2023-2024学年北京市通州区九年级上学期期末数学试题+答案解析

2023-2024学年北京市通州区九年级上学期期末数学试题

一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.在/"T8C1中，.「_1，AH5，贝km.I的值是（）

A.'B.1C.3D.3

35I5

2.已知•。的半径为6,点P到圆心。的距离为4,则点尸在）

A.内B.上C.外D.无法确定

3.在平面直角坐标系xoy中，将抛物线u一L一先向左平移3个单位长度，再向下平移4个单位长度，所得

到的抛物线的表达式为（）

A.72|.r-3K-IB.”=21/+：，『-I

C.v2\.r-3|2*ID.u=+：，产-1

4.如图，点/,B,C在上，•（）」〃是等边三角形，则，1「〃的大小为（）

A.6（1B.441C.30D.Ml

5.如图，在方格纸中，I”「和//>〃的顶点均在格点上，要使则点尸所在的格点

为（）

6.下列关于二次函数u.1/的说法正确的是（）

A.它的图象经过点I1:;B.它的图象的对称轴是直线，：；

C.当.ru时，y有最大值为0D.当了.II时，〉随x的增大而减小

第1页，共25页

7.在平行四边形4SCD中，£为。C边的中点，AE交BD于点、Q,若的面积为9,则「一”2〃的面积

为（）

A.18B.27C.36D.45

8.兴趣小组同学借助数学软件探究函数的图象，输入了一组a,b的值，得到了它的函数图象,

（J—1>!

借助学习函数的经验，可以推断输入的a,b的值满足（）

二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。

9.已知扇形的圆心角为…，半径为2,则扇形的弧长为［结果保留-

10.如图，八〃「的顶点都是正方形网格中的格点，则.

11.某市开展植树造林活动.如图，在坡度।=1.、：,的山坡N3上植树，要求相邻两树间的水平距离/C为

八J米，则斜坡上相邻两树间AB的坡面距离为米.

第2页，共25页

12.唐代李皋发明了“桨轮船”，这种船是原始形态的轮船，是近代明轮航行模式之先导.如图，某桨轮船

的轮子被水面截得的弦长为8米，轮子的半径/。为5米，则轮子的吃水深度CD为米.

13.已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流/I单位：t与电阻川单位：是反比例函数关系,

它的图象如图所示.如果以此蓄电池为电源的用电器的限制电流不能超过6/,那么用电器的可变电阻及应

控制在一

14.如图，48为.。的直径，点P在48的延长线上，尸C,PD分别与•。相切于点C,。，若.，

则，（\D的度数为

15.如图，A,3两点在反比例函数"-3的图像上，分别过点/,3向坐标轴作垂线段.若四边形

OC所面积为1,则阴影部分的面积之和为

第3页，共25页

16.在平面直角坐标系xOy中，点/的坐标为I1.山.〃是第一象限内任意一点，连接PO,,若上/m

APAO-n:,则我们把0（，〃.，”叫做点尸的“角坐标”.

“点I2/I的“角坐标”为；

⑵若点P到x轴的距离为2,贝h，，•，/的最小值为.

三、解答题：本题共12小题，共96分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

17.।本小题8分।

计算：—tail1~>+.

18.।本小题8分）

如图，在JW&WC中,ZC.Mf,BC=d>.求/c的长和3b的值.

已知二次函数几组x与>的对应值如下表:

.・・.・・

X-3一2-1134

.・・・・・

y1250105

II।写出此二次函数图象的对称轴；

」求此二次函数的表达式.

20.（本小题8分）

如图，在中，<■”,平分交2C于点。，2，1，人」，求42的长.

无人机是利用无线电遥控设备和自备的程序控制装置操纵的不载人飞机，在跟踪、定位、遥测、数据传输

等方面发挥着重要作用，在如图所示的某次测量中，无人机在小山上方的4处，测得小山两端2,C的俯角

分别是I；和W,此时无人机距直线3C的垂直距离是200米，求小山两端8,C之间的距离.

第4页，共25页

A

22.।本小题8分)

下面是小石设计的“过三角形一个顶点作其对边的平行线”的尺规作图过程.

已知:如图，△A5C.

求作：直线3D,使得/")\('

①分别作线段/C,8C的垂直平分线J,「，两直线交于点。;

②以点。为圆心，长为半径作圆；

③以点/为圆心，3c长为半径作弧，交,1〃于点D；

④作直线〃”所以直线2。就是所求作的直线.

