2024年高考数学复习：概率统计(解答+答案)

2024年高考数学一概率统计(解答+答案)

1.(17全国1理19.(12分))

为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取16个

零件，并测量其尺寸(单位：cm).依据长期生产阅历，可以认为这条生产线正常状态下生

产的零件的尺寸听从正态分布.

(1)假设生产状态正常，记才表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在(〃-3。,〃+3。)

之外的零件数，求P(X21)及X的数学期望；

(2)一天内抽检零件中，假如出现了尺寸在(〃—3b,〃+3b)之外的零件，就认为这

条生产线在这一天的生产过程可能出现了异样状况，需对当天的生产过程进行检查.

(i)试说明上述监控生产过程方法的合理性；

(ii)下面是检验员在一天内抽取的16个零件的尺寸：

9.9510.129.969.9610.019.929.9810.04

10.269.9110.1310.029.2210.0410.059.95

116I116/116

经计算得无=记>>,=9.97,5=-£(%,.-%)2=J—(£X,2-16X2)2«0.212.

ioV16i=iyio/=i

其中玉为抽取的第i个零件的尺寸，力=L2,…,16.

用样本平均数x作为〃的估计值。，用样本标准差s作为。的估计值3,利用估计值

推断是否需对当天的生产过程进行检查？剔除(2-36,。+33)之外的数据，用剩下的数据

估计〃和b(精确到0.01).

附：若随机变量Z听从正态分布N(〃,cf2),则尸(〃—3cr<Z<〃+3b)=0.9974,

0.997416=0.9592，V0.008«0.09.

2.（17全国1文19.（12分））

为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每隔30min从该生产线上随机抽

取一个零件，并测量其尺寸（单位：cm）.下面是检验员在一天内依次抽取的16个零件的

尺寸：

抽取次序12345678

零件尺寸9.9510.129.969.9610.019.929.9810.04

抽取次序910111213141516

零件尺寸10.269.9110.1310.029.2210.0410.059.95

116l-i16pj16

经计算得亍=京£>=9.97,s=之（王一为2（£七2_16元2）h0212,

1。i=iVloi=iVloz=i

|1616

£（＞8.5）2土18.439,2（七一初，一8.5）=-2.78,其中无，为抽取的第，个零件的尺寸,

i=l

7=1,2,…,16.

（1）求（x”i）a=1,2,…,16）的相关系数r,并回答是否可以认为这一天生产的零件尺

寸不随生产过程的进行而系统地变大或变小（若|川＜。.25,则可以认为零件的

尺寸不随生产过程的进行而系统地变大或变小）.

（2）一天内抽检零件中，假如出现了尺寸在叵-3s,元+3s）之外的零件，就认为这条

生产线在这一天的生产过程可能出现了异样状况，需对当天的生产过程进行检

查.

（i）从这一天抽检的结果看，是否需对当天的生产过程进行检查？

（ii）在（了-3s茂+3s）之外的数据称为离群值，试剔除离群值，估计这条生产

线当天生产的零件尺寸的均值与标准差.（精确到0.01）

附：样本（x“y）（7=1,2,…的相关系数r=日,

胜（为一如2摩%一》产

Vi=lVi=l

VO.008»0.09.

3.(17全国2理18.(12分))

海水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比，收获时各随机抽取了100

个网箱，测量各箱水产品的产量(单位：kg)某频率分布直方图如下：

(1)设两种养殖方法的箱产量相互独立，记A表示事务''旧养殖法的箱产量低于

50kg,新养殖法的箱产量不低于50kg”，估计A的概率；

(2)填写下面列联表，并依据列联表推断是否有99%的把握认为箱产量与养殖方法

有关：

箱产量＜50kg箱产量N50kg

旧养殖法

新养殖法

(3)依据箱产量的频率分布直方图，求新养殖法箱产量的中位数的估计值(精确到

0.01)

