2024历年高考数学试题汇编：空间几何体位置关系

历年高考数学真题精编

10空间几何体位置关系

一、单选题

1.（2022•全国）已知正四棱锥的侧棱长为/,其各顶点都在同一球面上.若该球的体积为36万，

且3V/V3/,则该正四棱锥体积的取值范围是（）

81]「27811「27641…

A.18,—B.—C.—D.r[i1o8,27]

_4JL44JL43_

2.（2022.全国）已知正三棱台的高为1,上、下底面边长分别为3K和4—,其顶点都在同

一球面上，则该球的表面积为（）

A.IOOTTB.1287rC.144兀D.192兀

3.（2022•全国）已知球。的半径为1,四棱锥的顶点为。，底面的四个顶点均在球。的球

面上，则当该四棱锥的体积最大时，其高为（）

4.（2022•全国）甲、乙两个圆锥的母线长相等，侧面展开图的圆心角之和为2兀，侧面积分

另为S甲和%,体积分别为/和吟.若削=2,贝心=（）

3乙V乙

A.75B.2A/2C.MD.

5.（2023•全国）已知圆锥尸。的底面半径为名，。为底面圆心，PA,尸8为圆锥的母线，

ZAOB=120°,若加的面积等于％叵，则该圆锥的体积为（）

4

A.nB.娓兀C.37D.3瓜兀

6.（2023•全国）已知四棱锥尸—ABCZ）的底面是边长为4的正方形，PC=PD=3,ZPCA=45°,

则.PBC的面积为（）

A.2A/2B.3亚C.4万D.672

7.（2021.全国）己知圆锥的底面半径为0,其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的母线长

为（）

A.2B.2A/2C.4D.4及

8.（2023•全国）在三棱锥P-ABC中，ABC是边长为2的等边三角形，PA=PB=2,PC=娓,

则该棱锥的体积为（）

A.1B.V3C.2D.3

9.（2020•全国）已知4民C为球。的球面上的三个点，。。1为一的外接圆，若。&的

面积为4兀，AB=BC=AC=OO],则球。的表面积为（）

A.64兀B.48兀C.36兀D.32兀

10.（2021・全国）已知4,5,。是半径为1的球0的球面上的三个点,且4?，5。,4。=3。=1,

则三棱锥ABC的体积为（）

二、多选题

11.（2023・全国）下列物体中，能够被整体放入棱长为1（单位：m）的正方体容器（容器

壁厚度忽略不计）内的有（）

A.直径为0.99m的球体

B.所有棱长均为1.4m的四面体

C.底面直径为0.01m,高为L8m的圆柱体

D.底面直径为1.2m,高为0.01m的圆柱体

12.（2023・全国）已知圆锥的顶点为P,底面圆心为0,48为底面直径，ZAPS=120°,上4=2,

点C在底面圆周上，且二面角P—AC-O为45。，贝I（）.

A.该圆锥的体积为兀B.该圆锥的侧面积为46兀

C.AC=2A/2D.AR4c的面积为百

13.（2022•全国）如图，四边形ABC。为正方形，EDL^ABCD,FB〃ED,AB=ED=2FB,

记三棱锥E—ACD,F-ABC,/一ACE的体积分别为匕,匕,匕，贝U（）

A.匕=2匕B.匕=匕

C.匕=乂+匕D.2匕=3K

14.（2022•全国）已知正方体ABCD-aqGA，贝!J（）

A.直线BG与所成的角为90。B.直线8G与CA所成的角为90°

C.直线BG与平面8BQD所成的角为45°D.直线8G与平面ABCD所成的角为

45°

三、填空题

15.（2023•全国）已知点S,AB,C均在半径为2的球面上，_ABC是边长为3的等边三角形，

SA_L平面ABC,贝i」S4=.

16.（2023•全国）在正方体4BCQ-ABGA中，AB=4,0为AQ的中点，若该正方体的棱

与球。的球面有公共点，则球。的半径的取值范围是.

17.（2023•全国）在正方体A8CO-AqG〃中，E,尸分别为AB,G2的中点，以斯为直

径的球的球面与该正方体的棱共有个公共点.

18.（2023•全国）在正四棱台ABCD-ABiGR中，AB=2，A4=LA&=忘，则该棱台的体

积为.

19.（2023•全国）底面边长为4的正四棱锥被平行于其底面的平面所截，截去一个底面边长

为2,高为3的正四棱锥，所得棱台的体积为.

