2024-2025学年八年级数学上册：勾股定理的应用 专项练习（培优练）

专题L9勾股定理的应用（专项练习）（培优练）

特别提醒：本专题涉及二次根式的运算，建议学习第2章《实数》后再巩固练

习

一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）

（23—24八年级下•北京西城・期中）

1.如图，在离水面点/高度为8m的岸上点C处，有人用绳子拉船靠岸，开始时绳子3c的

长为17m,此人以lm/s的速度收绳，7s后船移动到点。的位置，则船向岸边移动了（）

（假设绳子是直的）.

A.9米B.8米C.7米D.6米

（23—24八年级下•河南洛阳•期中）

2.学校操场边有一根垂直于地面/的旗杆N8,一根无弹力、不能伸缩的绳子加紧系于旗

杆顶端/处（打结处忽略不计）.聪明的小陶同学通过操作、测量发现：如图1,当绳子加紧

靠在旗杆上拉紧到底端3后，还多出1米，即3c=1米；如图2,当离开旗杆底端3处5

米后，绳子恰好拉直且绳子末端。处恰好接触地面，即8。=5米.请你跟小陶同学一起

算一算旗杆的高度是（）

3.在水平地面上有一棵高9米的大树，和一棵高4米的小树，两树之间的水平距离是12米,

一只小鸟从小树的顶端飞到大树的顶端，则小鸟至少飞行（）

试卷第1页，共8页

（23-24八年级下•湖北黄冈•期中）

4.我国秦汉时期，数学成就十分显著.当时流传这样一个数学题：今有竹高十二尺，末折

抵地，去本三尺，问折者高几何？类似的问题被写入《九章算术》.它的意思是：一根竹子

原本高12尺，从A处折断，竹梢触地处C离竹根8的距离8C=3尺，试问折断处与地面的

距离48=（）尺.

竺

C451

8D.8

（23-24八年级下•内蒙古赤峰•期中）

5.如图，一根长为20cm的牙刷置于底面直径为5cm、高为12cm的圆柱形水杯中，牙刷露

在杯子外面的长度为/cm,则h的取值范围是（）

A.7</z<8B.8</z<12C.7<A<12D.7<A<12

（23-24八年级下•湖北武汉•期中）

6.已知一轮船以18海里/时的速度从港口/出发向东北方向航行，同时另有一轮船以12海

里/时的速度也从港口/出发向东南方向航行，都离开港口2小时后，两船相距多少海里？

试卷第2页，共8页

A.12713B.1377C.1473D.1572

（23-24八年级下•天津河西•期中）

7.如图，池塘边有两点/、B,点。是与A4方向成直角的NC方向上一点，测得

CB=50m,AC=20m,则/,8两点间的距离是（）m.

A.10V2IB.IOA/29C.30D.70

（23-24八年级上•陕西西安•期中）

8.如图，在一个长为20m,宽为16m的长方形草地上放着一根长方体木块，已知该木块的

较长边和场地宽“。平行，横截面是边长为2m的正方形，若点/处有一只蚂蚁，它从点/

处爬过木块到达点C处去吃面包碎，则它需要走的最短路程是（）

A.24mB.8V13mC.16&mD.16m

（20-21九年级上•河南郑州•阶段练习）

9.如图，一艘船以40k加/〃的速度沿既定航线由西向东航行，途中接到台风警报，某台风中

心正以20km/h的速度由南向北移动，距台风中心200kw的圆形区域（包括边界）都属台风影

响区，当这艘轮船接到台风警报时，它与台风中心的距离8C=500k〃?，此时台风中心与轮船

既定航线的最近距离A4=300km,如果这艘轮船会受到台风影响，那么从接到警报开始，经

过（）小时它就会进入台风影响区

试卷第3页，共8页

A.10B.7C.6D.12

（2020・山西•模拟预测）

10.刘徽是我国三国时期杰出的数学大师，他的一生是为数学刻苦探究的一生，在数学理论

上的贡献与成就十分突出，被称为“中国数学史上的牛顿”.刘徽精编了九个测量问题，都是

利用测量的方法来计算高、深、广、远问题的，这本著作是（).