P(,K2>k)0.0500.0100.001

k3.8416.63510.828

n(ad-be)2

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

4.（17全国3理18.（12分））

某超市支配按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，

未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完.依据往年销售阅历,

每天需求量与当天最高气温（单位：。C）有关.假如最高气温不低于25,需求量

为500瓶；假如最高气温位于区间［20,25）,需求量为300瓶；假如最高气温低于

20,需求量为200瓶，为了确定六月份的订购支配，统计了前三年六月份各天的

最高气温数据，得下面的频数分布表：

i

[10,15）[15,20)[20,25）[25,3。）[30,35）[35,4

左

才

216362574

娄

以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率.

（1）求六月份这种酸奶一天的需求量X（单位：瓶）的分布列；

（2）设六月份一天销售这种酸奶的利润为y（单位：元）.当六月份这种酸奶一天

的进货量（单位：瓶）为多少时，y的数学期望达到最大值？

5.（17全国3文18.（12分））

某超市支配按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，

未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完.依据往年销售阅历，每天需求

量与当天最高气温（单位：。C）有关.假如最高气温不低于25,需求量为500瓶；假如最

高气温位于区间20,25）,需求量为300瓶；假如最高气温低于20,需求量为200瓶.为了

确定六月份的订购支配，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：

最高气温[10,15)[15,20)[20,25)[25,30)[30,35)[35,40)

天数216362574

以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率。

（1）求六月份这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率；

（2）设六月份一天销售这种酸奶的利润为F（单位：元），当六月份这种酸奶一天的进

货量为450瓶时，写出V的全部可能值，并估计F大于零的概率.

6.（17北京理（17）（本小题13分））

为了探讨一种新药的疗效，选100名患者随机分成两组，每组各50名，一组服药，另

一组不服药，一段时间后，记录了两组患者的生理指标》和y的数据，并制成下图，其中“*”

表示服药者，“+”表示为服药者.

♦指柄;

0L7指梳

（I）从服药的50名患者中随机选出一人，求此人指标y的值小于60的概率；

（II）从图中A,B,C,D四人中随机选出两人，记自为选出的两人中指标X的值大

于1.7的人数，求4的分布列和数学期望EC）；

（in）试推断这wo名患者中服药者指标y数据的方差与未服药者指标y数据的方差的

大小.（只需写出结论）

7.（17北京文（17）（本小题13分））

某高校艺术专业400名学生参与某次测评，依据男女学生人数比例，运用分层抽样的方

法从中随机抽取了100名学生，记录他们的分数，将数据分成7组：[20,30）,[30,40）,......,

[80,90],并整理得到如下频率分布直方图：

频率4

组距'

0.04---------------------------------

0.02----------------------------.------------

0.01---------------------------

-----------------1--------iI-----------------------------

。2030405060708090分数

（I）从总体的400名学生中随机抽取一人，估计其分数小于70的概率；

（II）已知样本中分数小于40的学生有5人，试估计总体中分数在区间[40,50）内的

人数；

（III）已知样本中有一半男生的分数不小于70,且样本中分数不小于70的男女生人数

相等.试估计总体中男生和女生人数的比例.

8.（17山东理（18）（本小题满分12分））

在心理学探讨中，常采纳对比试验的方法评价不同心理示意对人的影响，详细方法如下：将

参与试验的志愿者随机分成两组，一组接受甲种心理示意，另一组接受乙中心理示意,

通过对比这两组志愿者接受心理示意后的结果来评价两种心理示意的作用，现有6名

男志愿者A，A，A，4,A，A和4名用,不，口，々从中随机抽取5人接受甲种心理示

意，另5人接受乙种心理小意。

（I）求接受甲种心理示意的志愿者中包含A但不包含劣的频率。

（II）用不表示接受乙种心理示意的女志愿者人数，求才的分布列与数学期望以

9.（17山东文（16）（本小题满分12分））

某旅游爱好者支配从3个亚洲国家A,4,A和3个欧洲国家用,鸟,鸟中选择2个国家

去旅游。

（I）若从这6个国家中任选2个，求这2个国家都是亚洲国家的概率；

（II）若从亚洲国家和欧洲国家中个任选1个，求这2个国家包括A但不包括B的

概率。

10.（17天津理16.（本小题满分13分））

从甲地到乙地要经过3个十字路口，设各路口信号灯工作相互独立，且在各路口遇到红

灯的概率分别为!一.」.

