初中数学中考复习讲义练习：等积变换法

等积变换法

【规律总结】

在平面几何图形中，我们往往可以根据同底等高、等底同高、等底等高等等发现面积

相等的图形，这些图形有的形状相同，有的形状不同，但既然面积与面积之间具有相等关

系，我们就可以相应地进行一些转化，从而使问题解决起来更加简便。

【典例分析】

例1、如图，在△ABC中，E是8c上的一点，EC=2BE,点、D

是AC的中点，设△力8C,AADF,ABEF的面积分别为S—BC，

SAADF，S^BEF，且S—BC=12,贝!JS—0F-S4BEF=()

A.1

B.2

C.3

D.4

【答案】B

【解析】

【分析】

本题考查三角形的面积，关键知道当高相等时，面积等于底边的比，根据此可求出三角形的

面积，然后求出差.

s“ADF-SABEF=SAABD-S“BE，所以求出三角形48。的面积和三角形ABE的面积即可,

因为EC=28E,点D是AC的中点，且SA4BC=12,就可以求出三角形A3。的面积和三

角形ABE的面积.

【解答】

解：•••点。是AC的中点，

・•・*北，

・「^LABC=12,

11

AABC

，•^LABD=2^=3X12

•・,EC=2BE,SLABC=12,

SAABE=.SAABC=,x12=4,

SAABD-S^ABE—(S-DF+SAABF)—64ABF+S8BEF)=^^ADF—S^BEF，

即S“DF-S^BEF=SMBD—SA/BE=6—4=2.

故选反

例2、阅读理解

基本性质：三角形中线等分三角形的面积.如图，AD是AABC边BC上的中线，贝USAABD

理由：•••AD是△ABC边8c上的中线

•••BD=CD

又,；SAABD=QBDxAH；S^ACD=-CDxAH

1

•*,S^ABD=S^ACD—QS^ABC

•••三角形中线等分三角形的面积

基本应用:

图1图2图3图4

(1)如图1,延长AABC的边BC到点。，使CD=BC,连接04则SAACD与SAABC的数量

关系为：；

(2)如图2,延长AABC的边BC到点。，使CD=BC,延长△4BC的边CA到点E,使

AE=AC,连接DE厕SMCD与S-BC的数量关系为：；(写出你的理由)；

(3)在图2的基础上延长A8到点尸，使FB=4B,连接ED,FE,得到△DEF(如图3).则

SAEFD与SAABC的数量关系为：；

(4)拓展应用：如图4,点。是△ABC的边8c上任意一点，点£,尸分别是线段A。，

CE的中点，且△力BC的面积为18加2,则ABEF的面积为cm2.

【答案】(1)SA4BC=SA4C0；

(2)SACDE—2SAABC；

(3)SAEFD=7SAABC；

(4)4.5.

【解析】

【分析】

本题是考查了三角形的面积及等积变换，本题有一定难度，关键是需要通过作辅助线，运用

三角形中线等分三角形的面积才能得出结果.

(1)由AABC与△4CD中BC=CD,由三角形中线等分三角形的面积即可结果；

(2)连接A。，由CD=BC,由三角形中线等分三角形的面积，同理可得AaED与AaDC面积

相等，而ACDE面积等于两三角形面积之和，即可得出结果；

(3)连接AD,EB,FC,根据第二问的思路，同理可得阴影部分的面积等于6倍的A4BC面

积，即可得出结果；

(4)拓展应用：点E是线段的中点，由三角形中线等分三角形的面积，求得S"CE=

|SAABC，由点尸是线段CE的中点，根据三角形中线等分三角形的面积,求得SABEF=SXBCF=

落BCE，即可求出ABEF的面积.

