2024-2025学年浙教版数学九年级上册 二次函数 单元练习

第一章二次函数

班级姓名学号得分

一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分）

1.二次函数y=f一2久+3的最值为（）

A.~2B.2C._3D.3

2.某公司的年生产利润原来是a万元，经过连续两年的增长达到了y万元.如果每年增长的百分率

都是x,那么y关于x的函数表达式是（）

A.y-x2+aB.y——l）2C.y—a（l—x）2D.y—a（l+x）2

3.已知二次函数.y=（%-l）2-1（0<%<3）的图象如图所示，关于该函数在所给自变量取值范围

内的最值，下列说法正确的是（）

A.有最小值0,有最大值3B.有最小值T,无最大值

A.x〈T或x〉3B.-Kx<3C.xWT或x》3D.TWxW3

5,下表是二次函数y=珠十3%一5的部分自变量x与函数值y的对应值:_______

X11.11.21.31.4

y-1—0.490.040.591.16

那么方程产+3%-5=0的一个近似根是（）

A.1B.1.1C.1.2D.1.3

6.从某建筑物10m高的窗口A用水管向外喷水，喷出的水流呈抛物线形状（抛物线所在平面与墙面

垂直，如图）.若抛物线的最高点P离墙1m,离地面子皿则水流落地点B离墙的距离0B是（）

A.2mB.3mC.4mD.5m

7.为了减少空气污染，国家要求限制塑料玩具生产，这样有时企业会被迫停产.经过调研预测，某

塑料玩具生产公司这一年中每月获得的利润y万元和月份n之间满足函数表达式.y=-"+I4n

-24..若在当月无利润时公司会停产，则该公司停产的月份为（）

A.2月和12月B.2月至12月C.1月D.1月、2月和12月

8.已知二次函数y=。久2+匕久+。与反比例函数｝/=5的图象在第一象限有一个公共点，其横坐标

为1,则一次函数y=bx+ac的图象可能是（）‘

ABCD

9.点P（m,n）在以y轴对称轴的二次函数y=/+a%+4的图像上，则m-n的最大值等于（）

A—4B.4C.--4D.--4

10.竖直上抛物体离地面的高度h（m）与运动时间t（s）之间的关系可以近似地用公式九

=-5产++九0表示，其中ho（m）是物体抛出时离地面的高度，v°（m/s）是物体抛出时的

速度.某人将一个小球从距地面1.5m的高处以20m/s的速度竖直向上抛出，小球达到的

离地面的最大高度为（）

A.23.5mB.22.5mC.21.5mD.20.5m

二、填空题（本大题有6小题，每小题4分，共24分）

11.若二次函数.y=f+—5的图象的对称轴为直线x=2,则关于x的方程----、

x2+bx-5=2x—13的解为.罚"

12.如图，一名男生推铅球，铅球行进高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）笫"题图

之间的关系式是、=-+*+|,则他将铅球推出的距离是皿.

13.一件工艺品进价为100元，标价135元出售，每天可售出100件.根据销售统计，一件工艺

品每降价1元出售，则每天可多售出4件，要使每天获得的利润最大，每件需降价

元.

14.某一型号飞机着陆后滑行的距离y（单位：m）与滑行时间x（单位：s）之间的函数表达式是y

=60%-1.5%乙该型号飞机着陆后需滑行_____m才能停下来.

15.若抛物线y=—（x-m）（x--3-n）+m与抛物线.y=（久一3）2+4关于原点对称，、升/

则m+n=______.\\幺/

16.如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y=。/+5%（公0）的顶点为。得令^~；

与x轴的正半轴交于点A,它的对称轴与抛物线）/=以2（公0）交于点B.若四IV

边形ABOC是正方形，®l]b=.第16题图

三、解答题（本大题有8小题，共66分）

17.（6分）已知二次函数y=/+3%+m的图象与x轴交于点A（-4,0）.

⑴求m的值；

（2）求该函数图象与坐标轴其余交点的坐标.

