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文档简介
初中数学常见解题模型及思路(自有定理)
A.代数篇:
1.循环小数化分数:设元一扩大一一相减(无限变有限)相消法。
例.把0.108108108•••化为分数。
设S=0.108108108…(1)两边同乘1000得:1000S=108.108108---(2)
(2)-(1)得:999S=108从而:S=—余例仿此——
999
2.对称式计算技巧:“平方差公式一完全平方公式”一整体思想之结合:x+y;x-y;xy
x2+y2中,知二求二。
(x+y)2=x2+y2+2xy=>x2+y2=(x+y)~-2xy
(x-»-x2+y2-2xy=(x+y)2-4xy
加减配合,灵活变型。
3.特殊公式(%±工)2=尤2+±±2的变型几应用。
XX
4.立方差公式:a3+b3-Qa+b)(«2mab+b2^)
5.等差数列求和的三种方法:首尾相加法;梯形大法;倒序相加法。
例.求:1+2+3+••・+2017的和。三种方法举例:略
6.等比数列求和法:方法+公式:设元一乘等比一相减一求解。
例.求1+2+4+8+16+32+•••T令8=1+2+4+8+16+32+•・・+2”(1)
两边同乘2得:2s=2+4+8+32+64+…+2"+2向(2)
(2)-(1)得:2S-S=2n+1-1从而求得S。
7.工―工="的灵活应用:如:==」等。
mnmn62x323
8.用二次函数的待定系数法求数列(图列)的通项公式f(n)。
9.韦达定理求关于两根的代数式值的套路:
(1).对称式:变和积。/+丁2」+乙与+与;xy2+x2y等(x、y为一元二次方程方程的两
xyxy
根)
⑵.非对称式:根的定义一降次一变和积(一代二韦)。
10.三大非负数:三大永正数;
11.常用最值式:(x土丁丫土正数等(非负数+正数)。
12.换元大法。
13.自圆其说加减法与两肋插刀法。代数式或函数变型(如配方)只能加一个数,同时
减去同一个数;如果是方程则只需要两边同时加上或者减去同一个数即可。
14.拆项法;配方法。原理同上。
15.十字相乘法。
16.统计概率:两查(抽样;普查);三事(必然;不可能;随机);四图(折线;
条形;扇形;直方);三数;三差;两频(频数、频率)一率(概率)等。
17.一元二次方程应用题:每每问题套路;利率问题套路;握手、送花问题套路。
18.|a|=|b|,则a=±b在动点问题中的巧妙应用(避免烦琐的因为点的相对位置变化
起的符号变化问题(平面直角坐标系中动态问题之“坐距互变”时巧施绝对值
的代数解法)。
19.四个角的正切值:22.5度的正切值为:根号2-167.5度的正切值为根号2+1
75度的正切值为2+根号315度的正切值为2-根号3
①等角套(如图所示):条件:ZAOB=ZCOD结论:ZAOC=ZBOD说明:
②可以视做由旋转产生的“共点等角”
等线套(如图所示):条件:AB=CD结论:AC=BD说明:可以看做由平移产生。
ACBDABCD
O-------O---O-------o----o---------o----o---------o-
2.两条平行线夹一角。一角=两旁角的和。
条件:AB/7CD结论:ZP=ZAEP+ZPFC
3.平行线夹等(同)底三角形:面积相等。同底三角形面积相等,则过顶点的直线与
底所在直线平行。
若:m〃n则&ABC=SVABD反之:若SVABC=SVABD贝!I:m〃n(反比例模型中的
,,垂平”模型的证明用之)
4.已知三角形两边定一边的范围。“大于两边的差,小于两边的和
5.三角形的角分线角:
/A
⑴两内角平分线交角:ZI=9O+—
2
⑵一内一外角分线交角:Z1=—
2
/x
⑶两外平分线交角:ZI=9O-—
2
5.三角形的角平分线:
BC
两边的比=分线段(第三边)的对应比。D
条件:AD为角平分线结论:空=殷
ACDC
6.三角形中线性质定理;三中线交点分中线为3和1两部分。
条件:AD、BE、CF为中线
22
结论:AK=2KD=-ADBK=2KE=—BE。
33
2
CK=2KF=-CF
3
7.大名鼎鼎的等面积法:底与高的积相等。三高造相似。三高造辅助圆。
条件:AD、BE、CF为三角形的高一
结论:AD•BC=BE•AC=CF•AB
△ADBs/iCFB等。
B、C、E、F、四点共圆等。
8.高与角分线的夹角等于另外两角差的一半。(两中线垂直的三角形叫做:中垂三角形
/+〃=5°2其中a、b为中线所在的边)
D
BC
9.三角形一分为二面积的比及其推广到蝴蝶面积。
①在三角形ABC中,AD,BE,CF相交于同一点O,
那么
S^0-.SMC0=BD-.DC.
