2.2函数的表示法（第1课时函数的表示法）课件高一上学期数学北师大版

2.2

函数的表示法第1课时函数的表示法第二章函数北师大版

数学

必修第一册基础落实·必备知识一遍过重难探究·能力素养速提升目录索引

学以致用·随堂检测促达标课程标准1.掌握函数的三种表示法:解析法、列表法、图象法,以及各自的优缺点.在解析法中尤其要掌握用换元法和代入法求函数的解析式.2.在实际问题中,能够选择恰当的表示法来表示函数.3.能利用函数图象求函数的值域,并确定函数值的变化趋势.基础落实·必备知识一遍过知识点1

函数的表示法常用的函数的表示方法有三种,具体如下.表示方法解析法列表法图象法定义在函数y=f(x)(x∈A)中,f(x)用代数式(或解析式)来表达的方法通过列出自变量与对应函数值的表来表示函数关系的方法用“图形”表示函数的方法优点通过解析式可以求出任意一个自变量所对应的函数值,较便利地利用代数工具研究其性质可直接通过表格读数,不必通过计算就表示出两个变量之间的对应值,非常直观可以通过图象直观地显示函数的局部变化规律表示方法解析法列表法图象法缺点用解析式表示函数时容易漏掉其定义域,而且对于一些实际问题很难得到解析式任何一个表格内标出的数都是有限个,只能表示有限个数值之间的函数关系,若自变量取值有无限多个,则只能给出局部的对应关系通过图象很难得到每个自变量取值对应的精确函数值,误差较大名师点睛由列表法和图象法的概念可知,函数也可以说就是一张表或一张图,根据这张表或这张图,由自变量x的值可查找到和它对应的唯一的函数值y.思考辨析某学生离家去学校,一开始跑步前进,跑累了再走余下的路程.你能用纵轴表示离校的距离,用横轴表示出发后的时间,画出较符合该学生走法的图象吗?提示

由题意可知,一开始速度较快,后来速度变慢,所以开始曲线比较陡峭,后来曲线比较平缓,又纵轴表示离校的距离,所以开始时距离最大,最后距离为0.图象如右.自主诊断1.判断正误.(正确的画√,错误的画×)(1)任何一个函数都可以用列表法表示.(

)(2)任何一个函数都可以用解析法表示.(

)(3)任何一个函数都可以用图象法表示.(

)×××D3.[人教A版教材例题]某种笔记本的单价是5元,买x(x∈{1,2,3,4,5})个笔记本需要y元.试用函数的三种表示法表示函数y=f(x).解

这个函数的定义域是数集{1,2,3,4,5}.用解析法可将函数y=f(x)表示为y=5x,x∈{1,2,3,4,5}.用列表法可将函数y=f(x)表示为笔记本数x12345钱数y510152025用图象法可将函数y=f(x)表示为下图.知识点2

函数的图象函数图象的作法(1)函数图象的特征函数图象既可以是连续的曲线,也可以是直线、折线、离散的点等.(2)描点法作函数图象的三个步骤(注意函数的定义域)(3)利用常见函数图象作出所求函数的图象已学过的常见函数图象有:①常函数的图象,如f(x)=1的图象为一条平行于x轴的直线;②一次函数的图象,如f(x)=-3x+1的图象是一条经过第一、二、四象限的直线;③一元二次函数的图象,如f(x)=2x2-x+1的图象是一条开口向上的抛物线;④对于反比例函数f(x)=(k≠0,且k为常数),当k>0时,其图象是在第一、三象限内,以原点为对称中心的双曲线,当k<0时,其图象是在第二、四象限内,以原点为对称中心的双曲线.名师点睛从理论上来说,要作出一个函数的图象,只需描出所有点即可.但是,很多函数的图象都由无穷多个点组成,描出所有点并不现实.因此,实际作图时,经常先描出函数图象上一些有代表性的点,然后根据有关性质作出函数图象,这称为描点作图法.自主诊断1.判断正误.(正确的画√,错误的画×)(1)函数y=x2的图象向右平移3个单位长度可得函数y=(x+3)2的图象.(

