青海省西宁某中学2024年中考冲刺卷数学试题（含解析）

青海省西宁二十一中学2024年中考冲刺卷数学试题

注意事项：

1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。

2.答题时请按要求用笔。

3.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。

4.作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。

5.保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）

1.小军旅行箱的密码是一个六位数，由于他忘记了密码的末位数字，则小军能一次打开该旅行箱的概率是（）

1111

A.—B.—C.—D.一

10965

2.一元二次方程3xZ6x+4=0根的情况是

A.有两个不相等的实数根B.有两个相等的实数根C.有两个实数根D.没有实数根

3.如图，下列各三角形中的三个数之间均具有相同的规律，根据此规律，最后一个三角形中y与n之间的关系是。

D.y=2n+n+l

4.一次数学测试后，随机抽取九年级某班5名学生的成绩如下：91,78,1,85,1.关于这组数据说法错误的是（）

A.极差是20B.中位数是91C.众数是1D.平均数是91

5.对于反比例函数y=&（kRO）,下列所给的四个结论中，正确的是（）

x

A.若点（3,6）在其图象上，则（-3,6）也在其图象上

B.当k>0时，y随x的增大而减小

C.过图象上任一点P作x轴、y轴的线，垂足分别A、B,则矩形OAPB的面积为k

D.反比例函数的图象关于直线y=-x成轴对称

6.已知。O的半径为13,弦AB〃CD,AB=24,CD=10,则四边形ACDB的面积是（）

A.119B.289C.77或119D.119或289

7.平面直角坐标系内一点P（-2,3）关于原点对称点的坐标是（）

A.（3,-2）B.（2,3）C.（-2,-3）D.（2,-3）

8.一个两位数，它的十位数字是3,个位数字是抛掷一枚质地均匀的骰子（六个面分别标有数字1-6）朝上一面的数

字，任意抛掷这枚骰子一次，得到的两位数是3的倍数的概率等于（）

9.已知两组数据，2、3、4和3、4、5,那么下列说法正确的是（）

A.中位数不相等，方差不相等

B.平均数相等，方差不相等

C.中位数不相等，平均数相等

D.平均数不相等，方差相等

10.下列各图中，既可经过平移，又可经过旋转，由图形①得到图形②的是（）

11.如图，在R3A5C中，ZACB=90°,点。、E、尸分另lj是A3、AC.的中点，若0=5,则E尸的长为

12.某商场将一款品牌时装按标价打九折出售，可获利80%,这款商品的标价为1000元，则进价为______元。

1,

13.已知抛物线y=]X'-1,那么抛物线在y轴右侧部分是（填“上升的”或吓降的”）.

14.江苏省的面积约为101600kmi,这个数据用科学记数法可表示为_____km1.

15.一次函数y=kx+b的图象如图所示，当y>0时，x的取值范围是.

16.如果两个相似三角形对应边上的高的比为1：4,那么这两个三角形的周长比是—.

三、解答题（共8题，共72分）

17.（8分）已知，数轴上三个点A、O、P,点O是原点，固定不动，点A和B可以移动，点A表示的数为。，点B

表示的数为从

（1）若A、B移动到如图所示位置，计算4+力的值.

（2）在（1）的情况下，B点不动，点A向左移动3个单位长，写出A点对应的数并计算6-时.

（3）在（1）的情况下，点A不动，点B向右移动15.3个单位长，此时沙比。大多少？请列式计算.

18.（8分）如图，经过点C（0,-4）的抛物线了=。必+法+。（a/0）与x轴相交于A（-2,0）,B两点.

（1）a0,_-0（填“>”或“<”）；

（2）若该抛物线关于直线x=2对称，求抛物线的函数表达式；

（3）在（2）的条件下，连接AC,E是抛物线上一动点，过点E作AC的平行线交x轴于点F.是否存在这样的点E,

使得以A,C,E,F为顶点所组成的四边形是平行四边形？若存在，求出满足条件的点E的坐标；若不存在，请说明

理由.

