2024浙教版九年级数学下册期末综合测试卷（附答案）

浙教版九年级数学下册期末综合测试卷

一、选择题

1.在ABC中，a=12,b=5,c=13,则sinA的值为（）

A.AB.UC一13

D.—

1313125

2.如图，已知qABC是。的内接三角形，AD是的切线,点A为切点，NACB=60，则

—DAB的度数是（）

D

A.30°B.45°C,60°D.120°

3RC

3.如图，在ABC中，/C=90，sinA=-,则一等于（）

5AC

3434

A.lB.一C.一D.一

4355

4.如图ADLCD,AB=13,BC=12,CD=3,AD=4,则sinB='（）

BC

F

J

A.AB.Uc.34

D.-

131355

2

5.在ABC中，NC=90，cosB=-,则sinA的值为（）

3

J?211

A.—B.—C.-D.—

3332

6.如图，点尸是（。直径AB的延长线上一点，PC切。于点C,已知OB=3,PB=2.则PC

等于（）

c

7.如图所示，要在离地面5m处引拉线固定电线杆，使拉线和地面成60°角，若要考虑既要符合设

计要求，又要节省材料，则在库存的Li=5.2m,L2=6.2m,L3=7.8m,L4=10m四种备用拉线材料中，

拉线AC最好选用（）

AD

8.如果Na是等腰直角三角形一个锐角，贝Utana的值是（

D.也

9.如图，ABC中，1C=90，BC=4,AC=3，。内切于，ABC,则阴影部分面积为（）

A.12-71B.12-271C.14-4K

10.某飞机于空中A处探测到地面目标B,此时从飞机上看目标B的俯角a=60，并测得飞机距

离地面目标B的距离为2400米，则此时飞机高度为（）

A.1200米B.400血米C.800豆米D.1200君米

二、填空题

11.如图是两棵小树在同一时刻影子，那么图①是投影，图②是投影.

12.如图，已知小岛B在基地A的南偏东30方向上，与基地A相距10海里，货轮C在基地A的

南偏西60方向、小岛B的北偏西75方向上，那么货轮C与小岛B的距离是海里.

北

5*

13.如图，已知NABD=/C=90，AD=12，AC=BD,/BAD=30，则

BC=_______

14..ABC中，NACB=90，AB=4，C)C的半径长是2,当NA=30时，CC与直线AB的

位置关系是；当/A=45时，。。与直线AB的位置关系是

15.如图，PA,PB分别切。。于点A、B,点C在。0上，且NACB=50。，则NP=

16.为了落实“三个代表”重要思想，确保人民群众利益，抵御百年不遇的洪水，市政府决定今年将

12000米长的耙铺大堤的迎水坡面铺石加固.如图，堤高DF=4米，堤面加宽2米，坡度由原来

的1:2改成1:2.5.则完成这一工程需要的石方数为立方米.

17.在平整的地面上，有若干个完全相同的棱长的小正方体堆成一个几何体(如图所示).

(1)这个几何体由个小正方体组成，请画出这个几何体的三视图；

(2)如果在这个几何体的表面喷上黄色的漆，则在所有的小正方体中，有个正方体只有两个

面是黄色，有个正方体只有三个面是黄色(注：该几何体与地面重合的部分不喷漆).

18.如图，AABC一边AB是。。的直径，请你添加一个条件，使BC是。O的切线，你所添

加的条件为

19.如图，A、B是：。上的两点，AC是过A点的一条直线，如果NAOB=120，那么当/CAB

的度数等于度时，AC才能成为：。的切线.

20.如图是一个几何体的三视图，若这个几何体的体积是30,则它的表面积是

三、解答题

21.如图所示，一个无盖纸盒的长、宽、高都是8cm.

(1)画出纸盒的平面展开图；

(2)计算纸盒所用材料的面积.

