专题8.2离散型随机变量的分布列及数字特征（七个重难点突破）

专题8.2离散型随机变量的分布列及数字特征知识点1随机变量1.随机变量：随着试验结果变化而变化的变量称为随机变量，常用字母，…表示．离散型随机变量：所有取值可以一一列出的随机变量，称为离散型随机变量2.离散型随机变量分布列的概念及性质①离散型随机变量的分布列的概念设离散型随机变量X可能取的不同值为，，…，，X取每一个值()的概率，则下表称为随机变量X的概率分布，简称为X的分布列.X……P……有时也用等式表示X的分布列．②离散型随机变量的分布列的性质（1）(i＝1，2，…，n)；（2）．知识点2两点分布的分布列若随机变量的分布列为两点分布列,就称服从两点分布或分布,并称为成功概率.知识点3离散型随机变量的均值与方差①离散型随机变量的均值与方差一般地，若离散型随机变量X的分布列为：X……P……（1）称为随机变量X的均值或数学期望，它反映了离散型随机变量取值的平均水平．（2）称为随机变量X的方差，它刻画了随机变量X与其均值E(X)的平均偏离程度，其算术平方根为随机变量X的标准差．方差的变形：②均值与方差的性质若Y＝aX＋b，其中a，b为常数，则Y也是随机变量，则重难点1随机变量与离散型随机变量的辨析【例1】下面给出四个随机变量：①一高速公路上某收费站在十分钟内经过的车辆数；②一个沿轴进行随机运动的质点，它在轴上的位置；③某派出所一天内接到的报警次数；④某同学上学路上离开家的距离．其中是离散型随机变量的个数为（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【详解】对于①，十分钟内经过的车辆数可以一一列举出来，①是离散型随机变量；对于②，沿轴进行随机运动的质点，质点在直线上的位置不能一一列举出来，②不是离散型随机变量；对于③，一天内接到的报警次数可以一一列举出来，③是离散型随机变量；对于④，某同学上学路上离开家的距离可为某一区间内的任意值，不能一一列举出来，④不是离散型随机变量，所以给定的随机变量是离散型随机变量的有①③．故选：B．【例2】小王钱夹中只剩下20元、10元、5元和1元的人民币各一张．他决定随机抽出两张用来买晚餐，用表示这两张金额之和，则的可能取值为．【答案】6，11，15，21，25，30【详解】由题意，随机变量的可能取值为6，11，15，21，25，30.其中，表示“抽到的是1元和5元”；表示“抽到的是1元和10元”；表示“抽到的是5元和10元”；表示“抽到的是1元和20元”；表示“抽到的是5元和20元”；表示“抽到的是10元和20元”．故答案为：6，11，15，21，25，30.【变式11】下列变量中哪些是随机变量？如果是随机变量，那么可能的取值有哪些？(1)一个实验箱中装有标号为1，2，3，3，4的5只白鼠，从中任取1只，记取到的白鼠的标号为X；(2)明天的降雨量L（单位：mm）；(3)先后抛掷一枚质地均匀的硬币两次，正面向上的次数X．【答案】(1)X是随机变量，(2)L是随机变量，(3)X是随机变量，【详解】（1）根据条件知，X是随机变量，可能的取值共有4种，它的取值集合是．（2）降雨量具有一定的随机性，所以L是随机变量，可能的取值有无数多个，它可以取中的某个数．（3）设H代表正面向上，T代表反面向上，则该问题的样本空间为．出现H的次数分别有2，1，0种，故正面向上的次数X是随机变量，其取值集合是．【变式12】连续不断地射击某一目标，首先击中目标需要的射击次数是一个随机变量，则表示的试验结果是．【答案】前次未击中目标，第次击中目标【详解】由于随机变量表示首次击中目标需要的射击次数，所以当时，表示前次均未击中目标，第次击中目标，故表示的试验结果为前次未击中目标，第次击中目标．故答案为：前次未击中目标，第次击中目标.【变式13】某公司的员工是按照下述方式获取税前的月工资：底薪1000元，设工作1h再获得40元，从该公司员工中任意抽取一名用Y表示所获月工资（单位：元）.