2024年人教版八年级上册数学同步训练：画轴对称图形（解析版）

第02讲轴对称作图

学习目标

课程标准学习目标

1.掌握轴对称与轴对称图形的作图，能够熟练的作出

轴对称与轴对称图形的另一半。

①轴对称与轴对称图形作图

2.掌握对称轴的画法，能够数量画出轴对称与轴对称

②画对称轴

图形的对称轴。

③用坐标表示轴对称

3.掌握点关于坐标轴对称以及关于特殊直线对称的对

称特点，熟练应用其应用。

思维导图

轴对称与轴对称图形的作朋

画对称轴

关于坐标轴的

1

—关于直线对称的点的坐标特点关于x=a,v=b对称

知识点01轴对称作图与轴对称图形作图

1.轴对称与轴对称图形的作图：

具体步骤：

(1)找图形的关键点。

(2)过关键点作对称轴的垂线并延长,使延长部分的长度等于关键点到垂足点的长度,

从而得到关键点的对应点。

(3)按照原图形连接各对应点。

题型考点：①作图。

【即学即练1】

1.如图，以直线/为对称轴，画出轴对称图形的另一半.

【解答】解：画图如下.

【即学即练2】

2.如图，△NBC的三个顶点的坐标分别为/(-4,1),5(-1,-1),C(-3,2).

(1)已知△NBC和△N/iG关于x轴对称，点4,Bi，Ci分别是点/,B,C的对称点，请直接写出

点小，Bi，Ci的坐标；

(2)在图中画出△N2C关于y轴对称的

【解答】解：(1)'.'A(-4,1),5(-1,-1),C(-3,2),

：.Ai(-4,-1),(-1,1),Ci(-3,-2).

(2)如图，△/2万2。2即为所求.

知识点02画轴对称与轴对称图的对称轴

I.垂直平分线的画法:

具体步骤:

(1)如图①：分别以线段两端点为圆心，大于线段长度的一半为半径画圆弧。两弧分

别交于两点M,No

2.垂直平分线的证明：

如图③，连接M4,MB,NA,NBo

由作图过程可知

MA=MB=NA=NB

在AMAN与AMBN中

MA=MB

<NA=NB

=（公共边）

AMAN沿丛MBN

：.ZAMO=ZBMO

在与△AWO中

'AM=BM

<NAMO=NBMO

板=MO（公共边）

^AMO%ABMO

：.OA=OB,/AOM=/BPM=90

垂直平分/瓦

3.对称轴的画法：

对称轴过任意一组对应点连线的中点且与线段垂直，所以对称轴是任意一组对应点的垂直平分线。

作对称轴即是作任意一组对应点的垂直平分线。按照垂直平分线的作图即可。

题型考点：①尺规作图垂直平分线。

②根据作图痕迹求解题目。

③画对称轴。

【即学即练1】

3.如图所示，一辆汽车在笔直的公路上由/向3行驶，M,N分别是位于公路两侧的村庄，请利用

尺规作图法，在N2上找一点C,使得汽车行驶到C处时，到村庄M,N的距离相等.（保留作图痕迹,

不写作法）

【解答】解：如图，点C即为所求.

【即学即练2】

4.如图，在△NBC中，NC=90°,/C=3,BC=4,分别以/、2为圆心，NC为半径画弧，两弧分别交

于£、F,直线跖交8C于点。，连接则△NCD的周长等于（）

A.7B.8C.9

2

【解答】解：由作图可知跖垂直平分线段/当

:・DA=DB,

：.CD的周长=4C+CD+AD=4C+CD+DB=AC+CB=3+4=7.

故选：A.

【即学即练3】

5.如图，在A/BC中，分别以点N和点8为圆心，以相同的长（大于方处）为半径作弧，两弧相交于点/

和点N,作直线交48于点。，交4c于点E,连接CD.若△CDS的面积为12,△4DE的面积为

9,则四边形ED3c的面积为（）

A.15B.16C.18D.20

【解答】解：由尺规作图可知，是线段N3的垂直平分线，

...点。是48的中点，

••^AACD=S^BCD，

,,SMD卧S4CDE=SACDB，

•「△COB的面积为12,△ZDE的面积为9,

:・SACDE=SM:DB-S“DE=12-9=3,

二・四边形EDBC的面积为：S^^EDBC-S^CDE^~S^CDB=12+3=15.