22.一船以每小时36海里速度向正北航行到A处，发现它的北偏东30方向上有一灯塔B,船继

续向北航行40分钟后到达。处，发现灯塔B在北偏东60方向上，求此船与灯塔的距离.

23.如图1是由一些完全相同的小正方体所搭几何体的俯视图，其中小正方形中的数字表示该位置的

小正方体的个数，请在图2的方格纸中分别画出这个几何体的主视图和左视图.

24.如图，在RJABC中，1C=90，AC=3,BC=4.

⑴求..ABC内切圆的半径;

(2)若移动圆心。的位置，使。保持与一ABC的边AC、BC都相切.

①求半径r的取值范围；

12

②当,o半径为一时，求圆心。的位置.

7

25.已知：如图，ABC内接于0,过A点作直线DE,当NBAE=NC时，试确定直线DE与

的位置关系，并证明你的结论.

26.下列三幅图是从哪个方向看图1这个棱柱得到的？

27.如图，已知在RtABC中，NABC=90，以AB为直径的0与AC交于点D，点E是BC

的中点，连接BD,DE.

,,AD1

(1)右=—,求smC；

AB3

⑵求证：DE是「0的切线.

3

浙教版九年级数学下册期末综合测试卷

一、选择题

1.在qABC中，a=12,b=5,c=13,则sinA的值为（）

5121313

A.—B.—C.—D.—

1313125

【答案】B

【解析】

【分析】

根据三角形的三边长，可以判断AABC是直角三角形，根据三角函数的定义就可以求解.

【详解】•••52+122=132,

.♦.△ABC是直角三角形，

..«12

..sinA=—=——.

c13

故选B.

【点睛】本题主要考查了勾股定理的逆定理，以及三角函数的定义，掌握三角函数的定义是解答此

题的关键.

2.如图，已知.ABC是：。的内接三角形，AD是10的切线，点A为切点，NACB=60，则

/DAB的度数是（）

A.30°B.45°C.60°D.120°

【答案】C

【解析】

【分析】

本题直接利用弦切角定理即可得到ND4B的度数.

【详解】是。。的切线，/.ZDAB=ZACB^60°.

故选C.

【点睛】本题考查了弦切角定理：弦切角等于它所夹的弧对的圆周角，比较简单.

3RC

3.如图，在一ABC中，NC=90，sinA=-,则一等于（）

5AC

434

A.-B.一c.一D.

4355

【答案】A

【解析】

设BC=3左，则AB=左，由勾股定理得AC的长，再求比值即可.

解：根据题意画出图形，如图所示，由正弦的概念可知,

疝一照边，

斜边AB5

设BC=3左，则AB=左，由勾股定理得

AC=7AB2-BC2=J（5左（31y=4k；

BC:AC=3k:4k=3:4.

故选A.

4.如图ADLCD,AB=13,BC=12,CD=3,AD=4,则sinB='（）

51234

A.——B.——c.一D.

131355

【答案】A

【解析】

【分析】

根据勾股定理可求AC的长度；由三边长度判断AABC为直角三角形.根据三角函数定义求解.

【详解】由勾股定理知，AC2=CD2+AD2=25,

；.AC=5.

VAC2+BC2=169=AB2,

.'.△CBA是直角三角形,

AC5

sinB=-----

AB13

故选A.

【点睛】本题利用了勾股定理和勾股定理的逆定理，考查三角函数的定义.

2

5.在cABC中，NC=90，cosB=-,则sinA的值为（）

3

J521

A.»B.-C.-D.

3332

【答案】B

【解析】

【分析】

根据cosB=—=-----,sinA=------,代入即可得出答案.

3ABAB

【详解】如图所示：

故选B.

【点睛】本题考查了互余两角的三角函数的关系，注意：如果NA+/B=90。，则

sinA=cosB,cosA=sinB.