②任意四边形中的比例关系(“蝶形定理”):
S]:S2=:S3或者S]xS3=S2xS4
AO:OC=(51+82):(84+83)
10.等腰三角形三线合一的逆定理:两线合一亦等腰;;一垂两等变等腰;一垂三等变
等直。
重要推论:已知三角形中一个角的余弦:这个角的一边X这个角的余弦=另一边的
一半,此三角形为等腰三角形(一边为腰,另一边为底)。
如图:回…人与OV为等腰三角形(BC为底)
两直角边的乘积
直角三角形斜高的求法。斜高=
斜边
cV32
12.等边二角形面积的求法。S边长为a的等边三角形=
⑶.共(有一个角相等)角三角形:面积的比等于等角两边乘积的比(鸟头定理)。
两个三角形中有一个角相等或互补,这两个三角形叫做共角三角形.共角三角形的面积比等于对应
角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比.
如图在△/1BC中,分别是上的点如图⑴(或。在区4的延长线上,E在AC上),
14.三大蝴蝶:
⑴一线两等边。
旋转60°形成的全等三角形!!!.,.△CGF也是等边三角形。
还有:AB/7CEDE〃AC等结论成立!
ZAKB=60°CK平分NBKDZBKC=60°=ZDKCK、F、C、G四点共圆。
⑵一个三角形两等边。
条件:以^ABC的两边AB、AC为边向外作
等边三角形ADB和等边三角形ACE
贝府AADC^AABE(SAS),CD=BE
ZDGB=60°ZDGE=120°又分别作高AM、AN,
则AM=AN(面积相等,底等,则高等),,AG是NDGE的平分线!
ZDGA=ZEGA=60°
F
⑶一个三角形两个正方形。
条件:四边形GBAF和正方形ACDE
结论:FC=BEFC±BEAH是NFHE的
角平分线(NFHA=NEHA=45。)
A、F、B、F四点共圆。
15.平行四边形的面积关系。平行四边形的对角顶点到过对称中心的任意一条直线(一
般找平行于两轴的直线)的距离相等。
①S'AED=3S平行四边形.CD
②平行四边形的对角顶点到过对称中心的任意一条直线(一般找平行于两轴的直线)
的距离相等。
16.平行四边形对角线平方的和等于四边平方的和:AC2+BD2=AB2+BC2+CD2+DA2
17.矩形一边上任意一等到对角线距离的和=与去
对角线
18.矩形内任意一点到对角顶点距离的平方和相等。
如图:矩形ABCD内任意一点P,则有:
PA1+PC2=PB2+PD2
19.矩形精典对折图。
如图:矩形ABCD沿对角线,BD对折,C点到了
E点,则一对全等(小直角三角形)一对相似,两
个等腰。例AE:BD=3:5则JAB:BC=4:8=1:2
这是因为相似比为3:5,所以EF:FB=3:5,
因此ED=4(勾股)而AD=DF+FA=5+3=8!!