19.（8分）某校初三体育考试选择项目中，选择篮球项目和排球项目的学生比较多.为了解学生掌握篮球技巧和排球技

巧的水平情况，进行了抽样调查，过程如下，请补充完整.

收集数据：从选择篮球和排球的学生中各随机抽取16人，进行了体育测试，测试成绩（十分制汝口下：

排球109.59.510899.59

71045.5109.59.510

篮球9.598.58.5109.5108

69.5109.598.59.56

整理、描述数据：按如下分数段整理、描述这两组样本数据:

7储

x4,O^x<5.57.0Wx<838.5^x<IO10

项目（说明：成绩8.5分及以上

排球11275

俄球

为优秀，6分及以上为合格，6分以下为不合格）

分析数据：两组样本数据的平均数、中位数、众数如下表所示:

项目平均数中位数众数

排球8.759.510

篮球8.819.259.5

得出结论：

⑴如果全校有160人选择篮球项目，达到优秀的人数约为_________人；

⑵初二年级的小明和小军看到上面数据后，小明说：排球项目整体水平较高.小军说：篮球项目整体水平较高.

你同意的看法，理由为.（至少从两个不同的角度说明推断的合理性）

20.（8分）如图，在正方形ABCD中，点E、F、G、H分别是AB、BC>CD、DA边上的动点，且AE=BF=CG=DH.

（1）求证：AAEH且ACGF；

（2）在点E、F、G、H运动过程中，判断直线EG是否经过某一个定点，如果是，请证明你的结论；如果不是，请

说明理由

21.（8分）计算-产-标+（_g）2+|_3|3

22.（10分）如图1,已知抛物线y=-半x2+]lx+T与x轴交于A,B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于

点C,点D是点C关于抛物线对称轴的对称点，连接CD,过点D作DHJ_x轴于点H,过点A作AEJ_AC交DH的

延长线于点E.

（1）求线段DE的长度；

（2）如图2,试在线段AE上找一点F,在线段DE上找一点P,且点M为直线PF上方抛物线上的一点，求当△CPF

的周长最小时，△MPF面积的最大值是多少；

（3）在（2）问的条件下，将得到的ACFP沿直线AE平移得到ACFT，，将△CFP沿CT，翻折得到△C，P，F”,记

在平移过称中，直线FT，与x轴交于点K,则是否存在这样的点K,使得△F，F"K为等腰三角形？若存在求出OK的

值；若不存在，说明理由.

23.（12分）如图，四边形ABCD内接于圆,对角线AC与BD相交于点E,F在AC上,AB=AD,ZBFC=ZBAD=2ZDFC.

求证：

(1)CD±DF；

(2)BC=2CD.

24.八年级一班开展了“读一本好书”的活动，班委会对学生阅读书籍的情况进行了问卷调查，问卷设置了“小说”“戏

剧,，“散文,，”其他,，四个类型，每位同学仅选一项，根据调查结果绘制了不完整的频数分布表和扇形统计图.

类别频数（人数）频率

小说0.5

戏剧4

散文100.25

其他6

合计1

根据图表提供的信息，解答下列问题：八年级一班有多少名学生？请补全频数分布表，并求出扇形统计图中“其他”类

所占的百分比；在调查问卷中，甲、乙、丙、丁四位同学选择了“戏剧”类，现从以上四位同学中任意选出2名同学参

加学校的戏剧兴趣小组，请用画树状图或列表法的方法，求选取的2人恰好是乙和丙的概率.

参考答案

一、选择题(共10小题，每小题3分，共30分)

1、A

【解析】

•.,密码的末位数字共有10种可能(0、1、2、3、4、5、6、7、8、9、0都有可能)，

当他忘记了末位数字时，要一次能打开的概率是

故选A.

2、D

【解析】

根据△="-4ac,求出A的值，然后根据A的值与一元二次方程根的关系判断即可.

【详解】

,:a-3,b=-6,c=4,

A=/(2-4ac=(-6)2-4x3x4=-12<0,

•••方程3P6x+4=0没有实数根.