A.《周髀算经》B.《九章算术》C.《孙子算经》D.《海岛算经》

二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）

（23-24八年级下•吉林白山•阶段练习）

11.如图，一根长为2.5米的梯子斜靠在垂直于地面的墙上,这时梯子的底端8与墙根

之间的距离为0.7米，如果梯子的底端向外（远离墙根方向）移动0.8米至。处，则梯子的

顶端将沿墙向下移动.

（23-24八年级下•福建厦门•阶段练习）

12.如图，一根垂直于地面的旗杆在离地面5m处断裂折断，旗杆顶部落在离旗杆底部12m

处，旗杆折断之前的高度是m.

（23-24八年级下•重庆江津•阶段练习）

13.《九章算术》中有一个“折竹抵地”问题：“今有竹高二十五尺，末折抵地，去本五尺，问

折者高几何？”意思是：现有竹子高25尺，折后竹尖抵地与竹子底部的距离为5尺，问折处

试卷第4页，共8页

高几尺？即：如图，AB+AC=25K,BC=5尺,则/C=尺.

（23-24八年级下•山东临沂•期中）

14.一艘船由/港沿北偏东60。方向航行24km至3港，然后再沿北偏西30。方向航行32km

至C港，则/,C两港之间的距离为km.

（22-23九年级下•四川绵阳,阶段练习）

15.如图，河岸3c互相平行，桥垂直于两岸，从C处看桥的两端A,B,夹角

ZBCA=60°,测得3C=14m,则桥长48=m（结果精确到1m）.

（22—23八年级下•安徽宣城•期中）

16.为庆祝“党的二十大”胜利召开，市活动中心组建合唱团进行合唱表演，欲在如图所示的

阶梯形站台上铺设红色地毯，已知这种地毯每平方米售价为30元，站台宽为10m,则购买

这种地毯至少需要元.

（22-23八年级下•湖北武汉•期中）

17.如图，铁路九W和公路尸。在点。处交汇，NQON=30°,公路尸。上A处距离。点240

米，如果火车行驶时，火车头周围150米以内会受到噪音的影响，那么火车在铁路九CV上沿

九W方向以72千米/小时的速度行驶时，A处受到噪音影响的时间为秒.

试卷第5页，共8页

N

（20-21八年级下•广东广州•期中）

18.如图，有两条公路ON、ON相交成30。角，沿公路（W方向离。点160米处有一所学

校当重型运输卡车尸沿道路ON方向行驶时，在以尸为圆心，100米为半径的圆形区域

内都会受到卡车噪声的影响，且卡车P与学校/的距离越近噪声影响越大.若已知重型运

输卡车P沿道路ON方向行驶的速度为36千米/时，则对学校A的噪声影响最大时卡车P与

学校/的距离是一米；重型运输卡车尸沿道路ON方向行驶一次给学校/带来噪声影响的

三、解答题（本大题共6小题，共58分）

（23-24八年级下•新疆喀什•期中）

19.如图，一只小鸟旋停在空中A点，A点到地面的高度=8米，A点到地面C点（3,

C两点处于同一水平面）的距离4c=10米.

⑴求出3c的长度；

（2）若小鸟竖直下降到达。点（。点在线段42上），此时小鸟到地面C点的距离与下降的距

离相同，求小鸟下降的距离.

（陕西省安康市2023-2024学年八年级下学期期末数学试题）

20.2023年8月18日，底C世界机器人大会在北京亦庄召开.某科技公司展示了首款人

形通用机器人乜.乐乐爸爸是机器人研发工程师，其中一次机器人乜的跑步测试方案如下:

试卷第6页，共8页

在滑梯上的乐乐从滑梯顶端D处沿着03方向滑下，同时机器人又从乐乐对面的/处向B

处跑去，恰好在点8处与乐乐相遇，并且机器人司的跑步速度与乐乐的下滑速度相同.已

知滑梯的高度0=3米，滑梯底部与机器人乜的出发点之间的距离NC=9米.请问，机器

人《跑步多少米与乐乐相遇?

