求数列的通项公式（10题型分类）-2025年高考数学一轮复习（解析版）

专题29求数列的通项公式10题型分类

彩题如工总

题型10：前n项积型题型1：观察法

彩和泅宏库

1.数列的通项公式

如果数列｛斯｝的第n项斯与它的序号n之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这

个数列的通项公式.

2.数列的递推公式

如果一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用一个式子表示，那么这个式子叫做这个数列的递推

公式，知道了首项和递推公式，就能求出这个数列的每一项.

观察法

观察法即根据所给的一列数、式、图形等，通过观察分析数列各项的变化规律，求其通项.使用观察

法时要注意：①观察数列各项符号的变化，考虑通项公式中是否有(-1)"或者(-I)"一部分.②考虑各项的变

化规律与序号的关系.③应特别注意自然数列、正奇数列、正偶数列、自然数的平方｛r｝、｛2"｝与(-1)"有

关的数列、等差数列、等比数列以及由它们组成的数列.

题型1:观察法

1-L（2024.湖南长沙.二模）南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法•商功》中出现了如图所示的形状，后人

称为“三角垛”，“三角垛”的最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，……，则第十层有（）

个球.

A.12B.20C.55D.110

【答案】C

【分析】把每一层的球数看成数列的项，即可得一个数列，根据规律即可求解.

【详解】由题意知：

=1,

%=%+2=1+2,

%=%+3=1+2+3,

c1rl—+〃=1+2+3++,

以4o=1+2+3++10=55.

故选：C

1-2.（2024・辽宁・三模）线性分形又称为自相似分形，其图形的结构在几何变换下具有不变性，通过不断迭

代生成无限精细的结构.一个正六边形的线性分形图如下图所示，若图1中正六边形的边长为1,图“中正六

边形的个数记为耳，所有正六边形的周长之和、面积之和分别记为其中图〃中每个正六边形的边长

是图中每个正六边形边长的;，则下列说法正确的是（）

图1图2图3

100

A.2=294B.C

3~T

c.存在正数m,使得C"（机恒成立D.S„=^xfn

"2⑼

【答案】D

QQ

【分析】A选项，分析出｛%｝为公比为7的等比数列，求出&=73=343；B选项，从图中求出C3=£；C

选项，分析出｛G｝为等比数列，公比为:，求出通项公式，由数列的单调性分析出答案；D选项，分析出

图"中的小正六边形的个数，每个小正六边形的边长，从而求出面积.

【详解】A选项，图1中正六边形的个数为1,图2中正六边形的个数为7,

由题意得｛%｝为公比为7的等比数列，所以为=71,故%=73=343,A错误；

B选项，由题意知G=6,C2=—x6=14,G=(g)x6=,B错误;

c选项，｛G｝为等比数列，公比为：，首项为6,故c“=6x

77n—\

因为y1,所以C.=6x单调递增，不存在正数加，使得恒成立，C错误;

3

n-1

D选项，分析可得，图〃中的小正六边形的个数为4=7"T个，每个小正六边形的边长为I,故每个小

正六边形的面积为

则S-d厂_3A/3/7n-l

；，D正确.

29

故选：D

1-3.（2024高二上•山东聊城・期中）若数列｛q｝的前4项分别是g,111

一,一,,则该数列的一个通项公式为

345

M-1

A_(T)(―1)〃(一1)”（一1严

A.a-B-anC.D-a.

nn〃+1n〃+1

【答案】D

【分析】利用观察归纳法求出通项公式.

【详解】因为数列｛%｝的前4项分别是正负项交替出现，分子均为1,分母依次增加1,

所以对照四个选项，%=上3上正确.

n+\

故选：D

71.(2024高三上.河北唐山•期中)若数列｛%｝的前6项为白，则数列｛%｝的通项公式可以

为。”=()

n_n

A.----B.-------

n+12〃一1

C.(-1)«­—^―D.

2n-l2/7-1

【答案】D

【分析】观察每项的特点，分别确定项的符号以及分子分母的取值的规律，即可找出数列的通项公式.