234

（I）设乂表示一辆车从甲地到乙地遇到红灯的个数，求随机变量X的分布列和数学期望;

（II）若有2辆车独立地从甲地到乙地，求这2辆车共遇到1个红灯的概率.

11.（17天津文（16）（本小题满分13分））

某电视台播放甲、乙两套连续剧，每次播放连续剧时，须要播放广告.已知每次播放甲、

乙两套连续剧时，连续剧播放时长、广告播放时长、收视人次如下表所示：

连续剧播放时长（分钟）广告播放时长（分钟）收视人次（万）

甲70560

乙60525

已知电视台每周支配甲、乙连续剧的总播放时间不多于600分钟，广告的总播放时间不

少于30分钟，且甲连续剧播放的次数不多于乙连续剧播放次数的2倍.分别用，尤,y表示每

周支配播出的甲、乙两套连续剧的次数.

（I）用列出满意题目条件的数学关系式，并画出相应的平面区域；

（H）问电视台每周播出甲、乙两套连续剧各多少次，才能使收视人次最多？

12.((本小题满分10))

已知一个口袋有m个白球，n个黑球(m,ne,n>2),这些球除颜色外全部相同。

现将口袋中的球随机的逐个取出，并放入如图所示的编号为1,2,3,……，m+n的抽屉内，

其中第k次取球放入编号为k的抽屉(k=l,2,3,....,m+n).

123..........m+n

(1)试求编号为2的抽屉内放的是黑球的概率p;

(2)随机变量x表示最终一个取出的黑球所在抽屉编号的倒数，E(x)是x的数学期望，证

T1

明：E(X)<------------

(m+〃)(〃-1)

参考答案：

1.解：(1)抽取的一个零件的尺寸在(〃-3b,〃+3司)之内的概率为0.9974,从而零件的尺

寸在(〃—3b,〃+3司)之外的概率为0.0026,故乂~5(16,0.0026),因此

P(X>1)=1-P(X=0)=1-0.997416x0,0408

X的数学期望为EX=16x0.0026=0.0416

(2)(i)假如生产状态正常，一个零件尺寸在(〃-3b,〃+3。)之外的概率只有0.0026,

一天内抽取的16个零件中，出现尺寸在(〃-3b,〃+3。)之外的零件的概率只有

0.0408,发生的概率很小。因此一旦发生这种状况，就有理由认为这条生产线在

这一天的生产过程可能出现了异样状况，需对当天的生产过程进行检查，可见上

述监控生产过程的方法是合理的。

(ii)由元=9.97/^0.212,得〃的估计值为。=9.97,。的估计值为3=0.212,

由样本数据可以看出有一个零件的尺寸在(A-33,A+33)之外，因此需对当天

的生产过程进行检查。

剔除(A-33,。+33)之外的数据9.22,剩下数据的平均数为

^(16x9.97-9.22)=10.02

因此〃的估计值为10.02

16

=16x0.2122+16x9.972»1591.134

i=l

剔除(A-3d,"+3d)之外的数据9.22,剩下数据的样本方差为

卷(1591.134-9.222-15x10.022)«0.008

因此b的估计值为,0.008工0.09

2.解：⑴由样本数据得(%，)«=1,2,.,16)的相关系数为

X(%-君(，-8.5)