（23-24八年级下•北京朝阳・期末）

21.《九章算术》卷九“勾股”中记载：今有池，方一丈，葭生其中央，出水一尺.引葭赴岸,

适与岸齐，问水深、葭长各几何.大意是：如图，水池底面的宽48=1丈，芦苇0C生长在

的中点。处，高出水面的部分8=1尺.将芦苇向池岸牵引，尖端达到岸边时恰好与水

面平齐，即OC=OE,求水池的深度和芦苇的长度（1丈等于10尺）.

醇

\「

流~*—:I

⑴求水池的深度0。；

（2）中国古代数学家刘徽在为《九章算术》作注解时，更进一步给出了这类问题的一般解

法.他的解法用现代符号语言可以表示为：若己知水池宽43=2°,芦苇高出水面的部分

CD=n（n<a）,则水池的深度0。（OD=6）可以通过公式6=巴二。计算得到.请证明刘徽

2n

解法的正确性.

（重庆市巴南区2020-2024学年八年级下学期期末数学试题）

22.某街道根据市民建议，决定对一公园内沿水域健身步道进行修缮，经勘测规划，修缮后

的健身步道（局部）如图，从/地分别往北偏东60。方向和东南方向各修一步道，从/地的

正东方向（水域对面）的C地分别往西北方向和西南方向各修建一步道，汇合于8、。两地,

若测得CD=1000米.（参考数据:41«1.41，V3«1,73,76«2.45）

试卷第7页，共8页

D

(1)求/、C两地之间距离.(结果精确到1米)

(2)小华和小明周末到公园锻炼身体，准备从/地跑步到C地，小华决定选择/一。-C路

线，小明决定选择8-C路线，若两人速度相同，请计算说明谁先到达C地？

(23-24八年级下•云南昭通•期中)

23.6号台风“烟花”风力强，累计降雨量大，影响范围大，有极强的破坏力.如图，台风“烟

花''中心沿东西方向48由/向2移动，已知点C为一海港，且点C与直线上的两点/、

8的距离分别为4C=300km,BC=400km,又/8=500km,经测量，距离台风中心260km

及以内的地区会受到影响.

(1)海港C受台风影响吗?为什么？

(2)若台风中心的移动速度为20千米/时，则台风影响该海港持续的时间有多长？

(23-24八年级下•内蒙古赤峰•期中)

24.随着人们生活水平的不断提升，汽车已成为每个家庭的常用交通工具.随着车辆的增多,

道路交通管理更需要科学规范，如图，一辆家用小汽车在城市道路上直线行驶，某一时刻刚

好行驶到路对面车速检测仪A正前方20m的C处，过了3s小汽车到达B点,测得2与4距

离为60m.根据“中华人民共和国道路交通管理条例”规定：小汽车在城市道路上行驶速度

不得超过70km/h.通过计算说明，这辆家用小汽车是否超速了？=1.4，月=1.7)

试卷第8页，共8页

1.A

【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，将实际问题转化成勾股定理问题成为解题的关

键.

先在中运用勾股定理求得/3=15m,再运用勾股定理求得=6m,最后根据线

段的和差求得8。即可解答.

【详解】解:在RtZUBC中，ZCAB=9Q°,BC=17m,AC=8m,

•••AB=yjBC2-AC2=V172-82=15m，

,此人以lm/s的速度收绳，7s后船移动到点D的位置，

CD=17-1x7=1Om,

AD=ylCD2-AC2=V100-64=6m，

；.BD=AB-AD=15-6=9m,即船向岸边移动了9m.

故选A.

2.A

【分析】本题考查了勾股定理.设旗杆米，则4D=(x+l)米，根据勾股定理列方程

即可求出旗杆22的高度.熟练掌握勾股定理是解题的关键.

【详解】设旗杆/5=x米，则米，根据勾股定理可得，

AD2=AB2+BD2,

(x+1)2=x2+52,

解得x=12.

故选：A

3.B

【分析】根据“两点之间线段最短”可知：小鸟沿着两棵树的树梢进行直线飞行，所行的路程

最短，运用勾股定理可将两点之间的距离求出.

【详解】如图，设大树高为AB=9m,小树高为CD=4m,过C点作CE1AB于E,贝|EBDC

是矩形，连接AC,

答案第1页，共13页

A

Eh--------------------：->C

5'-----------------------------------------------------------'D

••.EB=4m,EC=12m,AE=AB-EB=9-4=5m,

在RtAAEC中，JAE?+EC?=752+122=13〃”

故小鸟至少飞行13m.