【详解】通过观察数列｛4｝的前6项，可以发现有如下规律：

且奇数项为正，偶数项为负，故用(T)""表示各项的正负；

各项的绝对值为分数，分子等于各自的序号数，

而分母是以1为首项，2为公差的等差数列，

故第〃项的绝对值是彳j,

2n-l

所以数列｛%｝的通项可为%=(-1)向与士丁

故选：D

他题秘籍。

1.累加法：形如%+]=q+/(«)的解析式

an-\~2=/(«-2)

形如%+1=%+/(〃)型的递推数列(其中/(〃)是关于力的函数)可构造:

.电-4=/⑴

将上述加2个式子两边分别相加，可得：4=/'(〃-1)+/(〃-2)+.../(2)+/\1)+4，("22)

①若/(〃)是关于"的一次函数，累加后可转化为等差数列求和；

②若/(〃)是关于”的指数函数，累加后可转化为等比数列求和;

③若/(〃)是关于〃的二次函数，累加后可分组求和；

④若/(")是关于〃的分式函数，累加后可裂项求和.

2.累乘法：形如弓+1=an-f(n)的解析式

I（"十

形如%+i=%"(〃)：&旦=/(〃)型的递推数列(其中是关于a的函数)可构造:

a

2=/⑴

q

将上述加2个式子两边分别相乘，可得：an=/(〃-1)"(〃-2>..."(2)八1)。1，(〃22)

有时若不能直接用，可变形成这种形式，然后用这种方法求解.

题型2:累加法

_r,111

2-1.（2024.陕西安康.模拟预测）在数列｛〃“｝中，"1=1,an+x=an+n+l,则*+7+一=（）

2021「40442021-2022

A.------B.------C.------D.------

1011202320222023

【答案】B

【分析】利用递推公式可得相邻两项前后项之差，再利用累加法可得通项，最后裂项相消求和即可.

【详解】因为%+i=。〃+"+1,故可得%-％=2,a3-a2=39an-an_x=n,及%=1累加可得

Qn_%_[+。〃一1一Q〃—2+〃2-=1+2+3++n,

贝1J%=1+2+3++〃=

1114044

贝L+—++——=2

%02022一2023

故选：B.

2-2.(2024•新疆喀什•模拟预测)若％=%_]+扪—1,4=1则Io=()

A.55B.56C.45D.46

【答案】D

【分析】在数列递推式中依次取〃=1,2,3,,〃，得到几个等式，累加后求出数列的通项公式，即可求出答案.

【详解】由〃一1,

a[=%+1,“3=%+2,

。4=4+3,L,an=an_x+n-l（?z>2）,

累力口得，%=4+1+2+3++n—l

111

=­n2——n+1,

22

当〃=1时，上式成立，

则。〃=#_]+1，

11

所以q0=5x100—5x10+1=46.

故选：D

2-3.（2024高三•全国・专题练习）己知数列｛七｝满足an+l=an+^—,则｛4,｝的通项为（）

2n+n

131

A.——,n>1,HGN*B.,n>1,HGN*

n2n

3_j_

c.-1-->l,nGN*D.,n>1,neN*

2n2n

【答案】D

【分析】先把一一=工-一二，利用累加法和裂项相消法可求答案.

n+〃nn+1

【详解】因为见包=%+——,所以见+!-一］，则当心2,/N*时，<

n+nn+nnn+1

将n—l个式子相加可得。〃一%=1-+^--—=1-—,

223n—lnn

11131311

因为％=彳，则。〃=1——+彳=7__，当〃=1时，/=彳_,=7符合题意，

2n22n212

31*

所以q=-一一,n>l,neN.

2n

故选：D.

2-4.（2024・四川成都•模拟预测）已知S“是数列｛%｝的前〃项和，且对任意的正整数外都满足:

11cc1C

--一1=2〃+2，若％=3，贝182023二（）

Un+\UnZ

2023「20222021_1010

A.B.C.D.

2024202320242023

【答案】A

【分析】运用累加法求得｛4｝的通项公式，再运用裂项相消法求和即可.

【详解】解：当时，由累加法可得:

111111cC/八/一.

