2024年高考数学总复习：对数与对数函数

第六节对数与对数函数

最新考纲1.理解对数的概念，驾驭对数的运算，会用换底公式；2.理解对数函数的概念，驾驭对

数函数的图象、性质及应用.

学问梳理

1.对数的概念

假如a'=Ma〉O,且aWl),那么x叫做以a为底"的对数，记作x=logW其中a叫做对数的底数，

“叫做真数.

2.对数的性质、换底公式与运算性质

(1)对数的性质：①log/=_0___；②logaa=___1_；

St,N

@a°；®\o^,aa=N(a>0,且aWl).

(2)对数的运算法则

假如a〉0且aWl,M>0,N>0,那么

①loga(恻—logaAH-logaA；

v—Q

⑶函数F(x)=IgR5的定义域是,函数g(x)=lg(x—3)—lg(x+2)的定义域是

【答案】｛才|入〉3或才<—2｝｛x\x>3]

x—3

【解析】由]与>0得x>3或x〈一2,

x十2

Y—Q

所以函数f(x)=lgR万的定义域为｛x|x〉3或水一2｝；

[x+2>0,

由|八得x>3,所以函数g(x)=lg(x—3)—lg(x+2)的定义域是｛x|x>3｝.可以看出F(x)

〔不一3>0

与g(x)不是同一函数.

(4)当0<启g时，4"<logaX,则乃的取值范围是()

A.[o,民1)C(1，木)D.(明，2)

【答案】B

【解析】由然意得，当。<不1时，要使得。，即当0<V豺，的图象在国

数产Iwr图象的下方.又当广料，£=2,即星断产4,的图象过点仁，2）.把点：；，/代入户

logjr,得k事.若便断产4.的图象在由数产lor/图象的"F方，则需半<«<1（如闻所示）.

当4】时，不符合题通，舍去.

所以实数”的取值范圉是I*,1）

考点三对数函数的性质及应用（多维探究）

命题角度一比较对数值的大小

1

2-

贝d

u

【例3】（1）已知x=ln兀，y=log52,

A.x<y<zB.z<x<y

C.z<y<xD.y<z<x

【答案】D

【解析】V^=lnn>lne,x>1.

1

2-

1

<<I

2-ZX

综上可得，y<z<x.

(2)(2024•全国I卷)若a>6>0,0<c<l,贝(J()

A.logac<log/>cB.log。水log/

C.a^bcD.cyc

【答案】B

【解析】由y=x°与尸/的单调性知，C、D不正确.

・.・y=logcX是减函数，得log,水log/,B正确.

1日Cc

logc=------，logbC=~—V0<c<L:.1gc<0.而a>6>0,1ga>lgb,但不能确定1ga,

algalgb

lg6的正负，・・・logaC与logs。的大小不能确定.

命题角度二解对数不等式

【例4】(1)若loga(#+I)〈loga2水0,则司的取值范围是()

A.(0,1)B.(0,0

C.(j,1)D.(0,1)U(1,+8)

【答案】C

【解析】由题意得a>0且aWl,故必有才+1〉2&

又loga(3+l)<loga2〃〈0,所以0<3<1,

同时2a〉l,...a>］.综上，aeQ，11.

(2)［2024•西安模拟］已知/"(x)是定义在R上的偶函数，且在［0,+8)上为增函数，《j=。，则

不等式Aloglx)>0的解集为.

8

【答案】(0,(2,+8)

【解析】：『(x)是R上的偶函数，

它的图象关于y轴对称.

在［0,+8)上为增函数，

・・・£(王)在(一8,0］上为减函数,

由£)=3得7H)=6

/.Aloglx)>0=>loglx〈一J或loglx〉J=>x>2或0<x<!，^e［0,U(2,+°°).

——<j-3NIZJ

888

命题角度三对数型函数的性质

［例5］已知函数l(x)=logl_(V-2ax+3).