Q

i=l-------y—0.18

0.212x^6X18.439

由于|川＜0.25,因此可以认为这一天生产的零件尺寸不随生产过程的进行而系统地

变大或变小。

(2)(i)由于元=9.97,5^0.212,由样本数据可以看出抽取的第13个零件的尺寸在

(x-3s,x+3s)以外，因此需对当天的生产过程进行检查。

(ii)剔除离群值，即第13个数据，剩下数据的平均数为

^(16x9.97-9.92)=10.02

这条生产线当天生产的零件尺寸的均值的估计值为10.02

16

22%,2=16x0.2122+16x9.972«1591.134,

i=l

剔除第13个数据，剩下数据的样本方差为

^(1591.134-9.222-15xl0.022)«0.008

这条生产线当天生产的零件尺寸的标准差的估计值为血(丽土0.09

3.解：(1)记8表示事务“旧养殖法的箱产量低于50依”，。表示事务“新养殖法的

箱产量不低于50立”.

由题意知P(A)=P(BC)=P(B)P(C)

旧养殖法的箱产量低于50注的频率为

(0.012+0.014+0.024+0.034+0.040)x5=0.62,

故P(B)的估计值为0.62

新养殖法的箱产量不低于50kg的频率为

(0.068+0.046+0.010+0.008)x5=0.66,

故P(C)的估计值为0.66

因此，事务A的概率估计值为0.62x0.66=0.4092

(2)依据箱产量的频率分布直方图得列联表

箱产量<50kg箱产量250kg

旧养殖法6238

新养殖法3466

%=200x(62x66-34x38)2句5.7。5

100x100x96x104

由于15.705>6.635,故有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关。

(3)因为新养殖法的箱产量频率分布直方图中，箱产量低于50依的直方图面积为

(0.004+0.020+0.044)x5=0.34<0.5,

箱产量低于55版的直方图面积为

(0.004+0.020+0.044+0.068)x5=0.68>0.5,

故新养殖法箱产量的中位数的估计值为

0.5-0.34

50+a52.35(总)

0.068

4.解：(1)由题意知，X全部可能取值为200,300,500,由表格数据知

P(X=200)=^|酒=0.2,P(X=300)=||=0.4,尸(X=500)=至亮出=0.4.

因此X的分布列为：

X200300500

P0.20.40.4

(2)由题意知，这种酸奶一天的需求量至多为500,至少为200,因此只需考虑

2024<ra<00

当3OOM/W5OO时，

若最高气温不低于25,则丫=6〃-4"=2〃；

若最高气温位于区间［20,25),则V=6x300+2("—300)—47?=1200—2〃；

若最高气温低于20,贝！］Y=6x200+2(〃-200)—4"=800-2〃

因此EY=2nx0.4+(1200-2ri)x0.4+(800-2ri)x0.2=640-0.47?

当200〈〃<300时，

若最高气温不低于20,则F=6〃-4"=2?z；

若最高气温低于20,则Y=6x200+2(«-200)-4n=800-2«

因此EV=2/x(0.4+0.4)+(800—2”)x0.2=160+1.2”

所以”=300时，y的数学期望达到最大值，最大值为520元。

5.解：(1)这种酸奶一天的需求量不超过300瓶，当且仅当最高气温低于25,由表格数据

知，最高气温低于25的频率为2+16.36=0.6,所以这种酸奶一天的需求量不超过300

90

瓶的概率的估计值为0.6

(2)当这种酸奶一天的进货量为450瓶时，

若最高气温不低于25,则F=6x450-4x450=900；

若最高气温位于区间［20,25),则丫=6x300+2(450-300)-4x450=300；

若最高气温低于20,则丫=6*200+2(450-200)-4x450=-100

所以，丫的全部可能值为900,300,-100

F大于零当且仅当最高气温不低于20,由表格数据知，最高气温不低于20的频率为

36+25+7+4=08,因此卜大于零的概率的估计值为o.8

90

6.解：(I)由图知：在50名服药患者中，有15名患者指标y的值小于60,则从服药的

153

50名患者中随机选出一人，此人指标小于60的概率为：P=—=—

5010

(II)由图知：A、C两人指标x的值大于1.7,而B、D两人则小于1.7,可知在私人中随

机选出的2人中指标x的值大于1.7的人数占的可能取值为0,1,2.

