中考数学常见解题模型及思路

初中数学常见解题模型及思路(自有定理)

A.代数篇：

1.循环小数化分数:设元一扩大一一相减(无限变有限)相消法。

例.把0.108108108•••化为分数。

设S=0.108108108…(1)两边同乘1000得：1000S=108.108108---(2)

(2)-(1)得：999S=108从而：S=—余例仿此——

999

2.对称式计算技巧：“平方差公式一完全平方公式”一整体思想之结合：x+y；x-y；xy

x2+y2中，知二求二。

(x+y)2=x2+y2+2xy=>x2+y2=(x+y)~-2xy

(x-»-x2+y2-2xy=(x+y)2-4xy

加减配合，灵活变型。

3.特殊公式(％±工)2=尤2+±±2的变型几应用。

XX

4.立方差公式：a3+b3-Qa+b)(«2mab+b2^)

5.等差数列求和的三种方法：首尾相加法；梯形大法；倒序相加法。

例.求：1+2+3+••・+2017的和。三种方法举例：略

6.等比数列求和法：方法+公式：设元一乘等比一相减一求解。

例.求1+2+4+8+16+32+•••T令8=1+2+4+8+16+32+•・・+2”(1)

两边同乘2得：2s=2+4+8+32+64+…+2"+2向(2)

(2)-(1)得：2S-S=2n+1-1从而求得S。

7.工―工="的灵活应用：如：==」等。

mnmn62x323

8.用二次函数的待定系数法求数列(图列)的通项公式f(n)。

9.韦达定理求关于两根的代数式值的套路:

（1）.对称式：变和积。/+丁2」+乙与+与；xy2+x2y等（x、y为一元二次方程方程的两

xyxy

根）

⑵.非对称式：根的定义一降次一变和积（一代二韦）。

10.三大非负数：三大永正数；

11.常用最值式：（x土丁丫土正数等（非负数+正数）。

12.换元大法。

13.自圆其说加减法与两肋插刀法。代数式或函数变型（如配方）只能加一个数，同时

减去同一个数；如果是方程则只需要两边同时加上或者减去同一个数即可。

14.拆项法；配方法。原理同上。

15.十字相乘法。

16.统计概率：两查（抽样；普查）；三事（必然；不可能；随机）；四图（折线；

条形；扇形；直方）；三数；三差；两频（频数、频率）一率（概率）等。

17.一元二次方程应用题：每每问题套路；利率问题套路；握手、送花问题套路。

18.|a|=|b|,则a=±b在动点问题中的巧妙应用（避免烦琐的因为点的相对位置变化

起的符号变化问题（平面直角坐标系中动态问题之“坐距互变”时巧施绝对值

的代数解法）。

19.四个角的正切值：22.5度的正切值为：根号2-167.5度的正切值为根号2+1

75度的正切值为2+根号315度的正切值为2-根号3

①等角套（如图所示）：条件：ZAOB=ZCOD结论：ZAOC=ZBOD说明:

②可以视做由旋转产生的“共点等角”

