1.1集合学案文含解析

第一节集合【知识重温】一、必记3个知识点1．元素与集合(1)集合中元素的特性：________、________、无序性．(2)元素与集合的关系：若a属于A，记作________，若b不属于A，记作________.(3)集合的表示方法：________、________、图示法．(4)常见数集及其符号表示数集自然数集正整数集整数集有理数集实数集符号____________________2.集合间的基本关系(1)集合相等：若集合A与集合B中的所有元素________，则称A与B相等．(2)子集：若集合A中________________________均为集合B中的元素，则称A是B的子集，记作A⊆B或B⊇A，________是任何集合的子集．(3)真子集：若集合A中任意一个元素均为集合B中的元素，且集合B中⑮________________不是集合A中的元素，则称A是B的真子集，记作AB或BA.(4)空集是任何集合的子集，是任何________集合的真子集．(5)含有n个元素的集合的子集个数为________，真子集个数为________，非空真子集个数为________.3．集合的基本运算集合的并集集合的交集集合的补集符号表示A∪BA∩B若全集为U，则集合A的补集为∁UA图形表示意义{x|______}{x|______}{x|________}二、必明5个易误点1．认清集合元素的属性(是点集、数集或其他情形)和化简集合是正确求解的两个先决条件．2．要注意区分元素与集合的从属关系，以及集合与集合的包含关系．3．易忘空集的特殊性，在写集合的子集时不要忘了空集和它本身．4．运用数轴图示法易忽视端点是实心还是空心．5．在解决含参数的集合问题时，要注意检验集合元素的互异性，否则很可能会因为不满足互异性而导致解题错误．【小题热身】一、判断正误1．判断下列说法是否正确(请在括号中打“√”或“×”)．(1)集合{x∈N|x3＝x}，用列举法表示为{－1,0,1}．()(2){x|y＝x2}＝{y|y＝x2}＝{(x，y)|y＝x2}．()(3)方程eq\r(x－2018)＋(y＋2019)2＝0的解集为{2018，－2019}．()二、教材改编2．集合A＝{x|2≤x<4}，B＝{x|3x－7≥8－2x}，则A∩B＝()A．{x|2≤x<4}B．{x|3≤x<4}C．{x|2<x<4}D．{x|3<x<4}3．已知集合A＝{x|3≤x<7}，B＝{x|2<x<10}，则∁R(A∪B)＝________.三、易错易混4．已知集合A＝{－1,1}，B＝{x|ax＋1＝0}，若B⊆A，则实数a的所有可能取值的集合为()A．{－1}B．{1}C．{－1,1}D．{－1,0,1}5．已知集合A＝{y|y＝x2－2x－3，x∈R}，B＝{y|y＝－x2＋2x＋13，x∈R}，则A∩B＝________.四、走进高考6．[2020·山东卷]设集合A＝{x|1≤x≤3}，B＝{x|2<x<4}，则A∪B＝()A．{x|2<x≤3}B．{x|2≤x≤3}C．{x|1≤x<4}D．{x|1<x<4}eq\x(考点一)集合[自主练透型]1．设a，b∈R，集合{1，a＋b，a}＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(0，\f(b,a)，b))，则b－a＝()A．1B．－1C．2D．－22．若集合A＝{x∈R|ax2－3x＋2＝0}中只有一个元素，则a＝()A.eq\f(9,2)B.eq\f(9,8)C．0D．0或eq\f(9,8)3．[2021·河南省豫北名校高三质量考评]已知集合A＝{(x，y)|x2＋y2＝4}，B＝{(x，y)|y＝－x2＋2}，则集合A∩B的真子集的个数为()A．3B．4C．7D．8悟·技法解决集合含义问题的关键有三点：一是确定构成集合的元素；二是确定元素的限制条件；三是根据元素的特性(满足的条件)构造关系式解决相应问题．[提醒]含字母的集合问题，在求出字母的值后，需要验证集合的元素是否满足互异性.