2025年高考数学总复习专项训练：高考大题(二) 解三角形的综合运用

专练27高考大题专练（二）解三角形的综合运用

1.[2023•新课标I卷]已知在△ABC中，A+B=3C,2sin(A—C)=sin8.

(1)求sinA；

⑵设AB=5,求AB边上的高.

解析：方法一(1)在△ABC中，A+B^n-C,

7T

因为A+8=3C,所以3C=TI—C,所以

因为2sin(A—Q=sinB,

所以2sin(A—£)=sin(乎—A),

、历

展开并整理得会(sinA—cosA)=2(cosA+sinA),

得sinA=3cosA,

又sin2A+cos2A=l,且sinA>0,所以sinA=4俱.

(2)由正弦定理黑=黑，

得BC=看去XsinA=^义端°=3小'

2

由余弦定理AB2=AC2+BC2—2AC8CcosC,

得52=4。2+(3小)2—2AG34COS彳，

整理得AC?—3®AC+20=0,

解得47=遮或AC=2®,

由(1)得，tanA=3>V5,所以1<A<^,

又4+8=牛，所以8>彳,

即C<8,所以AB<AC,所以AC=2®,

设AB边上的高为//,则3XABX/z=|XACXBCsinC,

即5h=2\[\dX3小X坐，

解得〃=6,所以AB边上的高为6.

方法二（1）在△ABC中，4+8=兀一C,

IT

因为A+8=3C,所以3C=兀一。，所以.

因为2sin(A-Q=sinB,

所以2sin(A—O=sin[7i-(A+Q]=sin(A+Q,

所以2sinAcosC—2cosAsinC=sinAcosC+cosAsinC,

所以sinAcosC=3cosAsinC,

易得cosAcosCWO,

兀

所以tanA=3tanC=3tan4=3,

匕小・人33回

又smA>0,所以smA=[1年前=.

(2)由(1)知sinA二，tanA—3>0,所以A为锐角，所以cosA=1¥,

缶”・D•/3兀人、巫,1.4、也一遮,3Vw、2^5

所以sinB=sin(~^—A)=(cosA+smA)=^X(—,

AB

由正弦定理砧

sinC

5菩

得心^

=-^-=2®'

sinC

2

故A8边上的高为ACXsinA=2，T5义与俱=6.

2.[2024•新课标I卷]记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知sinC=^2cosB,cr+b2

—C2=^/2ab.

⑴求8;

(2)若△ABC的面积为3+小，求c.

zy2_|_L2_J21^

解析：(1)已知/+〃一ab,则有cosC=三石=2-

.IT

又C£(o,71),所以C=4.

又sinC=y[2cosB,所以cos3=^^=；.

TT

又Be(o,7i),所以B=q.

(2)由(1)可得C=z,B=c,由正弦定理，不妨令:「=•o=k(k>0),则有c—)k,b—)k.

~tDdilldillD乙乙

又SZUBC=3+，5,所以S^ABC=2besinA=2besin(3+0=]女(sinBcosC+cosBsinQ

=坐庐（坐又坐+；义坐）=坐a乖;加=3+小，解得左=4（负值舍去），故。=坐k=2y[2.

oZZZZoZ

3.[2023・新课标H卷]记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知△ABC面积为小,D为

BC的中点，且AO=1.

JT

(1)若NA£)C=W,求tan8；

(2)若庐+。2=8,求/?,c.

解析：(1)因为。为8C的中点，

所以SAABC=2S△5c=2X<XADXDCsinZADC=2x1X1XOCX坐=小,

解得。C=2,所以8£>=r)C=2,a=4.

因为/4£)C=W,所以/ADB=,.

在△ABD中,由余弦定理，得C2=AD2+B£)2—2AZXBOCOSNADB=l+4+2=7,所以c=巾.

在△ADC中,由余弦定理，得62=AZ)2+Dc2—2AZXDCcos/Ar>C=l+4—2=3,所以6=小.

由希廿电钾泸oc2+a2~b27+16-35s

在△ABC中,由余弦定理，付cos8——说—一2X4X巾—14,

所以sinB=yJ1-COS2B.

匕匕2八sin5近

所以tanB=HZ

5

（2）因为。为BC的中点，所以2。=。。

因为ZADB+ZADC^n,所以cosNADB=-cosZADC,

4》+必一4AD'+DC^-b1

则在△AB。与△AOC中，由余弦定理，得-2ADBD-=__2ADDC-

得1+8。2—02=—(1+8。2—/),

所以2802=匕2+廿一2=6,所以3。=小,所以。=2小.