故选：A.

【即学即练4】

6.如图，两个三角形成轴对称，画出对称轴.

【解答】解：如图，直线次即为所求.

知识点03用坐标表示轴对称

1.关于坐标轴对称的点的坐标特点：

点、P(X,歹)关于X轴对称的点的坐标为(X,—V)。

点P(X,歹)关于"轴对称的点的坐标为(一X,V)。

2.关于x=机或歹=加对称的点的坐标：

PQa,b)关于直线加对称的点的坐标为(2冽-a,b)。

P(a,b)关于直线方加对称的点的坐标为(a,2m—b)。。

题型考点：根据坐标特点求坐标。

【即学即练1】

7.已知点4(a,4)与点5(-2,b)关于x轴对称，贝Ua+b=()

A.-6B.6C.2D.-2

【解答】解：•・,点4(a,4)与点5(-2,b)关于x轴对称，

6=-4,

则a+b=-2-4=-6.

故选：A.

【即学即练2】

8.已知点/(加，2021)与点8(2022,〃)关于y轴对称，贝!J〃?+〃的值为()

A.-1B.1C.4043D.-2022

【解答】解：：点/(加，2021)与点8(2022,„)关于y轴对称，

"=-2022,”=2021,

加+〃—-2022+2021—_1.

故选：A.

【即学即练3】

9.已知点/(4,-3)和点8是坐标平面内的两个点，且它们关于直线x=2对称，则平面内点8的坐标

为()

A.(0,-3)B.(4,-9)C.(4,0)D.(-10,3)

【解答】解：设点3的横坐标为X,

•.,点/（4,-3）与点2关于直线尤=-3对称，

•4+x

••---乙，

2

解得x=0,

二•点/、3关于直线x=2对称，

.,.点/、3的纵坐标相等，

.,.点8（0,-3）.

故选：A.

【即学即练41

10.如图，已知直线/经过点（0,-1）并且垂直于y轴，若点尸（-3,2）与点。（a,6）关于直线/对

称，贝Ia+b=.

y八

.—3x-

二O厂

【解答】解：:点尸(-3,2)与点0(a,b)关于直线/对称,

又•..直线/经过点(0,-1)并且垂直于y轴，

••a--3,-1-b—2-(-1),

:・b=-4,

a+b—-3+(-4)=-7,

故答案为：-7.

题型精讲

题型01轴对称与轴对称图形的作图与计算

【典例1】

如图所示，在平面直角坐标系xQy中，△/8C的三个顶点坐标分别为/(1,1)B(4,2)C(2,3).

(1)在图中画出△4BC关于x轴对称的图形△小为。；

(2)在图中，若与(-4,2)与点8关于一条直线成轴对称，则这条对称轴是1，轴，此时C点关

于这条直线的对称点C2的坐标为(-2,3)；

(3)求的面积.

冰

【解答】解：(1)如图，△为与。为所作;

(2)这条对称轴是y轴，C点的对称点。2的坐标为(-2,3)；

故答案为：y轴，(-2,3)；

(3)△小51cl的面积=2X3--1.X2X1-AX2X1-AxiX3=2.5.

222

【典例2】

如图，在由边长为1个单位的小正方形组成的网格中，三角形/2C的顶点均为格点(网格线的交点).

(1)作出三角形/8C关于直线MN的轴对称图形三角形4SC1；

（2）求三角形431cl的面积；

（3）在直线上找一点P使得三角形BAC的面积等于三角形尸NC的面积.

【解答】解：（1）如图，△421cl即为所求；

（2）A^iBiCi的面积=2义3--1X1X3--1X1X1-工X2X2=2；

222

（3）如图，点、P,点P即为所求.

【典例3】

如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，点4B,C,。均为格点（网格线的交点）.

（1）画出线段48关于直线CD对称的线段小处；

（2）将线段向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到线段/2%，画出线段由处；

（3）描出线段4B上的点M及直线CD上的点N,使得直线垂直平分48.

【解答】解：（1）线段小为如图所示;

（2）线段恁当如图所示；

【典例4】

如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是1,每个小正方形的顶点叫做格点.网格中有一个格点△

ABC（即三角形的顶点都在格点上）.

（1）画出△NBC关于直线"N的对称图形（不写画法）；

（2）若网格上的每个小正方形的边长为1,求△NBC的面积.