故选D.

【点睛】

本题考查了一元二次方程依2+加+0=0(a#0)的根的判别式A=52-4ac：当A>0时，一元二次方程有两个不相等的实数

根；当A=0时，一元二次方程有两个相等的实数根；当A<0时，一元二次方程没有实数根.

3、B

【解析】

•.•观察可知：左边三角形的数字规律为：1,2,n,

右边三角形的数字规律为：2,

下边三角形的数字规律为：1+2,…'0+/*'

二最后一个三角形中y与"之间的关系式是y=2n+n.

故选B.

【点睛】

考点：规律型：数字的变化类.

4、D

【解析】

试题分析：因为极差为：1-78=20,所以A选项正确;

从小到大排列为：78,85,91,1,1,中位数为91,所以B选项正确;

因为1出现了两次，最多，所以众数是1,所以C选项正确;

旧―91+78+98+85+98

因为-------------------=90,所以D选项错误.

故选D.

考点：①众数②中位数③平均数④极差.

5、D

【解析】

分析：根据反比例函数的性质一一判断即可；

详解：A.若点（3,6）在其图象上，则（-3,6）不在其图象上，故本选项不符合题意；

B.当左＞0时，y随x的增大而减小，错误，应该是当时，在每个象限，y随x的增大而减小；故本选项不

符合题意；

C.错误，应该是过图象上任一点尸作x轴、y轴的线，垂足分别A、B,则矩形O4P5的面积为|川；故本选项不

符合题意；

D.正确，本选项符合题意.

故选D.

点睛：本题考查了反比例函数的性质，解题的关键是熟练掌握反比例函数的性质，灵活运用所学知识解决问题，属于

中考常考题型.

6、D

【解析】

分两种情况进行讨论：①弦AB和CD在圆心同侧；②弦AB和CD在圆心异侧；作出半径和弦心距，利用勾股定理

和垂径定理，然后按梯形面积的求解即可.

【详解】

解：①当弦AB和CD在圆心同侧时，如图1,

VAB=24cm,CD=10cm,

/.AE=12cm,CF=5cm,

AOA=OC=13cm,

/.EO=5cm,OF=12cm,

:.EF=12-5=7cm；

四边形ACDB的面积g（24+10）x7=119

②当弦AB和CD在圆心异侧时，如图2,

图2

VAB=24cm,CD=10cm,

.AE=12cm,CF=5cm,

VOA=OC=13cm,

/.EO=5cm,OF=12cm,

/.EF=OF+OE=17cin.

二四边形ACDB的面积^（24+10）x17=289

四边形ACDB的面积为119或289.

故选：D.

【点睛】

本题考查了勾股定理和垂径定理的应用.此题难度适中，解题的关键是注意掌握数形结合思想与分类讨论思想的应用,

小心别漏解.

7、D

【解析】

根据“平面直角坐标系中任意一点P(x,y),关于原点的对称点是(-X,-J),即关于原点的对称点，横纵坐标都变成

相反数”解答.

【详解】

解：根据关于原点对称的点的坐标的特点，

...点A(-2,3)关于原点对称的点的坐标是(2,-3),故选D.

【点睛】

本题主要考查点关于原点对称的特征，解决本题的关键是要熟练掌握点关于原点对称的特征.

8、B

【解析】

直接得出两位数是3的倍数的个数，再利用概率公式求出答案.

【详解】

•••一枚质地均匀的骰子，其六个面上分别标有数字1,2,3,4,5,6,投掷一次，

十位数为3,则两位数是3的倍数的个数为2.

.•.得到的两位数是3的倍数的概率为：：2=-1.

63

故答案选：B.

【点睛】

本题考查了概率的知识点，解题的关键是根据题意找出两位数是3的倍数的个数再运用概率公式解答即可.

9、D

【解析】

分别利用平均数以及方差和中位数的定义分析，进而求出答案.