故选：B.

【点睛】本题考查正确运用勾股定理.善于观察题目的信息是解题以及学好数学的关键.

4.B

【分析】本题考查了勾股定理的应用，根据勾股定理得出关于N8的方程，求出的值即

可.

【详解】解：由题意知，AB+BC=12K，NC=3尺，

；.BC=12-AB,

由勾股定理得，AB2+AC2=BC2,

即AB2+9^(12-AB)2,

45

解得.8=

O

故选：B.

5.A

【分析】此题主要考查了勾股定理的应用，正确得出杯子内牙刷的取值范围是解决问题的关

键.根据杯子内牙刷长度的取值范围得出杯子外面长度的取值范围，即可得出答案.

【详解】解：••・将，一根长为20cm的牙刷置于底面直径为5cm、高为12cm的圆柱形水杯中，

••・在杯子中牙刷最短是等于杯子的高，最长是等于牙刷斜边长度，

二当杯子中牙刷最短是等于杯子的高时，x=12cm,

最长时等于牙刷斜边长度是：工=后再=13，

的取值范围是：20-13<A<20-12,

BP7</z<8,

故选:A.

答案第2页，共13页

6.A

【分析】本题考查了勾股定理的应用，方向角，熟练运用勾股定理进行计算是解题的关

键.

根据方位角可知两船所走的方向正好构成了直角.然后根据路程=速度x时间，得两条船分

别走了36,24.再根据勾股定理，即可求得两条船之间的距离.

【详解】解：如图，

南

ABAC=90°,

两小时后，48=18x2=36（海里），4c=12x2=24（海里），

根据勾股定理得：BC=4AB1+AC2=>/362+242=12岳（海里）.

故选：A.

7.A

【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，将实际问题转化成勾股定理问题成为解题的关

键.

根据题意直接运用勾股定理进行解答即可.

【详解】解：在中，根据勾股定理得：AB=^BC2-AC2=V502-202=loVH-

故选：A.

8.B

【分析】本题主要考查平面展开-最短路径问题，两点之间线段最短，有一定的难度，要注

意培养空间想象能力，将木块展开，然后根据两点之间线段最短解答，解题的关键是能将侧

面展开成长方形，从而用勾股定理求解.

【详解】解：由题意可知，将木块展开，相当于是NB+2个正方形的边长，

长为20+2x2=24米；宽为16米.

于是最短路径为：于是+d=8布米.

故选：B.

答案第3页，共13页

DMFC

ANEB

9.B

【分析】首先根据题意结合题目条件画出图形，进而利用勾股定理得出等式计算即可.

【详解】解：由题意，作图如下：

设X小时后，就进入台风影响区，根据题意得出:

CE=40x千米，BB，=20x千米，

vBC=500km,AB=300km,

.-.AC=400km,

.*.AE=400-40x,ABr=300-20x,

•••AE2+AB'2=EB'2,

即(400-40x)2+(300-20x)2=2002,

22

解得：X1^2-V22-4xlxl05=14=7>22+V22-4X1X105=30=15(不符合题意,

2222

舍去).

故答案为：B.

【点睛】此题主要考查了一元二次方程的应用以及勾股定理等知识，根据题意得出关于x的

等式是解题关键.

10.D

【分析】运用《九章算术注》相关知识即可直接解答.

【详解】解：由于《九章算术注》是我国学者编撰的最早的一部测量数学著作，该书第一卷

的第一个问题是求海岛上的山峰的高度，故本书的名称是《海岛算经》.

答案第4页，共13页

故答案为D.

【点睛】本题主要考查了数学常识，了解一定的数学史以及数学著作是解答本题的关键.

11.0.4米

【分析】此题考查了勾股定理的应用，用移动前梯子顶端到地面的距离减去移动后梯子顶端

到地面的距离即可得到答案.

【详解】解：梯子的顶端沿墙向下移动的距离为，2勺-07-_（0.7+0.8）2=0.4（米）

故答案为：0.4米

12.18

【分析】本题考查的是勾股定理的实际应用，旗杆的长=8C+/3,利用勾股定理求出N3

即可解决问题.