等线套（如图所示）：条件：AB=CD结论：AC=BD说明：可以看做由平移产生。

ACBDABCD

O-------O---O-------o----o---------o----o---------o-

2.两条平行线夹一角。一角=两旁角的和。

条件：AB/7CD结论：ZP=ZAEP+ZPFC

3.平行线夹等（同）底三角形：面积相等。同底三角形面积相等，则过顶点的直线与

底所在直线平行。

若：m〃n则&ABC=SVABD反之：若SVABC=SVABD贝!I：m〃n（反比例模型中的

，，垂平”模型的证明用之）

4.已知三角形两边定一边的范围。“大于两边的差，小于两边的和

5.三角形的角分线角：

/A

⑴两内角平分线交角：ZI=9O+—

2

⑵一内一外角分线交角：Z1=—

2

/x

⑶两外平分线交角：ZI=9O-—

2

5.三角形的角平分线：

BC

两边的比=分线段（第三边）的对应比。D

条件：AD为角平分线结论：空=殷

ACDC

6.三角形中线性质定理；三中线交点分中线为3和1两部分。

条件：AD、BE、CF为中线

22

结论：AK=2KD=-ADBK=2KE=—BE。

33

2

CK=2KF=-CF

3

7.大名鼎鼎的等面积法：底与高的积相等。三高造相似。三高造辅助圆。

条件：AD、BE、CF为三角形的高一

结论：AD•BC=BE•AC=CF•AB

△ADBs/iCFB等。

B、C、E、F、四点共圆等。

8.高与角分线的夹角等于另外两角差的一半。（两中线垂直的三角形叫做：中垂三角形

/+〃=5°2其中a、b为中线所在的边）

D

BC

9.三角形一分为二面积的比及其推广到蝴蝶面积。

①在三角形ABC中，AD,BE,CF相交于同一点O,

那么

S^0-.SMC0=BD-.DC.

②任意四边形中的比例关系（“蝶形定理”）：

S]:S2=：S3或者S]xS3=S2xS4

AO:OC=（51+82）:（84+83）

10.等腰三角形三线合一的逆定理：两线合一亦等腰;；一垂两等变等腰；一垂三等变

等直。

重要推论：已知三角形中一个角的余弦：这个角的一边X这个角的余弦=另一边的

一半，此三角形为等腰三角形（一边为腰，另一边为底）。

如图：回…人与OV为等腰三角形（BC为底）

两直角边的乘积

直角三角形斜高的求法。斜高=

斜边

cV32

12.等边二角形面积的求法。S边长为a的等边三角形=

⑶.共（有一个角相等）角三角形：面积的比等于等角两边乘积的比（鸟头定理）。

两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形.共角三角形的面积比等于对应

角（相等角或互补角）两夹边的乘积之比.

如图在△/1BC中，分别是上的点如图⑴（或。在区4的延长线上，E在AC上），

14.三大蝴蝶:

⑴一线两等边。

旋转60°形成的全等三角形！！！.,.△CGF也是等边三角形。

还有：AB/7CEDE〃AC等结论成立!

ZAKB=60°CK平分NBKDZBKC=60°=ZDKCK、F、C、G四点共圆。

⑵一个三角形两等边。

条件：以^ABC的两边AB、AC为边向外作

等边三角形ADB和等边三角形ACE

贝府AADC^AABE（SAS），CD=BE

ZDGB=60°ZDGE=120°又分别作高AM、AN,

则AM=AN（面积相等，底等，则高等），，AG是NDGE的平分线!

ZDGA=ZEGA=60°

F

⑶一个三角形两个正方形。

条件：四边形GBAF和正方形ACDE

结论：FC=BEFC±BEAH是NFHE的

角平分线（NFHA=NEHA=45。）

A、F、B、F四点共圆。

15.平行四边形的面积关系。平行四边形的对角顶点到过对称中心的任意一条直线（一

般找平行于两轴的直线）的距离相等。

①S'AED=3S平行四边形.CD

②平行四边形的对角顶点到过对称中心的任意一条直线（一般找平行于两轴的直线）

的距离相等。

16.平行四边形对角线平方的和等于四边平方的和：AC2+BD2=AB2+BC2+CD2+DA2

17.矩形一边上任意一等到对角线距离的和=与去

对角线

18.矩形内任意一点到对角顶点距离的平方和相等。

如图：矩形ABCD内任意一点P,则有:

PA1+PC2=PB2+PD2

19.矩形精典对折图。

如图：矩形ABCD沿对角线，BD对折，C点到了

E点，则一对全等（小直角三角形）一对相似，两

个等腰。例AE：BD=3：5则JAB：BC=4：8=1：2

这是因为相似比为3：5,所以EF：FB=3：5,

因此ED=4（勾股）而AD=DF+FA=5+3=8!!

