f忠,例题分析

【例2］已知数列｛an｝的前n项和Sn满足2Sn=(n+l)an,且即=1.

(1)求的通项公式；

(2)若肩=(-1,哈求数列｛bn｝的前n项和7n.

满分秘籍

“并项求和”一般包括两类问题：①同一数列的相邻两项(三项或多项)

并成“大项”之后，各个“大项”又呈现出有规律特征，进而通过“大项”的

求和得出结果.②两个数列对应项的和(差)并成“大项”，通过求“大项”的

和得出结果.

1变式训练

【变式2・1］已知九｝是等差数列，的=1,dWO,且的,a2,。4成等比数列.

⑴求数列｛册｝的通项公式；

(2)令0=Qn(n+1)，记%=—瓦+82一力3+…+(-1)"九，求Sn.

【变式2-2］记5建为数列｛%｝的前71项和,已知的=1,且满足71azi+1=(n+1)0n+1.

(1)证明：数列｛册｝为等差数列；

(2)设"=*iicosn兀，求数列｛0｝的前2n-1项和

【变式2-3］已知｛aj是各项均为正数的数列，Sn为卬薪｝的前〃项和，且可，Sn,册-2成等差数列.

(1)求｛%J的通项公式；

n

(2)已知“=(-l)an,求数列｛b｝的前n项和7rl.

【变式2-4】设等比数列｛%｝的首项为刖=2,公比为q(q为正整数)，且满足3a3是8al与的等差中项；

数列｛%｝¥两足2层—(t+6n)n+—bn=0(t£7?,nGN*).

(1)求数列｛%J的通项公式；

(2)试确定t的值，使得数列｛bj为等差数列；

(3)当电｝为等差数列时，对每个正整数匕在以与a—之间插入久个2,得到一个新数列&｝.设〃是数列&｝

的前几项和，试求Tioo.

国真题专练

1.已知｛端为等差数列，%=-6'”为奇?，记Sn，7n分别为数歹K%｝,也｝的前〃项和,S4=32,%=16.

(20n，九为偶数

(1)求｛%J的通项公式；

(2)证明：当71>5时，Tn>Sn.

2.2知数列｛册｝和仍租满足:%=1,an+bn=an+1,0n-"=A(2为常数,且4。1).

(1)证明：数列｛勾｝是等比数列；

(2)若当九=3和九=4时，数列｛a九｝的前n项和S九取得最大值，求S九的表达式.

3.已知数列｛an｝的前几项和为S“，满足%=2(册一1).等差数列｛bn｝满足力=a2,bs=a3.

(1)求｛an｝,｛%｝的通项公式；

(2)将数列｛与｝满足(在①②中任选一个条件)的第爪项取出，并按原顺序组成一个新的数列｛4｝,

求｛%｝的前20项和720.①log4am=瓦，弧=3瓦+1，其中keN*.

4.已知数列｛an｝的前？1项和为%,为=l,a2=2,(2n+3)Sn+1=(n+2)Sn+(n+l)Sn+2(n£N*).

(1)求数列｛%｝的通项公式；

(2)已知数歹gog2箸｝的前n项和为7”金=[TJ(取整函数因表示不超过x的整数，如[2.1]=2),求数列｛%｝

的前100项的和Mi。。.

5.已知各项均不为零的数列｛%｝满足的=1,其前"项和记为S”，且全亚1=2n2,neN*,n>2,数列｛“｝

an

湎足与=CLn+。n+1'，71GN.

(1)求。2,Si。？；

(2)求数列｛(1+3九)〃｝的前n项和T九.

6.设数列｛册｝的前n项和Sn满足S九=2an-且%,a2-1,的一3成等比数列.

⑴求数列｛册｝的通项公式；

(2)设《垢+册｝是首项为1,公差为2的等差数列，求数列｛%｝的通项公式与前几项和7V

7.已知正项数列｛%J满足a1=1,碎+i-底=8n.

(1)求｛an｝的通项公式；

(2)记“=an•sin修，兀)，求数列｛4J的前2023项的和.

8.已知等比数列｛册｝的公比q>1,前〃项和为Sn,满足：S3=13,或=3即.

(1)求｛册｝的通项公式；

(2)设勾=黑数'求数歹/｝的前射项和加

9.已知等差数列｛%｝与等比数列也｝的前几项和分别为:Sn，〃,且满足:%=3,等=竺萼，与包=2一层_

71+24

71—1

(1)求数列｛册｝,｛%｝的通项公式;

yfb^,ri为奇数

(2)若。„=求数列｛c“｝的前2n项的和U2.