【详解】解：旗杆折断后，落地点与旗杆底部的距离为12m,旗杆离地面5m折断，且旗杆

与地面是垂直的，

所以折断的旗杆与地面形成了一个直角三角形.

根据勾股定理，AB=^52+122=13m-

所以旗杆折断之前高度为3C+=13m+5m=18m,

故答案为：18.

13.12

【分析】本题考查勾股定理与实际问题，熟练掌握勾股定理是解此题的关键，利用竹子折断

后刚好构成一直角三角形，设竹子折断处离地面x尺，则斜边为（25-x）尺，利用勾股定理

解题即可.

【详解】解:设竹子折断处离地面x尺，则斜边为（25-x）尺，

根据勾股定理得：Y+52=（25-4,

解得：x=12,

故答案为：12.

14.40

【分析】本题考查方位角，勾股定理，根据题意画出图形，证明。8C是直角三角形是解题

的关键.

根据题意画出图形，易证O8C是直角三角形，利用勾股定理即可求解.

答案第5页，共13页

【详解】解：如图，根据题意，得AN〃BM,NNAB=60。，NMBC=30。，AB=24km,

BC=32km

•••AN//BM

ZMBA=180°-ZNAB=180°-60°=120°

ZABC=NABM-NMBC=120。-30。=90°

.•.在RtA^5C中，AC=yjAB2+BC2=A/242+322=40(km)

即4,C两港之间的距离为40km.

故答案为：40.

15.24

【分析】由含30。角的直角三角形的性质得"=2BC=28(m),再由勾股定理求出"的长即

可.

【详解】解：•・・/31.8C,

:.ZABC=90°,A48c为直角三角形.

NBCA=60°,

ABAC=30°,

AC=2BC=28(m),

AB=V^C2-BC2=A/282-142=14叔m)«24(m),

故答案为：24.

【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握勾股定理，由含30。角的直角三角形的

性质求出AC的长是解题的关键.

16.2100

【分析】利用勾股定理求出水平的直角边长，然后求出需要地毯的总长度，进而可得需要地

毯的总面积，然后可得答案.

答案第6页，共13页

【详解】解：由勾股定理得，水平的直角边=75二铲=4m，

所以地毯水平部分的和是水平边的长，竖直部分的和是竖直边的长，

所以需要地毯的总长度为3m+4m=7m,

所以需要地毯的总面积为7x10=70m2,

所以购买这种地毯至少需要70x30=2100元，

故答案为：2100.

【点睛】本题考查了勾股定理，平移的应用，解题的关键是结合图形分析得出地毯水平部分

的和是水平边的长，竖直部分的和是竖直边的长.

17.9

【分析】过点A作/求出最短距离/C的长度，然后在上取点8,。，使得

/3=/。=150米，根据勾股定理得出3C,。的长度，即可求出瓦）的长度，然后计算出

时间即可.

【详解】解：过点A作九W,

:.AC=~OA=120^,

2

在MN上取点8,D,使得AB=40=150米，当火车到8点时对A处产生噪音影响，

•.•/2=150米，/C=120米，

由勾股定理得：BC=^AB2-AC2=V1502-1202=90米，

CD=^AD2-AC2=V1502-1202=90>即瓦）=180米，

72千米/小时=20米/秒，

,影响时间应是：180+20=9秒.

故答案为：9.

【点睛】本题主要考查了勾股定理，解题的关键在于准确找出受影响的路段，从而利用勾股

定理求出其长度.

18.8012

【分析】作于。，求出ND的长即可解决问题，如图以A为圆心50m为半径画圆,

答案第7页，共13页

路程“看日_

交ON于B、C两点，求出5c的长，利用时间=氤计算即n可T.

【详解】解：作NOLON于。,

•/AMON=30°,/O=160m,

AD=gOA=80m,

即对学校A的噪声影响最大时卡车P与学校A的距离80m.

