人教版八年级数学下册《平行四边形（第6课时）》示范教学设计

平行四边形（第6课时）教学目标1．理解三角形的中位线的定义，掌握三角形的中位线定理的内容，能灵活应用三角形的中位线定理解决问题．2．经历探索、猜想、证明三角形的中位线定理的过程，进一步发展推理论证的能力．教学重点探索并证明三角形的中位线定理．教学难点应用三角形的中位线定理解决问题．教学准备准备带刻度的直尺、量角器和剪刀．教学过程新课导入铁匠师傅要把一块周长为30cm的等边三角形铁皮，裁成四块形状大小完全相同的小三角形铁皮，你能帮助他想出办法吗？说说你的想法．你能求出每块小三角形铁皮的周长是多少吗？【师生活动】学生小组讨论，动手操作：先裁剪一个等边三角形，再将其裁成四块形状大小完全相同的小三角形．学生通过思考、操作，得出答案，教师总结．【答案】取AB，AC，BC的中点D，E，F，连接DE，EF，DF．则AD＝DB＝BF＝FC＝CE＝AE＝5cm．∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC＝∠ACB＝∠BAC＝60°．∴△ADE≌△DBF≌△EFC，且都是等边三角形．∴DE＝DF＝EF＝5cm．∴△ADE≌△DBF≌△EFC≌△DEF．每块小三角形铁皮的周长是15cm．【思考】如果是任意一块三角形铁皮，如何把它裁成四块形状大小完全相同的小三角形铁皮呢？每块小三角形铁皮和原三角形铁皮的周长有什么关系？【师生活动】教师引导学生类比裁剪等边三角形的办法，学生思考后回答：取AB，AC，BC的中点D，E，F，连接DE，EF，DF．学生发现无法证明裁剪出的四个三角形全等．教师引出本节课学习的内容：前面我们研究平行四边形时，常常把它分成几个三角形，利用三角形全等的性质研究平行四边形的有关问题．本节课我们利用平行四边形研究三角形的有关问题．【设计意图】通过具体的问题，引出本节课学习的“三角形的中位线”，激发学生的学习兴趣．新知探究一、探究学习【新知】如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC的中点，连接DE．像DE这样，连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线．三角形的中位线满足的条件：①是一条线段；②连接三角形两边中点．【思考】一个三角形有几条中位线？【师生活动】学生独立思考，得出答案．【答案】一个三角形有三条中位线．如图，在△ABC中，若点D，E，F分别是AB，AC，BC的中点，则DE，DF，EF是△ABC的中位线．【思考】三角形的中位线和中线一样吗？【师生活动】教师引导学生回忆三角形的中线的定义，学生小组讨论，得出答案．【答案】中线是连接一个顶点和它的对边中点的线段，中位线是连接三角形两边中点的线段．如图，在△ABC中，若点D，E分别是AB，AC的中点，则CD，BE是△ABC的中线，DE是△ABC的中位线．【设计意图】给出三角形的中位线的定义，通过两个问题，加深学生对三角形的中位线的理解，让学生能准确区分三角形的中位线和中线．【问题】观察下图，你能发现△ABC的中位线DE与边BC的位置关系吗？度量一下，DE与BC之间有什么数量关系？【师生活动】教师提示：研究线段，一般是先研究它们的位置关系，相交还是平行，如果相交，那么它们垂直吗；再研究它们之间的数量关系，相等还是不相等，如果不相等，是倍数关系还是其他关系．学生根据提示，用直尺和量角器进行测量，得出答案：DE∥BC，DE＝BC．教师引导学生用文字总结，给出猜想．【猜想】三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半．【设计意图】通过观察、度量的方式获得猜想，发展学生的合情推理能力．【问题】你能证明这个猜想吗？【师生活动】教师引导学生画出图形，写出已知、求证．