中考数学复习必考题型专训：等腰三角形与等边三角形篇（解析版）

专题20等腰三角形与等边三角形

考点一：三角形的中位线

知识回顾

1.中位线的定义:

三角形任意两边中点的连线段叫做这个三角形的中位线.

2.中位线的性质:

三角形的中位线平行且等于第三边的一半.

D数生实践活动中,为了测量校园内被花坛隔开的A,6两点的距离，同学们在46外选择一点C,

测得AC,以两边中点的距离龙为10加如图），贝ijA,6两点的距离是m.

【分析】利用三角形中位线定理解决问题即可.

【解密、解：•：CD=AD,CE=EB,

・・・龙是△/火的中位线,

:・AB=2DE,

•・•庞=10%,

AB=20m,

故答案为：20.

2.（2022•福建）如图，在△力加中分别是期熊的中点.若a1=12,则庞的长为

【分析】直接利用三角形中位线定理求解.

【解答】解：分别是仍力C的中点,

庞为△/席的中位线,

.•.庞=26G=1X12=6.

22

故答案为：6.

3.（2022•西藏）如图,如果要测量池塘两端A,B的距离，可以在池塘外取一点C,连接AC,BC,点D,E分别是

AC,a'的中点,测得庞的长为25米,则血的长为米.

c

【分析】应用三角形的中位线定理,计算得结论.

【解答】解：分别是犯欧的中点，

.•.庞是△4?。的中位线.

48=2庞=2X25=50（米）.

故答案为：50.

4.（2022•丽水）如图，在△/笈中,〃£户分别是阳阳48的中点.若AB=6,BC=8,则四边形如跖的周长

是（）

【分析】根据三角形中位线定理解答即可.

【解答】解：：〃区尸分别是6C/C四的中点，

：.DE=BF=^-AB=3,

2

,:E、6分别为4G中点，

:.EF=BD=LBC=4,

2

.•.四边形颇F的周长为：2X（3+4）=14,

故选：B.

5.（2022•眉山）在△/阿中，48=4,6c=6,47=8,点〃区尸分别为边AB,AC,BC的中点，则△龙尸的周长为

（）

A.9B.12C.14D.16

【分析】根据三角形的中位线平行于第三边,并且等于第三边的一半,可得出△/充的周长=2△板的

周长.

【解答】解：如图，点〃区尸分别为各边的中点,

:.DE、EF、";'是△/回的中位线，

：.DE=^BC=i,厮=1/8=2,小=2/C=4,

222

△麻的周长=3+2+4=9.

故选：A.

6.（2022•广东）如图,在△/回中,6。=4,点£分别为AB,然的中点,则DE=（）

A.一B.一C.1D.2

42

【分析】由题意可得应是△/回的中位线，再根据三角形中位线的性质即可求出应的长度.

【解答】解：：点D,£分别为AB,4C的中点,8c=4,

龙是△力6。的中位线，

:.DE=LBC="4=2,

22

故选：D.

7.（2022•沈阳）如图，在Rt△力区中，N2=30°,点以£分别是直角边必8c的中点，连接班;则/侬的

度数是（）

A.70°B.60°C.30°D.20°

【分析】根据直角三角形的性质求出N8,根据三角形中位线定理得到庞〃阳根据平行线的性质解答即

可.

【解答】解：在Rt△被7中，/力=30°,

则N8=90°-N/=60°,

■:D、£分别是边4G呢的中点，

应是△/8C的中位线，

：.DE//AB,

:./CED=4B=6Q°,

故选：B.

8.（2022•常州）如图，在中，仄£分别是/8、/C的中点.若庞=2,则欧的长是（）

A.3B.4C.5D.6

【分析】根据三角形中位线定理解答即可.

【解答】解：:久£分别是力民〃7的中点，

庞是△/8C的中位线，

：.BC=2DE,

,:DE=2,

：.BC=\,

故选：B.