【解答】

解：(1)=CD,三角形中线等分三角形的面积，

」•^LABC=SMCD；

故答案为S"BC=SfCD；

(2)连接AO,如图1所示:

•：BC=CD,三角形中线等分三角形的面积,

**•S—BC=S4ADC，

同理S—DE—S—QC，

•*,S^CDE=2s"BC；

故答案为S^CDE=2sFBC；

(3)连接AO,EB,FC,如图2所示：

由（2）得：S^CDE=2sFRC，

同理可得：S-E尸=2s-BC，S^BFD=2s△ABC，

••S〉EFD=S〉CDE+SfEF+S^BFD+^^ABC=LABC+LABC+2S〉ABC+LABC7sAABC：

故答案为S^EFO=7s2ABC；

(4)拓展应用:

•・•点E是线段4。的中点，由三角形中线等分三角形的面积,

S&ABE=ShBDE，S&ACE=S&CDE，

S^BCE=2S44BC，

•••点/分别是线段CE的中点，由三角形中线等分三角形的面积,

S^BEF-ShBCF=JSABCE，

2

'''S^BEF—[SAABC=1X18=4.5(cm)；

故答案为4.5.

(1)描出可利用的一个格点，仅用直尺画出AABC的A8边上的高CQ；

(2)计算△4BC的面积为；

(3)画出△4BC向右平移4个单位后得到的4aB16；

(4)图中AC与4C1的关系是：；

(5)在AC的右侧找出图中能使S-BC=SAABQ的所有格点(分别用。、Q2>……分别

表示)

【答案】解：(1)高线CD如图所示;

(2)8；

(3)如图,A&BiG为所作;

(4)平行且相等；

(5)如图所示：

【解析】

【分析】

本题考查了作图-平移变换，高线的作法，网格中三角形的面积计算方法，涉及了割补法计

算面积，属于中档题.

(1)根据作高线的方法，作出高即可；

(2)根据割补法，算出△力BC的面积即可；

(3)根据图形平移的性质，画出AaiBiG即可；

(4)根据平移的性质，可得出AC与AR的关系；

(5)首先根据的面积，根据同底等高进而得出。点的个数.

【解答】

解：(1)见答案;

■1-1-1

(2)△4BC的面积=5x7-|x2x6-|xlx3-|x5x7-2xl

=35-6-1.5-17.5-2

=35-27

=8；

故答案为8；

(3)见答案；

(4)由平移的性质可得，AC与4的的关系为平行且相等，

故答案为：平行且相等；

(5)见答案.

【好题演练】

一、选择题

1.如图所示，在△A8C中，点。是BC上的一点，已知AC=CD=

5,AD=6,BD=|,则AABC的面积是()

A.18

B.36

C.72

D.125

【答案】A

【解析】

【分析】

本题考查的是勾股定理，三角形的面积，面积法有关知识，先作辅助线，4岳1(7。于点£,

CF14D于点R然后根据勾股定理，可以得到CP的长，再根据等积法可以得到AE的长,

然后即可计算出△ABC的面积.

【解答】

解：作4E1CD于点E,作CF14D于点凡

BDE

VAC=CD=5,AD=6,CF1ZD,

/.AF=3,N”C=90。，

・•・CF=y/AC2-AF2=4，

..CDAE_ADCF

,一,

22

.SAE_6X4

••2一2，

解得.=

•••BD=-,CD=5,

2

15

*'•BC=—,

2

1524

・•.△ABC的面积是：些空=二=18・

22

故选A.

2.如图，点P是矩形ABC。的边上的一动点，矩形的

两条边AB,BC的长分别是6和8,则点尸到矩形的两

条对角线AC和8。的距离之和是（）

A.4.8

B.5

C.6

D.7.2

【答案】A

【解析】略

3.如图，PA,PB分别与。。相切于点A,B,PO交。。于点E,

过点2作弦若PA=2PE=4,则BC的长为（）

24

C.

5

D.4

【答案】B

【解析】

【分析】

本题主要考查了切线的性质，垂径定理，勾股定理等知识点.根据切线的性质和勾股定理先

求得圆的半径，再利用面积相等和平行线的性质求得的长，最后利用勾股定理和垂径定

理即可得到答案

【解答】

解：如图，连接。5,过点8作BF1P。交P。于尸，过点。作。DLBC交于点，

PA,PB分别与O。相切于点A,B,PA=2PE=4,

PB=P4=4,OB1PB,PE=2,

设圆的半径为r,则(2+「)2=42+N,

解得，r=3,

・•・S"="。•BF=.OB

•••|x(2+3)xBF=|x4x3,

解得，BF

VBC//P0fBF1PO,OD1BC,

...OD=BF=y12,

:.BD=y/OB2-OD2=.一传丫=I，

BC=2BD=2x-9=—is.