^=o)=4=

36

厂厂

%=1)=当=—2

C：3

-2)=5

56

所以，4的分布列如下:

&012

121

P

636

E(^)=0x-+lx-+2x-=l

636

(III)由图知100名患者中服药者指标y数据的方差比未服药者指标y数据的方差大。

7.解：(I)由频率分布直方图知，分数小于70的频率为1—(04+02)=0.4

(II)设样本中分数在区间［40,50)内的人数为X,则由频率和为1得

X5

——+——+0.1+02+0.4+0.2=1

100100

解得x=5

(III)因为样本中分数不小于70的人数共有(0.4+0.2)x100=60(人)

所以，分数不小于70的人中男女各占30人

所以，样本中男生人数为30+30=60人，女生人数为100-60=40人

所以，总体中男生和女生的比例为殁=3

402

8.解：(I)记接受甲种心理示意的志愿者中包含A但不包含"的事务为M,则

(II)由题意知X可取的值为：0,1,2,3,4.则

5

P(X=O)=WC=—1

Q5o42

C4cl5

p(x=i)=-^p=—,

C；o21

c3c210

P(X=2)=々舁=

c521

Ho八

C2C35

P(X=3)=怜=1,

cio

4

p(X=4)=c9'c^=—1,

q5o42

因此X的分布列为

X01234

151051

p

4221212142

X的数学期望是

£X=0xP(X=0)+lxP(X=l)+2xP(X=2)+3xP(X=3)+4xP(X=4)

c1,5c10c5“1

=Ox----i-lxi-2x----i-3x---i-4x—

4221212142

=2

9.解：(1)由题意知，从6个国家中任选两个国家，其一切可能的结果组成的基本领件有:

{4,4},{4,43},{4,4},{4,4},{4,32},{4，4},{4，耳},{4,52},{4,4},

{4,4},{4,32},{4,4},{综刊},{综。},{32，。},共15个

所选两个国家都是亚洲国家的事务所包含的基本领件有:

{A，4},{A，A},{4，&},共3个,

31

则所求事务的概率为：P=—=—

155

2

解法二：p=^C=±3=l1

C：155

(2)从亚洲国家和欧洲国家中各任选一个，其一切可能的结果组成的基本领件有:

{4，耳},{4,32},{4,33},{4，即,{4，昆},{4,33},{4,4},{4,32},{4,33},共

9个

包括A但不包括B1的事务所包含的基本领件有:

■©■AW｝，共2个,

2

则所求事务的概率为P=—

9

ll

解法二：P=^cPcv=2

9

10.(I)解：随机变量X的全部可能取值为0,1,2,3.

P(X=0)=(l-1)x(l-1)x(l-1)=|,

P(X=1)=—x(l--)x(1--)+(1-—)x—x(l--)+(l--)x(l--)x—=—,

23423423424

P(X=2)=(l--)x-x-+-x(l--)x-+-x-x(l--)=-,

2342342344

…c、1111

P(X=3)=—x—x—=—.

23424

所以，随机变量X的分布列为

X0123

P£11£1

424424

随机变量X的数学期望石（X）=0XL+1XU+2><L+3XL=Y.

42442412

（n）解：设y表示第一辆车遇到红灯的个数，z表示其次辆车遇到红灯的个数，则所求

事务的概率为

p(y+z=i)=p(y=o,z=i)+p(y=i,z=o)

=p（y=o）p（z=i）+p（y=I）P（Z=o）

iiiiiiii

—__y______I______x___—____

42424448,

所以，这2辆车共遇到1个红灯的概率为

48

11.（I）解：由己知，满意的数学关系式为

70x+60y<600,lx+6y<60,

5%+5y>30,x+y>6,

x<2y,即,x-2y<Q,