2025高考数学一轮复习 双曲线 专项训练【原卷版】

2025高考数学一轮复习86•双曲线・专项训练【原卷版】

［A级基础达标］

1.若直线y=3久-1与双曲线C-.x2-my2=1的一条渐近线平行，则实数m的值

为

11

A艮

-9-3

93D.

c修2

2.若m是2和8的等比中项，则圆锥曲线/+匕=1的离心率是（）

m

A.日或近B.V5C.苧D.f或亨

22

3.已知力,F2分别是双曲线?—奈=l（a>0,b>0）的左、右焦点，过4且垂直于

x轴的直线与双曲线的右支交于2,B两点，若AABFi是正三角形，则此双曲线的

渐近线方程是（）

A.y=±2xB.y=±V3xC.y=±V2xD.y=±V5x

22

4.（多选）已知双曲线E:%—?=l（a>0）经过点P（2V2,2），贝！］（）

A.E的实轴长为2B.E的焦距为4V2

C.E的离心率为迎D.E的渐近线方程是y=±；久

5.（多选）已知曲线C的方程为些--=1,下列说法正确的是（）

mn

A.若曲线C为焦点在x轴上的椭圆，则m>-n>0

B.曲线C可能是圆

C.若nm<0，则曲线C一定是双曲线

D.若曲线C为双曲线，则渐近线方程为y=±旧

6.已知双曲线经过点2（-7,-6V2）,B（2V7,3）,则其标准方程为

22

7.记双曲线C:J—£=l（a>>0）的离心率为e,写出满足条件“直线y=2x

与C无公共点”的e的一个值

22

8.若双曲线C:%=l(a>>0)的一条渐近线被圆/+。_2)2=4所截得的

弦长为2V3，则C的离心率为.

9.在①双曲线E的焦点在x轴上；②双曲线E的焦点在y轴上，这两个条件中任选

一个，补充在下面问题中，并作答.

已知双曲线C的对称轴为坐标轴，且C经过点4(0,遥),5(1,3)•

(1)求双曲线C的标准方程；

(2)若双曲线E与双曲线C的渐近线相同且E的焦距为4,求双曲

线E的实轴长.

注：若选择两个条件分别解答，按第一个解答计分.

[B级综合运用]

10.如图为陕西博物馆收藏的国宝一一唐•金筐宝钿团花纹金杯，杯身曲线内收，玲

珑娇美，巧夺天工，是唐代金银细作的典范之作.该杯的主体部分可以近似看作是双曲

22

线C：%-云=l(a>>0)的右支与y轴及平行于X轴的两条直线围成的曲边四

边形4BMN绕y轴旋转一周得到的几何体,如图所示,若该金杯主体部分的上口外

直径为竽,下底座外直径为蜉,且杯身最细之处到上杯口的距离是到下底座距离

的2倍，则杯身最细之处的周长为()

11.（多选）在△2BC中，|2B|=4,M为48的中点，且|IC4HCBI|=|CM|,

则下列说法中正确的是()

A.动点C的轨迹是双曲线B.动点C的纵坐标的最大值为百

C.△ABC是钝角三角形D.△ABC面积的最大值为2V3

12.已知％,均分别为双曲线c：《-《=1的左、右焦点，P,Q为C上关于坐标

ioy

原点对称的两点,且IPQI=,则四边形PAQ&的面积为.

22

13.已知％,F2分别是双曲线E:a-g=l(a>0)的左、右焦点，过2的直线与

双曲线E的左、右两支分别交于2,B两点,^\BF2\-.\AB\-.\AF2\=5:12:13，则

XABF?的面积为.

14.已知双曲线标—9=l(a>0山>0)的左、右焦点分别为2,F2，点P在双曲

线的右支上(点P不在％轴上),且|P%|=5|PF2|.

(1)用a表示|PFi|,IPF2I；

(2)若GPF2是钝角,求双曲线的离心率e的取值范围.

[C级素养提升]

15.(多选)双曲线C的两个焦点为七,出，以。的实轴为直径的圆记为D,过

Fi作D的切线与C交于M,N两点，且COS^F1NF2，则C的离心率为()

3月

V-5艮

A-C

22D.2

16.已知双曲线»-左=l(a>0力>0)的右焦点为F(c,0).

(1)若双曲线的一条渐近线方程为y=%且c=2，求双曲线的标准方程；

(2)以原点。为圆心，C为半径作圆，该圆与双曲线在第一象限的交点为a,过a

作圆的切线，斜率为-V3,求双曲线的离心率.

2025高考数学一轮复习-8.6-双曲线-专项训练【解析版】

［A级基础达标］

1.若直线y=3%-1与双曲线C\x2-my2=1的一条渐近线平行，则实数m的值

为/A

\(

11

AC

-9-3

9B.3D.

［解析］选A.双曲线C:%2-my2=1的渐近线方程满足％=±而y,因为一条渐近线

与y=3%-1平行，所以渐近线方程为y=±3%，故m,故选A.

2.若m是2和8的等比中项，则圆锥曲线/+些=1的离心率是（A）

m

A.苧或后B.V5C.乎D.f或日

［解析］选A.因为m是2和8的等比中项,所以m=4或TH=-4.