)(2)函数的图象一定是一条连续不断的曲线.(

)××2.[人教A版教材习题]画出下列函数的图象,并说出函数的定义域、值域:(1)y=3x;(2)y=;(3)y=-4x+5;(4)y=x2-6x+7.解

(1)定义域为R,值域为R,函数图象如图(1)所示.(2)定义域为{x|x≠0},值域为{y|y≠0},函数图象如图(2)所示.(3)定义域为R,值域为R,函数图象如图(3)所示.(4)定义域为R,值域为{y|y≥-2},函数图象如图(4)所示.重难探究·能力素养速提升探究点一三种表示法的应用【例1】

某商场新进了10台彩电,每台售价3000元,试求售出台数x与收款数y之间的函数关系,分别用列表法、图象法、解析法表示出来.解

①列表法:②图象法:③解析法:y=3

000x,x∈{0,1,2,3,…,10}.x/台012345y/元03000600090001200015000x/台678910

y/元1800021000240002700030000

规律方法

函数表示法的注意事项(1)列表法、图象法、解析法均是函数的表示法,无论是哪种方式表示函数,都必须满足函数的概念.(2)列表法更直观形象,图象法从形的角度描述函数,解析法从数的角度描述函数.(3)函数的三种表示法互相兼容或补充,许多函数是可以用三种方法表示的,但在实际操作中,仍以解析法为主.变式训练1将一条长为10cm的铁丝剪成两段,并用每一段铁丝各做一个正方形.试用解析法、列表法、图象法表示两个正方形的面积之和S与其中一段铁丝长x(x∈N+)的函数关系.③图象法:探究点二求函数的解析式【例2】

(1)已知f(x+1)=x2-3x+2,求f(x).(2)已知f(x)是一元二次函数,且满足f(0)=1,f(x+1)-f(x)=2x,求f(x)的解析式.(3)已知函数f(x)对于任意的x都有f(x)+2f(-x)=3x-2,求f(x).解

(1)(方法一)令x+1=t,则x=t-1.将x=t-1代入f(x+1)=x2-3x+2,得f(t)=(t-1)2-3(t-1)+2=t2-5t+6,∴f(x)=x2-5x+6.(方法二)∵f(x+1)=x2-3x+2=x2+2x+1-5x-5+6=(x+1)2-5(x+1)+6,∴f(x)=x2-5x+6.(2)设所求的一元二次函数为f(x)=ax2+bx+c(a≠0).∵f(0)=1,∴c=1,则f(x)=ax2+bx+1.∵f(x+1)-f(x)=2x对任意的x∈R都成立,∴a(x+1)2+b(x+1)+1-(ax2+bx+1)=2x,即2ax+a+b=2x,∴所求一元二次函数为f(x)=x2-x+1.(3)∵对于任意的x,都有f(x)+2f(-x)=3x-2,∴将x替换为-x,得f(-x)+2f(x)=-3x-2,联立方程组消去f(-x),可得f(x)=-3x-.规律方法

求函数解析式的四种常用方法

方法一直接法(代入法):已知f(x)的解析式,求f(g(x))的解析式,直接将g(x)代入方法二待定系数法:若已知函数的类型,可用待定系数法求解,即由函数类型设出函数解析式,再根据条件列方程(或方程组),通过解方程(或方程组)求出待定系数,进而求出函数解析式方法三换元法(有时可用“配凑法”):已知函数f(g(x))的解析式求f(x)的解析式可用换元法(或“配凑法”),即令g(x)=t,反解出x,然后代入f(g(x))中求出f(t),从而求出f(x)方法四消元法:在已知式子中,含有关于两个不同变量的函数,而这两个变量有着某种关系,这时就要依据两个变量的关系,建立一个新的关于两个变量的式子,由两个式子建立方程组,通过解方程组消去一个变量,得到目标变量的解析式变式训练2(1)已知f(x)是一次函数,且f(f(x))=2x-1,求f(x)的解析式.探究点三函数的图象及应用【例3】

作出下列函数的图象,并求其值域.(1)y=1-x(x∈Z);(2)y=2x2-4x-3(0≤x<3).解

(1)因为x∈Z,所以函数图象为一条直线上的孤立点(如图①),由图象知,y∈Z.(2)因为x∈[0,3),所以函数图象是抛物线的一段(如图②),由图象知,y∈[-5,3).规律方法

