人教版八年级数学下册《特殊的平行四边形（第2课时）》示范教学设计

特殊的平行四边形（第2课时）教学目标1．探索并证明矩形的判定定理，从性质定理的逆命题出发，发展学生的合情推理和演绎推理能力．2．会初步运用矩形的判定定理进行计算和证明．教学重点矩形的判定定理．教学难点能初步运用矩形的判定定理进行计算和证明．教学过程知识回顾1．有一个角是直角的平行四边形叫做矩形，也就是长方形．2．矩形的性质：（1）角：矩形的四个角都是直角；（2）边：对边平行且相等；（3）对角线：矩形的对角线互相平分且相等；（4）对称性：矩形是轴对称图形，每组对边中点所在的直线是它的对称轴．3．直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．【师生活动】教师提出问题，学生解答．【设计意图】复习已学过的矩形知识，为引出本节课的新知作铺垫．新课导入【问题1】工人师傅在做门窗或矩形零件时，不仅要测量两组对边的长度是否分别相等，常常还要测量它们的两条对角线是否相等，以确保图形是矩形，你知道其中的道理吗？【问题2】由矩形的定义可知，有一个角是直角的平行四边形是矩形，除此之外，还有没有其他判定方法呢？【师生活动】教师提出问题，学生分小组交流．【设计意图】通过问题串的形式，引出问题“如何判定一个四边形是矩形”，激起学生的求知欲．新知探究一、探究学习【思考】我们知道，矩形的对角线相等．反过来，对角线相等的平行四边形是矩形吗？【师生活动】教师提出问题，学生分小组交流．教师提示：回顾研究平行四边形的判定的方法，类比得到研究矩形的判定的方法．学生根据提示，大胆猜想：对角线相等的平行四边形是矩形．教师追问：你能证明这个猜想吗？学生分小组交流，并派代表发言，教师板书．已知：如图，在平行四边形ABCD中，AC＝BD．求证：平行四边形ABCD是矩形．证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，AB∥CD．∴∠ABC＋∠DCB＝180°．∵AC＝BD，BC＝CB，∴△ABC≌△DCB（SSS）．∴∠ABC＝∠DCB．∴∠ABC＝90°．∴平行四边形ABCD是矩形．【新知】矩形的一个判定定理：对角线相等的平行四边形是矩形．数学语言：在平行四边形ABCD中，∵AC＝BD，∴平行四边形ABCD是矩形．【设计意图】教师先提出问题，学生分小组合作交流，激起学生的好奇心，引导学生证明猜想，得到判定定理，体会“猜想—证明”的过程．二、典例精讲【例1】如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，且OA＝OD，∠OAD＝50°．求∠OAB的度数．【师生活动】教师提出问题，学生思考并尝试独立作答，教师巡查并纠错．【答案】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA＝OC＝AC，OB＝OD＝BD．又OA＝OD，∴AC＝BD．∴四边形ABCD是矩形．∴∠DAB＝90°．又∠OAD＝50°，∴∠OAB＝40°．【设计意图】通过例1的讲解与练习，巩固学生对“对角线相等的平行四边形是矩形”的理解及应用．三、探究学习【思考】前面我们研究了矩形的四个角，知道它们都是直角．它的逆命题成立吗？即四个角都是直角的四边形是矩形吗？进一步，至少有几个角是直角的四边形是矩形？【师生活动】教师引导：有一个角是直角的四边形是矩形吗？教师展示图片，学生思考并回答：有一个角是直角的四边形不一定是矩形．教师提问：有两个角是直角的四边形呢？教师展示图片，学生思考并回答：有两个角是直角的四边形也不一定是矩形．教师追问：有三个角是直角的四边形呢？学生根据提示，小组交流：当一个四边形有三个角是直角时，根据四边形的内角和是360°可知，第四个内角也是直角．得到猜想：有三个角是直角的四边形是矩形．教师追问：你能证明这个猜想吗？学生分小组讨论证明过程，并派代表发言，教师板书．已知：在四边形ABCD中，∠A＝∠B＝∠C＝90°．求证：四边形ABCD是矩形．证明：∵∠A＝∠B＝∠C＝90°，∴∠A＋∠B＝180°，∠B＋∠C＝180°．∴AD∥BC，AB∥CD．∴四边形ABCD是平行四边形．∵∠A＝90°，∴四边形ABCD是矩形．【新知】矩形的另一个判定定理：有三个角是直角的四边形是矩形．数学语言：在四边形ABCD中，∵∠A＝∠B＝∠C＝90°，∴四边形ABCD是矩形．【设计意图】根据以往的学习经验，经历研究几何图形的过程．能够利用互逆运算研究矩形的判定定理，发展学生的合情推理和演绎推理能力．四、典例精讲【例2】已知平行四边形ABCD，下列条件不能判定这个平行四边形是矩形的是（）．A．∠A＝∠B B．∠A＝∠C C．AC＝BD D．AB⊥BC【师生活动】教师提出问题，学生分小组交流讨论并派代表发言，教师总结．【答案】B【解析】选项A：∵∠A＝∠B，∠A＋∠B＝180°，∴∠A＝∠B＝90°．∴平行四边形ABCD是矩形．选项C：∵AC＝BD，∴平行四边形ABCD是矩形．选项D：∵AB⊥BC，∴∠B＝90°．∴平行四边形ABCD是矩形．【总结】矩形的判定方法：（1）定义法：有一个角是直角的平行四边形是矩形；（2）对角线：对角线相等的平行四边形是矩形；（3）角：有三个角是直角的四边形是矩形．【例3】如图所示，BD，BE分别平分∠ABC和它的邻补角∠ABP，AE⊥BE，AD⊥BD，点E，D为垂足．求证：四边形AEBD是矩形．【师生活动】教师提出问题，学生尝试独立作答，教师讲解．【答案】证明：∵BD，BE分别平分∠ABC和∠ABP，∴∠ABD＋∠ABE＝(∠ABC＋∠ABP)＝90°．即∠EBD＝90°．又AE⊥BE，AD⊥BD，∴∠AEB＝∠ADB＝90°．∴四边形AEBD是矩形．【设