当m=4时，方程为%2+？=1，表示椭圆，

所以a-2,b-1,c-y/a2-b2-V3,所以离心率为日；

当TH=一4时，方程为/一*=1,表示双曲线，所以a-1,b-2,c-

7a2+b2-V5,所以离心率为,故选A.

3.已知％,F2分别是双曲线胃-/=l（a>0,b>0）的左、右焦点,过后且垂直于

x轴的直线与双曲线的右支交于2,B两点，若是正三角形，则此双曲线的

渐近线方程是（C）

A.y=±2xB.y=±V3xC.y=±V2xD.y=±V5x

［解析］选C.由题意得△Z&F1为直角三角形,且24%尸2=30°,

故可设=2m,贝—4m,|FIF2I=2c=2有m,如图所示,

由双曲线的定义得2a=\AFr\-\AF2\=4TH-27n=2TH,

所以a=m,c-V3m，所以b-V2m,所以?=V2,

所以双曲线的渐近线方程为y=±V2x,故选C.

22

4.（多选）已知双曲线后橐—?=l（a>0）经过点P（2V2,2），则（BC）

A.E的实轴长为2B.E的焦距为4V2

C.E的离心率为迎D.E的渐近线方程是丫=±］%

［解析］选BC.由题意感—：=1，得a=2,

即双曲线E的方程为）一1=1.

所以双曲线E的实轴长是4,焦距是4V2,

离心率为乎=V2,渐近线方程是y=±%.

故B,C正确，A,D错误，故选BC.

5.（多选）已知曲线C的方程为些--=1,下列说法正确的是（BD）

mn

A.若曲线C为焦点在X轴上的椭圆，则7ZI>-72>0

B.曲线C可能是圆

C.若nm<0，则曲线C一定是双曲线

D.若曲线C为双曲线，则渐近线方程为y=±&

22

［解析］选BD.因为曲线C的方程为匕-2=1,

mn

对于A:曲线C为焦点在“轴上的椭圆，则应+4=1，即-n>zn>0，故A错误;

—nm

对于B:当TH=-71>0时，曲线C表示圆，故B正确；

对于C:若m——n—1,满足mn<0,

曲线c为/+V=i，表示圆，故c错误；

对于D:若《一?=1为双曲线，则nm>0,

当>0,时，好一=1表示焦点在y轴上的双曲线，其渐近线方程为

tn>0mn

当时’!一三=1表示焦点在X轴上的双曲线,其渐近线方程为y=±

，故D正确.故选BD.

6.已知双曲线经过点4（-7,-6V2）,B（2V7,3）,则其标准方程为白昌三1

［解析］设双曲线方程为rnx2+ny2-l（mn<0）,

则卜7尸叱（一6肉…,解得『二十

（2V7）m+32n=1,（九=一五,

所以双曲线的标准方程为1-1=1.

7.记双曲线4T=l（a>>0）的离心率为e,写出满足条件“直线y=2%

与C无公共点”的e的一个值2（满足1<eW迷即可）.

［解析］由题意得，双曲线C的渐近线方程为y^±-ax.

故只需。<三2,<<4,

可满足条件“直线y=2%与C无公共点”，

所以e~~~Jl+*W所+4=V5.

因为e>1,所以1<eW遍.

8.若双曲线C京一a=1(。>。力>0)的一条渐近线被圆/+(y_2/=4所截得的

弦长为2K，则c的离心率为2

［解析］设双曲线4T=l(a>>0)的一条渐近线方程为bx+ay^O,

圆/+。一2)2=4的圆心为(0,2),半径为2,

由题意得圆心到直线的距离为22-(⑹2=1=t黑，即1=竽，°2=402,可得

e2—^―4，即e=2.

9.在①双曲线E的焦点在%轴上；②双曲线E的焦点在y轴上，这两个条件中任选

一个，补充在下面问题中，并作答.

已知双曲线C的对称轴为坐标轴，且C经过点4(0,遥),5(1,3)•

(1)求双曲线C的标准方程；

［答案］解：设双曲线C的标准方程为m%2+ny2=l,

6n=1,m=--

则解得

,m+9n=1,

所以双曲线C的标准方程为！-y=l.

OL

(2)若双曲线E与双曲线C的渐近线相同且E的焦距为4,求双曲

线E的实轴长.

注：若选择两个条件分别解答，按第一个解答计分.

［答案］双曲线C的渐近线方程为y=±8%.

22

选①，设双曲线E的标准方程为a—左=l(a>0,b>0),

r；=v3,_

所以LC=4,解得卜二12

、_b=V3.

[/=a2+b2,

所以双曲线E的实轴长为2.

选②，设双曲线E的标准方程为《-^=l(a>0,b>0),

(1=8，

所以，2c=4,解得a=W,b-1,

lc2=a2+b2,

所以双曲线E的实轴长为2V3.