2m为偶数n

10.已知｛%｝为等差数列，｛%｝是公比为正数的等比数列,a1=b1=2,a2=2b1-l,b3=2a2+2.

(1)求｛%J和的通项公式；

⑵设&｝满足…％十；,；鼠广(分)

记｛cn｝的前几项和为Sn,求$64.

11.已知数列｛册上ar=1,nan+1-(n+1)0n=1.

⑴求数列｛册｝的通项公式；

(2)若数列也｝满足“=sin停册+J+cos(7can),求数列也｝的前2九项和7^

12.已知数列｛an｝满足的=1,a九+i二上艺,九EN*.

an

(1)证明｛署｝是等比数列;

(2)若0=三，求｛%｝的前几项和％.

13.已知等差数列｛a“｝满足＜23=10,a5-2a2=6.

(1)求an；

2-1,71为奇数

(2)数歹K*｝满足%=1%便将，〃为数列｛⑥｝的前n项和，求72广

飙T，n为偶数

14.设等比数列｛an｝的前n项和为Sn,已知a„+i=Sn+l,nGN*.

(1)求数列｛%｝的通项公式；

n

(2)设"=(-l)(an+n),求数列｛%｝的前2n项和72公

15.已知列｛a九｝和｛b九｝》两足a1—3,b]=2,Q九+1—CLn+2/)n,^n+i=2a九+bn.

(1)证明：｛a九+bn｝和｛a九一%｝都是等比数列；

(2)求｛册"｝的前几项和S九.

16.已知数列｛册｝是公差不为0的等差数列，。2=3,且。3，。5，。8成等比数列.

(1)求数列｛%｝的通项公式；

(2)设勾=ancos等，求数列｛bn｝的前2023项和.

17.记又是公差不为0的等差数列｛an｝的前几项和，若a4=忧，54=3S2.

(1)求｛册｝的通项公式；

(2)设(bn+b„+1)Sn=2,求数列｛6n｝的前2n+l项的和72n+i.

18.已知数列｛时｝的首项的=2,其前〃项和为％,且满足£+5-1=Oi+l)(n+2)(n22).

⑴求S21；

(2)设％=等，求数列｛cn｝的最大项.

3兀

19.已知公差不为零的等差数列｛an｝的首项为1,且为,。2，£15是一个等比数列的前三项，记数列｛册｝的前n

项和为治.

(1)求数列｛册｝的通项公式；

n

(2)求数列｛(-l)Sn｝的前20项的和.

20.已知正项数列｛册｝的前n项和为Sn,且4Sn=确+2an-3(neN*).

⑴求数列｛aj的通项公式；

(2)将数列｛%｝和数列｛2与中所有的项，按照从小到大的顺序排列得到一个新数列｛6n｝,求｛6n｝的前100项和.

n+1

21.已知数列｛an｝满足：an+2+(-l)an=2,ax=1,a2-2

(1)求数列｛册｝的通项公式；

⑵记数列｛册｝的前n项和为%,求52023.

22.设Sn为公差不为0的等差数列｛册｝的前n项和，若的,。4，的3成等比数列，S6—S3=33.

(1)求数列｛%｝的通项公式；

(2)设“=2即+In%i,求数列｛%｝的前n项和

an

23.已知｛%｝,｛bn｝分别为等差数列，等比数列，且即=1,b1=2,a3=3,b2=4.

(1)求｛%｝,｛bn｝的通项公式；

(2)求数列｛a2n+3b2n_i｝的前n项和S”.

n

24.已知等差数列｛%｝的前n项的和为4n,且%+a?=3,&=15,数列｛%｝满足%=an-[l+(-l)n](nG

N*).

⑴求数列4｝的通项公式；

(2)设数列｛%｝的前几项和为％，集合P=仙mW100且为W100,neN*｝,求P中所有元素的和S.

25.已知数列｛an｝的前n项和%=嘤,等比数列出n｝满足尻=。2,b3=a3+l.

(1)求数列｛册｝和｛%｝的通项公式;

⑵若"『比，求数歹皿｝的前如项和密

26.已知数列｛时｝为非零数列，且满足+J…(1+J=2T.

(1)求数列｛%｝的通项公