20.（2020•全国）已知圆锥的底面半径为1,母线长为3,则该圆锥内半径最大的球的体积

为.

四、解答题

21.（2021.全国）如图，在三棱锥A-BCD中，平面平面3cD,AB=AD,。为BD

的中点.

（1）证明：OA±CD；

（2）若八OCD是边长为1的等边三角形，点E在棱AD上，DE=2EA,且二面角E-3C-O

的大小为45。，求三棱锥A-BCD的体积.

22.（2023•全国）如图，在三棱锥P-A5c中，AB±BC,AB=2,BC=20,PB=PC=y[6,

的中点分别为2E,O,点尸在AC上，BF±AO.

A

⑴求证：E1尸〃平面ADO；

⑵若/尸。尸=120。，求三棱锥P-ABC的体积.

23.（2022•全国）如图，四面体ABCD中，AD±CD,AD^CD,ZADB=ZBDC,E为AC的

中点.

(1)证明：平面3ED_L平面AC。；

(2)设AB=3D=2,NACB=60。，点尸在3。上，当的面积最小时，求三棱锥尸-ABC

的体积.

24.(2021•全国)如图，四棱锥P-ABCD的底面是矩形，底面ABC。，M为BC的中

点，且尸3_L40.

(1)证明：平面R4M_L平面尸BD；

(2)若PD=OC=1,求四棱锥尸-ABCD的体积.

25.(2021•全国)己知直三棱柱ABC-A4C中，侧面44由8为正方形，AB=BC=2,E,

斤分别为AC和CG的中点，BFVA^.

(1)求三棱锥P-£BC的体积;

(2)已知。为棱4月上的点，证明：BFYDE.

26.(2020.全国)如图，。为圆锥的顶点，。是圆锥底面的圆心，ABC是底面的内接正三

角形，P为。。上一点，ZAPC=90°.

(1)证明：平面公81.平面mC；

(2)设。。=&,圆锥的侧面积为后，求三棱锥P-ABC的体积.

参考答案：

1.C

【分析】设正四棱锥的高为3由球的截面性质列方程求出正四棱锥的底面边长与高的关系,

由此确定正四棱锥体积的取值范围.

【详解】•.•球的体积为36%,所以球的半径K=3,

设正四棱锥的底面边长为2a,高为心

贝产=2/,32=2a2+（3—h）2,

所以6/i=/2,2a2=『—方

112/4/21//6\

所以正四棱锥的体积V=WS/Z=ZX4Q2X/Z=WX（/2—）X"=XZ4--,

3333669136J

所以叫":NR

当3W/W2m时，V>0,当2"</V3若时，V'<0,

所以当/=2"时，正四棱锥的体积V取最大值，最大值为日，

27Q1

又/=3时，V=—,/=3g时，V=—,

44

所以正四棱锥的体积V的最小值为2一7，

所以该正四棱锥体积的取值范围是y-y.

故选：C.

［方法二］:基本不等式法

i_-|3

由方法一故所以V=g/〃=g（6〃-〃2,=#12_2/0〃、eg>—2?+/z+/z=,（当且

仅当力=4取到）,

当它时,得a考,则=#T强电子

当/=3gI—时，球心在正四棱锥图线上，此时A=i3+3=]Q,

曰"=¥="=*,正四棱锥体积乂=：。，=%等）葭9=*＜三，故该正四棱锥体积的取

值范围是目争

2.A

【分析】根据题意可求出正三棱台上下底面所在圆面的半径小々再根据球心距，圆面半径，

以及球的半径之间的关系，即可解出球的半径，从而得出球的表面积.

【详解】设正三棱台上下底面所在圆面的半径小4，所以入=2^,2力=业"，即

勺=3用=4,设球心到上下底面的距离分别为4,4,球的半径为R,所以4=近一9,

d2=依-16，故|4-4|=1或4+4=1，即|J&-9--16卜1或+VF=16=1，

2

解得R=25符合题意，所以球的表面积为S=4成2=1007r.

3.C

【分析】方法一：先证明当四棱锥的顶点。到底面A8C。所在小圆距离一定时，底面ABC。

面积最大值为2，，进而得到四棱锥体积表达式,再利用均值定理去求四棱锥体积的最大值，

从而得到当该四棱锥的体积最大时其高的值.