55

故选B.

4.如图，在回力8c中，已知。、E、尸分另IJ是BC、AD.CE

的中点，且品ABC=4cm2,则图中回BEF的面积是（）

A.2cm2/

::::

D.-cm2

4

【答案】B

【解析】

【分析】

本题主要考查了三角形面积的等积变换：若两个三角形的高（或底）相等，其中一个三角形的

底（或高）是另一三角形的几倍，那么这个三角形的面积也是另一个三角形面积的几倍.结合

图形直观解答.

如图，因为点尸是CE的中点，所以ABEF的底是A8EC的底的一半，△8EF高等于△BEC的

高；同理，D、E、分别是BC、A。的中点，AEBC与AABC同底，△EBC的高是△4BC高的

一半；利用三角形的等积变换可解答.

【解答】

解：如图，点尸是CE的中点，

・•.△BEF的底是ERABEC的底是EC,即EF=|EC,高相等；

,,,SABEF=QSABEC，

D、E分别是2C、AD的中点，同理得，

1

S&EBC=5s△ABC，

'.SABEF=*AABC'=4cm2,

1,■SRBEF=Id??2,

即阴影部分的面积为ICE?.

故选：B.

5.如图，在平面直角坐标系xOy中，点A,8的坐标分别为（一2,0）,（2,0）,点C在y轴正

半轴上，且。C=4B.将线段AB平移至线段C£>,A点的对应点为C点，2点的对应点

为。点，连接AC,BD.当点尸在x轴上时，若△PCD与y

△4CP的面积相等，则点尸的坐标为().CI---------------1D

A.(2,0)或(—6,0)B.(2,0)//

C.(-6,0)D.(-2,0)或//|/.

(-6,0)-士~

【答案】A

【解析】

【分析】

本题考查了坐标与图形变化-平移，三角形的面积，熟记平移变化只改变图形的位置不改变

图形的形状是解题的关键.

由三角形的面积得出CD•OC=AP»0c.即可得4P=CD=4,则可得出答案.

【解答】

解：(I)、•点A,8的坐标分别为(-2,0),(2,0),

OA=2,OB=2,

•••AB=4,

•・•OC=AB,

••・OC=4,

••・将线段AB平移至线段

•••CD=4,

•••D(4,4),由平移性质可知：CD=AB=4,

1-1

S"CD=]CD，OC,S“cP=34P.0C,且SMCO=^LACP，

・•・CDOC=AP-OC.

即AP=CD=4,

.••点P的坐标为(2,0)或(—6,0).

故选A.

6.如图，四边形48GH、四边形8CFG、四边形CDEE都是正方形，过点B作BM1HC于

点M,过点C作CN1//D于点N,则9=()

【答案】B

【解析】

【分析】

本题主要考查的是勾股定理及三角形的面积，设48=a,求出AC、HO的长，再求出AHBC

和△HCD的面积，再求出CM的值即可.

【解答】

解：设48=a,

则=y/a2+(2a)2=V5cz>HD==Ja2+(3a)2=VlOa,

22

又,：S3HBe=-AH=1a,SLHCD=^CD-AH=^a,

S^HBC-S^HCD'

BM-HC=CN-HD-

.CN_HC_V5a_V2

"BM~HD~VlOa_2,

故选艮

二、填空题

7.如图，E、E是平行四边形ABC。的边AB、C。上的点，与。E相交于点P,BF与

CE相交于点Q.若S-PD=15cm2,SABQC=25cm2,则阴影部分的面积为cm2.

【答案】40

【解析】

【分析】

本题综合性较强，主要考查了平行四边形的性质，解答此题关键是作出辅助线，找出同底高

的三角形.