考点二：等腰三角形

3.等退魂嚅定义;

有两条边相等的三角形叫做等腰三角形.其中相等的两边叫做腰,另一边叫做底.两腰构成的夹角

叫做顶角，腰与底构成的夹角叫做底角.

4.等腰三角形的性质：

①等腰三角形的两腰相等.

②等腰三角形的两底角相等.（简称”等边对等角”）

③等腰三角形底边的中线、高线以及顶角平分线相互重合.（简称底边上三线合一）

5.等腰三角形的判定：

①有两条边相等的三角形是等腰三角形.

②有两个底角相等的三角形是等腰三角形.（等角对等边）

③若一个三角形某一边上存在"三线合一”，则三角形是等腰三角形.

微专题

9.（2022•黑龙江）如图，AA8C中,AB=4C,4。平分N8AC与a'相交于点〃点£是血的中点，点尸是比'的

中点，连接反交融于点R若的面积是24,"1.5,则比的长是（）

A.2.5B.2C.3.5D.3

【分析】如图，过点£作舐02于G,证明△砌W△的次得PG=PD=\.3,由三角形中位线定理可得AD

的长，由三角形26c的面积是24,得比'的长,最后由勾股定理可得结论.

【解答】解：如图,过点与作员人弱于G,

:.AD1BC、BD=CD,

：.ZPDF=ZEGP=90°,EG//BC,

•・,点£是/夕的中点，

・・・G是/〃的中点，

:.EG=LBD,

2

•・•分是切的中点，

:.DF=LCD,

2

：.EG=DFy

Y/EPG=/DPF,

:•△EGP^XFDPkAAS、

：.PG=PD=1.5f

：.AD=2DG=&,

•••△/少的面积是24,

.・・工•叱4?=24,

2

.•・8C=48+6=8,

:.DF=LBC=2,

4

:.EG=DF=2,

由勾股定理得：52=25

故选：A.

10.（2022•淄博）某城市几条道路的位置关系如图所示，道路46〃切道路46与的夹角N为£=50°.城

市规划部门想新修一条道路CE,要求CF=EF,则/£的度数为（）

A.23°B.25°C.27°D.30°

【分析】先根据平行线的性质，由筋〃必得到N〃叫=/为£=50°,根据等腰三角形的性质得出NC=

再根据三角形外角性质计算的度数.

【解答】解：,・・相〃以

：.ZDFE=ZBAE=^0°,

*：CF=EF,

・・・NC=N£

■:/DFE=/C+NE,

AZC=Az22/^=Ax50°=25°,

22

故选：B.

11.（2022•鞍山）如图，在△26。中，/8=/CN胡C=24°,延长6c到点〃使3阳连接49,则的度数

为（）

【分析】利用等边对等角求得/6=/力==78°,然后利用三角形外角的性质求得答案即可.

【解答】解：•.•以=〃；/掰。=24°,

：.ZB=ZACB=78°.

•：CD=AC,/ACB=78°，/ACB=/*/CAD,

：.ZD=ZCAD=AZ,ACB=39°.

2

故选：A.

12.（2022•荆州）如图，直线N为C=40°,则N1+N2的度数是（）

【分析】过点。作。〃/1,利用平行线的性质可得N1+N2=N4/再由等腰三角形的性质可得乙4。=

/ABC,从而可求解.

【解答】解：过点。作CD//h,如图，

・•.1,//12//CD,

\=/BCD,/2=/ACD,

:S2=/BC>/ACD=/ACB,

•:AB=AC,

：.ZACB=ZABQ

'：ZBAC=40°,

：.ZACB=^（180°-N为。=70°,

2

・・・N1+N2=7O°.

故选：B.

13.（2022•台湾）如图，△46C中,。点在48上,£点在比'上，庞为46的中垂线.若N8=/C且N&O

90°,则根据图中标示的角，判断下列叙述何者正确？（）

A

A.N1=N2,N1VN3B.Z1=Z2,Z1>Z3

C.N1WN2,N1VN3D.N1WN2,N1>N3

【分析】根据线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质解答即可.