【详解】［方法一］:【最优解】基本不等式

设该四棱锥底面为四边形ABCD四边形ABC。所在小圆半径为r,

设四边形ABC。对角线夹角为a,

2

则SABCD=；,AdD，sina<-AC-BD<-2r-2r=2r

（当且仅当四边形ABCD为正方形时等号成立）

即当四棱锥的顶点。到底面A2CD所在小圆距离一定时，底面ABCD面积最大值为2,

又设四棱锥的高为3则/+/=/,

当且仅当r2=2/?即，，邛时等号成立.

故选：C

［方法二］:统一变量+基本不等式

由题意可知，当四棱锥为正四棱锥时，其体积最大，设底面边长为。，底面所在圆的半径为

人则厂=乎〃，所以该四棱锥的高=

_______________aaa

12.a2_4la2a2<4Z+Z+

V

3Y23V442313w考

（当且仅当9=1-即时，等号成立）

所以该四棱锥的体积最大时，其高/，=

故选：C.

［方法三］:利用导数求最值

由题意可知，当四棱锥为正四棱锥时，其体积最大，设底面边长为。，底面所在圆的半径为

厂，则r=受々，所以该四棱锥的高仁令/=«0<［<2）,卜2»一二

2V23V23V2

设/⑺=产一1,则广⑺=2f4，

0<?<1,/，（0>O-单调递增，*<2，/⑺<°，单调递减，

所以当♦=1时，v最大，此时力=卜^=”.

故选：C.

【点评】方法一：思维严谨，利用基本不等式求最值，模型熟悉，是该题的最优解；

方法二：消元，实现变量统一，再利用基本不等式求最值；

方法三：消元，实现变量统一，利用导数求最值，是最值问题的常用解法，操作简便，是通

性通法.

4.C

【分析】设母线长为/,甲圆锥底面半径为小乙圆锥底面圆半径为4,根据圆锥的侧面积

公式可得4=2々，再结合圆心角之和可将小马分别用/表示，再利用勾股定理分别求出两圆

锥的高，再根据圆锥的体积公式即可得解.

【详解】解：设母线长为/,甲圆锥底面半径为石,乙圆锥底面圆半径为4,

则园=加=2=2,

」％7ir2lr2

所以a=2々，

又牛+牛=2万，

则牛=1,

21

所以々=-1,

所以甲圆锥的高=方/,

乙圆锥的高％=j/2-3尸=乎/,

v-/2X-/

所以卜r=河

393

故选：C.

5.B

【分析】

根据给定条件，利用三角形面积公式求出圆锥的母线长，进而求出圆锥的高，求出体积作答.

【详解】

在中，ZAOB=120°,而。4=08=6，取A3中点C,连接。C,尸C,有

ZABO=30,OC=—,AB=2BC=3,由的面积为矩，^-x3xPC=—,

2424

22

解得PC=亭，于是尸o=VPC-OC=，（竽）2_（,）2=屈,

所以圆锥的体积丫=；无*042义20=；兀乂（退）2乂n=后兀.

故选：B

6.C

【分析】法一：利用全等三角形的证明方法依次证得，PDO三尸CO,PDB^PCA,从而

得到PA=PB,再在APAC中利用余弦定理求得PA=y/17,从而求得PB=^11,由此在_PBC

中利用余弦定理与三角形面积公式即可得解；

法二：先在△PAC中利用余弦定理求得PA=JF7,cosZPCB=1,从而求得PA.pc=-3,

再利用空间向量的数量积运算与余弦定理得到关于尸氏NBP。的方程组，从而求得尸8=旧,

由此在aPBC中利用余弦定理与三角形面积公式即可得解.

【详解】法一：

连结AC,即交于。，连结尸。，则。为AC,的中点，如图，

因为底面ABCD为正方形，AB=4,所以AC=BD=40,则DO=CO=20,

又PC=PD=3,PO=OP,所以二尸DO=尸CO,贝！|/P£>O=/PCO,

又PC=PD=3,AC=BD=4四,所以.PCA,则24=尸8,

在△丛。中，PC=3,AC=4A/2,ZPCA=45°,

贝U由余弦定理可得PA2=AC2+PC2-2AC-PCCOSZPCA=32+9-2X4点x3x—=17,

2

故尸A=JI7,则PB=&7,

故在一PBC中，PC=3,PB=屈,BC=4,

PC、BC?-PB?9+16-171

所以cosNPC8=

2PCBC2x3x4-3

又。<NPCB<7t,所以sinNPCB=Jl一cos?NPCB=

3

所以PBC的面积为S=L尸C•BCsinN尸CB=!x3x4x32=4JL

223

法二:

连结交于。，连结P。，则。为AC,8。的中点，如图,

因为底面ABCD为正方形，AB=4,所以ACuBOudVL

在△出C中，PC=3,NPCA=45。,

则由余弦定理可PA2=AC2+PC2-2AC-PCcosZPCA=32+9-2x472x3x—=17,故

2

PA=V17,

以2+叱-317+9-32_V17

所以cosNAPC=则

2PA•PC2X717X3-17

PA-PC=|PA||PCkosNA尸C=gx3x-%=-3,

不妨记PB=m,NBPD=6,

因为P0=；(PA+PC)=g(P2+PD),所以(PA+PcJ=(PB+PZ))2,

Fin2222

BPPA+PC+2PAPC=PB+PD+2PBPD，

贝！117+9+2x(—3)=m~+9+2x3xzncos^,整理得mz+6zncos6—11=0①,

又在△尸BD中，BD2=PB1+PD2-2PB-PDCOSZBPD,即32=加+9-6〃?cos。，则

m2-6mcos-23=0@,

两式相力口得2加2-34=0,故PB=m=后，

故在一PBC中，PC=3,PB=屈,BC=4,

PC2+BC2-PB29+16-171

所以cosNPC8=

2PCBC2x3x4

又。<NPCB<7t,所以sin/尸C3==

3

所以PBC的面积为S=L尸C•BCsinN尸CB=!x3x4x32=4JL

223

故选：C.

7.B

【分析】设圆锥的母线长为/，根据圆锥底面圆的周长等于扇形的弧长可求得/的值，即为

所求.

【详解】设圆锥的母线长为/,由于圆锥底面圆的周长等于扇形的弧长，则M=2%x&,解

得/=2\/2.

故选：B.

8.A

【分析】证明AB人平面PEC,分割三棱锥为共底面两个小三棱锥，其高之和为AB得解.

【详解】取AB中点E,连接尸E,CE,如图，

p

ABC是边长为2的等边二角形，PA=PB=2,

:.PE±AB,CE1.AB,又PE,CEu平面PEC,PE\CE=E,

AB工平面PEC,

又PE=CE=2x是=0,PC=4^,

2

tkPC1=PE1+CE1,§PPEYCE,

故选：A

9.A

【分析】由已知可得等边."C的外接圆半径，进而求出其边长，得出的值，根据球的

截面性质，求出球的半径，即可得出结论.

【详解】设圆。।半径为*球的半径为R,依题意，

得万r=4万,；.厂=2,ABC为等边三角形，

由正弦定理可得A2=2rsin60。=2石，

：.OO\=AB=26根据球的截面性质。。1平面ABC,

OO[±OtA,R=OA=Joo：+0^2=^OO2+r2=4,

丁•球0的表面积S=MR?=64%.

【点睛】本题考查球的表面积，应用球的截面性质是解题的关键，考查计算求解能力，属于

基础题.

10.A

【分析】由题可得一MC为等腰直角三角形，得出一ABC外接圆的半径，则可求得。到平面

A3C的距离，进而求得体积.

【详解】AC±BC,AC=BC=l,，ABC为等腰直角三角形，.“8=0,

则一ABC外接圆的半径为无，又球的半径为1,

2

设。到平面A5c的距离为d,

所以%ABC=!SABC=-X—X1X1X.

_

CzADC3/IDC32212

故选：A.

【点睛】关键点睛：本题考查球内几何体问题，解题的关键是正确利用截面圆半径、球半径、

球心到截面距离的勾股关系求解.

11.ABD

【分析】

根据题意结合正方体的性质逐项分析判断.