20.正方形垂等图。垂直o相等横平竖直;改斜归正的辅助线方法。
21.正方形三兄弟成面积图=中正方形之面积。
三个正方形,如图摆放:AN正好过E点。
技巧:AC〃EC〃FN(此题题眼)
△AGN的面积=4AGE的面积+4EGN的面积
条件:三个正方形,AN恰好过E点
△AGE的面积=AECG的面积结论:三角形AGN的面积=正方形
△EGN的面积=4EGF的面积,结论成立!
22.两正方形垂直相等图。
如图,ABCD、CGFE是正方形:
①ADCG^CBCE;②BE_LDG。
③BE=GD④A、B、M、D四点共圆(双歪八)
NADB=NAMB=NAMD=45°△ADKs/\AMD(斜射影)AD2=AK»AM
@^DM2=ME»MA贝!]:BD=BGz^BDG为等腰三角形。(NGDC=NDAM=NDBM=NMBG)
此时:MA=MB
④若MA=ME,也能推出③中的结论。
23,正方形内含半角(其中产生的两个双八字相似和
等腰直角三角形)一一邻边相等的圆内接四边形
内含半角图。
条件:正方形ABCD中,ZEBF=45°
结论:①EF=AE+FC
②4DEF的周长=正方形周长的一半。
(3)ZDCA=ZEBF=45°,B、C、F、H
四点共圆(双八字)!!ZBHF=90°
/.ABHF为等腰直角三角形!!!
④同上:ZDAC=ZEBF=45°B、K、E、A四点共圆(双八字),
ZBKE=90°△BKE为等腰直角三角形!
24.正方形内含半角模型的推广及等腰直角三角形内含半角图。
①正方形内含45°模型推广到圆内接四边形(对角互补的四边形),有一组邻边相
等,且相等的邻边的夹角内含半角。F
条件:四边形ABCD中,BA=BC
NABC+ND=90。ZEBF=-ZABC
2
结论:EF=AE+CF(其余根据已推导)
A°
②等腰直角三角形内含45°
条件:等腰直角三角形ABC,ZFBE=45°
EF2=AF2+CE-
B。
③其他特殊的等腰三角形“顶角”内含半角图。(根据上述模型类比解决:用三角比找
到相关边的关系)。
25.正方形互补型(互补型):去________-5
r1
①对称中心有直角:OE=OFJX,/
②直角顶点在对角线上:PB=PQ[\,
DF
(图①图②两种情况都成立)
③小结
26.正方形123成135度。
点E是正方形ABCD内的一点,
连接AE,BE,CE,将4ABE
绕点B顺时针旋转90°至QCBE,的位置.
若AE=1,BE=2,CE=3,则/BEfC=135度.
27.相似模型:
⑴.正A、歪A;正八、歪八;正射影、歪射影;正K、歪K(一线三等角)。
射影图中:两直角边平方的比等于其在斜边上的射影的比!(细讲:自画图)
⑵.双八字(共圆图之一)。
条件:NBAC=NBDC(同弦对等角)
结论:B、C、D、A四点共圆
三角形①s三角形②
三角形③S三角形④
其中AB、BC、CD、DA四条弦所对的四对圆周角相等。
⑶.线束定理:两平行线被过一点的。
三线所截得的四条“横线”/卜
对应成比例一一/\
n
条件:直线m〃n~4-
结论:空=处等比例/\\
DEEF'
(4).平行于一边的线段截得的图形(三角形、四边形)面积之间的关系。
条件:DE/7BCA
结论:图形中“对应”线段的比,相关面积/\
的比,知一求它!烂熟于心!