【解答】解：・・•龙为朋的中垂线，

・•・ZBDE=/ADE,BE=AE,

：./B=/BAE,

・・・N1=N2,

VZ^O90°,

/.Z3+ZC<90°,

VZ^Z1=9O°,/B=/C,

.*.Z1>Z3,

・・・N1=N2,Z1>Z3,

故选：B.

14.（2022•宜宾）如图,在欧中,AB=AC=5,。是6。上的点,庞〃四交4。于点E,DF"AC交46于点F,那

么四边形/&加的周长是（）

【分析】由于庞〃Z8,如〃则可以推出四边形加快是平行四边形，然后利用平行四边形的性质可以

证明口4W的周长等于AB+AC.

（解答1解「：DE〃AB、DF〃AC、

・•・四边形4W是平行四边形，/B=/EDC,ZFDB=ZC

'：AB=AQ

:,/B=/C,

/B=/FDB,/C=/EDC,

:.BF=FD,DE=EC,

的周长="班力0=5+5=10.

故选：B.

15.(2022•宿迁)若等腰三角形的两边长分别是3c0和5颂,则这个等腰三角形的周长是()

A.8cmB.13c/nC.8an或13c/nD.11CR或13cm

【分析】题目给出等腰三角形有两条边长为3面和5M，而没有明确腰、底分别是多少，所以要进行讨论,

还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形.

【解答】解：当3c勿是腰长时,3,3,5能组成三角形，

当5须是腰长时,5,5,3能够组成三角形.

则三角形的周长为11c0或13c灯.故选：D.

16.(2022•天津)如图，△》8的顶点。(0,0),顶点48分别在第一、四象限，且轴，若加=6,勿=如

=5,则点/的坐标是()

A.(5,4)B.(3,4)C.(5,3)D.(4,3)

【分析】根据等腰三角形的性质求出AC,根据勾股定理求出名根据坐标与图形性质写出点A的坐标.

【解答】解：设"与x轴交于点C

\'OA=OB,OC±AB,AB=6,

：.AC^—AB^3,

2

由勾股定理得：OC—J0A2-AC2=452-32=4，

点4的坐标为(4,3),故选：D.

17.(2022•泰安)如图，a〃/2,点/在直线心上，点8在直线为上,/6=a；/，=25°,/1=60°.则/2的

度数是()

A.70°B.65°C.60°D.55°

【分析】利用等腰三角形的性质得到NC=NHIC=25°,利用平行线的性质得到/应＞1=95°,再根据三

角形外角的性质即可求解.

【解答】解：如图，

：.ZC=ZBAC=25°,

V7I/772,Zl=60°,

：.ZBEA=180°-60°-25°=95°,

■:/BEA=/C+/2,

・・・N2=95°-25°=70°.

故选：A.

18.（2022•自贡）等腰三角形顶角度数比一个底角度数的2倍多20°,则这个底角的度数是（）

A.30°B.40°C.50°D.60°

【分析】设底角的度数是X。，则顶角的度数为（2户20）。，根据三角形内角和是180°列出方程,解方程

即可得出答案.

【解答】解：设底角的度数是,则顶角的度数为（2e20）。，

根据题意得：x+x+2x+20=180,

解得：x=40,

故选：B.

19.（2022•广安）若（a-3尸+/==0,则以a、6为边长的等腰三角形的周长为.

【分析】先求a,6.再求第三边c即可.

【解答】解：V（3-3）2+7^5=0,（a-3）2^0,Vb^^O,

:.a-3=0,b-5=0,

••3.^3,Z?-5,

设三角形的第三边为Q

当a=c=3时，三角形的周长=a+ZrHc=3+5+3=n,

当b=c=5时,三角形的周长=3+5+5=13,

故答案为：11或13.

20.（2022•岳阳）如图，在△/欧中，AB=AC,1戊7于点D,若8c=6,则CD=

【分析】根据等腰三角形的性质可知。是6c的中点，即可求出力的长.

