高中数学导数及其应用复习题（含答案）

复习导数及其应用综合

一、单选题

1,若函数/(%)=五-尸⑴Inx,则■⑴=()

A.0B.-C.士D.1

42

【答案】B

【详解】因为〃x)=4-/'(l)lnx,所以「⑴毛屋一邛),

_11

贝^'(1)=：1义15--(1),解得(⑴="

2.已知函数的导函数-(X)的图象如图所示，则“X)的极小值点为()

A.x3B.x4C.x5D.X]和乙

【答案】C

3.设实数初〉0,若对任意的xe(l,y),不等式2e?小-皿20恒成立，则实数机的最小值为()

m

A.—B.—C.1D.一

22ee

【答案】B

]nY

【详解】因为机>0,不等式2e2皿—20成立，即2根e2加之In%,进而转化为2馆至2蛆2%lnx=e1nx恒

m

成立，构造函数g(%)=xe",可得g'(%)=e"+xe'=(x+l)e",

当x>0,g'(x)〉0,g(x)单调递增，则不等式2加膏皿2e—lnx恒成立等价于g(2m"g(lnx)恒成立,

Inx

即2m〉lnx恒成立，即2机2,恒成立，

x

设〃(x)=F，可得

当0<x<e时，"(尤)>0,用⑺单调递增；当元〉e时，”(X)<0,力⑴单调递减，

所以当x=e,函数//(“取得最大值，最大值为人(e)=L

e

所以2机2工，即实数机的取值范围是+00].

eL2e)

4.设函数的定义域为R,其导函数为尸(x),且满足〃力>:")+1,/(0)=2023,则不等式

xx

&-f(x)>e+2022(其中e为自然对数的底数)的解集是()

A.(2022,+<»)B.(^o,2023)C.(0,+co)D.(-8,0)

【答案】D

【详解】定义在R上的函数的导函数为(⑺，〃x)>口卜)+1,

令函数8(万)=曾二，求导得g'⑺JCx)一/")+l<0，即函数g(x)在R上单调递减，

ee

由"0)=2023,得g(0)=*T=2022,不等式「/(力>。+2022等价于g(x)>g(0),解得x<0,

所以不等式e-y(x)>葭+2022的解集是0).

5.已知函数/(x)=sin2xcose+sin"2sin2xsin6>的图象关于直线x=W对称，其中一贝厅⑺在

(0,2兀)上的极值点有()

A.2个B.3个C.4个D.5个

【答案】C

27rIT

【详角军】由题设/(x)=sin2xcose+cos2xsine=sin(2x+e),且一+0=—+kii,keZ,

32

JTTTJT

所以e=——+kn,kez,x--<6><o,贝一二，

626

所以/(x)=sin(2x-f),在(0,2兀)上2尤一三e(-巴，里马，

0666

对于>=sinx在(一^,竽)上，=cosx=0,有x=g或若或当或，，

662222

所以/(X)在(0,271)上的极值点有4个极值点.

故选：C

6.已知。=0.99,6=cos?0.1,c=----------,则。，仇c的大小关系为()

2-cosO.l

A.a<b<cB.b<a<c

C.c<b<aD.a<c<b

【答案】A

因为-a=cos20.]-0.99=cos20.1+(0.1)2-1,故考虑设/(力=852%+/—l,xe(0,l),利用导数研究其单调

性，由此比较匕的大小,

因为c-6=r1-COS?。1,考虑设=———产je(o,l),利用导数研究函数机(。的单调性，由此比

2—cos0.12—t

较b,c的大小，由此确定结论.

2

方法二：因为b=l-sin2().l,a=l-0.1,构造函数夕(x)=x-sinx,xe(O,l),利用导数函数的单调性,由

此证明因为c-6=---------------cos20.1,

2-cosO.l

考虑设机⑺=1--f2Je(O,l),利用导数研究函数相⑺的单调性，由此比较b,c的大小，由此确定结论.