⑸.三角形内叉叉型:知两比求其它比。
BE:EC>CD:DA、AF:FE、BF:
知二求二(过已知比的节点做平行线)
(6).四线六点型:过其中的三条线组成的被标记的一个三角形的一个顶点,做不过这个
顶点的直线的平行线(有两条),问题迎刃而解。
技巧:过A、B、C中一点,做不过这点的直线
的平行线,问题就能得到解决!如过C点可做
AB或者DE的平行线!善于初纷繁复杂的图形
C
中找到这样的“模型”是关键。
⑺.歪A:下面的四边形为圆内接四边形(歪八):歪A生歪八,歪八补型得歪A。
条件:/①二/②
结论:下面的四边形为圆内接四边形(歪八):
歪A生歪八,歪八补型得歪A(对角互补的四边形
补型K延长BD、CE相交于点A』可得歪A)。
28.解直角三角形;解斜三角形(双勾股)。
⑴.直角三角形:内高型;外高型;双高型(梯形);单高型(直角梯形)。
口诀:角优先、多求边;造模型;设表列。
⑵.任意三角形:知三求三(三边;两角一边;两边及夹角)一一尽量不破坏已知的边
和角(内高;外高)。
29.解三角形之:角优先,套模型:内高型;外高型;双高型;单高型(直角梯形)
单高双高
(附加模型:坡度;坡角;斜率;仰角;府角;方向角一一图略)
30.手拉手模型:
A模型一:手拉手模型-旋转型全等
(1)等边三角最
a条件:A6M8.A"。均为等边三用形
a结论:①AO/C■&OBD,②乙AEB・60",③OE平分LAED,
<2)等腰/"A
aAOmAOC/)均为等腰直角三角形
a结论:①A"/C・ACBD।②LAEB-90°,
a③QE平分乙4即。
<3)任意等腰三角形
a新:A6M8.A"。均为等腰三角形
a给论:①A。/。"&OBD.②LAEB-LAOBf
a③。£平分乙4E/)。
A模型二:手拉手模型-旋转型相似
CD
条件:CDHAB,将AOCC族转至右图位贸
结论:
右图中①AOCX&OAB=\OAC&OBD;
②延长4c交BD于悬E.必有LBEC-LBOA
(2)触叙
A条件:CC〃/f8,%08・90°,将AOCZ)旋转至右图(/'/)
位贾/\
a结论:右图中①AOO?sACU8=AO/CSOBD;®(g
延长/C交BD于点E,必有乙BEC~LBOA;
⑤ii接皿BC,必有40♦BC--AB+CD,⑥2《对角名短相垂直的四边形)
31.三平三交造平四(两对对角顶点横、纵坐标的和分别相等)。万能公式
条件:平行四边形ABCDA(XA,yA)
D(XD,丫口)
xA+xc=xB+xD
公式:
yA+%=%+%
用中点或平移动两种思路都可推理一
共圆图:
⑴.共边两等角(直角)一一见27②“双八字”。
⑵.对角互补(对角有两直角);外角等于内对角。图略。
33.垂径图;弦切图;双切图;切割图;双割图;相交弦定理(对顶三角形相似);平
行弦;圆内共点等弦所成角被过这点的直径(半径)平分。
垂径图
双切图平行弦图
相交弦+对顶三角形相似
34.等腰直角三角形斜边上的中点为顶点的直角构造全等。
如上图所示----
条件:AB=ACZBAC=90°,D为BC之中点,ZEDF=90°
结论:AADF^ABDEs四边形近》尸=35丫扉0Z\EDF为等腰直角三角形
E、D、F、A四点共圆DE2=DF~=DG»DAAE+AF=AB=AC
AD+AE+AF=LvABCS勺周长
2
35.相似+公共边比例中项(平方:共边相似+勾股定理)。
37.方程思想设表列;几何勿忘角优先;以角定边找关系;比例已知用负元。
38.两边分别平行或相等的两个角相等或互补。
39.中点四边形口诀:对垂为矩;对等为菱。菱矩互变;任四为平。平正自变。
40.正A面积大比法(知一比求全比)——见27之④
42.三角形内十字叉:知二比求全比(六个比知二求四)见27之⑤
43.捆绑旋转大法;矩形大法(横平竖直大法);改斜归正法(过直角三角形的各顶点)。
44.平行四边形之三定一动破解大法(对角顶点横、纵坐标之和不变)。
45.平行四边形之两定两动破解决大法(利用各种全等)