-----------+---------------++-----------=2n+2（n-l）+,+（2x1+2）,

1%an-X）1%an-l）1%%J

又因为q=；,

1

所以“"二而而"22）,

11

当"=i时'诙而）=5，符合,

1

所以“"=而而（"N*）,

111

所以%=而包="一—!，

所以邑。23=[1_1]+[|_^++1_______1_2023

2023-2024）~~2024~2024

故选：A.

题型3:累乘法

（、Qun

3-1.（2024高二.全国.课后作业）数列｛。"｝中，％=1,—=—7（"为正整数），则%期的值为（）

2021-2022

A.B.C.D.

2022202120222021

【答案】A

【分析】结合递推式特征，利用累乘法算出q=,，进而可得答案.

n

【详解】因为‘吐二七，

ann+1

aa.a.a,n-1n-23211

所以%------------=-XX••XXX—

an-\an-2“3%”1nn-1432n'

所以。2022上

故选：A

〃+1

=

3-2.（2024高二上•陕西咸阳•阶段练习）已知q=2,。〃+]，则。2022=（）

n

A.506B.1011C.2022D.4044

【答案】D

【分析】根据累乘法得4=2%〃eN*,再根据通项公式求解即可.

«+1

【详解】解:n+1“〃，••二

nann

a_2a_3a4a_n

「•—2=­，—3=—，—4=-，-f--n---=------，,

%1a22a33an_xn-\-

.%=n

—=nn>2,

ax1

马=2,—2/7,riN2,

显然，当〃=1时，〃1=2满足4=2〃,

/.an=2n,〃£N*,

.•。2020=2x2022=4044.

故选：D.

3-3.（2024高一下•青海西宁•阶段练习）已知数列｛4｝满足5+2）。用=（力+1）凡，且％=；，则。"=（）

n-11-n-1-1

A.-----B.-----C.-----D.-----

〃+12n-l2n-ln+1

【答案】D

【分析】化简数列的关系式，利用累乘法求解数列的通项公式即可.

【详解】数列｛““｝满足（〃+2）a用=（〃+1）%,且%=g,

j_%=〃+1

2'an〃+2

.an_an-\_n—1a2_2

1,

an，,

'■«„-i〃+1'„-2ax3

aa.a2nn-1n-22

累来口」行：，,

an-lan-2axn+\nn—1■■31

-re211

可得：””=小・5

n+1

故选：D.

彩健题秘籍(二)

待定系数法

(-)形如。用=0为+4(其中p国均为常数且°片0)型的递推式：

(1)若p=l时，数列｛6｝为等差数列；

(2)若q=0时，数列｛6｝为等比数列；

(3)若pwl且qwO时，数列｛%｝为线性递推数列，其通项可通过待定系数法构造等比数列来求.方法

有如下两种：

法一：设an+1+2=p(a“+2),展开移项整理得an+l=pan+(p-1)2,与题设。用=pan+4比较系数(待

定系数法)得4=—^,(pw0)na“+]+—^=p(a“+—^)na,+—^=p(4i+—^)，即]o“+—构

成以《+上一为首项，以p为公比的等比数列.再利用等比数列的通项公式求出[““+」一】的通项整理可

p-11P-1J

得%.

法二：由an+1=pan+4得。〃=pan_x+q(〃22)两式相减并整理得④——=p,即｛%+「〃〃｝构成以％-6

3%一

为首项，以〃为公比的等比数列.求出｛。用-4｝的通项再转化为类型回(累加法)便可求出4.

(二)形如。〃+1=〃。〃+/(〃)(pwl)型的递推式：

(1)当/(〃)为一次函数类型(即等差数列)时：

法一：设%++3=〃[%t+A(〃-1)+5],通过待定系数法确定A、6的值，转化成以q+A+3为首

ri!