6.如图，点P是。直径AB的延长线上一点，PC切10于点C,已知0B=3,PB=2.则PC

等于（）

C.4D.5

【答案】C

【解析】

试题分析：连接0C,因为PC切。。于点C,所以NPCO=90。，因为0B=3,PB=2,所以由勾股定理

可得：PC=dPCP-OC2=4^^工，故选C-

考点：切线的性质、勾股定理.

7.如图所示，要在离地面51n处引拉线固定电线杆，使拉线和地面成60。角，若要考虑既要符合设

计要求，又要节省材料，贝!J在库存的Li=5.2m,L2=6.2m,L3=7.8m,L4=10m四种备用拉线材料中，

拉线AC最好选用（）

【答案】B

【解析】

由题意可知，在RSADC中，ZADC=90°,CD=5米，NCAD=60。，

・•・ZACD=30°,

.\AD=—AC,

2

设AC=x,则AD=gx,由勾股定理可得：x2=（1X）2+52,解得土当3,

x>0,

・__1。/;”（来、

••AACr—x---------标5.77（），

3

:考虑既要符合设计要求，又要节省材料，

，选L2,故选B.

8.如果Na是等腰直角三角形的一个锐角，贝Utanc的值是（）

A5B.去C.1D.72

【答案】C

【解析】

B

由题意可知，=45。，tano=»,故选C

2

9.如图，.ABC中，NC=90，BC=4,AC=3,。内切于，ABC,则阴影部分面积为（）

A.12-71B.12-271C.14-4KD.6-兀

【答案】D

【解析】

【分析】

显然图中阴影部分的面积是AABC和其内切圆的面积差，解决本题的关键是求出三角形内切圆的半

径；在R3ABC中，已知了BC、AC的长，可由勾股定理求得斜边AB的长；进而可根据直角三角

形内切圆半径公式求得AABC的内切圆半径，进而可求出其面积，由此得解.

【详解】在RtAABC,ZC=90°,BC=3,AC=4,根据勾股定理AB=J-c?+5c2=5,

若设RtAABC的内切圆的半径为R,则有：R=AC+BC^AB=\,

2

1,1

S阴影=SAABC-S圆=—AC・BC-TIR2=—X3X4-7IX1=6-TI：.

22

故选D.

【点睛】本题考查了直角三角形内切圆的性质、三角形的面积公式、圆的面积公式.

10.某飞机于空中A处探测到地面目标B,此时从飞机上看目标B的俯角a=60，并测得飞机距

离地面目标B的距离为2400米，则此时飞机高度为（）

A.1200米B.400百米C.800班米D.1200有米

【答案】D

【解析】

【分析】

由题意得，在直角三角形中，知道了已知角的斜边求对边，用正弦函数计算即可.

【详解】斜边长为2400,对边为：2400xsin60°=120073.

故选D.

【点睛】本题考查俯角的定义，要求学生能借助俯角构造直角三角形并解直角三角形.

二、填空题

11.如图是两棵小树在同一时刻的影子，那么图①是投影，图②是投影.

/通电\/屯^\

①②

【答案】（1）.平行⑵.中心

【解析】

【分析】

两物体若是平行投影，则等比例放大或缩小，中心投影则不同.

【详解】图①是平行投影，图②是中心投影.

故答案为平行、中心.

【点睛】本题考查了平行投影和中心投影的知识，关键是掌握平行投影和中心投影的特点与不同.

12.如图，已知小岛B在基地A的南偏东30方向上，与基地A相距10海里，货轮C在基地A的

南偏西60方向、小岛B的北偏西75方向上，那么货轮C与小岛B的距离是海里.

【答案】1072

【解析】

【分析】

由己知可得一ABC是等腰直角三角形，已知A3=10海里，根据等腰直角三角形的性质即可求得斜

边6C的长.

【详解】如图，由题意得，ZBAD=30°,ZCAD=60°,ZCBE=15°,A3=10海里.

9：AD//BE,

：.ZABE=ZBAD=30°,

：.ZABC=ZCBE-ZABE=75°-30°=45°.