【详解】对于选项A：因为Q99m<lm,即球体的直径小于正方体的棱长，

所以能够被整体放入正方体内，故A正确；

对于选项B：因为正方体的面对角线长为鬲，且0>1.4，

所以能够被整体放入正方体内，故B正确；

对于选项C：因为正方体的体对角线长为6m,且6<1.8,

所以不能够被整体放入正方体内，故C不正确；

对于选项D：因为1.2m>lm,可知底面正方形不能包含圆柱的底面圆，

如图，过AC1的中点。作OELAG，设OEIAC=E,

可知AC=应,CG=1,AC|=y(3,OA=—,贝！jtan/CAG=第=罢,

2ACAO

1_OE

即正，解得。£=如r，

T4

且1=。>舁。•凡BPT>0-6,

故以AG为轴可能对称放置底面直径为1.2m圆柱，

若底面直径为1.2m的圆柱与正方体的上下底面均相切，设圆柱的底面圆心与正方体的

下底面的切点为

可知：AC1101M,01M=0.6,则tanNCAG=*=鬻，

/IC-/iCz）

10.6-L

即"77=777,解得AO】=0.6V2，

根据对称性可知圆柱的高为若-2x0.6&。1.732-1.2x1.414=0.0352>0.01,

所以能够被整体放入正方体内，故D正确；

故选：ABD.

12.AC

【分析】根据圆锥的体积、侧面积判断A、B选项的正确性，利用二面角的知识判断C、D

选项的正确性.

【详解】依题意，ZAPS=120°,PA=2,所以。尸=1,OA=OB=VL

A选项，圆锥的体积为gxitx（百Jxl=7i,A选项正确；

B选项，圆锥的侧面积为兀x括x2=2扃，B选项错误；

C选项，设。是AC的中点，连接

则AC_LOD,AC_LPD,所以ZPDO是二面角尸—AC—O的平面角，

则NP£）O=45。，所以OP=OD=1,

AD=CD=73^1=72,则AC=2应，C选项正确；

D选项，尸£>=jF+a=&,所以SPAC=5X20X应=2,D选项错误.

故选：AC.

13.CD

【分析】直接由体积公式计算匕匕，连接8。交AC于点M,连接EM,FM,由

匕=VA-EFM+VC-EFM计算出匕，依次判断选项即可.

【详解】

设AB=ED=2FB=2a,因为平面ABC。，FBED,则

111?4

V=-EDS=--2a---（-2aY=-a3,

13Arn32v73

匕=?烟6"=3"；（2。）2=：。3,连接3。交AC于点M,连接易得

BD±AC,

又£ZU平面ABC。，ACu平面ABC。，则EDLAC,又EDBD=D,£D,8Du平面

BDEF,则AC_L平面BDEF,

又BM=DM=gBD=6a,过尸作尸G,DE于G,易得四边形BDG歹为矩形，贝U

FG=BD=2y[2a,EG=a,

贝IEM=J（2a）~+（A/^ZZ）=&>a,FM=Ja2+j=>f3a）EF=Ja。+（2>/^a）=3a，

2222

EM+FM=EF,则9,9,SEFM=^EM-FM=^a,AC=2垃a，

1,

则匕=匕一Era/=]AC-SEFM=2。，贝12V3=3匕，匕=3匕，匕=匕+匕，故A、B错

误；C、D正确.

故选：CD.

14.ABD

【分析】数形结合，依次对所给选项进行判断即可.

【详解】如图，连接与C、BC-因为。A〃BC，所以直线BQ与80所成的角即为直线3G

与。4所成的角，

因为四边形8耳GC为正方形，则g故直线BG与所成的角为90。，A正确；

连接AC,因为A4_L平面B4GC,8«匚平面88℃,则4耳_13£,

因为AtBtBC=B],所以BQ，平面4BC，

又ACu平面AB。，所以BG_LC4,故B正确；

连接4G，设4£，BR=O,连接30,

因为平面45c£>],6。匚平面4耳。2，则G。，用8,

因为CQ_LA2，BRcBiB=Bi,所以C0_L平面B8QQ,

所以NGB。为直线3G与平面88。。所成的角，

设正方体棱长为1,则60=正，BC、=®,sinZC,BO=|^=1,

所以，直线BG与平面班QD所成的角为30,故C错误；

因为平面ABC。，所以为直线BG与平面ABC。所成的角，易得NGBC=45,

故D正确.

故选：ABD

15.2

【分析】

先用正弦定理求底面外接圆半径，再结合直棱柱的外接球以及求的性质运算求解.

【详解】

如图，将三棱锥S-ABC转化为正三棱柱SMN-ABC,

设一ABC的外接圆圆心为a,半径为乙

2r=___—__==2^3

贝I]sinZACB6，可得r=VL

工

设三棱锥S-ABC的外接球球心为0,连接0AOQ,则。4=2,；S4,

因为。Ku。。；+0]&2,即4=3+5以2,解得&4=2.