项，以鸳'=首而为公比的等比数歹U｛%+A〃+B｝，再利用等比数列的通项公式求出｛见+A〃+8｝的通项

整理可得

法二：当/'(")的公差为4时，由递推式得：an+l=pan+f(n),q,=?*+两式相减得：

a“+「a”=P(a”—a“T)+d,令久二％一。”得:勿=。6,1+1求出“，再可求出应•

(2)当/(")为指数函数类型(即等比数列)时：

法一：设%+2/(")=p[a,_i+儿/(“-1)],通过待定系数法确定4的值，转化成以q+2/(1)为首项，以

然=:为公比的等比数列｛%+©(〃)｝,再利用等比数列的通项公式求出｛见+"(")｝的通项整理可

I/TTibI•

得4,.

法二：当/(〃)的公比为9时，由递推式得：an+l=pan+f(n)---①，an=pan_x+/(n-l),两边同时乘

以q得a〃q=pqaz+of(几-D—②，由①②两式相减得4+1-。〃4=。(。〃一《〃_1)，即％~空■=〃，在求出

an-Qan-X

玛•

法三：递推公式为q+1=p〃〃+4〃(其中p,q均为常数)或4+1=〃%+应〃(其中p，q，r均为常数)

时，要先在原递推公式两边同时除以得：4皆=£.&+工，引入辅助数列出"｝(其中2=&),得：

qnqq〃qqn

4M=42+!再求出或.

qq

(3)当f(〃)为任意数列时，可用通法：

在%=$+/(〃)两边同时除以*1可得到第=3+甯，令3=2,则%=d+噌，在通过

ppppP

累加法，求出bn之后得a"=p"bn.

题型4:特定系数法

4-1.(2024・四川乐山•二模)已知数歹U｛“"｝满足a"+]=2a“+2,ax=\,则。,,=.

【答案】3x2"-'-2

【分析】凑配法得出数列｛4+2｝是等比数列，由等比数列的通项公式可得结论.

【详解】由*=2%+2得a.+2=2(a〃+2),又％+2=3,

所以制"=2,即｛%+2｝是等比数列，

。“+2

所以凡+2=3x2'i,即凡=3X2"T-2.

故答案为：3x2"T-2.

4-2.(2024高三•全国・专题练习)已知数列｛%｝满足。用=24+4.3?%=-1,则数列｛4｝的通项公式

为.

【答案】a“=4x3"T-5x2"—

【分析】解法一：利用待定系数法可得“向-4x3"=2(%-4x3"),结合等比数列分析运算；解法二：整理

得需-]=[x停-结合等比数列分析运算；解法三：整理得据一之=仔丁，根据累加法结合等

2212J

比数列求和分析运算.

【详解】解法一：设.+九3"=2m+心31）,整理得%=2%-33"、可得2=-4,

即4+J-4X3"=2（q,-4x3"T）,且％-4x31=-5wO,

则数列｛氏-4-3向｝是首项为一5,公比为2的等比数列，

所以g-4x3"-1=-5x2"-1,即4=4x3"T-5x2n-l；

解法二：（两边同除以＜7e）两边同时除以3向得：^=|x^+^,

整理得升泻3，且

则数列｛号-1｝是首项为，公比为：的等比数列，

所以组一±=-9x12],即为=4X3"T-5x2"。

3"33hj

故a.=4x3i_5x2"T（"22）,

显然当”=1时,q=T符合上式，故a“=4x3"T-5x2"T.

故答案为：4=4X3"T-5X2"T.

4-3.（2024高三•全国•专题练习）已知：6=1,心2时，a„=^an_l+2n-l,求｛%｝的通项公式.

3

【答案】。“=汨+4”-6

【分析】构造等比数列｛。"-4”+6｝,即可由等比数列的性质求解.

【详解】^an+An+B=~\_an-\+A（n-l）+fi].所以a“.

A=-4

，;，解得:

B=6

［22

又%-4+6=3,二｛a“—4”+6｝是以3为首项，1为公比的等比数歹U,

=3+4〃-6

2"~'

彩”秘籍

（四）

同除法

对于a”+i=pa〃+cq"（其中p,q,c均为常数）型

方法一：观察所给的递推公式，它一定可以变形为a”+i+xq"+i=p（a.+xq"）,将递推关系a„+i=pa„+cqn

CC

待入得pan+cq"+xq"+i=p（〃〃+xq〃）解得x=则由原递推公式构造出了q"】=p（〃”+

之・q"）,而数歹I｛即+:勺"｝是以⑷+高-q为首相以为公比的等比数列。（注：应用待定系数法时，要

求pNq，否则待定系数法会失效）

方法二：将即+i=pa〃+cq"两边分别除以少用,则有耕=3+册然后利用累加法求得。

方法三：将斯+i=pa〃+cq"两边分别除以q"L则有编='&+£,然后利用待定系数法求解。

qqqq

题型5：同除法

5-1.（2024高三・全国・专题练习）已知数列｛七｝满足4用=24+3-2",4=2,求数列｛4｝的通项公式.