2

(1)若f(—1)=—3,求的单调区间;

(2)是否存在实数a,使/"(x)在(一8,2)上为增函数？若存在，求出a的范围；若不存在，说明理

由.

【答案】(1)f(x)的单调递增区间是(一8,1),单调递减区间是(3,+8);

(2)不存在实数a,使/1(x)在(一8,2)上为增函数.

【解析】(1)由/1(一1)=—3,得log1(4+2a)=-3.

2

所以4+2a=8,所以a=2.

这时f(<x)=log1(/—4JT+3),

由x?—4x+3>0,得x>3或

故函数定义域为(-8,l)U(3,+8).

令u—x—^x+Z,对称轴为x—2,

则u在(一8,1)上单调递减，在(3,+8)上单调递增.

又y=logj_u在(0,+8)上单调递减，

2

所以f(x)的单调递增区间是(一8,1),单调递减区间是(3,+8).

(2)令g(x)=/—2ax+3,要使f(x)在(-8,2)上为增函数，应使g(x)在(-8,2)上单调递减，

且恒大于0.

|aN2,]a22,

因为°—即，a无解.

[g220,〔7—4a20,

所以不存在实数a,使/'(x)在(一8,2)上为增函数.

规律方法(1)确定函数的定义域，探讨或利用函数的性质，都要在其定义域上进行.

(2)假如需将函数解析式变形，肯定要保证其等价性，否则结论错误.

⑶在解决与对数函数相关的比较大小或解不等式问题时，要优先考虑利用对数函数的单调性来求

解.在利用.单调性时，肯定要明确底数a的取值对函数增减性的影响，及真数必需为正的限制条件.

【变式训练3]⑴设a=log?2,Z)=log52,c=log23,则()

A.a>c>bB.b>c>a

C.c>tt>aD.c>a>b

【答案】D

【解析】a=log32<log33=LZ?=log52<log55=l,

又c=log23>log22=l,所以，c最大.

由得高〉康，

即a>b,所以c>a>b.

(2)函数/"(x)=log,(ax—3)在［1,3］上单调递增，则a的取值范围是()

A.(1,+8)B.(0,1)

C.(0,D.(3,+°0)

【答案】D

【解析】由于a>0,且aWL

・・・〃="-3为增函数，，若函数f(x)为增函数，则广(x)=loga〃必为增函数，

因此〃>1.又〃=ax—3在［1,3］上恒为正，a—3>0,即2>3.

⑶函数f(x)=4Hoga(x+l)在［0,1］上的最.大值和最小值之和为a,则a的值为.

1

2-

【解析】/=堂与了=1。取(X+1)的单调性相同.

①当a>l时，f(x)的最大值为/U),最小值为/■(()).

②当0<a<l时，f(x)的最大值为A0),最小值为AD.

不论a>l还是0<a<l都有/XO)+H1)=a,即a°+logj+a+loga2=a,解得a=g.

(4)已知函数F(x)=log,(8—ax)(a>0,且aWl),若f(x)〉l在区间［1,2］上恒成立，则实数a的

取值范围是.

【答案】(1，1)

【解析】当心1时，K”)=1。《.(8-虹)在［1,2)上罡减函数，

由fGr)〉l在区间［1,21上恒成立，则/Gr)…=1OE.(8-20〉1,解之得

若0<水1时，X*)在［1,2］上是缩0谢，

由e上)”在区间［1,2】上恒成立，

则/Gr)-=lo*.(8—•))】，且8-

且故不存在.

综上可知，实数d的取值范围是1,

课堂总结

1.对数值取正、负值的规律

当a〉l且力1或O〈a〈l且0〈伙1时，log”〉。；

当a>l且0〈6〈1或O〈a<l且6〉1时，logaZKO.

2.利用单调性可解决比较大小、解不等式、求最值等问题，其基本方法是“同底法”，即把不同底

的对数式化为同底的对数式，然后依据单调性来解决.