（X为工作小时数）(1)当时，求Y的值；(2)写出X与Y之间的关系式．【答案】(1)4600元(2).【详解】（1）当时，表示工作了90小时，所以（元）.（2）根据题意有.判断一个随机变量判断一个随机变量X是否为离散型随机变量的具体方法:（1）明确随机试验的所有可能结果；（2）将随机试验的试验结果数量化；（3）确定试验结果所对应的实数是否可按一定次序一一列出,如果能一一列出,则该随机变量是离散型随机变量,否则不是.重难点2离散型随机变量的分布列【例3】全班有40名学生，某次数学作业的成绩如下：分数012345人数01312204现从该班中任选一名学生，用X表示这名学生的数学作业成绩，求随机变量X的分布列．【答案】答案见解析【详解】解：由题意可得，，，，，．因此，随机变量X的分布列是X012345P00.0250.0750.30.50.1【例4】设离散型随机变量X的分布列为X01234P0.20.10.10.3m(1)求随机变量的分布列；(2)求随机变量的分布列.【答案】(1)分布列见解析(2)分布列见解析【详解】（1）由分布列的性质知：，解得，列表为X0123410123即随机变量的可能取值为0，1，2，3，可得，，，故的分布列为η0123P0.10.30.30.3（2）列表得X01234014916即随机变量的可能取值为0，1，4，9，16.从而的分布列为014916P0.20.10.10.30.3【变式21】掷两颗骰子，用X表示两点数差的绝对值.求X的分布.【答案】答案见详解.【详解】记掷两颗骰子所得点数分别为m，n，则样本空间，X的取值为.当时，包含样本点，所以；当时，包含样本点，所以；当时，包含样本点，所以；当时，包含样本点，所以；当时，包含样本点，所以；当时，包含样本点，所以.所以，X的分布列为：X012345P【变式22】同学甲进行一种闯关游戏，该游戏共设两个关卡，闯关规则如下：每个关卡前需先投掷一枚硬币，若正面朝上，则顺利进入闯关界面，可以开始闯关游戏；若反面朝上，游戏直接终止，甲同学在每次进入闯关界面后能够成功通过关卡的概率均为，且第一关是否成功通过都不影响第二关的进行．(1)同学甲在游戏终止时成功通过两个关卡的概率；(2)同学甲成功通过关卡的个数为，求的分布列．【答案】(1)(2)分布列见解析【详解】（1）同学甲在游戏终止时成功通过两个关卡的概率．（2）同学甲成功通过关卡的个数的值为0，1，2，，，，所以同学甲成功通过关卡的个数的分布列为：012P【变式23】中国的CT机打破了欧美30年的技术垄断，实现了从无到有的突破，中国的CT机不仅在技术上达到了国际水平，而且在价格上也更具竞争力.此外，中国的CT机还具有更好的定制化服务，能够更好地满足不同地区和不同医疗机构的需求，明峰医疗和联影医疗是中国CT机行业中的佼佼者.2023年8月某医院购进甲型CT机2台，乙型CT机1台，该医院决定按照以下方案调试新机器：每台设备最多进行2次调试，只要调试成功就投入使用，每次调试费用0元：如果两次调试均不成功，则邀请生产商上门调试，生产商调试一台医院调试不成功的CT机需要额外支付1000元，生产商调试后直接投入使用；其中医院对甲机型每次调试成功的概率为，对乙机型每次调试成功的概率为，调试相互独立.(1)求医院不需要生产商上门调试的概率；(2)计算医院支付调试费用的分布列.【答案】(1)(2)分布列见解析【详解】（1）记事件为一台甲设备调试成功，事件为一台乙设备调试成功，则由题意得，，所以医院不需要生产商上门调试的概率，（2）由题意可得的可能取值为0，1000，2000，3000，则，所以的分布列为0100020003000求离散型随机变量求离散型随机变量的分布列的步骤：（1）理解的意义,写出可能取的全部值；（2）求取每个值的概率；（3）写出的分布列.重难点3离散型随机变量分布列的性质【例5】设随机变量X的分布列如下：X1234Pp则p为（