廿+»一次8-12__2_

在△ABC中，由余弦定理，得cosNA4C=—诙一

~2bc~be'

所以S^ABC=2反sinZBAC

7b2c2-4

=小,

解得bc=4.

则由。[bc+=产4=8

解得b=c=2.

4.[2024•新课标H卷]记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知sinA+仍cosA=2.

⑴求A;

(2)若〃=2,bsinC=csinIB,求△ABC的周长.

解析：⑴由sinA+小cosA=2,得2gsinA+cosA)=2,所以sin=1.

由A£(0,7i),得A+三金停，离，所以A+4,所以A弋.

(2)由A,B,。为三角形内角，得sinBWO,sinCW0.

因为也bsinC=csin2B,

所以由正弦定理得＜5sinBsinC=sinCsin2B,

所以也sinB=sin2B,即吸sinB=2sinBcosB,所以cos8=^,所以.

因为。=2,A=1,所以由正弦定理，得温匕sin3=2也.

oSill/i

71

上4兀O用心7兀上).厂.7兀.(兀_L兀、范KZV3范1加+也

由Aq,Bq,侍。=记，所以sinC=sin万=sm=2~x2+/X2----，

^6+^2

所以由正弦定理，得C=$旨=——；——=加+也，

S1I1211

2

所以△ABC的周长为〃+6+。=2+2#^+*\/2=2+^6+3^^.

5.在△ABC中，已知NBAC=120。，AB=2,AC=1.

⑴求sinZABC；

(2)若。为3C上一点，且N5AO=90。，求△ADC的面积.

解析：(1)

如图，由余弦定理得BC2=A"+Ac2—2AB-AC•cosNBAC=22+12+2X2XlX；=7,得8C=市.

方法一由正弦定理者而=而矢，

ix坐

=画

得sinNA8C=小

-14

AB2+B(?-AC24+7—1_5巾

方法二由余弦定理得cosZABC—

2ABBC2X2X3~14

所以sinZABC=yj1—cos2ZABC.

(2)方法一由sinNABC=1^,得tanNA8C=乎,

又tanZABC^^=华，所以。4=平，

AnZ3

故△?1℃的面积为口DA-AC-sin(120°—90°)=T义耳^XIX；=东•

乙乙J乙J.V/

11ss

方法二/XABC的面积为]ACABsinN84C=]X1X2X为-=匕-,

c^ACADsinACAD.ono4

.△A。。_£_______sin30_J_

SABAD./口八八2Xsin90°4

-^ABA4DnsmZBAD

故AADC的面积为］SAABC=1X乎=*.

6.［2024•北京卷］在△ABC中，NA为钝角，a=7,sin2B=y-bcosB.

⑴求NA；

(2)再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得AABC存在，求△ABC的面积.

条件①：b=7；

13

条件②：cos8=j^；

条件③:csinA=-^2^.

注：如果选择的条件不符合要求，第⑵问得。分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个

解答计分.

巧

解析：(1)由题意知，2sin5cos5=7bcosB,

TT、巧

又A为钝角，，.*.2sinb.

・・a______b_.a•

,sinA-sinB'.方一sinAsinB,

.c-0近a-n

・・2smB==__7-sinB,

7sinA

IT

又〃=7,B£(0,2),贝IsinBWO,

,小..，—立

2—sinA，.应“一2

VA为钝角,.

2冗

(2)若选①，；b=7,又。=7,A=y,此时构不成三角形，不符合题意.

若选②，•.,cosB=*,sinB=\jl-cos~B.

由正弦定理可得鬻=3,

Sill/i

又sinC—sin[71—(A+B)]=sin(A+B)

=sinAcosB+cosAsinB

酒、，131、,3V§5小

=2XU-2X14=14-

•。1,.「1xzrxz15s

••SAABC=2〃bsmC=]X7X3X^~=-4―.

若选③,*.'csinA=C^2，；・c=5.

由余弦定理得cosA=cos=一；J+；儿0，

即一历=庐+，一〃2,...—56=从+25—49,

・・・序+5/?—24=0,解得b=3(负值舍去)，

・C1,-41m15s

--SAABC—2besinA=2X3X5X=­.

7.△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,设(sin3—sin。2=$垣24—sinBsinC.

⑴求A；

(2)若也a~\~b=2c,求sinC.

解析：⑴由已知得sin2B+sin2C—sin2A=sinBsinC,故由正弦定理得b2+c2—a2=bc.

由余弦定理得cosA=；bc=2-

因为0°<A<180°,所以4=60。.

(2)由(1)知8=120。-C,由题设及正弦定理得表sinA+sin(120