连接E、F两点，由三角形的面积公式我们可推出S-DF=SA°EF，所以SAAPD=SAEPF=

15cm2

S^BQC=SXEFQ=25cm2,所以阴影部分的面积就是以3。+S&BQC.

【解答】

解：如图，连接取

•••△ADF与ADEF同底等高,

SAADF=S^DEF

即SA40F—S^DPF=S^DEF-S^DPF，

即SAAPD=S^EPF=15cm2,,

・•・阴影部分的面积为SAEP尸+S&EFQ=15+25=40(cm2).

故答案为40.

8.如图，点E、B是平行四边形ABC。的边A3、。。上的点，AF与。E相交于点尸，BF

22

与CE相交于点Q,若SMPD=14cm,ShBCQ=16cm,

则四边形PEQF的面积为.

【答案】30cm2

【解析】如图，连结所.

ADF^LDEF同底等高，

同理可得S&BQC=S4EFQ=16cm2,

，,四边形PEQF的面积为SAEPF+SAEFQ=14+16=30czn2.

9.如图，圆心角为90。的扇形C48内，以BC为直径作半圆，连

接4艮若阴影部分的面积为5兀-5,则4C=_____.

【答案】2V5

【解析】解：将原图区域划分为四部分，阴影部分分别为工，S2；两块空白分别为S3,S4,

连接DC,如下图所示：

由已知得：三角形43c为等腰直角三角形，Si+52=5兀-5,

•••BC为直径,

ACDB=90°,即CD_L4B,

故CO=DB=DA,

O点为诧中点，由对称性可知曲与弦CD围成的面积与S3相等.

设24c=BC=x,

则S嫁4CB—$3_S4=S]+$2,

苴中=904/=兀/

，、T°扇4cB3604

JC丫2

171人c人（1

AB一-X------=---------------Do,

$4=S&ACB-SCDS3=3'XJ''2$4§

故：^-S3-（Y-53）=57T-5,

求解得：/=2亚,x2=—2遮（舍去）

故答案：2后

本题可利用扇形面积公式以及三角形面积公式，用大扇形面积减去空白部分面积求得阴影部

分面积，继而根据已知列方程求解.

本题考查几何图形面积的求法，常用割补法配合扇形面积公式以及三角形面积公式求解.

10.如图所示，AELAB,且4E=4B,BC1CD,且BC=CD,按照图中所标注的数据,

实线所围成的图形的面积是

【答案】50

【解析】

【分析】

本题主要考查全等三角形的判定与性质，面积及等积变换的知识，解答本题的关键是根据三

角形全等求出ARAG、GC、C8的长，本题比较简单，但是计算时要细心.根据4E14B,

BC1CDSLAB=AE,BC=C。等条件可以证明AAEFmABAG,ABCG=^CDH,即可求出

AF,AG,GC、C8的长，然后根据梯形的面积公式和三角形的面积公式即可求出图中实线

所围成的图形面积.

【解答】

解：VEFLFG,BG1XC,

・•・^LEFA=乙AGB=90°,・•・^AEF+Z.EAF=90°,^BAG+Z.ABG=90°,

AE1AB,

・•・AEAB=90°,AEAF+Z-BAG=90°,

Z.EAF=(ABG,

5LAE=AB,

.・・AF=BG=3,AG=EF=6,

同理可证4BCG=^CDH,

.・.GC=DH=4,CH=BG=3,

••・FH=FA+AG+GC+CH=16,

...图中实线所围成的图形面积=S直角梯形EFHD~S〉EFA~^LABC~LCDH

=-(6+4)xl6--x3x6--x3xl0--x3x4

=80-9-15-6=50,

故答案为50.

11.如图，在矩形ABCD中，对角线AC,BD交于点、O,过点A

作瓦41a4交的延长线于点E,若4B=3,BC=4,则

暖的值为____.