2—♦

n1

7.18世纪数学家欧拉在研究调和级数时得到了这样的成果：当"很大时，E-=ln/1+r(r为常数).基

11

400001460000169000019

于上述事实，已知。=ZT--，b=E---C=E一亍，贝心，b,c的大小关系为()

1=700011/

«=30001131=5000113

A.a>c>bB.c>a>bC.a>b>cD.b>c>a

【答案】D

40000iA40000i300001AA44

【详解】由题意得，a=---=2L--^---=ln40000+r-ln30000-r--=ln^-^,

i=3000iI3,=|i,=1z3333

同理可得，&=ln|-|,c=ln!-1；令/(x)=lnx-x,则〃尤)=1一1,

故当x>l时，/'(x)<0,即函数/(x)在。,口)上单调递减,

而》X，所以—(?>痔)>痔)，^b>c>a.

x

8.已知/(%)=neq-+lnx-x存在唯一极小值点，则〃的范围是()

A.a>-B.a>-C.a<eD.a>e

ee

【答案】A

【详解】由/(%)=千+lnx—x,XG(0,+oo),

、xex—ex1aex(x—1)exx(x—1)

f(x)=a-—+「=

当aVO时，”-5<0恒成立，所以在xe(0,l)上外")>0,/(幻单调递增,

在xe(l,+s)上/'(£)<0,/(x)单调递减，所以Ax)没有极小值点，只有极大值点，不合题意,

Xe-xe

当4>0时，令g(X)==xe(0,+oo),令g'(x)=0得尤=1,

g'(x)=©)2

所以在xe(0,l)上g，(x)>0,g(x)单调递增，在无e(l,+oo)上g，(x)<0,g(x)单调递减,

g(x)max=g(l)=1,g(0)=0,当x>0时g(x)>0,且当x->+8时，g(尤)->0,

①若0<〃<L则存在加£(0,1),ne(l,+oo),使得g(m=g5)=a,即八刈)=/«)=(),

e

x

所以在xe(0,〃2)上，了一1<0,a--7>0,f\x)<0,/(元)单调递减，

X

在尤e(见1)上，无一1<0,->0,f\x)<0,/(x)单调递减，

在无上，X—1>0,a----<0,/'(%)<0,/(尤)单调递减，

e

x

在无上，x-l>0,a一一->0,f\x)>0,/(九)单调递增，

所以当0<。<!时，/(X)有两个极小值点，不合题意，

e

1Y

当心一时,a>g(x),即。一一>0,在xe(0,l)上/(x)<0,f(x)单调递减,

ee

在尤e(L+◎上尸(x)>0,单调递增，所以AM有唯一极小值点x=l,无极大值点，

综上所述，当a22时，/(x)有唯一极小值点.

e

故选：A

二、多选题

9.己知函数/(x),g(x)及其导函数/'(x),g'(x)的定义域均为R,〃x+l)为偶函数，函数y=g(x+l)的图

像关于(-L0)对称，则()

A.%⑴)=〃2+g(T))B.g(〃l))=-g(〃2))

C.〃g〈T))=/(2-gQ)D.g，(「(T))=g，(r(3))

【答案】ACD

【详解】因为/(x+1)为偶函数，所以“X)关于直线X=1对称，

又函数y=g(x+i)的图像关于(-1,0)对称，所以g(x)关于(0,0)对称，

又g(-x)=—g(x),所以［g(T)］，=［一g(无)丫，得至|Jg，(f)=g，(x),所以g［x)为偶函数，同理可得/'(x+l)为

奇函数，

选项A,因为2+g(-l)=2-g⑴，又x=g⑴与x=2-g⑴关于直线x=l对称，所以y(g⑴)=/(2+g(-l)),

故选项A正确；

选项B,因为由题得不出/。)=-7(2),故没有g(〃l))=-g(/(2)),所以选项B错误；

选项C,因为g'(x)为偶函数，所以g'(-l)=g'⑴，又x=g⑴与x=2-g⑴关于直线尤=1对称，所以

/(g'(T))=/(2-g'(l)),故选项C正确；

选项D,因为/'(x+1)为奇函数，所以/2+1)=((—1)=-尸(2+1)=-尸(3),

又g'(x)为偶函数，所以g'(/'(T)=g'(-/'⑶户g'Cf⑶)，故选项D正确.