根据小石设计的尺规作图过程，

1「使用直尺和圆规，补全图形；I保留作图痕迹，

第5页，共25页

口完成下面的证明.

证明：连接40,

一点/,B,C,。在上，AD1：<,,

AD:------

l>H.\(\H"填推理的依据：

BD//AC.

23.।本小题8分I

如图，「中，C\(B，以为直径的半圆与48交于点。，与NC交于点E.

(2)求证:AD=DE.

24.本小题8分I

在平面直角坐标系xOy中，直线V卜2与双曲线”'的一个交点是.L

JT

(1)求加和上的值；

⑵设点P是双曲线V''上一点，直线/尸与X轴交于点8若八8—3PB，结合图象，直接写出点尸的坐

x

标.

25.(本小题8分)

如图，点C在以N3为直径的上，CD平分,TC3交.。于点。，交AB于点E,过点。作〃/一7。交

C。的延长线于点/二

第6页，共25页

若..1.Pi,,U11、J，求DF的长.

26.।本小题8分।

在平面直角坐标系xOy中，「1」1,。」u「是抛物线"1」,-I上任意两点.

III求抛物线的顶点坐标I用含m的式子表示：1;

L若」3「，，一二，贝!1"；，用“<”，"="，或填空）

131若对于1「-I,一-I,都有功■“：,求机的取值范围.

27.।本小题8分I

如图，14「中，一.［（9—物，X/"I点。在48的延长线上，取AD的中点连结「/）、（I,

将线段CD绕点。顺时针旋转，“得到线段CE,连结.1£、BE

I，依题意，请补全图形;

判断/“：、，/的数量关系及它们所在直线的位置关系，并证明.

28.（本小题8分）

在平面直角坐标系xOy中，•“的半径为I给出如下定义：过•。外一点尸做直线与■。交于点M、N,若

"为线段PN的中点，则称线段PN是.〃的“外倍线”.

图1图2

।如图1,点八，广，/,（,v,\,\\的横、纵坐标都是整数.在线段/;v,r\,r\中，

的“外倍线”是；

，：・。的“外倍线”PN与直线/=2交于点尸，求点尸纵坐标心的取值范围；

第7页，共25页

」，如图2,若.。的“外倍线”PN,N的坐标为：直线”，+f，与线段尸N有公共点，直接写出6

的取值范围.

第8页，共25页

答案和解析

1.【答案】D

【解析】【分析】本题考查了锐角三角函数，勾股定理，熟记三角函数的定义是解题的关键，作出图形更

形象直观.

利用勾股定理列式求出BC,再根据锐角的正弦等于对边比斜边列式即可.

【详解】解：*''*i\(~\\!3

BC=y/AtP-AC1=W-4,=3,

2.【答案】A

【解析】【分析】根据点尸到圆心。的距离小于圆的半径，可知点尸在•。内.

本题主要考查了点与圆的位置关系.熟练掌握点到圆心的距离小于圆的半径，点在圆内，是解题关键.

【详解】•。的半径为6,点P到圆心。的距离为4,且I1,

.1点尸在■(，内.

故选：.1.

3.【答案】D

【解析】【分析】根据图象平移变换规则：左加右减，上加下减，据此解答即可.

【详解】解：抛物线“一2」先向左平移3个单位长度，再向下平移4个单位长度，

■所得到的抛物线的表达式为“―力」.：厂1,

故选：I)

【点睛】本题考查二次函数的图象与几何变换-平移，熟练掌握图象平移变换规则：左加右减，上加下减是

解答的关键.

4.【答案】C

【解析】【分析】由A，，1〃为等边三角形，得：--1()4w,再根据圆周角定理，即可求解.

第9页，共25页

【详解】解：为等边三角形，

Z.4OA=64)>

：-NACB-\LAOB-|x6(r-3O.

故选r.

【点睛】本题主要考查圆周角定理，掌握同弧所对的圆周角是圆心角的一半是解题的关键.

5.【答案】c

【解析】解：BACZPED，

3

而，

\('2

♦时，

ED2

DE-b

・,.EP=6,

•.点P落在八处.

故选：「.

inirpi

由于1*.///)一90,而学,：，则当胃,：时，可根据两组对应边的比相等且夹角对应相等

的两个三角形相似判断△ABCsAEp。,然后利用|,所以//,(»,则易得点尸落在8处.