［答案］«„=（3«-1）-2--1

【分析】构造新数列［墨;，并求得其通项公式，进而求得数列｛见｝的通项公式.

【详解1将%=2%+3・2"两边除以2"包,

得%।3川4+14.3

1寸r\n/-），人」r\n+\rsn。，

故数列是以a=1=1为首项，以I■为公差的等差数列,

[乙J乙乙乙

贝!J组=1+』(〃_1)=』〃一，，

X222

31

・,・数列｛4｝的通项公式为为=?〃-])2=(3n-1).2〃T.

5-2.(2024高三・全国・专题练习)已知数列｛4｝满足〃用=3%+23+1,G=3,求数列｛4｝的通项公式.

【答案】g=2〃♦3i+；・3〃—g

【分析】先将条件变形为翁-会=g+击，再利用累加法即可求得数列｛4｝的通项公式.

【详解】%+i=3a〃+2・3"+l两边除以3向,得

”—色幺

+3231'-

3

3

+-

3

1

2（〃T）।F

-2--n---1---1----------1---

3322・3〃

则数列应｝的通项公式为4=2〃3i+g-3"-g.

彩健题祕籍

(3

取倒数法

对于an+i=(ac丰0)，取倒数得—=处空=

b+canan+iaanaana

当a=0时，数列是等差数列；

1be

当awb时，令bn=上,则也+£,可用待定系数法求解.

anaa

题型6:取倒数法

6-1.（2024高三.全国・对口高考）数列｛外｝中，%+1=高丁，4=2，贝U%=

2

【答案】历

【分析】先两边取倒数，再构造等差数列即可求解.

【详解】由%+1=京丁，4=2,可得。户0,

11+3g111c

所以=-----=—+3,即-------=3（定值），

an+\anan4+1册

故数列［工］以为首项，d=3为公差的等差数列，

所以：=g+（"T）x3=3”：，

1192

所以丁=万，所以的=6・

%乙1V

2

故答案为：—.

6-2.（2024高三・全国•专题练习）已知数列｛〃〃｝满足：%=2,%=2〃"；］（〃之2）,求通项

2

【答案】册二

4〃一3

13

【分析】取倒数后得到是等差数列，求出：=2〃-不，得到通项公式.

an乙

11c11故是等差数列，首项为'=1，公差为2,

【详解】取倒数：—=+2=-----------=2

12

anan-lan矶IAJ%

113

/.一=—+2(〃-1)=2n——，

an22

2

4n-3

iibci

6-3.（2024高三・全国・专题练习）设人＞。，数列｛4｝满足q="册+；乙（"22）,求数列｛%｝的通项

公式.

13=1),

【答案】4二nbn(1-b)

3>0"1).

l-bn

(H+1)_1+1〃

【分析】将%="她、522)递推得到an+l=("+D他两边取倒数得到

+an+n%+ibban

则c,+i=1%+：，当6=1时｛%｝是等差数列，求出｛。“｝通项公式进而求出｛七｝的通项公式;

当匕片1时利用

bb

构造法求出｛%｝通项公式进而求出｛«„｝的通项公式.

nba,c、(7?+l)_fl„+77_l11n

【详解】n...%=(»+i)H,两边取倒数得到

a+naba

n„+l„bban

n11

令一=c,则C+7，

%nbb

当八1时，』「3+：，

Cn+1=C“+1，3”+1一。“=1

11

.・•数列｛g｝是首项为9=1,公差为1的等差数列.

axb

n

—=〃，「♦=1

an

11„11

当时，qn

n+\bb1-bb

111111为首项，?为公比的等比数列.