注意:44、45已经合并为一种方法(方程法)
46.角分线、等腰、平行知二推一。
47.用数轴法确定多动点的临界点。找拐点一定对应参数值一分段一确定分类范围。
48.等腰直角三角形的面积=工斜边2直角边2
42
49.动点问题的解题套路:
⑴.相似三角形的存在性:调包计。
⑵.等腰三角形的存在性(两点间距离公式;余弦大法;几何法)
⑶.直角三角形存在性:射逆;勾逆;斜中逆;一线三直角之逆;直线垂直交轨大法。
(4).面积的函数关系及最值:正弦大法;铅垂线法;拆放法;相似比转化法。
⑸.将军饮马问题:线段和最小、差最大;动点变定线段怎么办。
(6).平行四边形的存在性:三定一动(相对顶点横、纵坐标和相等);两动两定(按照
定点之间线段分别做对角线及边分类:平行四边形相关的全等性质求坐标)。
最终用一个公式全部搞定。
⑺.其它问题:化归大法。
⑻.几何法(思路难,计算简);代数法(思路简,计算难);代几混合法(取长补段更
优越)
50.圆内接四边形(对角互补)的补形大法:补形构造大A型(歪A)全等三角形。
(特别注意:双勾股的用法)。
51.被“误解”和“冤枉”的SSA:两边和一边的对角相等,且第三边所对的角不互补,
则这两个三角形全等。
C.函数篇
51.平面内两点间的距离:
⑴横平(平行于x轴的直线上两点间的距离)=|横坐标之差|=右-左
⑵竖直(平行于y轴的直线上两点间的距离)=|纵坐标之差|=上-下
⑶平面内任意两点间的距离:开方式(求距离);平方式(列方程)。
⑷横纵坐标的绝对值:点到两轴的距离。
52.中点坐标公式:横和取半;纵和取半。
53.函数图象平移规律:上加下减;左加有减。
54.交轨大法:交点坐标o方程组的解(代数法出发点)。
__小好/_r*、设横表纵,坐距互变、门I/同皿、
55.代数(函数)--------------->几何(图形)
56.函数与图象的对应关系:两数对一点;一点对两距。一式对一线,一线对一式。
57.已知一点和一条直线,求这点关于这条直线的对称点的坐标(垂直定K,点K
定关系式,交轨大法求垂足,中点坐标公式得结论。
58.求点到直线的距离:垂直定K,点K定关系式,交轨大法求垂足,两点间距离
公式得结论。
59.一次函数丫=1«+6(kwO):
⑴.三点:与两轴的两个交点;图象上的动点(m,km+b)
(2).一K三比一角:|k|=坡度=坡角的正切(以k定比、定角;以比、以角定k);
k的特殊求法:竖:横;三二五;横竖大法秒杀关系式;根据一次函数的关系式
x2一再
确定一个三边的比确定的基本三角形。
左=±1;±6±十时产生的特殊角.(45—135;60—120;30—150)□
⑶.两直线平行ok相等;两直线垂直ok的积为,。
(4).两条直线(一次颔首)关于x轴(含平行于x轴的直线对称)或y轴((含平行
于y轴的直线对称),贝!J:其斜率的和为零(互为相反数)。
⑷最值的确定:关系式+图象+自变量取值范围。
60.二次函数:y=以2+服+,3,0)解题模型及套路
⑴.二次函数的信息题的破解套路:系数的意义+不等式+等式+判别式+根与系数的
关系+最值的意义+123特殊值+三特值定关系式法。
⑵.二次函数比大小:远近法(对称轴大法)。
⑶.一式三型;一轴三法;五定一动:五个死点、一个活点。
(4).针对活点:设横表纵,一线冲天,横平竖直,坐距互变一一改斜归正也。
⑸.解题套路(四列):
列点一一求定点,设动点,找关系。
列线一一改斜归正,以点定线定式。
列角一一以式(直线:一次函数的关系式中的K确定对应的角及其基本三角形
中三边的比和三角比)。
列式一一方程(交轨大法)求解;函数关系式(对应的性质)求解。
⑺.三大函数最值的求法。其中二次函数分三种情况。
61.轨迹的思想:确定动点运动轨迹的形状:设动点的坐标一一找二者之间的关系
列出二元一次方程一一化为函数式定型。
62.解提策略篇:确定的,一定是可解的!抓住不变量和特殊点(特殊性+特事特办)!