【解答】解：（1）如图，△小小。即为所求;

(2)△ABC的面积=4X5--1x1X4-工X1X4-工X3X5=8.5.

222

题型02垂直平分线的作图

【典例1】

如图，在△/8C中，ZC=90°.用直尺和圆规在边8c上确定一点尸，使点P到点/、点8的距离相等,

则符合要求的作图痕迹是（）

C

A.B.A

C*

ZK/

*

「「D.z

B

【解答】解：•••点P到点/、点B的距离相等，

/.点P在线段AB的垂直平分线上，

故选：C.

【典例2】

如图，已知△/2C,请用尺规作图法在边上找一点使得点。到/、B两点距离相等.（不写作法,

保留作图痕迹）

A

CB

【解答】解：如图所示，。点即为所求的点.

A

【典例3】

（1）图1是小正方形的边长均为1的方格纸，请你涂出一个图形（所有顶点都在格点上），使其满足如下

条件：①图形的面积为7；②图形是轴对称图形.

（2）如图2,一条笔直的公路同一侧有两个村庄/和3,现准备在公路"N上修一个公共汽车站点

P,使站点尸到两个村庄/和8的距离相等.请你用尺规作图找出点尸的位置，不写作法，保留作图痕

（2）如图2中，点尸即为所求.

【典例4】

如图，两条公路CM和相交于。点，在N492的内部有工厂C和。，现要在内部修建一个货站

P,使货站尸到两条公路。4的距离相等，且到两工厂C、。的距离相等，用尺规作出货站尸的位

置.（要求：不写作法，保留作图痕迹，写出结论）

D

B

【解答】解：如图所示：P点即为所求.

题型03利用垂直平分线的作图痕迹解题

【典例1】

如图，在△NBC中，分别以aC为圆心，大于4c长为半径作弧，两弧分别相交于M,N两点，作直线

2

MN,分别交线段2C,NC于点。，E,若AE=3cm,△48。的周长为10c%,则△/2C的周长为（）

【解答】解：由作法得垂直平分/C,

：.DA=DC,AE=CE=3cm,

；LABD的周长为10c机，

/.AB+BD+AD=\Qcm,

：.AB+BD+DC=10cm,即AB+BC=10cm,

/\ABC的周长=AB+BC+AC=10+2X3=16(cw).

故选：D.

【典例2】

如图，△48C中，NB=90。，分别以点/和点C为圆心，以大于/AC的长为半径作弧，两弧相交于点M

和点N,作直线分别交A8,NC于点E和点足若BC=3,AB=9,则BE的长为（）

A

A.3B.4C.5D.6

【解答】解：由作图得：AW垂直平分ZC,

：.AE=CE,

设8£=了，贝i|/E=CE=9-x,

VZ5=90°,

：.EC2-BE2=BC2,即：(9-x)2-X2=32,

解得：x=4,

故选:B.

【典例3】

如图，在RtZ\4BC中，分别以瓦C为圆心，大于/BC的长为半径画弧，两弧交于点尸，0，作直线P。，

分别交8C,/C于点。，E,连接8E.若/EBD=32°,则//的度数为()

【解答】解：根据作图可得尸。是的垂直平分线,

：.EB=EC,

：.ZC=ZEBD=32°,

VZABC=90°,

ZA=90°-ZC=90°-32°=58°,

故选：B.

【典例4】

如图，在△/2C中，分别以点/和点5为圆心，以相同的长（大于去处）为半径作弧，两弧相交于点M

和点N,作直线交48于点D,交4c于点、E,连接CD.已知△CDE的面积比△COB的面积小5,

则△4DE的面积为（）

D.2

【解答】解：由作图得：是N8的垂直平分线,

是△N8C的中线，

/.AACD和△BCD的面积相等，

\'/\CDE的面积比△CD2的面积小5,

：./\CDE的面积比的面积小5,

二△/£）£■的面积为5,

故选：A.

题型04关于坐标轴对称的点的坐标

【典例1】

点（3,-2）关于x轴的对称点是（）

A.（-3,-2）B.（3,2）C.（-3,2）D.（3,-2）

【解答】解：根据轴对称的性质，得点（3,-2）关于x轴的对称点是（3,2）.

故选：B.