在△ABC中，

ZBAC=ZBAD+ZCA£）=30°+60°=90°,ZABC=45°,

・・・AABC是等腰直角三角形，

：AB=10海里,

•••8。=应48=10夜海里.

故答案为1072.

北

【点睛】本题考查了解直角三角形的应用-方向角问题，等腰直角三角形的判定与性质，掌握方向

角的定义从而证明AABC是等腰直角三角形是解题的关键.

13.如图，已知/ABD=/C=90，AD=12，AC=BD,/BAD=3O，则

BC=.

【答案】6&

【解析】

【分析】

首先由直角三角形ABD中，ZBAD=30°,得BD=^AD=6,贝U由已知得AC=BD=6,再由勾股定理

2

求出AB,然后由直角三角形ACB运用勾股定理求出BC.

【详解】已知/ABD=NC=90。，AD=12,AC=BD,ZBAD=30°,

11

；.BD=—AD=—xl2=6,

22

，AC=BD=6,

在直角三角形ABD中，根据勾股定理得：

AB=y/AD2-BD-=V122-62=6V3，

在直角三角形ACB中，根据勾股定理得：BC=7AB2-AC2=7（6A^）2-62=672.

故答案为6&.

【点睛】此题考查的知识点是解直角三角形，关键是运用直角三角形中30。的性质和勾股定理求解.

14.一ABC中，NACB=90，AB=4，:jC的半径长是2,当/A=30时，.）C与直线AB的

位置关系是；当/A=45时，一C与直线AB的位置关系是.

【答案】（1）.相交（2）.相切

【解析】

【分析】

据题意画出相应的图形，然后过C作CD与AB垂直，垂足为D,在直角三角形ACD中，由30。角

所对的直角边等于斜边的一半，由斜边AB的长和面积定值求出CD的长，即为圆心到直线的距离,

小于圆C的半径，可得圆C与直线AB相交；当/A=45。时，求出CD的长和圆的半径2比较大小

即可.

【详解】根据题意画出图形，如图所示：

当NA=30。，

二

CA

过C作CDLAB,交AB于点D,

在RSACD中，：AB=4,ZA=30°,

1

；.BC=-AB=2,

2

.­.AC=7AB2-BC2=2A/3.

，CD=；AC=&,

又：圆C的半径为2,则、回<2,

；.CD<R,

则。C与AB的位置关系是相交，

故答案为相交；

当/A=45。时，

过C作CDLAB,交AB于点D,

在RtAACD中，：AB=4,ZA=45°,

；.AB=AC,

1

；.CD=—AB=2,

2

又；圆C的半径为2,则CD=R,

则。C与AB的位置关系是相切.

故答案为相切.

【点睛】此题考查了直线与圆的位置关系，以及直角三角形的性质，直线与圆的位置关系有三种，

分别为相切，相交，相离，可以利用d与r比较大小来决定，当d>r时，直线与圆相离；当d=i•时,

直线与圆相切；当OWd<r时，直线与圆相交.

15.如图，PA,PB分别切。O于点A、B,点C在。O上，且NACB=50。，贝

【答案】80。

【解析】

试题分析:

连接OA、OB,

ZACB=50°,

ZAOB=2ZACB=100°,

PA,PB分别切。。于点A、B,点C在。。上,

ZOAP=ZOBP=90",

/.ZP=360°-90°-100°-90°=80°,

故答案为80。.

考点：切线的性质

16.为了落实“三个代表”重要思想，确保人民群众利益，抵御百年不遇的洪水，市政府决定今年将

12000米长的耙铺大堤的迎水坡面铺石加固.如图，堤高DF=4米，堤面加宽2米，坡度由原来

的1:2改成1:2.5.则完成这一工程需要的石方数为立方米.

【答案】144000

【解析】

【分析】

由题意可知，要求的石方数其实就是横截面为ABCD的立方体的体积.那么求出四边形ABCD的面

积是问题的关键.