本题考查了相似三角形的判定：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似.

6.【答案】D

【解析】【分析】根据题目中的函数解析式，可以求出当J1时，了的值，从而可以判断4写出该函

数的对称轴，即可判断瓦当/。时该函数取得最小值，即可判断G当.，“时，y随x的增大如何变化,

即可判断“

【详解】解：二次函数”

」.当.r1时，”=X,故选项/不符合题意；

它的图象的对称轴是直线/(I,故选项8不符合题意；

当j二II时，y有最小值为0,故选项C不符合题意；

当/u时，y随x的增大而减小，故选项。符合题意；

故选：D.

【点睛】本题考查二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的最值，解答本题的关键是

明确题意，利用二次函数的性质解答.

第10页，共25页

7.【答案】C

【解析】【分析】由平行四边形的性质证明1'QlH<>'/'/•卜/；.再利用相似三角形的性

质可得答案.

【详解】解:如图，•yABCD.

：.AB//CD.AI3^CD,

I为CD的中点，

II

DE=-CP=-AU.

22

'：AB//CD.

ADQEs△8QA

.S^fDEV/1\21

一S-时/一（血~\2/一中

故选C.

【点睛】本题考查的是平行四边形的性质，相似三角形的判定与性质，掌握以上知识是解题的关键.

8.【答案】A

【解析】【分析】本题考查函数的图象；能够通过己学的反比例函数自变量的取值范围确定6的取值是解

题的关键.由图象可知，当，u时，〃0,可知,，II;由函数自变量的取值范围可得.「■，,结合函数

图象可得0；从而可得答案.

【详解】解：由图象可知，当，u时，I),

,-.a<0;

由函数自变量的取值范围可得一I,结合函数图象可得八•"；

故选：V

9.【答案】：-；

【解析】【分析】已知扇形的圆心角为，“，半径为2,代入弧长公式计算.

第H页，共25页

【详解】解：依题意，"bll,',

，扇形的弧长———----------

IM)1MI3

故答案为：;1

【点睛】本题考查了弧长公式的运用.关键是熟悉公式：扇形的弧长二：二：

1HU

10.【答案】1

2

【解析】【详解】1/；所在的直角三角形的两直角边分别为：2,4,

/.AB>J炉+4?->瓜

..八M2展

sinZ.4Z>C».

2755

11.【答案】4

【解析】【分析】本题考查坡度问题，利用坡度求得垂直高度，进而利用勾股定理可求得相邻两树间的坡

面距离.

【详解】解：■.坡比11\3>八3,

113('_1

前=闻即*

解得/*'=2，

All=v.1C--fiC-=y(2v3)'•2-=II米I，

故答案为：4.

12.【答案】2

【解析】【分析】本题主要考查了垂径定理、勾股定理等知识点，发现隐含条件《小I”是解题的关键.由

题意可得I。，由垂径定理可得.4"—LlI,再根据勾股定理求得。。，最后根据线段的和差即

2

可解答.

【详解】解：由题意可得：()「，」/1.18_x，

.1/)1,

/.CD=OC-OD=CM-OD=5-3=2.

故答案为？

13.【答案】R1

第12页，共25页

【解析】【分析】本题是反比例函数的应用，会利用待定系数法求反比例函数的关系式，并正确认识图象,

运用数形结合的思想，与不等式或等式相结合，解决实际问题.

根据图象中的点的坐标先求反比例函数关系式，再由电流不能超过6/列不等式，结合图象求出结论.

【详解】解：设反比例函数关系式为：/；，

把代入得：42*3（>>

・反比例函数关系式为：/1,,

当/。时，则力6,

.1.7?>1,

故答案为：/fl

14.【答案】50

【解析】【分析】连接。C、。。，利用切线的性质得到（〃’「，，（〃）/）/>，利用四边形内角和定理得到

<<>!>,根据圆周角定理即可求得到J

【详解】解：连接。C、OD,如图，

/,(,与•<」相切，切点分别为C,D,

(HAP,[DR,

OPor，(K,-()D，

/("'a

乙DPO,

(PAlu.

-Zi，

Z.COD-3tKf-800-90°-W-100*,

.<,\r>con卬，

故答案为：Ml

第13页，共25页

【点睛】本题考查了切线的性质，圆周角定理，四边形内角和定理，熟练掌握圆的切线垂直于经过切点的

半径.若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系.