18.（6分）已知二次函数y-x2+ax+a—2.

（1）求证：不论a为何实数，此函数图象与x轴总有两个交点;

（2）用关于a的代数式表示这两个交点之间的距离；

（3）当a取何值时，两交点间的距离最小？请求出最小值.

19.（6分）某圆形喷水池的中心竖直安装了一根高为2m的水管，它喷出的抛物线形水柱在与池中

心的水平距离为1m处达到最高，水柱落地处离池中心3m.

（1）请你建立适当的平面直角坐标系，并求出水柱抛物线的表达式；

（2）求出水柱的最大高度是多少？

20.（8分）某乒乓球馆使用发球机进行辅助训练，如图，出球口在桌面中线端点A处的正上方,

假设每次发出的乒乓球的运动路线固定不变，且落在中线上.在乒乓球运行时，设乒乓球与

端点A的水平距离为x（米），距离桌面的高度为y（米），运行时间为t（秒），经多次测试后,

得到如下部分数据:

t（秒）00.160.20.40.60.640.8

x（米）00.40.511.51.62

y（米）0.250.3780.40.450.40.3780.25

（1）当t为何值时，乒乓球达到最大高度？

⑵乒乓球落在桌面上时，与端点A的水平距离是多少?

第20题图

21.（8分）已知某种土特产每袋的成本价为10元.试销阶段每袋的销售价x（元）与该土特产的日

销售量y（袋）之间的关系如下表：

x（元）152030

y（袋）252010

若日销售量y（袋）是每袋的销售价x（元）的一次函数，试求：

（1）日销售量y（袋）与每袋的销售价x（元）的函数表达式；

⑵假设后续销售情况与试销阶段效果相同，要使这种土特产每日销售的利润最大，每袋的

销售价应定为多少元？每日销售的最大利润是多少元？

22.(10分)如图，在足够大的空地上有一段长为am的旧墙MN,某人利用旧墙和木栏围成一个矩形菜

园ABCD,其中4。WMN,已知矩形菜园的一边靠墙，另三边一共用了100m木栏.

(1)若a=20„所围成的矩形菜园的面积为450nl匕求所利用旧墙AD的长；

(2)求矩形菜园ABCD面积的最大值.

第22题图

23.(10分)把一个足球垂直于水平地面向上踢，时间为t(秒)时该足球距离地面的高度h

(米)适用公式h=20t—5t2(0<t<4).

(1)当t=3时，求足球距离地面的高度；

(2)当足球距离地面的高度为10米时，求t的值；

⑶若存在实数t1和0％),当t=ti或t2时，足球距离地面的高度都为m米，求

m的取值范围.

24.(12分)如图，抛物线yax2+bx+c经过点4(—3,0),B(l，0),C(0,-3).

(1)求抛物线的表达式；

(2)若点P为第三象限内抛物线上的一点，设△P2C的面积为S,求S的最大值，并求出此时点

P的坐标；

(3)设抛物线的顶点为D,在y轴上是否存在点M,使得是直角三角形？若存在，请求出

点M的坐标；若不存在，请说明理由.

第一章二次函数

1.B2.D3.D4.B5.C6.B7.D8.B9.C10.C11.x『2,xh412.1013.514.60015.

-916.-2

17.解:(1)将A点坐标(-4,0)代入y=x2+3x+m得：16-12+m=0,解得m=-4.

⑵当x=0时，则:y=-4,.,.函数图象与y轴的交点坐标为(0,-4),令y=0,则/+3%-4=0,解得

=1,%2=一4,.•.函数图象与x轴的另一个交点的坐标为(1,0).

18.解：(1)证明：△=a?-4a+8=(a-2)2+4>0,.,.无论a为何值，此函数图象与x轴总有两个

交占

(2)Va2-4a+8.(3)当a=2时，距离最小，最小值为2.

