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文档简介
特殊的平行四边形(第2课时)教学目标1.探索并证明矩形的判定定理,从性质定理的逆命题出发,发展学生的合情推理和演绎推理能力.2.会初步运用矩形的判定定理进行计算和证明.教学重点矩形的判定定理.教学难点能初步运用矩形的判定定理进行计算和证明.教学过程知识回顾1.有一个角是直角的平行四边形叫做矩形,也就是长方形.2.矩形的性质:(1)角:矩形的四个角都是直角;(2)边:对边平行且相等;(3)对角线:矩形的对角线互相平分且相等;(4)对称性:矩形是轴对称图形,每组对边中点所在的直线是它的对称轴.3.直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.【师生活动】教师提出问题,学生解答.【设计意图】复习已学过的矩形知识,为引出本节课的新知作铺垫.新课导入【问题1】工人师傅在做门窗或矩形零件时,不仅要测量两组对边的长度是否分别相等,常常还要测量它们的两条对角线是否相等,以确保图形是矩形,你知道其中的道理吗?【问题2】由矩形的定义可知,有一个角是直角的平行四边形是矩形,除此之外,还有没有其他判定方法呢?【师生活动】教师提出问题,学生分小组交流.【设计意图】通过问题串的形式,引出问题“如何判定一个四边形是矩形”,激起学生的求知欲.新知探究一、探究学习【思考】我们知道,矩形的对角线相等.反过来,对角线相等的平行四边形是矩形吗?【师生活动】教师提出问题,学生分小组交流.教师提示:回顾研究平行四边形的判定的方法,类比得到研究矩形的判定的方法.学生根据提示,大胆猜想:对角线相等的平行四边形是矩形.教师追问:你能证明这个猜想吗?学生分小组交流,并派代表发言,教师板书.已知:如图,在平行四边形ABCD中,AC=BD.求证:平行四边形ABCD是矩形.证明:∵四边形ABCD是平行四边形,∴AB=CD,AB∥CD.∴∠ABC+∠DCB=180°.∵AC=BD,BC=CB,∴△ABC≌△DCB(SSS).∴∠ABC=∠DCB.∴∠ABC=90°.∴平行四边形ABCD是矩形.【新知】矩形的一个判定定理:对角线相等的平行四边形是矩形.数学语言:在平行四边形ABCD中,∵AC=BD,∴平行四边形ABCD是矩形.【设计意图】教师先提出问题,学生分小组合作交流,激起学生的好奇心,引导学生证明猜想,得到判定定理,体会“猜想—证明”的过程.二、典例精讲【例1】如图,在平行四边形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,且OA=OD,∠OAD=50°.求∠OAB的度数.【师生活动】教师提出问题,学生思考并尝试独立作答,教师巡查并纠错.【答案】解:∵四边形ABCD是平行四边形,∴OA=OC=AC,OB=OD=BD.又OA=OD,∴AC=BD.∴四边形ABCD是矩形.∴∠DAB=90°.又∠OAD=50°,∴∠OAB=40°.【设计意图】通过例1的讲解与练习,巩固学生对“对角线相等的平行四边形是矩形”的理解及应用.三、探究学习【思考】前面我们研究了矩形的四个角,知道它们都是直角.它的逆命题成立吗?即四个角都是直角的四边形是矩形吗?进一步,至少有几个角是直角的四边形是矩形?【师生活动】教师引导:有一个角是直角的四边形是矩形吗?教师展示图片,学生思考并回答:有一个角是直角的四边形不一定是矩形.教师提问:有两个角是直角的四边形呢?教师展示图片,学生思考并回答:有两个角是直角的四边形也不一定是矩形.教师追问:有三个角是直角的四边形呢?学生根据提示,小组交流:当一个四边形有三个角是直角时,根据四边形的内角和是360°可知,第四个内角也是直角.得到猜想:有三个角是直角的四边形是矩形.教师追问:你能证明这个猜想吗?学生分小组讨论证明过程,并派代表发言,教师板书.已知:在四边形ABCD中,∠A=∠B=∠C=90°.求证:四边形ABCD是矩形.证明:∵∠A=∠B=∠C=90°,∴∠A+∠B=180°,∠B+∠C=180°.∴AD∥BC,AB∥CD.∴四边形ABCD是平行四边形.∵∠A=90°,∴四边形ABCD是矩形.【新知】矩形的另一个判定定理:有三个角是直角的四边形是矩形.数学语言:在四边形ABCD中,∵∠A=∠B=∠C=90°,∴四边形ABCD是矩形.【设计意图】根据以往的学习经验,经历研究几何图形的过程.能够利用互逆运算研究矩形的判定定理,发展学生的合情推理和演绎推理能力.四、典例精讲【例2】已知平行四边形ABCD,下列条件不能判定这个平行四边形是矩形的是().A.∠A=∠B B.∠A=∠C C.AC=BD D.AB⊥BC【师生活动】教师提出问题,学生分小组交流讨论并派代表发言,教师总结.【答案】B【解析】选项A:∵∠A=∠B,∠A+∠B=180°,∴∠A=∠B=90°.∴平行四边形ABCD是矩形.选项C:∵AC=BD,∴平行四边形ABCD是矩形.选项D:∵AB⊥BC,∴∠B=90°.∴平行四边形ABCD是矩形.【总结】矩形的判定方法:(1)定义法:有一个角是直角的平行四边形是矩形;(2)对角线:对角线相等的平行四边形是矩形;(3)角:有三个角是直角的四边形是矩形.【例3】如图所示,BD,BE分别平分∠ABC和它的邻补角∠ABP,AE⊥BE,AD⊥BD,点E,D为垂足.求证:四边形AEBD是矩形.【师生活动】教师提出问题,学生尝试独立作答,教师讲解.【答案】证明:∵BD,BE分别平分∠ABC和∠ABP,∴∠ABD+∠ABE=(∠ABC+∠ABP)=90°.即∠EBD=90°.又AE⊥BE,AD⊥BD,∴∠AEB=∠ADB=90°.∴四边形AEBD是矩形.【设
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