20.正方形垂等图。垂直o相等横平竖直；改斜归正的辅助线方法。

21.正方形三兄弟成面积图=中正方形之面积。

三个正方形，如图摆放：AN正好过E点。

技巧：AC〃EC〃FN（此题题眼）

△AGN的面积=4AGE的面积+4EGN的面积

条件：三个正方形，AN恰好过E点

△AGE的面积=AECG的面积结论：三角形AGN的面积=正方形

△EGN的面积=4EGF的面积，结论成立！

22.两正方形垂直相等图。

如图，ABCD、CGFE是正方形：

①ADCG^CBCE；②BE_LDG。

③BE=GD④A、B、M、D四点共圆（双歪八）

NADB=NAMB=NAMD=45°△ADKs/\AMD(斜射影)AD2=AK»AM

@^DM2=ME»MA贝！］：BD=BGz^BDG为等腰三角形。(NGDC=NDAM=NDBM=NMBG)

此时：MA=MB

④若MA=ME,也能推出③中的结论。

23,正方形内含半角（其中产生的两个双八字相似和

等腰直角三角形）一一邻边相等的圆内接四边形

内含半角图。

条件：正方形ABCD中，ZEBF=45°

结论：①EF=AE+FC

②4DEF的周长=正方形周长的一半。

（3）ZDCA=ZEBF=45°，B、C、F、H

四点共圆（双八字）！！ZBHF=90°

/.ABHF为等腰直角三角形!!!

④同上：ZDAC=ZEBF=45°B、K、E、A四点共圆（双八字），

ZBKE=90°△BKE为等腰直角三角形！

24.正方形内含半角模型的推广及等腰直角三角形内含半角图。

①正方形内含45°模型推广到圆内接四边形（对角互补的四边形），有一组邻边相

等，且相等的邻边的夹角内含半角。F

条件：四边形ABCD中，BA=BC

NABC+ND=90。ZEBF=-ZABC

2

结论：EF=AE+CF（其余根据已推导）

A°

②等腰直角三角形内含45°

条件：等腰直角三角形ABC,ZFBE=45°

EF2=AF2+CE-

B。

③其他特殊的等腰三角形“顶角”内含半角图。（根据上述模型类比解决：用三角比找

到相关边的关系）。

25.正方形互补型（互补型）：去________-5

r1

①对称中心有直角：OE=OFJX,/

②直角顶点在对角线上：PB=PQ[\,

DF

（图①图②两种情况都成立）

③小结

26.正方形123成135度。

点E是正方形ABCD内的一点，

连接AE，BE，CE，将4ABE

绕点B顺时针旋转90°至QCBE，的位置.

若AE=1，BE=2，CE=3，则/BEfC=135度.

27.相似模型:

⑴.正A、歪A；正八、歪八；正射影、歪射影；正K、歪K（一线三等角）。

射影图中：两直角边平方的比等于其在斜边上的射影的比！（细讲：自画图）

⑵.双八字（共圆图之一）。

条件：NBAC=NBDC（同弦对等角）

结论：B、C、D、A四点共圆

三角形①s三角形②

三角形③S三角形④

其中AB、BC、CD、DA四条弦所对的四对圆周角相等。

⑶.线束定理：两平行线被过一点的。

三线所截得的四条“横线”/卜

对应成比例一一/\

n

条件：直线m〃n~4-

结论：空=处等比例/\\

DEEF'

（4）.平行于一边的线段截得的图形（三角形、四边形）面积之间的关系。

条件：DE/7BCA

结论：图形中“对应”线段的比，相关面积/\

的比，知一求它！烂熟于心!