【典例2】

在平面直角坐标系中，点P（a,3）与点。（-2,b）关于x轴对称，则的值为（）

A.1B.-1C.5D.-5

【解答】解：,•,点尸（。，3）与点0（-2,b）关于x轴对称，

・・〃=-2,b—~-3,

则q-b的值为：-2-(-3)=-2+3=1.

故选：A.

【典例3】

已知点P(a,3)和点0(4,b)关于x轴对称，则的值为

A.1B.-1C.7D.-7

【解答】解：,•,点尸(。，3)和点0(4,b)关于x轴对称，

・・〃=4,b~~~3,

贝!J〃+b=4-3=1.

故选：A.

【典例4】

在平面直角坐标系中，点P(4,1)关于y轴对称的点的坐标是()

A.(4,1)B.(-4,-1)C.(-4,1)D.(4,-1)

【解答】解：点尸(4,1)关于丁轴对称的点的坐标是(-4,1).

故选：C.

【典例5】

若点-1)与点N(-2,6)关于y轴对称，则(a+6)2022的值是()

A.2022B.-2022C.1D.-1

【解答】解：•.•点M(a,-1)与点N(-2,6)关于y轴对称，

・・a=2,b~1,

/.(a+b)2022=(2-1)2022=].

故选：C.

【典例6】

已知点/(4,a-5)与点8(b-1,-3)关于y轴对称，则，的值为()

A.-6B.-8C.—D.--

88

【解答】解：由题意可得6-1=-4,a-5=-3,

解得：a—2,b—-3,

,•,ab=c27=>717-

8

故选：c.

题型05关于直线对称的点的坐标

【典例1】

点(2,5)关于直线x=l的对称点的坐标为(0,5).

【解答】解：所求点的纵坐标为5,

横坐标为1-(2-1)=0,

・••点(2,5)关于直线x=l的对称点的坐标为(0,5).

【典例2】

点尸(-2,-4)与点。(6,-4)的位置关系是()

A.关于x轴对称B.关于y轴对称

C.关于直线x=2对称D.关于直线＞=2对称

【解答】解：点尸(-2,-4)与点0(6,-4)

(-2+6)+2=2,

横坐标相加除以2为2,纵坐标不变，则尸，。两个点关于直线x=2对称，

故选：C.

【典例3】

若点/(a,4)在第二象限，则点/关于直线比(直线加上各点的横坐标都是2)对称的点坐标是()

A.(-a,4)B.(4-a,4)C.(-a-4,-4)D.(-a-2,-4)

【解答】解：•••直线机上各点的横坐标都是2,

.•.直线为：x=2,

:点/(a,4)在第二象限，

二。到2的距离为：2-a,

，点N关于直线m对称的点的横坐标是：2-a+2=4-a,

故N点对称的点的坐标是：(4-a,4).

故选：B.

【典例4】

点(1,2m-1)关于直线的对称点的坐标是()

A.(2m-1,1)B.(-1,2m-1)

C.(-1,1-Im)D.(2m-1,2m-1)

【解答】解：点(1,2m-1)关于直线x=m的对称点的坐标为(2m-1,2m-1),

故选：D.

强化训练

1.在平面直角坐标系中，点尸（-3,4）关于7轴的对称点在（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

【解答】解：在平面直角坐标系中，点尸（-3,4）关于y轴的对称点为（3,4）,点（3,4）在第一象

限.

故选：A.

2.如图，在3X3的正方形网格中有四个格点/、8、C、D,以其中一点为原点，网格线所在直线为坐标轴

3.已知：点/（m-1,3）与点B（2,n-1）关于x轴对称，则（m+n）的值为（）

A.0B.1C.-1D.3

【解答】解：:•点/（m-1,3）与点3（2,n-1）关于x轴对称，

/.m-1—2?n-1—_3>

解得：加=3,n=-2,

贝!Jm+n=l.

故选：B.

4.如图，在△ZBC中，NB=30°,ZC=50°,请观察尺规作图的痕迹（。，E,尸分别是连线与△48。

边的交点），则NA4E的度数是（

A

一

A.25°B.30°C.35°D.40°

【解答】解：由作图得：。尸垂直平分AS,4E平分/DAC,

：.AD=BD,ZDAE=-ZDAC,

2

:.NBAD=NB=30°,

VZB=30°,ZC=50°,

：.100°,

：.ZDAC=ZBAC-ZBAD=7Q°,

ZDAE=-^ZDAC=35°,

2

故选：C.