3.比较募、对数大小有两种常用方法：（1）数形结合；（2）找中间量结合函数单调性.

4.多个对数函数图象比较底数大小的问题，可通过比较图象与直线尸1交点的横坐标进行判定.

课后作业

1.的值是.

【答案】1

【解析】1队P+Ig下6=1队门而=lgl°=L

、历10g23+10843

2.（2015•浙江卷）计算：log2-y=；2=.

【答案】3小

【解析】Iog2¥=log2，^—log22=；—l=—；；

10g3+10g310g321og3

224=2214=3X21og43=3X210g?/=3y/3.

3.1g52+|lg8+lg5-1g20+(1g2/的值为.

【答案】3

【解析】原式=21g5+21g2+lg5(l+lg2)+1/2=2(lg5+lg2)+lg5+lg2(lg2+lg5)

=2+lg5+lg2=3.

4.已知r=4b=y[12,则.

【答案】2

【解析】因为T=4"=正，所以aulogs'V正，

b=log^,3,3=l°g标生

所叫+9°gp3+屋迎4=log^12=2.

5

5.［2024•浙江高考］已知a>b>l.若loga6+log以=1,a=lf,则a=,b=.

【答案】42

515

【解析】由于a>U>\,则loga6£(0,1),因为log/+log6a=5，即logaZ?+-7=~,所以loga6

1

12

=］或log/=2(舍去)，所以a=b,BPa=ij,所以/=(4)&=六=况所以a=26,l}=2b,所

以6=2(6=0舍去)，a=4.

6.［2015•浙江卷］若a=log43,则2a+2-'=.

【答案】芈

log/log22

23+2-s=2+2=m+2

—仄，小4m

一N"3-3'

7.设刘=0,566,6=0.3°",c=log0.30.2,则a,b,c的大小关系是()

A.。〈伙aB.a<Kc

C.仅水cD.a〈c〈b

【答案】C

【解析】依据基函数y=x°5的单调性，

可得0.3°-5<0.505<1M=1,即Ka<U

依据对数函数P=logo.3X的单调性，可得logo.3。.2>logo.30.3=1,即c>l.所以仅数C.

8.(2024•新乡二模)设石=6°",Z?=log0.40.5,c=log80.4,则2b,c的大小关系是()

A.水从cB.c〈丛a

C.c<£bD.伙。<a

【答案】B

【解析】,・"=6°'>1,Z?=logo.40.5^(0,1),c=logsO.4<0,.二於。>。.故选B.

9.若实数ab,c满意Ioga2〈log62〈log2则下列关系中不行能成立的是()

A.a<b<.cB.b<a〈c

C.c〈欣aD.a<c<b

【答案】A

【解析】由loga2〈log62Gogc2的大小关系，可知a,b,c有如下四种可能：①IXc〈伙a；

②0〈水1G<6；③0〈伏水l〈c；④水1.比照选项可知A中关系不行能成立.

10.(2024•石家庄一模)已知函数y=f(x+2)的图像关于直线x=-2对称，且当x£(0,+°°)

时，F(x)=|log2x|,若a=F(—3),c=F(2),则a,力，c的大小关系是()

A.a>b>cB.U>a>c

C.c>a>bD.a>c>b

【答案】B

【解析】易知P=F(X)是偶函数.当(0,+8)时，F(x)=(?=[]og2x],且当x£[l,+°°)

时，F(x)=log2X是增加的，又d=F(—3)=f(3),6=fQj=f(4),所以垃a>c.