二•数列"”+是以G1-I=1=—I=----------

正人1-b%l-bb1-bb(l-b)b

1111

•c-------=-----------------

n9

"1-bb(\-b)产b(l-b)

11

"(1-①一百'

n11

n

anb(l-b)1-b'

n11_l-bn

nn

,an~b(l-b)l-b~b(l-by

nbn(l-b)

l-bn

[S=D,

nbn(1—b)

(Z?>0,bwl).

、1一万

的题秘篇-

(A)

取对数法

形如，x=。力(。〉0,%〉。)的递推公式，则常常两边取对数转化为等比数列求解.

题型7:取对数法

7-1.(2024高三.全国.专题练习)设正项数列｛。"｝满足％=1,an=2a；<nN2),求数列｛%｝的通项公式.

【答案】％=22"、

［分析］在等式4=2a3>2)两边取对数可得log,an=21og2%+1,可得出log2an+l=2(log2%+1),

可知数列｛1*24+1｝为等比数列，确定该数列的首项和公比，可求得数列｛log?%+1｝的通项，即可得出数

列｛4“｝的通项公式.

【详解】对任意的〃eN*,4,>。，

因为=2<1(«>2),则log2an=log2(2a,ti)=210g?%+1,

所以，log2%+l=2(log2a,T+l),且log24+l=l,

所以，数列｛Iog24+1｝是首项为1，公比为2的等比数列，

1)1

所以，log2«n+l=lx2"-=2-,解得%=22"」

7-2.(2024高三.全国•专题练习)设数列｛g｝满足卬=。(。>。)，a向=2亚,证明：存在常数使得对

于任意的〃£N*,都有an<M,

【答案】证明见解析

【分析】变换得到Ina,+「21n2=；(lna「21n2),考虑。=4和两种情况，确定｛in%-21n2｝是首项为

lna-21n2,公比为1■的等比数列，计算通项公式得到证明.

【详解】册〉。恒成立，=2百",则Ina〃+1=ln2+；lna〃，

则Inan+i—21n2=-^(lnan-21n2),In%—21n2=Ina-21n2,

当a=4时，Ina-21n2=0,故Ina〃-21n2=。，即a〃=4,

取A/=4,满足为<M；

当a〉0且aw4时，｛lna〃—21n2｝是首项为Ina—21n2,公比为的等比数列，

故Ini”-21n2=(lna—21n,BPInan=(lnQ-21n2)［g)+21n2,

故lna“=(lna—21n2)出+21n2<|lna-21n2|+21n2,

|lnfl2ta2|+21n2

故an<e-，取M=即心必21n2,得到4<M恒成立.

综上所述：存在常数使得对于任意的〃eN*,都有

彩健题海籍

(七1)

已知通项公式％与前〃项的和Sn关系求通项问题

对于给出关于〃“与S,的关系式的问题，解决方法包括两个转化方向，在应用时要合理选择.一个方向

是转化S“为。”的形式，手段是使用类比作差法，使S“-5,1=%(“22,〃eN*),故得到数列｛可｝的相关

结论，这种方法适用于数列的前“项的和的形式相对独立的情形；另一个方向是将。“转化为5”-(“22,

77€产)，先考虑5“与5,1的关系式,继而得到数列｛S」的相关结论,然后使用代入法或者其他方法求解｛4｝

的问题，这种情形的解决方法称为转化法，适用于数列的前"项和的形式不够独立的情况.

简而言之，求解％与S”的问题，方法有二，其一称为类比作差法，实质是转化S,的形式为。”的形式，

适用于S”的形式独立的情形，其二称为转化法，实质是转化“，的形式为S”的形式，适用于S,,的形式不够独

立的情形；不管使用什么方法，都应该注意解题过程中对〃的范围加以跟踪和注意，一般建议在相关步骤后

及时加注w的范围.

题型8:已知通项公式与前几项的和关系求通项问题

8-1.(2024•青海西宁•二模)已知S”为数列｛%｝的前"项和，％=1,a„+1+2S„=2n+l,贝I］邑期=()

A.2020B.2021C.2022D.2024

【答案】C

【分析】利用%=S“-S,T522)化简可得出。“+。,+|=2(〃22),则可求出答案.