5.如图，在△4BC中，结合尺规作图的痕迹，已知4D=2ca,△/BE的周长为14c%,则△4BC的周长是

A.17cmB.18cmC.19cmD.20cm

【解答】解：由尺规作图知，ZJE垂直平分/C,

：.AC=2AD=4cm,AE=CE,

「△/BE的周长为14cm,

：.AB+BE+AE=AB+BC=14cm,

/.AABC的周长为AB+BC+AC=14+4=18（cm）,

故选：B.

6.如图，在△NBC中，ZACB=90°,分别以点/和8为圆心，以相同的长（大于工/8）为半径作弧,

2

两弧相交于点M和N,作直线交48于点。，交BC于点、E,连接CD,下列结论错误的是（）

C.ZA=ZBEDD./ECD=/EDC

【解答】解：・・・AW为48的垂直平分线,

：.AD=BD,ZBDE=90°；

VZACB=90°,

：.CD=BD；

VZA+ZB=ZB+ZBED=90°,

/.ZA=ZBED；

VZA^60°,AC^AD,

:・EC于ED,

：.ZECD^ZEDC.

故选：D.

7.剪纸艺术是最古老的中国民间艺术之一，很多剪纸作品体现了数学中的对称美.如图，蝴蝶剪纸是一幅

轴对称图形，将其放在平面直角坐标系中，如果图中点£的坐标为(冽，1),其关于丁轴对称的点尸的

坐标(2,几),则(m+n)2。22的值为()

A.1B.-1C.32022D.0

【解答】解：・・・£(m,1),F(2,n)关于歹轴对称，

•・加=-2,〃=1,

(m+n)2022=(_2+1)2022=],

故选：A.

8.如图，在平面直角坐标系中，对△Z5C进行循环往复的轴对称变换，若点C坐标是(6,2),则经过第

2022次变换后，点C的对应点的坐标为()

关于y轴对称关于谢对称关于y轴对称关于谢对称

A.(-6,-2)B.(6,-2)C.(-6,2)D.(6,2)

【解答】解：点C第一次关于y轴对称后在第二象限，

点C第二次关于X轴对称后在第三象限，

点C第三次关于y轴对称后在第四象限，

点C第四次关于x轴对称后在第一象限，即点/回到原始位置，

所以，每四次对称为一个循环组依次循环，

：2022+4=505余2,

经过第2022次变换后所得的C点与第二次变换的位置相同，在第三象限，坐标为(-6,-2).

故选：A.

9.把点A(a+2,a-1)向上平移3个单位，所得的点与点/关于x轴对称，则a的值为-0.5.

【解答】解：点N(a+2,a-1)向上平移3个单位，得

(a+2,a-1+3).

由所得的点与点/关于x轴对称，得

a-1+(a-1+3)=0,

解得a=-0.5,

故答案为：-0.5.

10.如图，在△48C中，/3=10,BC=6,AC=8,分别以点/，点8为圆心，大于今班的长为半径画弧,

两弧相交于点N,作直线交NC于点。，则线段CD的长为—工

【解答】解：在△4BC中，48=10,BC=6,ZC=8,

AC2+BC2=82+62=1()2=/5，

AZC=90°,

连接2。，

由作图知MN垂直平分

\AD=BD,

VZC=90°,

：.BD2=BC2+CD2,

：.(.AC-CD)2=BC2+CD2,

：.(8-CD)2=62+CD2,

:.CD=L

4

故答案为：L.

4

11.如图，在△NBC中，按以下步骤作图：①分别以2,C为圆心，大于^BC的长为半径画弧，两弧相交

于M,N两点；②作直线〃N交于点。，连接CD若N8=24°,则/CD4的度数为48°.

【解答】解：由作图得：垂直平分8C,

：.CD=BD,

:./DCB=NCBD=24°,

：.ZCDA=ZDCB+ZCBD=480,

故答案为：48°.

X2

12.已知点£(xo,y0),尸(m，y2)＞点朋'(/，yi)是线段所的中点，则xi=°^,

y0+y2.在平面直角坐标系中有三个点/(1,-1),5(-1,-1),C(0,1),点尸(0,2)关

丫12

于N的对称点为Pi(即P,A,Pi三点共线，且尸/=尸/),外关于8的对称点为外，P2关于C的对称

点为尸3,按此规律继续以A,