[B级综合运用]

10.如图为陕西博物馆收藏的国宝一一唐•金筐宝钿团花纹金杯，杯身曲线内收，玲

珑娇美，巧夺天工，是唐代金银细作的典范之作.该杯的主体部分可以近似看作是双曲

线C:：-挤=l(a>0山>0)的右支与y轴及平行于x轴的两条直线围成的曲边四

边形4BMN绕y轴旋转一周得到的几何体,如图所示,若该金杯主体部分的上口外

直径为竽,下底座外直径为穿,且杯身最细之处到上杯口的距离是到下底座距离

的2倍，则杯身最细之处的周长为(C)

W7

A.2缶B.31TC.

［解析］选C,由题意可设M(533,2m),N(393,-m)，代入双曲线方程可得

,259'259

与4川二12m_1

:;丁，即前一官一口

132

、蓝_盾_L、前一官一匕

作差可得乌=解得=3,则a=g,所以杯身最细处的周长为2伍.故选C.

aL4

11.（多选）在△ABC中，|2B|=4,M为48的中点，且|IC4HCBI|=|CM|,

则下列说法中正确的是（BD）

A.动点C的轨迹是双曲线B.动点C的纵坐标的最大值为6

C.△ABC是钝角二角形D.△ABC面积的最大值为2V3

［解析］选BD.因为||G4|-|CB||不是定值，所以动点C的轨迹不是双曲线，故A错误.

以M为原点,AB所在直线为x轴建立平面直角坐标系.

设|CM|二r,此时点C在以M为圆心,r为半径的动圆上（除去%轴上两点）.

由||C4HCB||=r知，点C在以4,B为焦点，a=；的双曲线《―5=1（不包

括两顶点）上且+/=（1）=4.

22n

设点C（x,y）,则%2+y2=r2，+y=1,则y2=r2（16一72）,当「2=8时，

J/i_IL64

产最大，故0<|y|w百,0<W2次.当r=2时，可得点C的坐标为

SAABC

此时△ABC为直角三角形，故C错误.故选BD.

12.已知片,4分别为双曲线c：（—9=1的左、右焦点，P,Q为C上关于坐标

原点对称的两点，且IPQI=，则四边形P%Q出的面积为购

［解析］如图,根据双曲线的对称性,不妨设点P在第一象限.

因为P,Q关于原点对称，Fi,F2也关于原点对称，所以线段PQ与线段/止2互

相平分，所以四边形PF1Q&是平行四边形.又IPQI=F/2I,所以四边形P%QF2

是矩形.

2

所以P&_LP&，所以|P%|2+\PF2\=IF/2E=100.①

又|P2|—|PF2l=2a=8,②

①-②2得|p%|•四21=18,所以四边形PF1Q&的面积为18.

22

13.已知力,尸2分别是双曲线/宣-l(a>0)的左、右焦点，过力的直线与

双曲线E的左、右两支分别交于4,B两点，若|BF2l：|4B|:|”2l=5:12:13，则

△ABF2的面积为苦.

［解析］如图，

因为国&1：|43]:|2尸21=5:12:13，所以ZB1BF2.

设|B&I=5X,\AB\-12%，得=13%,

由|B%|一|B&I=-BAI，得12%+—5%=13%一|2%|,

所以|2%|=3%,贝"BFil=15%.

2

由|B2|2+\BF2\=|F/2『，得250/=4c2.

pfiFil-|BF2I=10%=2a,

(c2—a2+3,

所以a?-2,。2=5，久2=卷，

SfAABF2的面积S=»B||BF2l=30%2=看.

22

14.已知双曲线a-奈=l(a>0力>0)的左、右焦点分别为％，&，点P在双曲

线的右支上(点P不在无轴上)，且|P%|=5|PF2|.

(1)用a表示|PFj,|P&|；

［答案］解：因为点P在双曲线的右支上，

^\PF1\-\PF2\=2a.

1

-a

又|PFil=5|PF2|,联立解得|PFil=|a,\PF2\2

(2)若匕F1PF2是钝角，求双曲线的曷心率e的取值范围.

22

至。2+及-4C2—a-4ca

［答案］在APFFz中，由余弦定理得coszF］PF2=7^=2『=£—ge2.

2x-ax-a-az55

因为一1VCOSZF1PF2<0,所以一1V券一?/〈o,所以亭<e<1.

［C级素养提升］

15.(多选)双曲线C的两个焦点为％,&,以。的实轴为直径的圆记为D,过

F1作D的切线与C交于M,N两点，且cos乙Fig=1，则C的离心率为(AC)

ATB.日C.四D.包

2222

［解析］选AC.不妨假设双曲线的标准方程为

5—5=l(a>01>0),%(—c,0),F2(C,O).当两个交点M,N在双曲线两支上时，

如图1所示，

图1

设过力的直线与圆D切于点P,连接0P,由题意知|0P|=a,又|。2|二c，所以

\F±P\=b.过点4作&Q1FIN,交FiN于点Q.由中位线的性质，可得I&QI=

2\0P\-2a,\PQ\-b.因为cosZ.F1NF2-|，所以sinzF1^VF2=g,故

\NF2\=^a,|QN|=|a,所以|N2|=\FrQ\+\QN\=2b+|a.由