15.【答案】6

【解析】【分析】本题考查了反比例系数人的几何意义，在反比例函数,,，,图像中任取一点，过这一个点

向X轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值“，在反比例函数的图像上任意一点作坐标

轴作垂线，这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积是Ik，且保持不变.根据反比例函数解析

式中人的几何意义可知、v,*5.=；,因为、...-I,则、I」，-,

然后求和即可解答.

【详解】解：8两点在反比例函数V的图像上，

X

'IM'i-一二、,"J，+SJ:.>.*=।，

-SM7A-1>

b-i-、"卜ti.-；；，

,［阴影部分的面积之和为S1,-1•/4-，”,，¥，"—（t.

故答案为，；

16.【答案】I15.15）

90

【解析】【分析】h设点尸的坐标为d.2,过点尸作/轴于点3,根据点/的坐标为”.山，推出

Z.POA-Z.PAO=45>根据新定义即得.

」，根据点尸运动的路径是直线，「，与以ON为直径的•，相切，推出点尸在切点时，“广」.9，最

大，得到一,”"U最小.

本题主要考查了新定义，等腰直角三角形，圆切线与圆周角.熟练掌握新定义，等腰直角三角形的性质，

圆切线判定，圆周角定理推论，是解决问题的关键.

【详解】；1।设点P的坐标为，过点尸作」轴于点3,

第14页，共25页

二点/的坐标为II.山，

PB=OB=AB=2

MA-LPAO-45>

..点尸的“角坐标”为।|5,|5,

故答案为：11.r>；

⑵；点p到x轴的距离为2,

,点P在直线/：，,，2上运动，直线/与以。/为直径的•(’相切，

设尸在切点，在直线/上另取一点夫，连接P。，PA,RO,RA,设R。与.「交于点S,连接/S,

则NOPA20sA90*，

..OS.l*.()R,\，

..OPA­.o/ri-

.■Z.OPA=900为最大值,

"Hl/'15,

「m…的最小值是9U

故答案为：90

17.【答案】解：原式j-p'J!.;.,

\2j22

【解析】【分析】本题考查了特殊角的三角函数值，关键是熟练掌握结果特殊角的三角函数值，注意运算

的符号.

第15页，共25页

将特殊角的三角函数值代入，先平方，再作加法运算；

n(,

18.【答案】解：在"L中，1]('.(j,In।1[Lj'

IC、，

IH-v—科「-II)，

BC63

.*Hn=—=—=一.

AB105

【解析】【分析】本题考查直角三角形，解题的关键是熟练运用勾股定理以及锐角三角函数的定义，本题

属于基础题型；

根据锐角三角函数的定义以及勾股定理即可求出答案.

19.【答案】II)解:「二次函数图像经过点I1川和(案。),

二该二次函数图像的对称轴为直线.，1,:i1.

■)

一L解：由题意可知：二次函数图像的顶点坐标为11.-L,

〔设该二次函数表达式为：y=a(1-])J如题),

将(3,0)点代入得:!'1.1=0,

,〃1，

,•ws-2r-3.

【解析】【分析】本题主要考查了二次函数图像的性质、运用待定系数法求函数解析式等知识点，掌握待

定系数法是解题的关键.

!直接运用二次函数图像的对称性解答即可；

」由题意可得二次函数图像的顶点坐标为IL然后设设该二次函数表达式为：“”，I-

再将(3,0)代入求得“即可解答.

20.【答案】解：在用I/"中，，八」，八3，

CA语3

Z.CAD=30°

；八。平分

ZC.4ZJ=2Z.CAD=60

第16页，共25页

NS*90°-Z.CAB*3O:

在力A4BC中，ZB.ar

AU=2AC=

【解析】【分析】本题主要考查了正切函数、特殊角的三角函数值、角平分线的定义、直角三角形的性质

等知识点，根据题意求得_W是解答本题的关键.

先根据正切的定义以及特殊角的函数值可得川，由角平分线的定义可得

£CAB=2ZCiW=6T>进而得到N8=3(r，最后根据直角三角形的性质即可解答.

21.【答案】解：过点/作,1/兀于点。

一测得小山两端2,。的俯角分别是「，和.打，

15，ZC40>

在中，.1。一/“)21MI

在川I0)中，「。一、-Ji.IV3

CB=200+200Vz5.