）．A． B． C． D．【答案】B【详解】由分布列的性质可知，，得.故选：B【例6】若离散型随机变量X的分布列为，则的值为（

）.A． B． C． D．【答案】B【详解】因为，所以由，可得：，即，∴，所以.故选:B.【变式31】随机变量X的分布列如下：X01Pabc其中a，b，c成等差数列，则可以为（

）A． B． C． D．【答案】ABC【详解】解：随机变量X的分布列如下：X01Pabc，且a，b，①，b，c成等差数列，，②联立①②，得，，所以，，可以为，，，故选：ABC【变式32】已知离散型随机变量X的分布列如表所示，则m的值为.0123【答案】/【详解】依题意，，整理得，解得或，当时，，，不符合题意，当时，，，，，符合题意，所以m的值为.故答案为：.【变式33】设随机变量的分布列为，则常数.【答案】【详解】，解得，故答案为：.分布列性质的两个作用分布列性质的两个作用：（1）利用分布列中各事件概率之和为1可求参数的值及检查分布列的正确性；（2）随机变量所取的值分别对应的事件是两两互斥的,利用这一点可以求随机变量在某个范围内的概率.重难点4两点分布【例7】已知随机变量服从两点分布，且.设，那么等于（

）A．0.6 B．0.3 C．0.2 D．0.4【答案】D【详解】当时，由，所以.故选：D【例8】袋内有10个红球，5个白球，从中摸出2个球，记求的分布列．【答案】分布列见解析【详解】解：由题设知服从两点分布，且，．所以的分布列为01【变式41】已知离散型随机变量的分布列服从两点分布，且，则（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】因为的分布列服从两点分布，所以，又，所以，所以，所以.故选：A.【变式42】已知随机变量X服从两点分布，且，则．【答案】/0.6【详解】解：由随机变量X服从两点分布，得，又因为，所以．故答案为：【变式43】已知一批200件的待出厂产品中，有1件不合格品，现从中任意抽取2件进行检查，若用随机变量X表示抽取的2件产品中的次品数，求X的概率分布．【答案】答案见解析【详解】由题意知，X服从两点分布，，所以，所以随机变量X的概率分布为X01P两步法判断一个分布是否为两点分布两步法判断一个分布是否为两点分布：（1）看取值:随机变量只取两个值和；（2）验概率:检验是否成立；如果一个分布满足以上两点,则该分布是两点分布,否则不是两点分布.重难点5求离散型随机变量的均值、方差【例9】已知随机变量的分布列如表所示：0p其中，若，且，则（

）A． B．C． D．【答案】A【详解】因为，所以，，所以.所以.故选：A.【例10】已知X的分布列为X01P则下列结论正确的是（

）．A． B． C． D．【答案】AC【详解】对A：由，知A正确；对B：由，知B错误；对C、D：因为的分布列为所以，故C正确；，故D错误．故选：AC.【变式51】某种资格证考试，每位考生一年内最多有3次考试机会.一旦某次考试通过，便可领取资格证书，不再参加以后的考试；否则就继续参加考试，直到用完3次机会.小王决定参加考试，若他每次参加考试通过的概率依次为0.6，0.7，0.8，且每次考试是否通过相互独立，则小王在一年内领到资格证书的概率为；他在一年内参加考试次数的数学期望为.【答案】0.9761.52【详解】小王在一年内领到资格证书的概率为：；设为小王一年内参加考试的次数，则的取值可能为.,，，所以期望.故答案为：0.976；1.52【变式52】设随机变量的分布列为其中．则下列说法正确的是（

）012A． B．C．随着的从小到大变化，先增大后减小 D．有最小值【答案】AC【详解】，A选项正确；，B选项错误；，又，是关于b的二次函数，对称轴为，所以，当b从小到大变化的时候，是先增后减，当时取得最大值，没有最小值，C选项正确，D选项错误；故选：AC.【变式53】设，随机变量的分布列如下图所示，则下列说法正确的有（