故答案为：2.

【点睛】

方法点睛：多面体与球切、接问题的求解方法

(1)涉及球与棱柱、棱锥的切、接问题时，一般过球心及多面体的特殊点(一般为接、切点)

或线作截面，把空间问题转化为平面问题求解；

(2)若球面上四点P、A、B、C构成的三条线段PA.PB、PC两两垂直，且B4=a,PB=b,

PC=C,一般把有关元素“补形”成为一个球内接长方体，根据4/?2=.2+炉+好求解；

(3)正方体的内切球的直径为正方体的棱长；

(4)球和正方体的棱相切时，球的直径为正方体的面对角线长；

(5)利用平面几何知识寻找几何体中元素间的关系，或只画内切、外接的几何体的直观图，

确定球心的位置，弄清球的半径（直径）与该几何体已知量的关系，列方程（组）求解.

16.[2应,2两

【分析】当球是正方体的外接球时半径最大，当边长为4的正方形是球的大圆的内接正方形

时半径达到最小.

【详解】设球的半径为R.

当球是正方体的外接球时，恰好经过正方体的每个顶点，所求的球的半径最大，若半径变得

更大，球会包含正方体，导致球面和棱没有交点，

正方体的外接球直径2R为体对角线长AC】="+42+军=4+,即2R'=4如,R=2g,

故Max=26;

分别取侧棱例,即,CCQA的中点”,H,G,N,显然四边形MNGH是边长为4的正方形,

且。为正方形MNGH的对角线交点，

连接MG,则MG=4夜，当球的一个大圆恰好是四边形MNG"的外接圆，球的半径达到最

小，即R的最小值为2女.

综上，7?£[272,273].

故答案为：[2后,2g]

17.12

【分析】

根据正方体的对称性，可知球心到各棱距离相等，故可得解.

【详解】不妨设正方体棱长为2,所中点为。，取CD,CC,中点G,M,侧面的中

心为N,连接FG,EGQM,ON,MN,如图,

由题意可知，。为球心，在正方体中，EF=J,FG?+EG。=+2?=2夜，

即氏=血，

则球心。到CG的距离为OM=y]ON12+MN2=Vl2+12=A/2，

所以球。与棱CG相切，球面与棱CG只有1个交点，

同理，根据正方体的对称性知，其余各棱和球面也只有1个交点，

所以以EP为直径的球面与正方体棱的交点总数为12.

故答案为：12

is.标/1新

66

【分析】

结合图像，依次求得aa，Ao，AM,从而利用棱台的体积公式即可得解.

【详解】如图，过A作AMLAC,垂足为M,易知AM为四棱台ABC。-的高,

因为AB=2，Aq=1，M=0,

11511

则A。=—AG=—x0A81=—,AO=-AC=-x>/2AB=y/2,

22222

故AM=g（AC_AG）=乎,22

则AXM=7AA-AM

故答案为:等

19.28

【分析】方法一：割补法，根据正四棱锥的几何性质以及棱锥体积公式求得正确答案；方法

二：根据台体的体积公式直接运算求解.

【详解】方法一：由于彳=而截去的正四棱锥的高为3,所以原正四棱锥的高为6,

42

所以正四棱锥的体积为:x（4x4）x6=32,

截去的正四棱锥的体积为:x（2x2）x3=4,

所以棱台的体积为32-4=28.

方法二：棱台的体积为gx3x（16+4+至港）=28.

故答案为：28.

【分析】将原问题转化为求解圆锥内切球的问题，然后结合截面确定其半径即可确定体积的

值.

【详解】易知半径最大球为圆锥的内切球，球与圆锥内切时的轴截面如图所示,

其中BC=2,A3=AC=3,且点M为BC边上的中点，

设内切圆的圆心为。，

由于AM=Js?-1?=2y，故=］x2x2血=20,

设内切圆半径为「，贝心

%BC=%0B+SABOC+%oc=g*"Xr+gXBCXr+gxACXr

=gx(3+3+2)xr=2近，

解得：r=Y^,其体积：V=*兀广=也^兀.

233

故答案为：〕自万.

3

【点睛】与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接.解题时要认真分析图形，明确

切点和接点的位置,确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图,如球内切于正方体，

切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体，正方体的顶点

均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径.