⑸.三角形内叉叉型：知两比求其它比。

BE：EC>CD：DA、AF：FE、BF：

知二求二（过已知比的节点做平行线）

（6）.四线六点型：过其中的三条线组成的被标记的一个三角形的一个顶点，做不过这个

顶点的直线的平行线（有两条），问题迎刃而解。

技巧：过A、B、C中一点，做不过这点的直线

的平行线，问题就能得到解决！如过C点可做

AB或者DE的平行线！善于初纷繁复杂的图形

C

中找到这样的“模型”是关键。

⑺.歪A：下面的四边形为圆内接四边形（歪八）：歪A生歪八，歪八补型得歪A。

条件：/①二/②

结论：下面的四边形为圆内接四边形（歪八）：

歪A生歪八，歪八补型得歪A（对角互补的四边形

补型K延长BD、CE相交于点A』可得歪A）。

28.解直角三角形；解斜三角形（双勾股）。

⑴.直角三角形：内高型；外高型；双高型（梯形）；单高型（直角梯形）。

口诀：角优先、多求边；造模型；设表列。

⑵.任意三角形：知三求三（三边；两角一边；两边及夹角）一一尽量不破坏已知的边

和角（内高；外高）。

29.解三角形之：角优先，套模型：内高型；外高型；双高型；单高型（直角梯形）

单高双高

（附加模型：坡度；坡角；斜率；仰角；府角；方向角一一图略）

30.手拉手模型:

A模型一：手拉手模型-旋转型全等

（1）等边三角最

a条件：A6M8.A"。均为等边三用形

a结论：①AO/C■&OBD,②乙AEB・60",③OE平分LAED,

<2）等腰/"A

aAOmAOC/）均为等腰直角三角形

a结论：①A"/C・ACBD।②LAEB-90°,

a③QE平分乙4即。

<3）任意等腰三角形

a新：A6M8.A"。均为等腰三角形

a给论：①A。/。"&OBD.②LAEB-LAOBf

a③。£平分乙4E/）。

A模型二：手拉手模型-旋转型相似

CD

条件：CDHAB,将AOCC族转至右图位贸

结论：

右图中①AOCX&OAB=\OAC&OBD；

②延长4c交BD于悬E.必有LBEC-LBOA

（2）触叙

A条件：CC〃/f8,%08・90°,将AOCZ）旋转至右图（/'/）

位贾/\

a结论：右图中①AOO?sACU8=AO/CSOBD；®（g

延长/C交BD于点E,必有乙BEC~LBOA；

⑤ii接皿BC,必有40♦BC--AB+CD,⑥2《对角名短相垂直的四边形）

31.三平三交造平四（两对对角顶点横、纵坐标的和分别相等）。万能公式

条件：平行四边形ABCDA（XA,yA）

D（XD，丫口）

xA+xc=xB+xD

公式：

yA+%=%+%

用中点或平移动两种思路都可推理一

共圆图:

⑴.共边两等角（直角）一一见27②“双八字”。

⑵.对角互补（对角有两直角）；外角等于内对角。图略。

33.垂径图；弦切图；双切图；切割图；双割图；相交弦定理（对顶三角形相似）；平

行弦；圆内共点等弦所成角被过这点的直径（半径）平分。

垂径图

双切图平行弦图

相交弦+对顶三角形相似

34.等腰直角三角形斜边上的中点为顶点的直角构造全等。

如上图所示----

条件：AB=ACZBAC=90°,D为BC之中点，ZEDF=90°

结论：AADF^ABDEs四边形近》尸=35丫扉0Z\EDF为等腰直角三角形

E、D、F、A四点共圆DE2=DF~=DG»DAAE+AF=AB=AC

AD+AE+AF=LvABCS勺周长

2

35.相似+公共边比例中项（平方：共边相似+勾股定理）。

37.方程思想设表列；几何勿忘角优先；以角定边找关系；比例已知用负元。

38.两边分别平行或相等的两个角相等或互补。

39.中点四边形口诀：对垂为矩；对等为菱。菱矩互变；任四为平。平正自变。

40.正A面积大比法（知一比求全比）——见27之④

42.三角形内十字叉：知二比求全比（六个比知二求四）见27之⑤

43.捆绑旋转大法；矩形大法（横平竖直大法）；改斜归正法（过直角三角形的各顶点）。

44.平行四边形之三定一动破解大法（对角顶点横、纵坐标之和不变）。

45.平行四边形之两定两动破解决大法（利用各种全等）

注意：44、45已经合并为一种方法（方程法）

46.角分线、等腰、平行知二推一。

47.用数轴法确定多动点的临界点。找拐点一定对应参数值一分段一确定分类范围。

48.等腰直角三角形的面积=工斜边2直角边2

42

49.动点问题的解题套路：

⑴.相似三角形的存在性：调包计。

⑵.等腰三角形的存在性（两点间距离公式；余弦大法；几何法）

⑶.直角三角形存在性：射逆；勾逆；斜中逆；一线三直角之逆；直线垂直交轨大法。

（4）.面积的函数关系及最值：正弦大法；铅垂线法；拆放法；相似比转化法。

⑸.将军饮马问题：线段和最小、差最大；动点变定线段怎么办。

（6）.平行四边形的存在性：三定一动（相对顶点横、纵坐标和相等）；两动两定（按照

定点之间线段分别做对角线及边分类：平行四边形相关的全等性质求坐标）。

最终用一个公式全部搞定。

⑺.其它问题：化归大法。

⑻.几何法（思路难，计算简）；代数法（思路简，计算难）；代几混合法（取长补段更

优越）

50.圆内接四边形（对角互补）的补形大法：补形构造大A型（歪A）全等三角形。

（特别注意：双勾股的用法）。

51.被“误解”和“冤枉”的SSA：两边和一边的对角相等，且第三边所对的角不互补，

则这两个三角形全等。

C.函数篇

51.平面内两点间的距离：

⑴横平（平行于x轴的直线上两点间的距离）=|横坐标之差|=右-左

⑵竖直（平行于y轴的直线上两点间的距离）=|纵坐标之差|=上-下

⑶平面内任意两点间的距离：开方式（求距离）；平方式（列方程）。

⑷横纵坐标的绝对值：点到两轴的距离。

52.中点坐标公式：横和取半；纵和取半。

53.函数图象平移规律：上加下减；左加有减。

54.交轨大法：交点坐标o方程组的解（代数法出发点）。

__小好/_r*、设横表纵,坐距互变、门I/同皿、

55.代数（函数）--------------->几何（图形）

56.函数与图象的对应关系：两数对一点；一点对两距。一式对一线，一线对一式。

57.已知一点和一条直线，求这点关于这条直线的对称点的坐标（垂直定K,点K

定关系式，交轨大法求垂足，中点坐标公式得结论。

58.求点到直线的距离：垂直定K,点K定关系式，交轨大法求垂足，两点间距离

公式得结论。

59.一次函数丫=1«+6（kwO）：

⑴.三点：与两轴的两个交点；图象上的动点（m,km+b）

（2）.一K三比一角：|k|=坡度=坡角的正切（以k定比、定角；以比、以角定k）；

k的特殊求法：竖：横；三二五;横竖大法秒杀关系式；根据一次函数的关系式

x2一再

确定一个三边的比确定的基本三角形。

左=±1;±6±十时产生的特殊角.（45—135；60—120；30—150）□

⑶.两直线平行ok相等；两直线垂直ok的积为，。

（4）.两条直线（一次颔首）关于x轴（含平行于x轴的直线对称）或y轴（（含平行

于y轴的直线对称），贝！J：其斜率的和为零（互为相反数）。

⑷最值的确定：关系式+图象+自变量取值范围。

60.二次函数：y=以2+服+,3,0）解题模型及套路

⑴.二次函数的信息题的破解套路：系数的意义+不等式+等式+判别式+根与系数的

关系+最值的意义+123特殊值+三特值定关系式法。

⑵.二次函数比大小：远近法（对称轴大法）。

⑶.一式三型；一轴三法；五定一动：五个死点、一个活点。

（4）.针对活点：设横表纵，一线冲天，横平竖直，坐距互变一一改斜归正也。

⑸.解题套路（四列）：

列点一一求定点，设动点，找关系。

列线一一改斜归正，以点定线定式。

列角一一以式（直线：一次函数的关系式中的K确定对应的角及其基本三角形

中三边的比和三角比）。

列式一一方程（交轨大法）求解；函数关系式（对应的性质）求解。

⑺.三大函数最值的求法。其中二次函数分三种情况。

61.轨迹的思想：确定动点运动轨迹的形状：设动点的坐标一一找二者之间的关系

列出二元一次方程一一化为函数式定型。

62.解提策略篇：确定的，一定是可解的！抓住不变量和特殊点（特殊性+特事特办）!