）X012PA．恒为1 B．随增大而增大C．恒为 D．最小值为0【答案】AC【详解】因为，解得：，所以随机变量的分布列如下图，X012P因为，恒为1，故A正确；B错误；，故C正确，D错误.故选：AC.求离散型随机变量求离散型随机变量的均值的步骤：（1）理解的实际意义,并写出的全部取值；（2）求出取每个值的概率；（3）写出的分布列(有时也可省略)；（4）利用期望公式，方差公式计算即可重难点6均值及方差性质【例11】已知随机变量X的分布列如下：X－101P设Y＝2X＋1，则Y的数学期望E(Y)的值是（

）A．－ B． C． D．－【答案】C【详解】随机变量X的数学期望为E(X)＝－1×＋0×＋1×＝－.又Y＝2X＋1，所以随机变量Y的数学期望为E(Y)＝2E(X)＋1＝2×(－)＋1＝.【例12】已知离散型随机变量的分布列为若离散型随机变量满足，则下列说法正确的有（

）A． B．0 C． D．【答案】AB【详解】由，所以，所以A选项正确.，所以，对应概率为0，所以D选项错误.，所以，所以B选项正确.，C选项错误.故选：AB【变式61】已知随机变量X的分布列为X123P且，若，则等于（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】结合题意：，因为，所以，解得：，故选：A.【变式62】若随机变量的分布列如下表所示，则（

）01A． B．2 C． D．【答案】D【详解】由已知可得，，，所以，所以，所以，所以，故选：D.【变式63】设离散型随机变量的分布列为：01230.40.30.2若离散型随机变量满足，则（