【详解】：RtABFD中，/DBF的坡度为1：2,

，BF=2DF=8,SABDF=BFXFD+2=16,

「RtaACE中，/A的坡度为1：2.5,

ACE：AE=1：2.5,CE=DF=4,AE=10,

S梯形AFDC=（AE+EF+CD）xDF+2=28,

••S四边形ABCD=S梯形AFDC-SABFD=12.

那么所需的石方数应该是12x12000=144000（立方米）.

【点睛】本题是将实际问题转化为直角三角形中的数学问题，通过作辅助线构造直角三角形求解.

17.在平整的地面上，有若干个完全相同的棱长的小正方体堆成一个几何体（如图所示）.

（1）这个几何体由个小正方体组成，请画出这个几何体的三视图；

（2）如果在这个几何体的表面喷上黄色的漆，则在所有的小正方体中，有个正方体只有两个

面是黄色，有个正方体只有三个面是黄色（注：该几何体与地面重合的部分不喷漆）.

【答案】（1）.10（2）.2⑶.3

【解析】

试题分析：（1）从左往右三列小正方体的个数依次为：6,2,2,相加即可；由已知条件可知，主

视图有3列，每列小正方数形数目分别为3,1,2；左视图有3列，每列小正方形数目分别为3,2,

1;俯视图有3歹U,每列小正方数形数目分别为3,2,1.据此可画出图形；

(2)有2个面是黄色的应是第一列最底层最后面那个和第二列最后面那个；只有三个面是黄色的

应是第一列第二层最后面的那个，第二列最前面那个，第三列最底层那个.

解：(1)6+2+2=10；

如图所示：

I宰视回存视园俯视国

(2)有2个面是黄色的应是第一列最底层最后面那个和第二列最后面那个，共2个；只有三个面

是黄色的应是第一列第二层最后面的那个，第二列最前面那个，第三列最底层那个，共3个.

故答案为10；2,3.

考点：作图-三视图.

18.如图，AABC的一边AB是。O的直径，请你添加一个条件，使BC是。。的切线，你所添加的

条件为.

【答案】/ABC=90。(答案不唯一).

【解析】

分析】

根据切线的判定方法知，能使BC成为切线的条件就是能使AB垂直于BC的条件，从而得出答案即

可.

【详解】当NABC=90。时，BC与圆相切.故添加的条件可以是NABC=90。，或ABLBC等，答案

不唯一.

19.如图，A、B是:。上的两点，AC是过A点的一条直线，如果/AOB=120，那么当/CAB

的度数等于度时，AC才能成为〈O的切线.

【答案】60

【解析】

【分析】

由已知可求得/OAB的度数，因为OA_LAC,AC才能成为。O的切线，从而可求得NCAB的度数.

详解】•..△AOB中，OA=OB,ZAOB=120°,

.-.ZOAB=30°,

.,.当/CAB的度数等于60。口寸，OAXAC,AC才能成为。。的切线.

故答案为60

【点睛】本题考查了切线的判定，掌握切线的判定定理是解答此题的关键.

20.如图是一个几何体的三视图，若这个几何体的体积是30,则它的表面积是.

【答案】62

【解析】

【分析】

根据主视图与左视图得出长方体的长和宽，再利用图形的体积得出它的高，进而得出表面积.

【详解】•..由主视图得出长方体的长是5,宽是3,这个几何体的体积是30,

二设高为h,则5x3xh=30,

解得：h=2,

.•.它的表面积是：5x3x2+5x2x2+3x2x2=30+20+12=62.

故答案为62.

【点睛】此题主要考查了利用三视图判断几何体的长和宽，得出图形的高是解题关键.

三、解答题

21.如图所示，一个无盖纸盒的长、宽、高都是8cm.

(1)画出纸盒的平面展开图；

⑵计算纸盒所用材料的面积.

【答案】⑴见解析；（2）320c疗.