AE

【答案】£

24

【解析】

【分析】

本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的

公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通

过作平行线构造相似三角形；在利用三角形相似的性质时主要利用相似比计算线段的长.也

考查了矩形的性质.作BH_L于H，利用矩形的性质得。4=。。=。8,乙4BC=90。，则

根据勾股定理可计算出AC=5,AO=OB=l，接着利用面积法计算出BH=芳，于是利用

勾股定理可计算出。"=j然后证明4OBHfOEA,最后利用相似比可求出器的值.

10AE

【解答】

解：作B”ioa于“，如图，

••・四边形4BC。为矩形，

•••OA=OC=OB,4ABC=90°,

在Rt△力BC中，AC=V32+42=5,

AO=OB=

2

■■--BH-AC=-AB-BC,

22

n-3X412

・••BH=——=—,

55

在Rt△OBH中，OH=VOB2-BH2

7

=G'

EALCA,

・•.BH//AE,

OBH^LOEA,

BH_OH

AE-OA

生=也=靠=z

AE~BH~~24

5

故答案为套.

12.如图，在三角形ABC中，人81人(：于点4,AB=6,AC=8,

BC=10,点尸是线段BC上的一点，则线段AP的最小值为

【答案】Y

【解析】

【分析】

此题考查了垂线的概念与性质，掌握好等积变换法是解题的关键.

根据等积变换法得出AP的距离.

【解答】

解：•••点A到BC的最小值是自A点向作垂线，

又♦.,力B14C,AB=6,4C=8,BC=10,

11

,1,S三角形ABC=々ABxAC=々APxBC，

6x8=10AP,

即4P=y.

故答案为g.

三、解答题

13.如图，所有小正方形的边长都为1,三点都在格点上.

(1)过点B画直线AC的垂线，垂足为G;

(2)比较BC与8G的大小：BCBG(填“>”“〈”或“=”)，理由是;

(3)线段BG的长度是点B到直线的距离

(4)三角形A8C的面积=,

已知4C=5,求BG的长=

【答案】解：(1)如图所示，BG即为所求;

(2)>；垂线段最短；

(3)AC；

(4)6.5,2.6.

【解析】

【分析】

本题主要考查作图-应用与设计作图，解题的关键是掌握垂线段的定义和性质及割补法求三

角形的面积等知识点.

(1)根据垂线的定义，结合网格特点作图即可得；

(2)根据垂线段的性质求解可得；

(3)根据点到直线的定义即可解答；

(4)先利用割补法求44BC得面积，再利用［XACXBG=求解可得.

【解答】

解：(1)见答案；

(2)BC>BG,理由是点到直线的所有线段中，垂线段最短，

故答案为〉、垂线段最短；

(3)线段BG的长度是点B到直线AC的距离，

故答案为AC;

111

(4)S44BC=4X4——x1x4——x1x3——x4x3=6.5,

VAC=5,

/x"xBG=6.5,可X5XBG=6.5,

解得BG=2.6,

故答案为6.5、2.6.

14.如图，在正方形A8C0中，^EAF=45°,AQ于点

求证：AQ=AD.

证明：延长CD到P,使DP=BE.连接AP.

•・•四边形A3CQ是正方形，

AD=AB,Z,B=乙40c=90°,

在△ABE和△4DP中，

AB=AD,

CB=Z.ADP=90°

BE=DP

^ABE=^ADP(SAS)

・•・AE=A,/.BAE=LDAP

•・•Z.EAF=45°

・•・^LPAF=^DAF+^LDAP=^DAF+^BAE=90°-^EAF=45°,

在△河£*和A/FP中，

AE=AP

•••Z.EAF=Z-PAF

AF=AF

•••△/FEw△/尸P(S4S),

•••EF=FP,SLAFE=S^AFP

ii

-EFxAQ=-FPxAD

2<2

•••AQ—AD.

【解析】本题考查了全等三角形的判定与性质、正方形的性质的知识，熟练掌握全等三角形

的判定与性质是关键.

利用辅助线及正方形的性质可证明A48E三△4DP(SAS)得到：AE=AP,Z.BAE=/.DAP,

又NEAF=45°,贝ikPAF=/.DAF+/.DAP=^DAF+乙BAE=90°-Z.EAF=45°,从而证

得AAFE三△4FP(S4S),由面积相等可得结论.