）A． B．C． D．【答案】ABD【详解】由分布列的性质知，则，故，故A正确；，故C错误；则，故B正确；所以，故D正确．故选：ABD．对于对于型的随机变量,则有，重难点7均值与方差在决策中的应用【例13】某市甲､乙两个企业都生产某种产品，贸易部门为将该种产品扩大市场份额，推向国内外，创造更高的收益，准备从甲､乙两个企业中选取优质的产品，参加2021年的广交会.现从甲､乙两个企业中各随机抽取5件产品进行质量检测，得到质量指数如下表：甲9089938791乙9189908892规定：质量指数在90以上(包括90)的视为“优质品”，质量指数低于90的视为“合格品”以此样本估计总体，频率作为概率，求解以下问题：（1）若从甲､乙两个企业的优质品中随机取出2件去参加2021年的广交会，求取出的2件优质品恰好都是甲企业的优质品的概率；（2）从乙企业的5件产品中随机取出1件，若为合格品则另放入1件优质品，直到取出的是优质品，求取得合格品次数X的分布列和期望；（3）若两个企业中只能选一个企业参加这次广交会，如果你是该市贸易部门的负责人，从产品质量的稳定性方面考虑，你会选择哪个企业？【答案】（1）所求的概率为；（2）的分布列见解析，数学期望为；（3）乙企业产品质量更稳定些，应选择乙企业．【详解】（1）甲企业优质品有3件，乙企业优质品有3件，所以取出的2件优质品都是甲企业的概率为；（2）根据题意知，随机变量的可能取值为0、1、2，由已知从乙企业取出1件优质品的概率为，一件合格品的概率为所以，，，所以的分布列为：012数学期望为；（3）甲企业产品质量指数的平均值为：，方差为，乙企业产品质量指数的平均值为：，方差为，因为两企业的平均值相同，且，所以乙企业产品质量更稳定些，应选择乙企业．【例14】甲公司现有资金200万元，考虑一项投资计划，假定影响投资收益的唯一因素是投资期间的经济形势，若投资期间经济形势好，投资有的收益率，若投资期间经济形势不好，投资有的损益率；如果不执行该投资计划，损失为1万元.现有两个方案，方案一：执行投资计划；方案二：聘请投资咨询公司乙分析投资期间的经济形势，聘请费用为5000元，若投资咨询公司乙预测投资期间经济形势好，则执行投资计划；若投资咨询公司乙预测投资期间经济形势不好，则不执行该计划.根据以往的资料表明，投资咨询公司乙预测不一定正确，投资期间经济形势好，咨询公司乙预测经济形势好的概率是0.8；投资期间经济形势不好，咨询公司乙预测经济形势不好的概率是0.7.假设根据权威资料可以确定，投资期间经济形势好的概率是，经济形势不好的概率是.(1)求投资咨询公司乙预测投资期间经济形势好的概率；(2)根据获得利润的期望值的大小，甲公司应该执行哪个方案？说明理由.【答案】(1)0.5；(2)甲公司应该选择方案二，理由见解析【详解】（1）记投资期间经济形势好为事件，投资期间经济形势不好为事件，投资咨询公司预测投资期间经济形势好为事件，则，因此；（2）若采取方案一，则该公司获得的利润值万元的分布列是500.40.6万元；若采取方案二：设该公司获得的利润值为万元，有以下情况，投资期间经济形势好，咨询公司乙预测经济形势为好，，其发生的概率为：，投资期间经济形势好，咨询公司乙预测经济形势为不好，，其发生的概率为：，投资期间经济形势不好，咨询公司乙预测经济形势为好，，其发生的概率为：，投资期间经济形势不好，咨询公司乙预测经济形势为不好，，其发生的概率为：，因此，随机变量的分布列为：49.50.180.50.32因此，万元，因为，所以甲公司应该选择方案二.【变式71】学校进行足球专项测试考核，考核分“定位球传准”和“20米运球绕杆射门”两个项目.规定：“定位球传准”考核合格得4分，否则得0分；“20米运球绕杆射门”考核合格得6分，否则得0分.现将某班学生分为两组，一组先进行“定位球传准”考核，一组先进行“20米运球绕杆射门”考核，若先考核的项目不合格，则无需进行下一个项目，直接判定为考核不合格；若先考核的项目合格，则进入下一个项目进行考核，无论第二个项目考核是否合格都结束考核.已知小明“定位球传准”考核合格的概率为0.8，“20米运球绕杆射门”考核合格的概率为0.7，且每个项目考核合格的概率与考核次序无关.(1)若小明先进行“定位球传准”考核，记为小明结束考核后的累计得分，求的分布列；(2)为使累计得分的期望最大，小明应选择先进行哪个项目的考核？并说明理由.【答案】(1)分布列见解析(2)小明应选择先进行“定位球传准”考核，理由见解析【详解】（1）由已知可得，的所有可能取值为，则，，所以的分布列为：04100.20.240.56（2）小明应选择先进行“定位球传准”考核，理由如下：由（1）可知小明先进行“定位球传准”考核，累计得分的期望为，若小明先进行“20米运球绕杆射门”考核，记为小明的累计得分，则的所有可能取值为，，，则的期望为，因为，所以为使累计得分的期望最大，小明应选择先进行“定位球传准”考核.【变式72】某超市计划按天从厂家订购酸奶，每瓶进价为4元，零售价为6元，若进货不足，则该超市以每瓶5元的价格进行补货，若销售有余，则厂家以3元回购，为此该超市收集并整理了30天这种酸奶的销售记录，得到了如下数据：销售瓶数2030405060频数361263以频率代替概率，记为这家超市每天销售该酸奶的瓶数，表示超市每天购进该酸奶的瓶数.(1)求的分布列和数学期望；(2)以销售该酸奶所得的利润的期望为决策依据，在和之中选一个，应选用哪个？【答案】(1)分布列见解析，数学期望为40；(2).【详解】（1）根据表格可知的所有可能取值为：，且，，所以分布列为：20304050600.10.20.40.20.1.（2）①当时，设为“超市销售该酸奶所得的利润”，则当时，；当时，；当时，；当时，；当时，；所以的分布列为：53565951150.10.20.40.20.1，②当时，设为“超市销售该酸奶所得的利润”，则当时，；当时，；当时，；当时，；当时，；所以的分布列为：03060901200.10.20.40.20.1，，故应选.【变式73】现有人要通过化验来确定是否患有某种疾病，化验结果阳性视为患有该疾病．化验方案：先将这人化验样本混在一起化验一次，若呈阳性，则还要对每个人再做一次化验；否则化验结束．已知这人未患该疾病的概率均为，是否患有该疾病相互独立．(1)按照方案化验，求这人的总化验次数的分布列；(2)化验方案：先将这人随机分成两组，每组人，将每组的人的样本混在一起化验一次，若呈阳性，则还需要对这人再各做一次化验；否则化验结束．若每种方案每次化验的费用都相同，且，问方案和中哪个化验总费用的数学期望更小？【答案】(1)见解析(2)方案的化验总费用的数学期望更小.【详解】（1）按照方案化验，这10人的总化验次数的可能取值为1,11.，，的分布列为：111（2）设按照方案化验，这10人的总化验次数为，的可能取值为，，，，，由（1）知，，，因为当时，，所以.所以方案的化验总费用的数学期望更小.随机变量的均值反映了随机变量取值的平均水平,方差反映了随机变量稳定于均值的程度,它们从整体和全局上刻画了随机变量,是生产实际中用于方案取舍的重要理论依据.一般先比较均值,若均值相同,再用方差来决定.随机变量的均值反映了随机变量取值的平均水平,方差反映了随机变量稳定于均值的程度,它们从整体和全局上刻画了随机变量,是生产实际中用于方案取舍的重要理论依据.一般先比较均值,若均值相同,再用方差来决定.1．投掷两枚质地均匀的骰子，记偶数点朝上的骰子的个数为，则的分布列为（