故选：ACD.

10.定义在R上的函数〃％)的导函数为尸(x),对于任意实数x,都有/(-x)=e2"(x),且满足

2/(x)+/,(x)=2x+l-e-2',则()

A.函数户(x)=e"(x)为偶函数B./(0)=0

C.〃尤)7(l+e口)D.不等式e"(x)+g>e的解集为(1,+⑹

【答案】ABD

【详解】F(x)=eV(x),函数定义域为R,由〃T)=e2"(x),有片"(=)=e"(x),即尸(一力=”力,

函数F(x)为偶函数，故选项A正确；

由2/(x)+/,(x)=2x+l-e^,得2e2x/(x)+e2V(x)=(2x+l)e2x-l,

即[e21/(^)]=(2x+l)e2x-1,[/(--r)]'=(2x+l)e21-1,

有一/，(一力=(2了+1)/'-1,得(尤)=(l—2x)e%-l,

.-.2/(x)=2x+l-e-2x—(尤)=2x(1—e-2-T),

得〃O)=O,故选项B正确；C选项错误；

er/(x)+—=^(1-e-2,)+—=.rev--+—=.rer,

exexexex

令g(x)=xe3则，(%)=(%+l)e",当%>-1时，g'(%)>。，g(尤)单调递增，

当了<—1时，/(九)<0,g(x)单调递递减，且当％<0时，g(%”0,又g6=e,

则不等式e"(x)+W>e即为g(x)>g⑴且x>0,

e

x

所以x>l,即e"(x)+W>e的解集为(l,+oo),故D正确.

e

故选：ABD.

11.关于函数/("=6"+•1»,xe(-7i,+oo),下列说法正确的是()

A.当a=l时，〃x)在(0,/⑼)处的切线方程为2x-y+l=0；

B.当a=l时，“X)存在唯一极小值点马，且-1<〃不)<0；

C.对任意a>0,“X)在(-兀,+8)上均存在零点；

D.存在a<0,“X)在(-71,+8)上有且只有两个零点.

【答案】ABD

【分析】对于A选项，〃力=3+41«可得尸(耳=/+85继而广(0)=2,可求〃尤)在(0,/(0))处的切线

方程;对于B选项，当。=1时，/(x)=e*+sinx可用隐零点的处理手段虚设零点，求得最值再整体代换即可；

对于C、。选项，可用函数与方程的思想将函数的零点问题转化为两函数相交问题.

【详解】当。=1时,/(x)=e"+sinx,f'(x)=ex+cosx,f,(0)=2,/(0)=l,

\/(x)在(0,”0))处的切线方程为V-l=2x,即2x-y+l=0,故A正确；

(3兀71)

当〃=]时，f(x)=ex+sinx,XG(-+g(x)=f\x)=cx+cosx,g\x)=ex-sinxxeI--^，一,)时，

g，(x)>0,所以r(x)=e*+COS尤在(T上单调增,又<0所以存在唯一x°e(音4]

使得—(%)=0,即e*。=-cos尤0,

且当xe]-5，xj,f'(x)<0,/(x)单调递减，

当xw(a，+co),第x)>0,“X)单调递增，

\/(X)存在唯一极小值点吃,

v

-ft/(^0)=e"+siiu0=sinx0-cosx0=V2sin,x0,.-.-l</(x0)<0,故B正确；

令〃x)=e、+asinx=0,当awO时，分离参数可得-工=哼，

ae

设g(x)=^^,xe(一兀，+8),g，(尤)=cojsinx,令g，(x)=o,解得无=配+£,keZ,

作出g(x)=W^,xe(f,+8)的图像，

当』与时，g(“取极小值，也是xe(Ti,+e)上的最小值为

当x=：时，g(x)取极大值，也是XC(-兀,+8)上的最大值为,屋"

由图像可知当a时，”X)在(-兀，+8)上没有零点，故C错误，

F)网

当-券e”<.<0时，〃x)在(-兀,+oo)上有两个零点，故D正确.