21.(1)证明见解析;(2也.

6

【分析】(1)由题意首先证得线面垂直，然后利用线面垂直的定义证明线线垂直即可；

(2)方法二：利用几何关系找到二面角的平面角，然后结合相关的几何特征计算三棱锥的体

积即可.

【详解】(1)因为=。是3。中点，所以。4，以)，

因为Q4u平面平面平面BCD,

且平面ABDc平面3cD=BD,所以Q4L平面BCD.

因为CDu平面BCD,所以。4_LCD.

(2)［方法一］:通性通法一坐标法

如图所示，以。为坐标原点，为z轴，。。为y轴，垂直且过。的直线为x轴，建立

空间直角坐标系。-孙z,

则C(—,-,0),D(0,l,0),8(0,-1,0),设A(0,0,附,£(0,,,：")，

2233

E

所以班=(0,-g,-|M,BC=(#,|,。),

设A=(x,y,z)为平面ESC的法向量，

则由)',"二°可求得平面EBC的一个法向量为〃=(-73,1,--).

BCn=Om

又平面BCD的一个法向量为。4=(0,0,m),

所以cos",OA)=——.=—,解得租=1.

'/.42

“4+二

Vm

又点C到平面迎的距离为也，所以%BCD=VCABD=LJx2xlxl叵，

A—L-AtSDCCC/

2522o

所以三棱锥A-38的体积为近.

6

［方法二］【最优解】：作出二面角的平面角

如图所示，作EG_L9,垂足为点G.

作GbLBC,垂足为点忆连结所，则。4〃EG.

因为OA_L平面BCD,所以EG_L平面BCD,

/EFG为二面角E—3C—。的平面角.

因为NEFG=45。，所以EG=FG.

由已知得08=00=1,故。B=OC=1.

又NOBC=NOCB=30°,所以3C=6.

24222

因为GD=—,GB=—,FG=—CD=—,EG=—,OA=\,

33333

］111x/3x/3

VA-BCD=~S.BCDXOA=~X^S,BOCXOA=~X^X(~X-X^X^)Xl=~■

［方法三］:三面角公式

考虑三面角3—即C，记NEBD为a,/EBC为/3,3c=30。，

记二面角E—3C—。为凡据题意，得。=45。.

对"使用三面角的余弦公式，可得cos，=cosc-cos30。，

化简可得cos"=geos<z.①

使用三面角的正弦公式，可得sin£=",化简可得sin^=0sina.②

sin”

3

将①②两式平方后相加，可得:8$2。+25m20=1,

4

根据三角形相似知，点G为。。的三等分点，即可得5G=1，

结合。的正切值，

可得EG=[,。4=1从而可得三棱锥A-BCD的体积为亘

【整体点评】(2)方法一：建立空间直角坐标系是解析几何中常用的方法，是此类题的通性

通法，其好处在于将几何问题代数化，适合于复杂图形的处理；

方法二：找到二面角的平面角是立体几何的基本功，在找出二面角的同时可以对几何体的几

何特征有更加深刻的认识，该法为本题的最优解.

方法三：三面角公式是一个优美的公式，在很多题目的解析中灵活使用三面角公式可以使得

问题更加简单、直观、迅速.

22.(1)证明见解析

Q)巫

3

【分析】(1)根据给定条件，证明四边形ODE尸为平行四边形，再利用线面平行的判定推

理作答.

(2)作出并证明R0为棱锥的高，利用三棱锥的体积公式直接可求体积.

【详解】(1)连接。瓦0F，设AF=ZAC,则8尸=BA+A尸=(1一。a4+rBC,AO=-BA+^BC,

BFLAO,

1.21

贝BFAO^[(l-t)BA+tBC]-(-BA+-BC)=(r-l)BA+-?BC2=4(r-l)+4?=0,

解得则尸为AC的中点，由D,E,O,歹分别为P员总,3C,AC的中点，

于是DEMAB,DE=：AB,OF11AB,OF=-AB,即DE//OF,DE=OF,

22

则四边形ODEF为平行四边形，

EF/IDO,EF=DO,又研仁平面A£)O,£)Ou平面ADO,

所以EF〃平面ADO.