1L[2024•天津模拟]函数#x)=ln(/—2x—8)的单调递增区间是()

A.(一8,—2)B.(一8,1)

C.(1,+°°)D.(4,+°O)

【答案】D

【解析】令〃=V—2x—8,则关于〃的函数y=lnu在定义域(0,+8)上是一个单调递增函数，

故要求f(x)=ln(V—2x—8)的单调递增区间，只需使〃(x)=f—2x—8>0且〃(x)在该区间单调递

增.解V—2x—8=(x—4)(x+2)>0,得水一2或x>4；〃(x)=*—2x—8的图象开口向上，对称轴

为x=l,所以x>4时〃(x)单调递增，所以〃x)=ln(V—2x—8)的单调递增区间为(4,+-).故

选D.

12.函数尸loga(3x—2)(H>0,aWl)的图象经过定点则/点坐标是()

C.(1,0)D.(0,1)

【答案】C

【解析】当x=l时，y=Q.

3

13.若1083〈1(石>0,且3W1),则实数a的取值范围是.

【答案】(0,|)u(1,+8)

333

【解析】当0<水1时，10ga7〈10gaE=l,解得0〈水疝当@>1时，1082<1083乞=1,解得aL

14.设函数f{x)=|logaxl(0<a<l)的定义域为［勿，ri\(水力)，值域为［0,1］,若〃一%的最小值为勺，则

实数a的值为()

1

-B

A..4

2233

C-3D-汽

【答案】C

【解析】作出尸1log"|(0〈a〈l)的大致图象如图所示，令|logM=l,得x-或x=(,

乜1

故1—a<----1,

a

19

所以〃一〃的最小值为1—女=勺，a=~.

15.［2015•湖南卷］设函数F(x)=ln(l+x)—ln(l—x),则/1(才)是()

A.奇函数，且在(0,1)上是增函数B.奇函数，且在(0,1)上是减函数

C.偶函数，且在(0,1)上是增函数D.偶函数，且在(0,1)上是减函数

【答案】A

【解析】由15得-151，则困数的定义，妨(-1.D・又:，一jr)=ln(l-jr)-1n(l+

=1

x)=-fXx)9/.fCr)为奇住前.fCr)~----J—f当”€(0.1)时，f(x)>0,故"r)在(0.1)

1+x1-x

上为墙邳故选儿

16.[2015•陕西卷]设_f(x)=ln为0VaV6,若p=式板,q=

下列关系式中正确的是()

A.q=r<pB.q=r>p

C.p=r<qD.p=r>q

【答案】C

【解析】因为6>己>0,故凝.又Ax）=lnx（x>0）为增函数，,所以《哆»>广（4标），即

.又+/*(/?)]=2(lna+lnZ?)=ln\[ab=p.

17.(2024•新课标全国卷I)若a>Z?>l,0<c<l,则()

A.a^lfB.al)<.ba

C.alogbC<blogacD.logaC<logbC

【答案】C

【解析】对于选项A,考虑幕函数y=x'，因为c>0,所以P=x'为增函数，又,〉力1,所以/

A错.对于选项B,al^bif弋得又旷=匕：是减函数，所以B错.对于选项D,由对数函数的性

质可知D错，故选C.

18.（2024•北京）依据有关资料，围棋状态空间困难度的上限〃约为33，而可观测宇宙中一般物质

的原子总数N约为1O80.则下列各数中与和接近的是（）

(参考数据：lg3=»0.48)

A.1033B.1053

C.1073D.1093

【答案】D

M3361

【解析】由题意，1叼广Igy那=lg3361—lgIO80

=3611g3-801g10-361X0.48—80X1=93.28.

又lg1()33=33,lg1()53=53,lg1073=73,lg10a=93,

M

故与Rt接近的是io93.故选D.

19.计算下列各式：

7

(1)lgl4—21gr+lg7—lgl8；

o

]gV^?+]g8—3]gVT5

⑵Igl.2；

(3)(Ig5)2+lg2•lg50；

(4)(log32+log92)•(log43+log83).

35

【答案】⑴0；(2)-；(3)1；(4)-

【解析】(1)原式=lg(2义式一2(lg7—lg3)+lg7—lg(32X2)=lg2+lg7—21g7+21g3+lg7一