综上，正确的是ABD.

故选：ABD.

三、填空题

12.若函数/(%)=；尤2-x+qQ+inx)没有极值，则实数。的取值范围为.

【答案】[3-20,+e)

【详解】因为函数/⑴没有极值，所以尸(尤)=x_]+q[l+g)=1+(a；l)x+a在(0,+8)上没有变号的零

点，令m(x)=f+(〃-1)%+4

(1)当，即时，由根(°)20解得所以a»l；

(2)当-号■>(),即a<l时，由△=(a-l)2-4a<0解得3-aV3+2点，

所以此时3-2忘4"1;由⑴、⑵得ae[3-2&,+oo).

故答案为：[3-20,+co).

13.若e，—e，=l,X,yeR,则2x-y的最小值为.

【答案】2历2/历4

【分析】由e，-e〉=l表示出X,代入2x-y,可得到关于丁的函数，求导研究单调性极值，进而求出最值.

【详解】因为e*—e>=l,所以eX=e>+l,于是x=ln(l+e>),

贝U2%-y=21n(l+e，)-y,

py_i

令/(y)=21n(l+e>)-y,贝lj=,

l+eve-+1

由尸(y)=o,得y=。，当"。时，/'(y)<。，单调递减，

当y>。时，r(y)>0,/(y)单调递增，

故y=o为f(y)唯一的极值点且为极小值点，

故/(>)血n=/(l)=21n2,

故答案为：21n2

14.若关于x的方程々=-/+彳+1有三个不等实数根，则实数机的取值范围是.

e

【答案】[一:，0]

【详解】由已知可知关于X的方程m=(-x2+x+l)ex有三个不等实数根，

即函数y=(-d+x+l)e'的图象与直线>=根有三个公共点，

构造函数g(x)=(-x2+x+l)e)求导/。)=-5-1)(工+2)/,

令g'(x)=0,解得%=1,3=-2

当xe(-2,1)时，g，(x)>0,故g(x)在区间(-2,1)上单调递增,

当刀€(-8,-2)口(1,+00)时，gXx)<0,故g(x)在区间(-8,-2)和(l,+oo)上单调递减，

且g(-2)=-?，g(l)=e,当x<匕5或x>匕好时，g(x)<0,

e222

且当%f-8时，g(%)-0,当％f+8时，g(%)->fO,

画出g(无)=(-/+x+1上工的大致图象如图，要使g(x)的图象与直线>=机有三个交点，需g(-2)<机<0,即

-^<m<0,即机的取值范围是

四、解答题

15.已知函数/(x)=X2+x-lnx.

⑴求函数y=/(x)的单调区间；(2)证明：对任意的x>0J(x)+e、>X2+x+2.

【详解】(1)由题可知函数/(%)的定义域为(O,+e)J(x)=x2+x-Inx

2x2+x-1_(2xT)(x+1)

f'(x)=2x+1-----=

''xXX

令F(x)=。得x=1■或x=-l(舍去)

X

~2

((X)-0+

g(x)单调递减极小值单调递增

所以，/(X)在(oq]上单调递减，上单调递增.

(2)/(x)=x2+x-lnx,

要证明/("+炉>d+了+2,只用证明eA-lar-2>0，令g(x)=e*-lnx-2,g[x)=e*,

设〃(x)=eX-L"(尤)=e，+3>0,即g[x)单调递增，g(j]=A-2<0,g(l)=e-l>0,

XX、乙)

可得函数g'(x)有唯一的零点与优>0且5Hl),满足e®-工=0,

xo

当X变化时，g'(x)与g(x)的变化情况如下，

X(0，%)(%”)

g'(x)—0+

g(x)单调递减极小值单调递增

所以g(x)min=g(Xo)=e'°T啄-2='+毛-2,

xo

因为工+无。一222L%-2=0,因为不",所以不取等号，即，+x「2>。，即g。).>。恒成立,

%Vo%

所以，e*-lnx-2>0恒成立，所以，对Vx>0,/(x)+e工+X+2成立.