1.作函数图象最基本的方法是描点法.主要有三个步骤——列表、描点、连线.作图象时一般先确定函数的定义域,再在定义域内化简函数解析式,最后列表画出图象.2.函数的图象可能是平滑的曲线,也可能是一群孤立的点,画图时要注意特殊点.如图象与坐标轴的交点、区间端点、二次函数的顶点等,还要分清这些特殊点是实心点还是空心点.如例3(1)中图象是由一些散点构成的,这里不能将其用平滑曲线连起来;例3(2)中描出两个端点及顶点,依据一元二次函数的图象特征作出函数图象,注意x=3不在定义域内,从而点(3,3)处用空心点.变式训练3作出下列函数的图象,并写出其值域.(1)y=2x+1,x∈[0,2];(2)y=,x∈[2,+∞).解

(1)当x=0时,y=1;当x=1时,y=3;当x=2时,y=5.函数图象过点(0,1),(1,3),(2,5).图象如图所示.由图可知,函数的值域为[1,5].(2)当x=2时,y=1;当x=4时,y=;当x=6时,y=.图象如图所示.由图可知,函数的值域为(0,1].本节要点归纳1.知识清单:(1)函数的表示法;(2)求函数解析式;(3)函数的图象.2.方法归纳:待定系数法、换元法、配凑法、数形结合法.3.常见误区:求函数解析式时易忽视定义域.学以致用·随堂检测促达标12345678910111213A级必备知识基础练1.

[探究点一](多选题)

下列四个图形中可能是函数y=f(x)图象的是(

)AD解析

在A,D中,对于定义域内每一个x都有唯一确定的y与之相对应,满足函数关系;在B,C中,存在一个x有两个y与x对应,不满足函数对应的唯一性.123456789101112132.[探究点二]若f(x)对于任意实数x恒有3f(x)-2f(-x)=5x+1,则f(x)=(

)A.x+1 B.x-1C.2x+1 D.3x+3A解析

因为3f(x)-2f(-x)=5x+1,所以3f(-x)-2f(x)=-5x+1,解得f(x)=x+1.123456789101112133.[探究点三]已知函数f(x)的图象如图所示,则f(-5)=

,f(f(2))=

.

4解析

由题图可知f(-5)=,f(2)=0,f(0)=4,故f(f(2))=f(0)=4.123456789101112134.[探究点二]已知f(x)是一次函数,若f(f(x))=4x+8,则f(x)的解析式为

.

123456789101112135.[探究点三]作出下列函数的图象,并指出其值域:(1)y=x2+x(-1≤x≤1);(2)y=(-2≤x≤1,且x≠0).12345678910111213解

(1)用描点法可以作出所求函数的图象如图①所示.由图可知y=x2+x(-1≤x≤1)的值域为(2)用描点法可以作出函数的图象如图②所示.图①

图②

由图可知y=(-2≤x≤1,且x≠0)的值域为(-∞,-1]∪[2,+∞).12345678910111213B级关键能力提升练6.已知函数f(x)的定义域是(0,+∞),满足f(2)=1,且对于定义域内任意x,y都有f(xy)=f(x)+f(y)成立,那么f(2)+f(4)的值为(

)A.1 B.2 C.3 D.4C解析

∵对于定义域内任意x,y,都有f(xy)=f(x)+f(y)成立,令x=y=2,得f(4)=f(2)+f(2)=1+1=2,∴f(2)+f(4)=1+2=3.故选C.12345678910111213B12345678910111213D12345678910111213123456789101112139.小明在如图①所示的跑道上匀速跑步,他从点A出发,沿箭头方向经过点B跑到点C,共用时30s,他的教练选择了一个固定的位置观察小明跑步的过程,设小明跑步的时间为t(单位:s),他与教练间的距离为y(单位:m),表示y与t的函数关系的图象大致如图②所示,则这个固定位置可能是图①中的(

)A.点M

B.点N

C.点P

D.点Q

图①

图②

D解析

由题图知固定位置到点A距离大于到点C距离,所以舍去N,M点,不选A,B;若是P点,则从最高点开始持续下降,与题图②矛盾,因此取Q,即选D.123456789101112131234567891011121310.已知函数f(x),g(x)由