已知：如图，D，E分别是△ABC的边AB，AC的中点．求证：DE∥BC，且DE＝BC．教师提示：本题既要证明两条线段所在的直线平行，又要证明其中一条线段的长等于另一条线段长的一半．将DE延长一倍后，可以将证明DE＝BC转化为证明延长后的线段与BC相等．又由于E是AC的中点，根据对角线互相平分的四边形是平行四边形构造一个平行四边形，利用平行四边形的性质进行证明．学生根据提示，完成证明．【答案】证明：如图，延长DE到点F，使EF＝DE，连接FC，DC，AF．∵AE＝CE，DE＝EF，∴四边形ADCF是平行四边形，ADCF．∴BDCF．∴四边形DBCF是平行四边形，DFBC．又∵DE＝DF，∴DE∥BC，且DE＝BC．【新知】三角形的中位线定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半．符号语言：∵DE是△ABC的中位线，∴DE∥BC，且DE＝BC．【提醒】三角形的中位线定理反映了三角形的中位线与第三边的双重关系：一是位置关系，可以证两直线平行；二是数量关系，可以证线段的倍分关系．【设计意图】通过添加辅助线构造平行四边形证明猜想，得到三角形的中位线定理，发展学生的演绎推理能力．【练习】（1）已知△ABC的面积是S，顺次连接各边中点D，E，F所得的四个三角形的面积各是多少？（2）如果△ABC三边的长分别为a，b，c，那么顺次连接各边中点D，E，F所得的四个三角形的周长分别是多少？【师生活动】学生小组讨论，完成作答，教师指导总结．【答案】解：（1）∵由三角形的中位线定理，得EF＝AB＝AD，DF＝AC＝AE，又∵DE＝ED，∴△ADE≌△FED（SSS），同理△FED≌△DBF，△FED≌△EFC．∴S△ADE＝S△FED＝S△DBF＝S△EFC＝S．（2）∵根据三角形的中位线定理，得DE＝a，EF＝c，DF＝b，∴△DEF的周长＝a＋b＋c＝(a＋b＋c)．由（1）知△FED≌△ADE≌△DBF≌△EFC，∴△ADE，△DBF，△EFC的周长也是(a＋b＋c)．【归纳】一个三角形有三条中位线，这三条中位线将原三角形分割成四个全等的小三角形．每个小三角形的周长都是原三角形周长的，每个小三角形的面积都是原三角形面积的．【设计意图】通过两个问题，回顾导入的问题，巩固学生对三角形的中位线定理的理解和掌握．二、典例精讲【例1】如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，D，E分别是边AB，AC的中点，DE＝4，AC＝10，求AB的长．【师生活动】学生独立思考作答，请一名学生代表板演，教师讲评．【答案】解：∵D，E分别是边AB，AC的中点，∴DE是△ABC的中位线．又∵DE＝4，∴BC＝8．在Rt△ABC中，AC＝10，BC＝8，∴AB＝＝＝6．【归纳】三角形的中位线定理的两个结论及四个应用．（1）两个结论：①中位线与第三边的位置关系——互相平行；②中位线与第三边的数量关系——中位线等于第三边的一半．（2）四个应用：①求线段的长度；②证明线段相等或平行；③求角的度数；④证明线段的倍分关系．【设计意图】通过具体的问题，考查学生是否会运用三角形的中位线定理进行计算．【例2】如图，为估计池塘两岸边A，B两点间的距离，在池塘的一侧选取点O，分别取OA，OB的中点M，N，测得MN＝32m，求A，B两点间的距离．【师生活动】学生独立思考作答，请一名学生代表板演，教师讲评．【答案】解：∵M，N分别是边OA，OB的中点，∴MN是△AOB的中位线．∴AB＝2MN＝2×32＝64（m）．【归纳】“距离、高不可测，中位线来帮忙”．三角形中位线的有关知识，常用来解决以测量距离为背景的题目．解题时先把实际问题转化为数学问题，再分两步走：一定：依照三角形中位线的定义，确定哪条线段是三角形的中位线；二算：根