【详解】

2、3、4的平均数为：-(2+3+4)=3,中位数是3,方差为：-[(2-3)2+(3-3)2+(3-4)2]=-；

333

3、4、5的平均数为：-(3+4+5)=4,中位数是4,方差为：-[(3-4)2+(4-4)2+(5-4)2]=-；

333

故中位数不相等，方差相等.

故选:D.

【点睛】

本题考查了平均数、中位数、方差的意义，解答本题的关键是熟练掌握这三种数的计算方法.

10、D

【解析】

A,B,C只能通过旋转得到，D既可经过平移，又可经过旋转得到，故选D.

二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）

11>5

【解析】

已知CD是RtAABC斜边AB的中线，那么AB=2CD；EF是△ABC的中位线，则EF应等于AB的一半.

【详解】

•••△45C是直角三角形，是斜边的中线，

1

：.CD=-AB,

2

又,；EF是小ABC的中位线，

：.AB^2CD=2x5=10,

1

.\£F=-xlO=5.

2

故答案为5.

【点睛】

本题主要考查三角形中位线定理，直角三角形斜边上的中线，熟悉掌握是关键.

12、500

【解析】

设该品牌时装的进价为x元，根据题意列出方程，求出方程的解得到x的值，即可得到结果.

【详解】

解：设该品牌时装的进价为X元，根据题意得：1000x90%-x=80%x,解得：x=500,则该品牌时装的进价为500元.

故答案为：500.

【点睛】

本题考查了一元一次方程的应用，找出题中的等量关系是解本题的关键.

13、上升的

【解析】

•••抛物线y=；x2-l开口向上，对称轴为x=0（y轴），

...在y轴右侧部分抛物线呈上升趋势.

故答案为：上升的.

【点睛】

本题考查的知识点是二次函数的性质，解题的关键是熟练的掌握二次函数的性质.

14、1.016X105

【解析】

科学记数法就是将一个数字表示成(axlO的n次塞的形式)，其中lW|a|V10,n表示整数.n为整数位数减1,即从左

边第一位开始，在首位非零的后面加上小数点，再乘以10的n次塞，

【详解】

解：101600=1.016xl05

故答案为：1.016x105

【点睛】

本题考查科学计数法，掌握概念正确表示是本题的解题关键.

15、x<2

【解析】

试题解析：根据图象和数据可知，当y>0即图象在x轴的上方，x>l.

故答案为x>l.

16、1:4

【解析】

•••两个相似三角形对应边上的高的比为1:4,

.•.这两个相似三角形的相似比是1：4

•.•相似三角形的周长比等于相似比，

••・它们的周长比1：4,

故答案为：1：4.

【点睛】本题考查了相似三角形的性质，相似三角形对应边上的高、相似三角形的周长比都等于相似比.

三、解答题(共8题，共72分)

17、(1)a+b的值为一2；(2)a的值为-3,b-|a|的值为一3；(1)b比a大27.1.

【解析】

(1)根据数轴即可得到a,b数值，即可得出结果.

(2)由B点不动，点A向左移动1个单位长，

可得a=-3,b=2,6—时即可求解.

(1)点A不动，点B向右移动15.1个单位长，所以a=10,b=17.1,再b-a即可求解.

【详解】

(1)由图可知：a=-10,b=2,

:.a+b=-2

故a+b的值为-2.

(2)由B点不动，点A向左移动1个单位长，

可得a=-3,b=2

•*.b-|a|=b+a=2-3=-3

故a的值为-3,b-|a|的值为-3.

(1)1•点A不动，点B向右移动15.1个单位长

/.a=-10,b=17.1

.*.b-a=17.1-(-10)=27.1

故b比a大27.1.

【点睛】

本题主要考查了数轴，关键在于数形结合思想.

18、(1)>,>；(2)y=-x---x-4-(3)E(4,-4)或(2+24，4)或(2-，4).