(2)过尸作RW垂直FO的延长线交于点"，

因为PB=PC,O是BC中点，所以PO13C,

在RtAJ^O中，PB=y/6,BO=-BC=y/2,

2

所以PO={PB2—OB2=>/^5=2,

因为4BJ.BC，。歹//4B,

所以O/_LBC,又POcOF=O,PO,OFu平面尸。尸，

所以3C1平面尸0尸，又PMu平面尸0斤，

所以BC_LPM,又BCFM=O,BC,FMu平面ABC,

所以PM_L平面ABC,

即三棱锥尸-ABC的高为PM,

因为NPQF=120。，所以/尸。以=60。，

所以尸M=POsin60°=2x^=J^,

2

XSAABC=|AB-BC=1X2X2A/2=2^,

所以匕ABC==SAABC，PM=、2&X也=

r—3ZAAoC3，'3

【分析】（1）通过证明AC_L平面BED来证得平面BED_L平面ACD.

（2）首先判断出三角形AFC的面积最小时尸点的位置，然后求得/到平面ABC的距离,

从而求得三棱锥尸-ABC的体积.

【详解】（1）由于AD=CE>,E是AC的中点，所以ACJ_£>E.

AD=CD

由于，BD=B。,所以AADB三ACDB,

ZADB=ZCDB

所以A5=CB,故AC_LBE,

由于DEc3E=E,。瓦BEu平面BED,

所以AC_L平面BED,

由于ACu平面ACD,所以平面平面ACD.

（2）［方法一］:判别几何关系

依题意A5=3D=3C=2,ZACB=60°,三角形ABC是等边三角形，

所以AC=2,AE=CE=LBE=G

由于AD=CD,AO，CD,所以三角形A。是等腰直角三角形，所以上=1.

DE?+BE?=BD。，所以DELBE,

由于ACcBEnE,AC,3Eu平面ABC,所以。E2平面ABC.

由于八位加三△CC®,所以NEBA=NFBC,

BF=BF

由于<NFBA=NFBC,所以一FS4三FBC,

AB=CB

所以AF=CF,所以EF/AC,

由于S.C=(AC-E尸，所以当所最短时，三角形APC的面积最小

过E作EF_L8D,垂足为尸,

在Rt^BED中，-BEDE=-BDEF,解得所=且,

222

13

所以。尸==-,BF=2-DF=-

22

而ZBF3

所以而北

FHBF3

过/作FH_LBE,垂足为H,则尸“〃DE,所以切上平面ABC,S—=—=4

DEBD4

3

所以也二'

所以吟ABC=~-SABC-FHWx2乂舟J是

r—/IDC3ADC3244

［方法二］:等体积转换

AB=BC,ZACB=60°,AB=2

・•.A4BC是边长为2的等边三角形,

BE=6

连接斯

AADB=ACDBAF=CF

EF1AC

.•.在ABED中，当£F_L3D时，AAFC面积最小

AD±CD,AD=CD.AC=2,E为AC中点

.­.DE=1DE2+BE2=BD2

BE1ED

若EF1BD,在ABED中,EF=BEDE=是

BD2

BF=-JBE2-EF2=-

2

1373_3A/3

■,^&BEF=-BFEF=

222~2~~

130cG

••^F-ABC=^A-BEF+^C-BEF=g^ABEF'A。—•-----•，=-----

384

24.（1）证明见解析；（2）

3

【分析】（1）由PD_L底面ABCD可得叨2AM,又PB工AM,由线面垂直的判定定理可

得AM2平面PBD,再根据面面垂直的判定定理即可证出平面PAM_1_平面PBD；

（2）由（1）可知，AM±BD,由平面知识可知，_DAB~ABM,由相似比可求出AD,

再根据四棱锥P-ABCD的体积公式即可求出.

【详解】（1）因为PZ）_L底面ABC£>,平面ABCD,

所以尸D2AM,

又尸PBPD=P,

所以AAf工平面尸BD,

而u平面PAM,

所以平面R4M■_L平面尸3D.

（2）［方法一］:相似三角形法

由（1）可知AM_LBD.

于十是口一ABDs碗公，M故A。=

ABBM

因为8M=g8C,AD=3C,A8=l,所以;BC'l,即改?=应.

故四棱锥尸-ABCD的体积V=.

33

［方法二］:平面直角坐标系垂直垂直法

由（2）知所以人AM.^BD=-1.

建立如图所示的平面直角坐标系，设8c=2°（口>0）.

因为。C