找到破题点(题眼)!化归法;交轨大法;矩形大法;横平竖直;改斜归正!做
数学题就蛇玩条件的:把题中的每个条件充分利用一遍基本就有思路了!
63.三交法确定函数关系式。若函数图象与两轴有三个交点,且交点坐标已知,则
用韦达定理列方程求a、b、c较容易。
AB〃x轴;DC〃y轴;G为EF的中点
两点间距离公式?中点坐标公式??
附:
中学数学中的数学思想考点
考点一分类讨论思想
分类讨论思想常见的几种类型
1.方程:若含有字母系数的方程有实数根时,要考虑二次项系数是否等于。,进行分类
讨论.
2.等腰三角形:如果等腰三角形给出两条边求第三条边或给出一角求另外两角时,要
考虑所给的边是腰还是底边,所给出的角是顶角还是底角分类解决.
3.直角三角形:在直角三角形中给出两边的长度,确定第三边时,若没有指明直角边和
斜边,要注意分情况进行讨论(分类讨论),然后利用勾股定理即可求解.
4.相似三角形:如果题目中出现两个三角形相似,需要讨论各边的对应关系;若出现位
似,则考虑两个图形在位似中心的同旁或两旁两种情况讨论5一次函数:已知一次
函数与坐标轴围成的三角形的面积,求k的值,常分直线交于坐标轴正半轴和负半
轴讨论;确定反比例函数与一次函数交点个数,常分一、三象限或二、四象限两种情
况讨论.
6.圆:圆的一条弦(直径除外)对两条弧,常分优弧和劣弧两种情况讨论;求圆中两条平
行弦的距离,常分两弦在圆心的同旁和两旁两种情况讨论;圆与圆的相切,此时要考
虑分外切和内切两种情况讨论.
7、当自己作图的时候,综合题中间存在不存在平行四边形啊?等腰三角形啊?等图
形其他图形啊?
8、动点问题大都分类。
★【特别提醒】
(1)分类时每一部分互相独立.
(2)一次分类必须是同一个标准.
(3)分类讨论应该逐级进行,不能越级讨论.
(4)分类必须周全,要做到不重不漏.
考点二数形结合思想
数形结合思想常见的四种类型
1.实数与数轴:实数与数轴上的点具有一一对应关系,因此借助数轴观察数的特点,直
观明了.
2.在解方程(组)或不等式(组)中的应用:利用函数图象解决方程问题时,常把方程根的
问题看作两个函数图象的交点问题来解决;利用数轴或函数图象解有关不等式(组)
的问题直观,形象,易于找出不等式(组)解的公共部分或判断不等式组有无公共解.
3.在函数中的应用:借助于图象研究函数的性质是一种常用的方法,函数图象的几何
特征与数量特征紧密结合,体现了数形结合的特征与方法.
4.在几何中的应用:对于几何问题,我们常通过图形,找出边、角的数量关系,通过边、
角的数量关系,得出图形的性质等.
考点三化归转化思想
化归思想常见的六种类型
1.在解方程和方程组中的应用:通过消元将二元一次方程组转化为一元一次方程;通
过降次把一元二次方程转化为一元一次方程;通过去分母把分式方程转化为整式
方程.
2.多边形化为三角形:解决平行四边形、正多边形的问题通过添加辅助线转化为全等
三角形、等腰三角形、直角三角形去解决.
3.立体图形转化为平面图形:立体图形的展开与折叠、立体图形的三视图体现了立体
图形与平面图形之间的相互转化.
4.一般三角形转化为直角三角形:通过作已知三角形的高,将问题转化为解直
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