15.如图，AB是。。的直径，C是筋的中点，CE148于点E,BD交CE于点、F.

(1)求证：CF=BF;

(2)若CD=6,AC=8,求O。的半径及“的长.

【答案】(1)证明：,••4B是。。的直径，.•.N4CB=90。，.••立月=90。-乙4BC.

•••CELAB,ZCE8=90°,•••Z.ECB=90°-/.ABC,Z.ECB=ZA.

又「C是筋的中点，/，••・NCDB=4CBD,

又•••Z.CDB=Z.A,.­,乙DBC=ZA,Z.ECB=乙DBC,■.CF=BF.

(2)M：-.■BC=CD>.-.BC=CD=6,

^.ACB=90°,AB=y/BC2+AC2=V36+64=10,

・•・O。的半径为5,

■-S^ABC=\AB-CE=\BC-AC,

“BCAC6X824

・••CE=-------=——=——

AB105

【解析】

【分析】此题考查了相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、圆周角定理、等

腰三角形的性质以及角平分线的性质等知识.此题综合性很强，难度适中，注意数形结合思

想与方程思想的应用，注意辅助线的作法.

(1)要证明=可以证明41=42；AB是O。的直径，贝1|乙4。8=90。，又知CE12B,

则NCEB=90。，贝吐2=9(r-N4CE=NA,zl=AA,贝吐1=N2；

(2)在直角三角形ACB中，AB2^AC2+BC2,又知，BC=CD,所以可以求得AB的长，

即可求得圆的半径；再根据三角形相似可以求得CE的长.

16.(1)如图①，4。是AABC的中线.△ABD与AACD的面积有怎样的数量关系？为什么？

(2)若三角形的面积记为S,例如：AaBC的面积记为S—BC•如图②，已知S—BC=1•△

ABC的中线A。、CE相交于点。，求四边形BDOE的面积.

小华同学利用(1)的结论，解决了上述问题，解法如下：

连接BO,设SABEO=x,SRBDO=y,由(1)结论可得：S"CE=^ABAD=]SXABC=&，

SABCO=2SABDO=2y,S^BA0—2SABE0-2x.

1

x+2y=

S^BEO+S^BCO=SMCE即2

则有1

SkBAO+S^BDO=^LBAD2%+y=

2

所以无+y=押四边形BDOE面积为

请仿照上面的方法，解决下列问题:

①如图③，已知SAABC=1-D、£是BC边上的三等分点，F、G是42边上的三等分点,

AD,CT交于点。，求四边形20。尸的面积.

DE

图0

②如图④，已知另4夙;=1。、E、尸是BC边上的四等分点，G、H、/是A2边上的四

等分点，AD,CG交于点。，求四边形BD0G的面积.

BDE

图@

【答案】解：(I)SAABD=S^ACD.

4。是A4BC的中线，

BD=CD,

又•・•△480与44CD高相等，

(2)。)如图3,连接B0,设S^BFO=x9S^BDO=y，

A③E

S^BCF=S—BO=~^LABC

S^BCO~3s△B。。—3y，

S^BAO=3s△BRO=3x.

则有：IS^BFO+S^BCO=S^BCFgpI%-3

S^BDO+^ABAO=^LABD)y_|_3%=1

所以％+y=g即四边形BDO尸的面积为士

oo

②如图,连接BO,设SABDO=x,S^BG0=y9

图④

S^BCG=^LABD=4^LABC=［，

S^BCO~4s△口。。=4%»

S^BAO—4s△RGO=4y・

%+4y=i

则有:S^BDO+S—OB=S^ABD即

SABGO+S^BCO=S^BCGy+4%=1

所以x+y=2,即四边形BOOG的面积为高

【解析】本题主要考查了面积与等积变换，等底等高的三角形的面积相等等知识，解题的关

键是正确分析三角形各部分之间的关系.