【解析】

(1)由抛物线开口向上，且与x轴有两个交点，即可做出判断；

(2)根据抛物线的对称轴及A的坐标，确定出B的坐标，将A,B,C三点坐标代入求出a,b,c的值，即可确定出

抛物线解析式；

(3)存在，分两种情况讨论：(i)假设存在点E使得以A,C,E,F为顶点所组成的四边形是平行四边形，过点C

作CE〃x轴，交抛物线于点E,过点E作EF〃AC,交x轴于点F,如图1所示；

(ii)假设在抛物线上还存在点E，，使得以A,C,F',E，为顶点所组成的四边形是平行四边形，过点E，作E，F，〃AC

交x轴于点F，，则四边形ACF'E，即为满足条件的平行四边形，可得AC=E，F，，AC#ET\如图2,过点E，作ECx

轴于点G,分别求出E坐标即可.

【详解】

(1)a>0,；>0；

(2)•.,直线x=2是对称轴，A(-2,0),

•*.B(6,0),

;点C(0,-4),

、14

将A,B,C的坐标分别代入y=a%2+6x+c,解得：。=§，=~~»c=T，

...抛物线的函数表达式为y=-4；

(3)存在，理由为：(i)假设存在点E使得以A,C,E,F为顶点所组成的四边形是平行四边形，过点C作CE〃x

轴，交抛物线于点E,过点E作EF〃AC,交x轴于点F,如图1所示，

则四边形ACEF即为满足条件的平行四边形，

14

V抛物线y=-x92-j%-4关于直线x=2对称，

/.由抛物线的对称性可知，E点的横坐标为4,

又•••OC=4,.'E的纵坐标为-4,

，存在点E(4,-4)；

(ii)假设在抛物线上还存在点E，，使得以A,C,FSE，为顶点所组成的四边形是平行四边形,

过点E作E，F，〃AC交x轴于点F，，则四边形ACPE，即为满足条件的平行四边形，

/.AC=ETSAC〃EF,如图2,过点E，作E，G_Lx轴于点G,

•；AC〃EF,

•,.ZCAO=ZET,G,

又,.,NCOA=NE，GF，=90。，AC=EF\

/.△CAO^AET^,

.\ErG=CO=4,

.•.点E，的纵坐标是4,

4=-x~——x—4,解得：％=2+2\f7,x,=2—2y/7,

.••点E，的坐标为(2+2甘，4),同理可得点E”的坐标为(2-2甘，4).

19、130小明平均数接近，而排球成绩的中位数和众数都较高.

【解析】

(1)根据抽取的16人中成绩达到优秀的百分比，即可得到全校达到优秀的人数;

（2）根据平均数接近，而排球成绩的中位数和众数都较高，即可得到结论.

【详解】

解：补全表格成绩：

人数

4.0<x<5.55.5<x<7.07.0<x<8,58.5<x<1010

项目

排球11275

篮球021103

13

（1）达到优秀的人数约为160x^=130（人）；

故答案为130；

（2）同意小明的看法，理由为：平均数接近，而排球成绩的中位数和众数都较高.（答案不唯一，理由需支持判断结论）

故答案为小明，平均数接近，而排球成绩的中位数和众数都较高.

【点睛】

本题考查众数、中位数，平均数的应用，解题的关键是掌握众数、中位数、平均数的定义以及用样本估计总体.

20、（1）见解析；（2）直线EG经过一个定点，这个定点为正方形的中心（AC、BD的交点）；理由见解析.

【解析】

分析：（1）由正方形的性质得出NA=NC=90。，AB=BC=CD=DA,由AE=BF=CG=DH证出AH=CF,由SAS证明

△AEH^ACGF即可求解；

（2）连接AC、EG,交点为O；先证明△AOEg/XCOG,得出OA=OC,证出O为对角线AC、BD的交点，即O

为正方形的中心.