【详解】当〃=1时，g+2Si=2+ln%=l，

当7N2时,由an+i+2Sn=2n+l得an+2sl=2/-1,

两式相减可得

a„+i-%,+2a“=2，即an+an+1=2，

所以%=1，可得s“=〃，

所以5皿2=2022.

故选：C.

8-2.(2024高三上•黑龙江哈尔滨•阶段练习)已知数列｛4｝的前〃项和为S,,若S角+S“=2/(〃eN*),且

qw0,aw=28,则％的值为

A.-8B.6C.-5D.4

【答案】C

【分析】利用a.+i=S“+「S",可得%+卢%=4〃-2,通过构造等比数列，求得巴的通项公式，进而可以求

出%的值.

【详解】对于S“M+S”=2〃2,

当"=1时有邑+S]=2,即4—2=—2%

S+S

„+ln=2/2，

S"+S“_[=2(〃—1)2,(n..2)

a+a

两式相减得：n+i„=4n-2

%+i—2〃=—[%—2(〃—1)],(n..2)

由a尸0可得。2-2=-2。产0,

即｛a“-2("-1)｝从第二项起是等比数列，

所以4—2(〃—1)=(出—2)(—I)点,

即%=(4-2)(-1)T+2(”-1),

则=%—2+18=28,故%=12,

由%—2=—2q可得％——5,

故选C.

【点睛】本题考查递推式求通项公式，关键是要通过观察递推式构造出等比数列，利用等比数列来解决问

题，本题难度较大，对学生的计算能力要求较高.

8-3.(2024・陕西渭南.二模)已知数列｛%｝中，4=1,%>0,前”项和为S”.若%=底+6;(〃€N*,”22),

则数列,—1―1的前2023项和为.

一心、2023

【答案】诉

【分析】先由。“=后+后(〃eN*,〃22),求得£=〃,进而得出%=2〃-1,再按照裂项相消求和.

【详解】在数列｛q｝中风=S“-S,T(〃22),又为=医+67(〃eN*,〃N2),且%>0,

两式相除得一匹=1(〃22),芥=瓜=1,

；•数列｛£｝是以1为首项，公差为1的等差数列，则后=1+(〃-1)=〃，S„=n2,

当〃22,=S〃_="2_5_1)2=2孔_],

当〃=1时，q=l,也满足上式,

・•・数列｛%｝的通项公式为%=2〃-1,

]_]_1(1_1)

则。/用―(2,—1)(2〃+1)—2,—1-2〃+J

数列]---\的前2023项和为++

[的〃+/21335+捻-焉嗡

2023

故答案为：而

8-4.(2024IWJ二下•湖南•阶段练习)已知数列｛〃〃｝满足囚+3%-----F(2H—l)an=n.

⑴求｛%｝的通项公式;

---,n=2k-l

(2)已知/=彳19%KeN*,求数列｛%｝的前20项和.

a„-an+2,n=lk

【答案】(l)a„=-^—

2n-l

1300

⑵

129

【分析】(1)根据题意，将(〃-1)替换〃，然后两式相减作差即可得到结果;

(2)根据题意，由分组求和法，分别求出奇数项和与偶数项和，即可得到结果.

【详解】(1)当〃=1时，可得％=1,

当〃22时，4+3a2~1----H(2M—1"〃=〃,

4+3%~1-----3)%_]=几―1(〃22),

上述两式作差可得a,=-^-(M>2),

2n—1

因为q=1满足=不'，所以｛可｝的通项公式为%=7"二

2〃一12〃一1

---,n=2k-l

(2)c“=jl9a“，左eN*,

a„-an+2,n=2k

.1+5+9++37(1+37)x10

所cc以r。+。3+…+C19=---------------------=--------——=10,

39192x19

111

C2+C4H-----F。20—十+•••+---------

24203x77x1139x43

1<111111)10

=-------+--------+•••+------

4(377113943J129

所以数列匕,｝的前20项和为富.

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