(1)利用等底等高的三角形面积相等求解即可;

(2)①连接B。，设4BFO=X，SABDO=V，根据三角形间的面积关系列出方程组求解即可;

②连接B。，设SAB0O=X,S"G。=丫，根据三角形间的面积关系列出方程组求解即可•

17.如图，矩形ABC。中，AD=3,AB=4,点尸是对角线AC上一动点(不与A,。重合)，

连接5尸，作PE1PB,交射线。。于点E,以线段产区尸5为邻边作矩形BPEE过点尸

作GH1CD,分别交A3、CD于点G、H.

DHEC

(1)求证：XPGBfEHP；

(2)求色的值;

(3)求矩形BPEF的面积的最小值.

【答案】(1)证明：•••乙PGB=乙EHP=(BPE=90°,

・•・乙PBG+Z.GPB=Z.GPB+乙EPH=90°,

."PBG=NEPH(同角的余角相等)，

.MPGBfEHP；

解：(2)连接

PE1PB,

••・乙BPE=90°,

•・•乙BCE=90°,

・•・乙BCE+么BPE=180°,

・・・尸，B,E,。四点共圆，

・•.Z.PBE=Z.PCE,

在Rt△BPE与Rt△C7M中，

乙BPE=ZD=90°,Z-PBE=Z.ACD,

・•・Rt△BPE〜Rt△CD

PE_PB

AD-DC

口AD

即nP——E=—=3一

PBDC4

(3)方法一：设AP的长为x.

vBC=AD=3,AB=4,

RtLABC由勾股定理可得:

AC=4AB2+BC2=V32+42=5,

X"»4i4GAB_4

vcosZ-GAP=—

APAC~5

44

.・.AG=-AP=-X.

55

同理，sin^GAP=-=—=贝!JGP=2%.

APAC55

在中，PB2=BG2+PG2

=(4—1x)2+(|x)2=x2—y%+16,

,,PE_AD_3

,PB-DC-4・

・•・PE=-PB,

4

S矩形BPEF=PB.PE=：PB2

3/?32t/、3/16、？108

=_(X2__X+16)=_(X__)2+_

0<x<5,

••・久=£时，s有最小值詈.

oo

方法二：设BP=x,x>0,由(2)得PE=]PB=]%,

矩形BPEF的面积为S=f%2,

4

由二次函数性质可知x>0时，S随着X的增大而增大，

•••,当尤，即BP取最小值时，矩形2尸所的面积S取得最小值，

由题可知P在对角线AC上移动，(不与A、。重合)，

.•.当BP14C时，BP最短,(垂线段最短)，

止匕时RtZkABC中，AB=4,BC=3,AC=5,

■■■sAABC=IAB-BC=IAC-BP,

nnABBC3X412

DP=---------==—,

ACSS

矩形BPEF的面积S的最小值为JX小)2=黑.

【解析】本题考查了相似综合题，需要掌握矩形的性质、相似三角形的判定和性质、勾股定

理、锐角三角函数以及二次函数等知识；熟练掌握矩形的性质和勾股定理，证明三角形相似

是解决问题的关键.

(1)由NPGB=NEHP=NBPE=90。，利用同角的余角相等证得NPBG=NEPH,即可证得

结论；

(2)证得P、B、E、C四点共圆，即可得NPBE=NPCE,即可证得AC£M,通过相

似三角形相似比即可得解；

(3)方法一：设力P=x,利用锐角三角函数定义表示出AG、GP、GB,进而利用勾股定理用

x表示出PB2,根据矩形面积公式得出二次函数，再利用二次函数的性质求最值，即可解决

问题.

方法二：设PB=x,则矩形的面积为S=：/,可知当8P时PB取得最小值，则

4

S取得最小值，利用等面积法求出此时的PB长，即可得解.

18.如图，团回4BCD在平面直角坐标系中，AD=6,4(0,4),B(—3,0),点。在第一象限

(1)若石为X轴上的点，且S/AOE=费，求经过E两点的直线的解析式;

(2)若歹为y轴上的点，求的周长的最小值；

(3)若点M在平面直角坐标系内，则在直线A