【解析】

【分析】

（1）利用正立方体的平面展开图的组成得出即可;

（2）利用正方形的面积求法得出答案.

【详解】（1）如图所示：答案不唯

（2）纸盒所用材料的面积为：8x8x5=320（cm2）.

【点睛】此题主要考查了几何体的展开图，正确掌握正方体的展开图的形状是解题关键.

22.一船以每小时36海里的速度向正北航行到A处，发现它的北偏东30方向上有一灯塔B,船继

续向北航行40分钟后到达C处，发现灯塔B在北偏东60方向上，求此船与灯塔的距离.

【答案】此船与灯塔的距离是24海里.

【解析】

【分析】

对照图形理解方向角知：ZA=30°,ZPCB=60°,根据三角形外角性质得出NB=30。，利用等角对

等边得到BC=AC=24海里.

【详解】ZPCB=^A+^B=60，NA=30，

4=30

，2=/3=30，

BC=AC.

40

AC=36x—=24,

60

：.BC=AC=24(海里).

即此船与灯塔的距离是24海里.

【点睛】本题考查了解直角三角形应用-方向角问题，三角形外角的性质，等腰三角形的判定，正

确理解方向角的定义是解题的关键.

23.如图1是由一些完全相同的小正方体所搭几何体的俯视图，其中小正方形中的数字表示该位置的

小正方体的个数，请在图2的方格纸中分别画出这个几何体的主视图和左视图.

【答案】见解析.

【解析】

【分析】

利用俯视图上的数字可得出几何体的摆放情况，进而得出主视图与左视图.

【点睛】此题主要考查了画三视图以及由三视图判断几何体的形状，想象出结合体的形状是解题关

键.

24.如图，在RtABC中，2C=90，AC=3,BC=4.

⑴求二ABC内切圆的半径；

(2)若移动圆心。的位置，使OO保持与ABC的边AC、BC都相切.

①求半径r的取值范围；

12

②当OO的半径为一时，求圆心。的位置.

7

C

•o

AB

3

【答案】(1)1；(2)①半径〃的取值范围是：0</工一；②圆心在NC45的平分线上，且到。的距

2

禽早时不

道7H-----•

7

【解析】

【分析】

(1)利用勾股定理即可求得ZkABC的面积，然后根据SAABC=SAOAB+SAOBC+SAOAC即可求解；

3I?

(2)①当切点E与A重合时，半径最大，最大值为一；②当。O的半径为一时，作OELA5于

27

点、E，贝UAOE^,AOD,由相似三角形对应边成比例可得丝="，即可求得

OA'O'E

。4强.

7

【详解】(1)在直角，ABC中，AB=y/AC2+BC2=j32+42=5-

设内切圆的半径是：r,

则以3"+昼。厂+以。子」4。.3。，

2222

BP5r+4r+3r=12,

解得：r=l；

(2)①当。0与边AC相切于C时，圆的半径最大，如图，过圆心作ODLAB于点。，连接Q4,

则AD=AC=3,50=5—3=2,

设半径是丫,则SAOC+SAOD+SBOD=­x3x4,

BP—x3r+—x3r+—x2r=—x3x4,

2222

3

解得：r=-,

2

3

则半径一的取值范围是：0<〃《一；

2

②当）。与边AC相切于。时，圆心用。表示则0A=VAD2+0D2

12

当（。的半径为一时，求圆心。用0'表示，作于点E，则A、。、0,在一条直线上,

7

_AOEs：AOD,

OAOD

••OA-O'E'

3

即3小:2

P2OA'12,

7

解得:加=竽

则圆心在/C4B的平分线上，且到。的距离是空L

7

【点睛】本题考查了三角形的内切圆的计算，以及角平分线的性质，相似三角形的性质，正确理解

圆心O一定在NCAB的平分线上是关键.

25.已知：如图，ABC内接于「0,过A点作直线DE,当NBA