）A．X12PB．X01PC．

X012PD．

X012P【答案】C【详解】因为每枚骰子偶数点朝上的概率为，且相互独立，的取值可能为0，1，2.，，，所以的分布列为：XP故选：C.2．下列问题中的随机变量不服从两点分布的是（

）A．抛掷一枚骰子，所得点数为随机变量B．某选手射击一次，击中目标的次数为随机变量C．从装有5个红球、3个白球的袋中取1个球，令随机变量D．某医生做一次手术，手术成功的次数为随机变量【答案】A【详解】对A，随机变量的可能取值有6个，不服从两点分布，故A错误；对B，某选手射击一次，击中目标的次数为0或1，服从两点分布，故B正确；对C，随机变量的可能取值有2个，服从两点分布，故C正确；对D，随机变量的可能取值为0或1，有2个，服从两点分布，故D正确.故选：A3．已知随机变量的分布列为，2，3，，，则（）A． B． C． D．【答案】C【详解】根据题意，随机变量的分布列为，由分布列的性质，则有，解得，故..故选：C.4．某高二学生在参加物理、历史反向学考中，成绩是否取得等级相互独立，记为“该学生取得等级的学考科目数”，其分布列如下表所示，则的最大值是（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】由题意可得、的分布列如下表所示：由分布列的性质可得，所以，，所以，，，所以，，设该生物理、历史学考获得等级的概率分别为、，则有，则，当且仅当时取等号，所以，，因为函数在上单调递减，所以，．故选：B.5．已知随机变量X的分布列如下表：X01Pabc若成等差数列，则公差d可以是（

）A． B．0 C． D．1【答案】AB【详解】因为成等差数列，所以.又，所以，又，，根据分布列的性质，得，，所以.故选：AB.6．，随机变量的分布列如下，则下列结论正确的有（

）X012PA．的值最大B．C．随着概率的增大而减小D．随着概率的增大而增大【答案】BD【详解】由，取，则，，A错误；因为，所以，即，B正确，，因为，所以随着的增大而增大，C错误，D正确，故选：BD.7．一离散型随机变量的分布列为：01230.1其中为变数，为正常数，且当时方差有最大值，则的值为．【答案】0.1/【详解】由题意得，，，当时有最大值，此时，解得．故答案为：．8．已