如图以A为圆心100m为半径画圆，交ON于B、。两点，

•/ADVBC,

：.BD=CD=-BC,

2

在RtZUBD中，BD=SIAB2-AD2=V1002-802=60m,

r.BC=120m,

重型运输卡车的速度为36千米/时=10米/秒，

•••重型运输卡车经过3c的时间=120+10=12(秒)，

故卡车P沿道路ON方向行驶一次给学校A带来噪声影响的时间为12秒.

【点睛】本题考查勾股定理的应用、解直角三角形的应用，解题的关键是理解题意，学会添

加常用辅助线构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型.

19.(1)6米

25

(2)小鸟下降的距离为米

【分析】本题主要考查了勾股定理的实际应用，熟练的掌握勾股定理是解题的关键.

(1)在直角三角形中运用勾股定理即可解答；

(2)在RMBDC中，根据勾股定理即可解答.

答案第8页，共13页

【详解】（1）由题意知/8=90。，

•••/2=8米，/C=10米.

在RtZUBC中AB2+BC2=AC2

BcZiO?-®=6米,

（2）设40=无，

••,到达。点（。点在线段上），此时小鸟到地面C点的距离与下降的距离相同，AB=8

贝！］CD=4D=x,BD=8-x,

在RMBDC中，DC2=BD2+BC2,

x2=（8-x）2+62,

解得尤=午25，

4

小鸟下降的距离为一25米.

4

20.5米

【分析】本题考查了勾股定理的应用，设机器人修跑步尤米与乐乐相遇，在RMBCZ）中，

利用勾股定理构建关于x的方程求解即可.

【详解】解：设机器人X跑步x米与乐乐相遇，贝=x米，8c=（9-x）米，

••・机器人用的跑步速度与乐乐的下滑速度相同，

.­.DB=AB=x^z,

在RIABCZ）中，ZC=90°,

■■■BD1=BC2+CD2,

.-.x2=（9-X）2+32,

解得x=5,

•••机器人用跑步5米与乐乐相遇.

21.（1）12尺

（2）见解析

【分析】本题考查了勾股定理的应用；

（1）设水池深度为x尺，则得芦苇高度为（X+D尺，在Rt△瓦4。中，利用勾股定理建立方

答案第9页，共13页

程即可求解；

(2)由水池深度O0=b,则得芦苇高度为OC=OD+CD=b+〃，由题意有：OE=OC=b+n；

由勾股定理即可得证.

【详解】(1)解：设水池深度为x尺，则芦苇高度为。C=OD+CD=(x+l)尺，

由题意有：OE=OC=(x+l)尺；

・•,O为N8中点，且48=1丈=10尺，

.,.CM=；/3=gxl0=5(尺)；

在RtAE/O中，由勾股定理得：AE2+OA2=OE2,

即—+5?=(%+I)2,

解得：x=12；

即。。=12尺；

答:水池的深度8为12尺；

(2)证明：水池深度=则芦苇高度为OC=OD+CO=b+〃，

由题意有：OE=OC=b+n；

,/O为中点，且/5=2a,

/.OA=—AB=a；

2

在RtZ\E4O中，由勾股定理得：AE2+OA2=OE2,

即b2+a2=(b+n)2,

整理得：6=巴二巴；

2n

表明刘徽解法是正确的.

22.⑴/、C两地之间距离为1930米

(2)小华先到达C地

【分析】本题主要考查勾股定理的应用，含30度直角三角形的性质，等腰直角三角形的判

定，方位角等知识，构造直角三角形是解题的关键.

(1)连接/C,过。作。E//C于£；分别在RtADEC,R30E4中利用勾股定理求出

CE,AE,即可求得结果；

(2)设两人速度为1,由(1)的计算可得的长；由题意得A/8C是等腰直角三角

答案第1。页，共13页

形，由(1)的结论及勾股定理求得/8=8C,即可求得43+8C；比较即可谁先到达C

地.

【详解】(1)解：如图，连接/C,过。作DE//C于E；

由题意得：/DCE=90°-45°=45°,/DIE=90°-60°=30°；

在RtADEC中，则ZEDC=ZDCE=45°,

DE=CE,

由勾股定理得：CD2=CE2+DE2=2CE2,

:.CE^—CD=500亚米；

2

贝京E=500亚米；

在Rt△。及4中，ZDAE=30°,

则