16已知函数/(x)=xlnx-(〃+l)x+Z?(〃,b£R).

⑴若a=0,b=l,求函数斜率为1的切线方程；

(2)若:=e,讨论/(x)在［e,/］的最大值.

【详解】(1)已知/(%)=xlnx—(a+l)%+b(a,b£R),函数定义域为(0,+8),

当〃=0,b=l时，函数/(x)=xln%-%+l,可得尸(x)=lnx,

不妨设切点为(%0，%)，此时/'(%)=In%,因为切线斜率为1,所以ln%=l,解得

所以/a))=elne-e+l=l,此时切点坐标为(e,l),则曲线>=/(尤)在点(e,l)处的切线方程为y-l=lx(x-e),

即％_y_e+l=0；

b

(2)若一=e,即Z?=tze,

a

此时/(x)=%ln九一%—办+〃e,函数定义域为［&f］,

可得了'(尤)=1+也%一1一。二也%-。，令/'(%)=。，解得％=e",

当eYe,即aVl时，八%)>0,此时函数〃幻在定义域上单调递增，

则/Wmax=/(e2)=e2-ae2+ae；

当e<e"<e2,即l<a<2时，

当e4尤<e°时，/(幻<0,/⑺单调递减；

当e"<xVe2时，rW>0,/⑺单调递增，

所以/(*«=max{/(e),/(e2)),

又/(e)=elne-e-ae+ae=0,/(x)^=f(e2)=e2—6ze2+ae,

当/(e)>/(/),即0>，-ae?+ae时，可得----,

所以当\<。<2时，/(x)max=/(e)=0;

当即OWe?—ae?+ae时，可得a4----,

所以当1<。<一■时，/W=/(e2)=e2-ae2+ae；

e-1max

当e〃Ne2,即。22时，Ax)<0,此时函数/⑺在定义域上单调递减，

贝！J/(X)max=/(e)=。，

Ae

综上，当---时，函数/(*)的最大值为。；当----7时，函数/(X)的最大值为e?-ae?+〃e.

e-1e-1

17.已知函数y(x)=(i-w.

(1)讨论在区间(o,+功上的单调性；

(2)当加=1时，若存在满足a+ln(l-a)=6+ln(l-6),证明：,+：>0.

ab

【详解】(1)当根=0,〃尤)=1-%在(。,+。)单调递减;

当机wO时，/'(X)=——1H—^e/7U,

①当力>1时，0<%v1-----，x)>0,x>1------，/'(%)<0；

mv7m

②当0<根41时，((无)<0在(0,+。)恒成立；

③当771Vo时，0vx<1-----,fr(x]<0,x>1------,f^(x)>0；

mmv7

综上所述，当/>1时，“X)在单调递增，在[1-5，+[单调递减；

当0W加W1时，/(X)在(0,+8)单调递减；

当机<0时，在单调递减，在单调递增.

(2)由a+ln(l-a)=Z?+ln(l—6),得ln[(l—a)e[=ln[(l—"e[,gp(l-o)efl=(1-Z?)e\

由(1)可知，当〃?=1时，/(x)=(1—x)e*,y*(x)=(1—x—l)ex=—xex,

当xe(-oo,0)时，f/x)〉。；当xe(0,+oo)时，/'(x)<0,

/(元)在(-咫。)单调递增，在(0,+")单调递减，

又当xe(-co,l),/(%)>0,当"zw(l,+co)时，/(x)<0,

故。<0<6<1,即。6<0.欲证一+:>0,即证a+b<0.

ab

设g(x)=/(x)-〃一元),0<x<l,

贝1Jg'⑺=-3+/，(-x)=%(e-x-ev)<0,

即g(x)在(0,1)单调递减,

又g(0)=0,所以g(x)<0,即〃b)<〃询,

又所以/(。)</(一6),

又因为/(%)在(-8,0)单调递增，〃<0,—b<0,

所以。<-匕，即〃+/?<0得证.

1