【解答】解：：AB=AC,ADVBC,

：.CD^BD,

■：BC=6,

：.CD=3,

故答案为：3.

21.（2022•苏州）定义：一个三角形的一边长是另一边长的2倍，这样的三角形叫做"倍长三角形”.若等

腰是"倍长三角形”，底边区的长为3,则腰的长为.

【分析】由等腰△力回是“倍长三角形”，可知AB=2BC或BC=2AB,若AB=2BC=6,可得AB的长为6;若

B-2AB,因1.5+1.5=3,故此时不能构成三角形,这种情况不存在；即可得答案.

【解答】解：•••等腰△/8C是“倍长三角形”，

:.AB=2BC或BC=2AB,

若AB=2BC=&,则△/a'三边分别是6,6,3,符合题意，

.•.腰4?的长为6;

若BC=3=2AB,则AB=1.5,三边分别是1.5,1.5,3,

VI.5+1.5=3,

此时不能构成三角形,这种情况不存在；

综上所述，腰的长是6,

故答案为：6.

22.（2022•云南）已知△2%是等腰三角形.若N/=40°,则△加C的顶角度数是.

【分析】分//是顶角和底角两种情况讨论,即可解答.

【解答】解：当//是顶角时,△/回的顶角度数是40°;

当//是底角时，则的顶角度数为180°-2X40°=100°;

综上,△48。的顶角度数是40°或100°.

故答案为：40°或100。.

23.（2022•滨州）如图，屋顶钢架外框是等腰三角形，其中48=/©立柱且顶角/曲。=120°,则/C

的大小为.

【分析】根据等腰三角形的性质和三角形内角和得到N8=/C=30°.

【解答】解：且/胡。=120°,

/6=/（7=」（180°-ABAC）=AX60°=30°.

22

故答案为：30。.

考点三：等边三角形

知识回顾

1.等边三角形的概念?

三条边都相等的三角形是等边三角形.

2.等边三角形的性质：

①等边三角形的三条边都相等,三个角也相等,且三个角都等于60°.

②等边三角形三条边都存在〃三线合一”

③等腰三角形是一个轴对称图形,有三条对称轴.

④等腰三角形的面积等于立7（q为等腰三角形的边长）.

4

3.等腰三角形的判定：

①三条边都相等的三角形是等边三角形.

②三个角都相等（两个角是60°）的三角形是等腰三角形.

③底和腰相等的等腰三角形是等边三角形.

④有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形.

24.（20徽^^）如图，直线a〃次等边三角形Z6C的顶点。在直线6上,N2=40°,则/I的度数为（）

A

【分析】先根据等边三角形的性质得到N/=60°,再根据三角形内角和定理计算出/3=80°,然后根

据平行线的性质得到/I的度数.

【解答】解：•••△力以为等边三角形，

.,.4=60°,

VZJ+Z3+Z2=180°,

.,./3=180°-40°-60°=80°,

a//b,

.\Zl=Z3=80o.

故选：A.

25.（2022•绵阳）下列关于等边三角形的描述不正确的是（）

A.是轴对称图形

B.对称轴的交点是其重心

C.是中心对称图形

D.绕重心顺时针旋转120。能与自身重合

【分析】根据等边三角形的性质,轴对称图形的定义，中心对称图形的定义进行判断即可.

【解答】解：等边三角形是轴对称图形，每条边的高线所在的直线是其对称轴，

故/选项不符合题意；

三条高线的交点为等边三角形的重心，

对称轴的交点是其重心，

故夕选项不符合题意；

等边三角形不是中心对称图形，

故C选项符合题意；

等边三角形绕重心顺时针旋转120。能与自身重合，

故。选项不符合题意，

故选：C.

26.（2022•海南）如图，直线m//n,是等边三角形,顶点6在直线n上,直线m交A8于点、E,交/C于点

月若Nl=140°,则/2的度数是（）

A.80°B.100°