答：小山两端3,C之间的距离为小心+件”、；；］米

［解析X分析】本题考查了解直角三角形的应用，解题关键是读懂题意，构造直角三角形求解•先作」“/"

于。，分别求出8。和CD,再相加即可.

22.【答案】解：I如图，直线就是所求作的直线

第17页，共25页

，证明：连接力。，

一点/,2,C,。在,”上，,1/)11(,,

..AD=BC.

在同圆中，等弧所对的圆周角相等

BD//AC.

故答案为：在同圆中，等弧所对的圆周角相等

【解析】【分析】।根据题干的作图步骤依次作图即可；

，由作图可得.1。b(',证明ilt■,利用圆周角定理可得./〃"=('XH,从而可得答案.

【点睛】本题考查的是作线段的垂直平分线，三角形的外接圆，平行线的作图，圆周角定理的应用，掌握

“圆周角定理”是理解作图的关键.

23.【答案】“证明：连结CD,如图：

.为半圆的直径,

BD1CD-

第18页，共25页

:点。为48的中点.

，方法一：证明：「Icn,

上B=乙4，

四边形8CE。为圆内接四边形，

\1!>!，

AD=DE.

方法二：证明：连结。O,EO,

<»-(H,\1)-〃/),

\(,1>-“</)，

,12Z1(P，zDOB=2£B(D，

£DOE=£DOB.

BD-/)/.)

BD=DE.

AD-HD，

AD=DE.

【解析】【分析】本题考查了等腰三角形的判定及性质、圆周角定理、圆内接四边形的性质:

111连接CD,利用等腰三角形的“三线合一”性质即可求证结论；

「，方法一：根据圆内接四边形的性质及等腰三角形的判定即可求证结论；

方法二：利用等腰三角形的性质及圆周角定理即可求证结论；

熟练掌握相关知识是解题的关键.

第19页，共25页

24.【答案】解：I)把点4(，”,3)的再把代入J；得至丁2,

再把m弋入“，1一2,32/.一＞,解得A—L

所以―2,卜—

(2)①当点尸在第三象限时,如图L作，轴于Ph二轴于厂,

1//7,

AEAB

评二而

PF

「卜-1，

・・.P(-6,-l).

②当点尸在第一象限时，如图2,作」//轴于/".，轴于尸,

AE_AB

河=河=3n'

3

“3,

PF-1，

/Mi.r,

综上所述，满足条件的点尸坐标为：，八1，或hii

第20页，共25页

【解析】本题考查一次函数与反比例函数图象的交点，平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是学

会添加常用辅助线，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型.

1，利用待定系数法即可解决问题.

2分两种情形①当点尸在第三象限时，作八E_Lr轴于E,PFLr轴于尸，由得到等=器=3,

推出『F=1，②当点P在第一象限时，作"，轴于E,八/「轴于R由"/7,得上二'

PFIB

推出PII,由此即可解决问题.

25.【答案】：h证明：连结

.A"为•。的直径，

•,ZACB=SKf

，平分\('H，

\Z.ACD=45°

Z.AOD=2AACD=90

!>!1",

•.NMD+o

Z.ODF=90;

直线。厂是•。的切线.

解：在*I/“'中，ZA=3T>4c=4\：»

BC

1J('.1(tan31>I>AH-

Mn3(r

,()ni,

•/Z.COB=60*

又，DiAil,

/.ZF-60°

在/“中，tan»J''J!,

第21页，共25页

crOD44/3

Dr■—.

tan6()避3

【解析】【分析】本题考查了切线的判定，圆的性质，特殊角的三角函数，熟练掌握切线的判定，特殊角

的三角函数值是解题的关键.

口连接。。，证明"。即可.

「，在〃中，根据」1J「，"I，得出〃「I,1〃、，利用平行线性质得到

ZBOCZ.DFO卬，在RiADFO,利用三角函数计算即可.

：

26.【答案】：1解：,1/—f--i}.'1।rIN.,

■抛物线顶点坐标为Im-11.

「，将」2代入「I」巾」1得W2-13.

将，」…♦、代入1/•-r3、-1得l/t一121,

a<

I：，一•抛物线对称轴为直线了小，

一点II.L।关于对称轴对称点为I匕〃L叱.

-抛物线开口向上，4，卜，

「？”।-I•/：J,

.-1工八<1,

..2rn-IW-I，

解得

HI-Q

【解析】【分析】本题考查二次函数图象上的点的特征解题关键是掌握二