详解：（1）证明：,••四边形ABCD是正方形，

.".ZA=ZC=90°,AB=BC=CD=DA,

VAE=BF=CG=DH,

/.AH=CF,

在4AEH^ACGF中，

AH=CF,ZA=ZC,AE=CG,

AAAEH^ACGF（SAS）；

（2）直线EG经过一个定点，这个定点为正方形的中心（AC、BD的交点）；理由如下：

连接AC、EG,交点为O；如图所示：

•••四边形ABCD是」正方形，

/.AB#CD,

，ZOAE=ZOCG,

在小AOE^ACOG中，

ZOAE=ZOCG,ZAOE=ZCOG,AE=CG,

/.△AOE^ACOG(AAS),

.*.OA=OC,OE=OG,

即O为AC的中点，

•••正方形的对角线互相平分，

二。为对角线AC、BD的交点，即O为正方形的中心.

点睛：考查了正方形的性质与判定、全等三角形的判定与性质等知识；本题综合性强，有一定难度，特别是(2)中，

需要通过作辅助线证明三角形全等才能得出结果.

21、1

【解析】

直接利用绝对值的性质以及二次根式的性质分别化简得出答案.

【详解】

Hj1

原式=-1-4+—+27

4

=-1-16+27

=1.

【点睛】

本题考查了实数的运算，解题的关键是熟练掌握运算顺序.

22、(1)273；(2)近[7百;(3)见解析.

【解析】

分析：(1)根据解析式求得C的坐标，进而求得D的坐标，即可求得DH的长度，令y=0,求得A,B的坐标，然后

证得AACOsaEAH,根据对应边成比例求得EH的长，进继而求得DE的长；

(2)找点C关于DE的对称点N(4,5,找点C关于AE的对称点G(-2,-73),连接GN,交AE于点F,交

DE于点P,即G、F、P,N四点共线时，ACPF周长=CF+PF+CP=GF+PF+PN最小，根据点的坐标求得直线GN的

解析式：y=18x-3；直线AE的解析式：y=-正x-走，过点M作y轴的平行线交FH于点Q,设点M(m,

3333

-m2+m+y/3)，则Q(m,3m士),根据SAMFP=SAMQF+SAMQP,得出SAMFP=

3333'

-走HP+走m+逑，根据解析式即可求得，AMPF面积的最大值；

333

(3)由(2)可知C(0,百)，F(0,—),P(2,—求得CF=W^,CP=^8,进而得出ACFP为等边

3333

三角形，边长为述，翻折之后形成边长为迪的菱形OF，P，F”,且F，F"=4,然后分三种情况讨论求得即可.

33

本题解析：(1)对于抛物线y=-除x2+2gx+«,

令x=0,得丫=«,即C(0,«),D(2,«),

.•.DH=立,

令y=0,即-^j-x2+-"^X+73=0,得xi=-1,X2=3,

33

/.A(-1,0),B(3,0),

VAE±AC,EH±AH,

.•.△ACO^AEAH,

.0C=0A即叵工

AHEH3EH

解得：EH=«,

则DE=2«；

(2)找点C关于DE的对称点N(4,避)，找点C关于AE的对称点G(-2,-5)，

连接GN,交AE于点F,交DE于点P,即G、F、P、N四点共线时，△CPF周长=CF+PF+CP=GF+PF+PN

最小，

直线GN的解析式：y=^x-^；直线AE的解析式：丫=-咛*-勺，

联立得：F(0,-咚)，P(2,噂)，

过点M作y轴的平行线交FH于点Q,

设点M(m,-¥~m2+22•->m+m),则Q(m,m-(0<m<2)；

3333

**•SAMFP=SAMQF+SAMQP=-^-MQX2=MQ=-叵向叵n+£«,

乙JJ。

•••对称轴为：直线m=[<2,开口向下，

.♦.m4时，AMPF面积有最大值：得正;

(3)由(2)可知C(0,近)，F(0,，P(2,

.•.CF=WCP=®2+Dp2=W

VOC=V3，OA=1,

.*.ZOCA=30o,

VFC=FG,

/.ZOCA=ZFGA=30°,

.\ZCFP=60o,

.•.△CFP为等边三角形，边长为华，

翻折之后形成边长为竽的菱形CTTT",且FF〃=4,

1）当KF=KF〃时，如图3,

点K在F，F〃的垂直平分线上，所