19.解：(1)如图，以水管与地面的交点为原点，原点与水柱落地点所在的直线为x轴，水管所在的

直线为y轴，建立平面直角坐标系.由题意可设抛物线的表达式为y=a(x-l)2+/i(0WxW3).由题意

知抛物线过点(0,2)和⑶0),代入抛物线的表达式可得，上广=?解得「一了所以抛

物线的表达式为y=-|(x-I/+1(0<%<3).化为一般式为y--|x2+|x+2(0WxW3).

(2)由⑴知抛物线表达式为y=—1(久—1)2+?(0工久工3),所以当x=l时，抛物线形水柱最高，最

大高度为5m

h

~~o]3^

第19题图

20.解：(1)由表格中数据可得，t=0.4时，乒乓球达到最大高度.(2)由表格中数据，可得y是x

的二次函数，可设y-a(x-I)2+0.45,将(0,0.25)代入,可得a=-刍则y--(x-I)2+0.45

，当y=0时，0=—2—1)2+0.45,解得：为1=|,久2=-"舍去)，即乒乓球与端点A的水平距

离是部

21.解：(1)依题意，根据表格的数据，设日销售量y(袋)与每袋的销售价x(元)的函数表达式为丫=

kx+b,得窿=解得故日销售量y(袋)与每袋的销售价x(元)的函数表达式为:

y=-x+40.(2)依题意，设利润为w元,得w=(x-10)(—%+40)=—x2+50%—400,整理得

w=-(x-25)2+225,・..当x=25时,w取得大值，最大值为225.故要使这种土特产每日销售。

润最大，每袋的销售价应定为25元，每日销售的最大利润是225元.

22.解：(1)设AB=xm,则BC=(100-2x)m,根据—意得x(100-2x)=450,解得心=5,%2-45.当x=5时,10

0-2x=90>20,不合题意，舍去;当x=45时，100-2x=10.答:AD的长为10m.(2)设AD=vm,矩形菜园

ABCD的面积为Sm2•・•.S=|y(100-y)=—：(y-50)2+1250,当a>50时,则y=50时,S取得最

大值，为1250;当0〈a〈50时，则当0〈yWa时,S随y的增大而增大，・•・y=a时，S取得最大值，为

50a-.综上所述，当aN50时，面积的最大值为1250/^；当0<a<50时，面积的最大值为

(50a—|a2^m2.

23.解：(1)当t=3时，九=20t—5产=20x3—5x32=60—5x9=60—45=15(米)，，当t=3

时,足球距离地面的高度为15米.(2)当h=10时，20t-5产=10,产―4t+2=0,解得t=2土

VX%当足球距离地面的高度为10米时，t的值为2V2(3)Vh=20t-5t2=—5(严—4。=一

5(t2-4t+4-4)=一5«-2)2+20,...抛物线九=20亡—5产的顶点坐标为(2,20).：存在实数

ti和七(11w切,当t=tl或t2时，足球距离地面的高度都为m米，二!!!的取值范围是0Wm〈20(另

解答：和t2是方程20t—5t2=m的两根,202—20771>0,.•.mV20,又m>0,；=的取值

范围是：(0Wm〈20).

24.解：(1)由于抛物线y=ax2+bx+c经过点(-3,0),(1,0),所以抛物线的表达式可改写为:y=a(x

+3),(x—1),将(0,-3)代入，得:a(0+3)(0T)=―3,解得a=l,则.y=(%+3)(%—1)=x2+2x-

3,所以抛物线的表达式为：y=/+2%-3.(2)过点P作x轴的垂线，垂足为E,交AC于点

N.设直线AC的表达式为y=kx+m,由题意，得解得一=U.直线的表达式

为：y=-x-3.设点P的坐标为(n,n2+2n-3),则点N的坐标为(n,-n-3),.\PN=PE-NE=-(n2

+2ri—3)+(—Tt—3)=-7i2—3几•・,SpAc=SPAN+SRCN,***S=-PN,OA=—x3x