找到破题点（题眼）！化归法；交轨大法；矩形大法；横平竖直；改斜归正！做

数学题就蛇玩条件的：把题中的每个条件充分利用一遍基本就有思路了！

63.三交法确定函数关系式。若函数图象与两轴有三个交点，且交点坐标已知，则

用韦达定理列方程求a、b、c较容易。

AB〃x轴；DC〃y轴；G为EF的中点

两点间距离公式？中点坐标公式？？

附：

中学数学中的数学思想考点

考点一分类讨论思想

分类讨论思想常见的几种类型

1.方程:若含有字母系数的方程有实数根时，要考虑二次项系数是否等于。，进行分类

讨论.

2.等腰三角形:如果等腰三角形给出两条边求第三条边或给出一角求另外两角时，要

考虑所给的边是腰还是底边，所给出的角是顶角还是底角分类解决.

3.直角三角形:在直角三角形中给出两边的长度，确定第三边时,若没有指明直角边和

斜边，要注意分情况进行讨论（分类讨论），然后利用勾股定理即可求解.

4.相似三角形:如果题目中出现两个三角形相似,需要讨论各边的对应关系;若出现位

似,则考虑两个图形在位似中心的同旁或两旁两种情况讨论5一次函数:已知一次

函数与坐标轴围成的三角形的面积，求k的值,常分直线交于坐标轴正半轴和负半

轴讨论;确定反比例函数与一次函数交点个数，常分一、三象限或二、四象限两种情

况讨论.

6.圆:圆的一条弦（直径除外）对两条弧，常分优弧和劣弧两种情况讨论;求圆中两条平

行弦的距离，常分两弦在圆心的同旁和两旁两种情况讨论;圆与圆的相切，此时要考

虑分外切和内切两种情况讨论.

7、当自己作图的时候，综合题中间存在不存在平行四边形啊？等腰三角形啊？等图

形其他图形啊？

8、动点问题大都分类。

★【特别提醒】

（1）分类时每一部分互相独立.

（2）一次分类必须是同一个标准.

（3）分类讨论应该逐级进行，不能越级讨论.

（4）分类必须周全，要做到不重不漏.

考点二数形结合思想

数形结合思想常见的四种类型

1.实数与数轴:实数与数轴上的点具有一一对应关系,因此借助数轴观察数的特点，直

观明了.

2.在解方程（组）或不等式（组）中的应用:利用函数图象解决方程问题时，常把方程根的

问题看作两个函数图象的交点问题来解决;利用数轴或函数图象解有关不等式（组）

的问题直观，形象，易于找出不等式（组）解的公共部分或判断不等式组有无公共解.

3.在函数中的应用:借助于图象研究函数的性质是一种常用的方法，函数图象的几何

特征与数量特征紧密结合，体现了数形结合的特征与方法.

4.在几何中的应用:对于几何问题，我们常通过图形，找出边、角的数量关系，通过边、

角的数量关系,得出图形的性质等.

考点三化归转化思想

化归思想常见的六种类型

1.在解方程和方程组中的应用:通过消元将二元一次方程组转化为一元一次方程;通

过降次把一元二次方程转化为一元一次方程;通过去分母把分式方程转化为整式

方程.

2.多边形化为三角形:解决平行四边形、正多边形的问题通过添加辅助线转化为全等

三角形、等腰三角形、直角三角形去解决.

3.立体图形转化为平面图形:立体图形的展开与折叠、立体图形的三视图体现了立体

图形与平面图形之间的相互转化.

4.一般三角形转化为直角三角形:通过作已知三角形的高，将问题转化为解直