考点二集合间的基本关系[互动讲练型][例1](1)[2021·黄冈中学，华师附中等八校联考]已知集合M＝{x|x2－5x－6≤0}，N＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(y|y＝\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,6)))x，x≥－1))，则()A．M⊆NB．N⊆MC．M＝ND．M⊆(∁RN)(2)[2021·大同市高三学情调研测试试题]已知集合A满足{0,1}⊆A{0,1,2,3}，则集合A的个数为()A．1B．2C．3D．4(1)判断两集合关系的3种常用方法(2)根据两集合的关系求参数的方法[提醒]题目中若有条件B⊆A，则应分B＝∅和B≠∅两种情况进行讨论.[变式练]——(着眼于举一反三)1．[2021·广州市高三学情调研]已知集合{x|x2＋ax＝0}＝{0,1}，则实数a的值为()A．－1B．0C．1D．22．已知集合A＝{x|x2－2x≤0}，B＝{x|x≤a}，若A⊆B，则实数a的取值范围是()A．a≥2B．a>2C．a<0D．a≤0考点三集合间的基本运算[分层深化型][例2](1)[2020·全国卷Ⅱ]已知集合U＝{－2，－1,0,1，2,3}，A＝{－1,0,1}，B＝{1,2}，则∁U(A∪B)＝()A.{－2,3}B.{－2,2,3}C.{－2，－1,0,3}D.{－2，－1,0,2,3}(2)[2021·合肥市高三调研性检测]若集合A＝{x|x(x－2)>0}，B＝{x|x－1>0}，则A∩B＝()A．{x|x>1或x<0}B．{x|1<x<2}C．{x|x>2}D．{x|x>1}悟·技法[同类练]——(着眼于触类旁通)3．[2021·广东省七校联合体高三联考试题]已知集合A＝{x|x2－x－2<0}，B＝{x|x<1}，则有()A．A∩B＝{x|0<x<2}B．A∩B＝{x|－1<x<1}C．A∪B＝{x|－1<x<1}D．A∪B＝{x|－1<x<2}4．[2021·唐山市高三年级摸底考试]已知集合A＝{0,1,2,3}，B＝{x|x2－2x<0}，则A∩B＝()A．{0,1,2}B．{0,1}C．{3}D．{1}[变式练]——(着眼于举一反三)5．[2021·武汉部分学校质量检测]已知集合A＝{x|x2－x－2<0}，则∁RA＝()A．{x|－1<x<2}B．{x|－1≤x≤2}C．{x|x<－1或x>2}D．{x|x≤－1或x≥2}6．[2021·南昌市高三年级摸底测试卷]已知集合M＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(x－3,x－1)≥0))))，N＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝\r(2－x)))))，则(∁RM)∩N＝()A．(1,2]B．[1,2]C．(2,3]D．[2,3][拓展练]——(着眼于迁移应用)7．[2021·山西省六校高三阶段性测试]已知全集U＝R，集合A＝{x|x2－4<0，x∈Z}，集合B＝{x|x2－2x－3＝0}，则图中阴影部分表示的集合是()A．{0,1,3}B．{－2,0,1,2,3}C．{0，－1，－3}D．{－1,0,1,3}8．[2021·石家庄市重点高中高三毕业班摸底考试]已知集合A＝{x|y＝log2(x－2)}，B＝{x|x2≥9}，则A∩(∁RB)＝()A．[2,3)B．(2,3)C．(3，＋∞)D．(2，＋∞)第一节集合【知识重温】①确定性②互异性③a∈A④b∉A⑤列举法⑥描述法⑦N⑧N*(或N＋)⑨Z⑩Q⑪R⑫都相同⑬每一个元素⑭空集⑮至少有一个元素⑯非空⑰2n⑱2n－1⑲2n－2⑳x∈A或x∈Beq\o(○,\s\up1(21))x∈A且x∈Beq\o(○,\s\up1(22))x∈U且x∉A【小题热身】1．答案：(1)×(2)×(3)×2．解析：∵A＝{x|2≤x<4}，B＝{x|x≥3}，∴A∩B＝{x|3≤x<4}．答案：B3．解析：A∪B＝{x|2<x<10}，∴∁R(A∪B)＝{x|x≤2或x≥10}．答案：{x|x≤2或x≥10}4．解析：∵B⊆A，当B≠∅，即a≠0时，B＝{x|x＝－eq\f(1,a)}，∴－eq\f(1,a)∈A，即a＝±1；当B＝∅，即a＝0时，满足条件，综上可知实数a所有可能取值的集合是{－1,0,1}．故选D.答案：D5．解析：A＝{y|y＝(x－1)2－4，x∈R}＝{y|y≥－4}．B＝{y|y＝－(x－1)2＋14，x∈R}＝{y|y≤14}．∴A∩B＝{y|－4≤y≤14}．答案：{y|－4≤y≤14}6．解析：A＝{x|1≤x≤3}，B＝{x|2<x<4}，则A∪B＝{x|1≤x<4}，选C.答案：C课堂考点突破考点一1．解析：因为{1，a＋b，a}＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(0，\f(b,a)，b))，a≠0，所以a＋b＝0，则eq\f(b,a)＝－1，所以a＝－1，b＝1.所以b－a＝2.答案：C2．解析：若集合A中只有一个元素，则方程ax2－3x＋2＝0只有一个实根或有两个相等实根．当a＝0时，x＝eq\f(2,3)，符合题意；当a≠0时，由Δ＝(－3)2－8a＝0，得a＝eq\f(9,8).所以a的值为0或eq\f(9,8).故选D项．答案：D3．解析：解法一由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＋y2＝4,y＝－x2＋2))，解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝0,y＝2))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\r(3),y＝－1))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－\r(3),y＝－1))，则集合A∩B＝{(0,2)，(eq\r(3)，－1)，(－eq\r(3)，－1)}，有3个元素，其真子集的个数为23－1＝7，故选C.解法二分别作出圆x2＋y2＝4与抛物线y＝－x2＋2，如图．由图可知集合A∩B中有3个元素，则其真子集的个数为23－1＝7，故选C.答案：C考点二例1解析：(1)由x2－5x－6≤0得－1≤x≤6，即M＝[－1,6]；由y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,6)))x，x≥－1得0<y≤6，即N＝(0,6]，所以N⊆M，故选B.(2)由题意可知A可能为{0,1}，{0,1,2}，{0,1,3}，则满足条件的集合A的个数为3，故选C.答案：(1)B(2)C变式练1．解析：由x2＋ax＝0，得x(x＋a)＝0，所以x＝0或x＝－a.所以由已知条件可得－a＝1，所以a＝－1.答案：A2．解析：∵A＝{x|0≤x≤2}，B＝{x|x≤a}，∴为使A⊆B，a须满足a≥2.答案：A考点三例2解析：(1)∵A＝{－1,0,1}，B＝{1,2}，∴A∪B＝{－1,0,1,2}，又∵集合U＝{－2，－1,0,1,2,3}，∴∁U(A∪B)＝{－2,3}，故选A.(2)通解因为A＝{x|x(x－2)>0}＝{x|x>2或x<0}，B＝{x|x－1>0}＝{x|x>1}，所以A∩B＝{x|x>2}，故选C.优解因为eq\f(3,2)∉A，所以eq\f(3,2)∉(A∩B)，故排除A，B，D，选C.答案：(1)A(2)C同类练3．解析：由题意可得A＝{x|－1<x<2}，故A∩B＝{x|－1<x<1}，选B.答案：B4．解析：B＝{x|0<x<2}，A＝{0,1,2,3}，则A∩B＝{1}，故选D.答案：D变式练5．解析：通解因为A＝{x|x2－x－2<0}＝{x|(x＋1)(x－2)<0}＝{x|－1<x<2}，所以∁RA＝{x|x≤－1或x≥2}，选D.优解显然0∈A，所以0∉∁RA，排除A，B；又2∉A，所以2∈∁RA，排除C.选D.答案：D6．解析：因为M＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\c