2024-2025学年高二数学上学期期末复习：数列性质的综合运用（17类题型教师版）

专题1-9数列性质的综合运用17类题型

学问点梳理

一、基本量计算方法

a,d,n称为等差数列的三个基本量，a和S都可以用这三个基本量来表示，五个量a,d,n,a,

1nn1n

S中，可知三求二，即等差数列的通项公式及前n项和公式中“知三求二”的问题，一般是通过通

n

项公式和前n项和公式联立方程(组)来求解.这种方法是解决数列运算的基本方法.在运算中要留

意等差数列性质的应用.

二、等差数列重要性质

若数列｛a｝是等差数列，公差是d,则等差数列｛a｝有如下性质：

nn

(1)当d>0时，｛a｝是递增数列；当d<0时，｛a｝是递减数列；当d=0时，｛a｝是常数列.

nnn

(2)a=a+(n—m)d(n,meN*,nWm).

nm

(3)巴~△=d(m,neN*且nWm).

m-n

(4)若ni+n=p+q(m,n,p,qeN*),则a+a=a+a.特殊地，若m+n=2p(m,n,peN*),贝1a

mnpqm

+a=2a.

nP

三、求等差数列前n项和S最值的方法

n

[a20,(aWO,

⑴找寻正、负项的分界点，可利用等差数列的性质或利用或"、来找寻•

aWOa

In+1In+l

⑵运用二次函数的图象求最值.

四、等差数列奇偶项问题

Sa

⑴若等差数列的项数为2n,则S=n(a+a),S—S=nd,丁=­•+■

2nnn+l偶奇OQ,

奇n

Sn

⑵若等差数列的项数为2n+l,则S,=(2n+l)a,,S-S=-a+f=---

2n+ln+l偶<奇n+lSn+r

奇

五、等差数列前n项和的性质

⑴若数列｛a｝是公差为d的等差数列，S为其前n项和，则数列[，也是等差数列，且公差为泉

nn[BJZ

(2)若S,S,S分别为等差数列｛a｝的前m项、前2m项、前3m项的和，则S,S-S,S-S

m2m3mnm2mm3m2m

也成等差数列，公差为m2d.

oS

(3)设两个等差数列｛a｝,｛b｝的前n项和分别为S,T,则父=不

nnnnD1

六、等比数列的性质

(1)若m+n=p+q(m,n,p,qeN*),则a•a=a•a；

mnpq

若m+n=2k(m,n,keN*),贝！］as=a•a.

kmn

⑵若数列｛a｝是等比数列，贝i|｛1a1｝,｛闻，［J］仍为等比数列.

nnn|3.|

七、等比数列的前n项和性质

L在等比数列｛a｝的五个量a,q,a,n,S中，a与q是最基本的元素，当条件与结论间的联系不

n1nn1

明显时，均可以用a与q表示a与S,从而列方程组求解.在解方程组时经常用到两式相除达到整

1nn

体消元的目的.这是方程思想与整体思想在数列中的具体应用.

2.等比数列前n项和的常用性质：

⑴若共有2n项，则SJS*=q.

(2)“片断和”性质：等比数列｛a｝中，公比为q,前m项和为S(SW0),则S,S—S,S—S,…,

nmmm2mm3m2m

S—S,…构成公比为qm的等比数列.

km(k—l)m

模块一等差数列

【题型1】等差中项与前n项和

1.在等差数列｛。｝中，a+a+2a=4,则此数列的前13项的和等于()

n3510

A.13B.26C.8D.162

【解答】解：在等差数列｛。｝中若根+〃=%+/,则。+。=a+a,

nmnkI

因为〃+Q+2〃=4,所以Q+a+2a=2(a+a)=2(Q+a)=4,

35103510410113

所以a+a=2.

113

2.已知公差不为0的等差数列｛a｝满足〃2+〃2=〃2+〃2,则S=0

n567812

【答案】0

【解答】解：依据题意，设等差数列｛Q｝的公差为d,

又由〃2+Q2=Q2+〃2,贝U有〃2一〃2+〃2-42二。，

56788576

变形可得(。一。)(〃+〃)+(〃-〃)(〃+〃)=0,

85857676

即3d(a+a)+d(o+a)=4d(a+a)=0,

857676

因为dwO,则〃+a=0,

76

由等差数列的性质得4(〃+“)=0,即=0,

112112

所以s=0

12

3.两个等差数列｛a｝,g｝的前w项和分别为S和T,已知♦=7'?!2,求土的值.

〃〃〃〃Tn+3b

n5

57n+2

【解答】两个等差数列｛。｝,g｝的前〃项和分别为S和T，满足于二:丁，

nnnn1Yl~vJ

n

9(。+a)

.a_%'_S_7x9+2_65

"'b~%b+b)9+3-12-

5―卜29-9

4.已知等差数列｛a｝和毋｝的前n项和分别为S,T,若左r=£j,则白三()•

nnnn13〃+4。+0+。

n468

13262613

A.B.—C.D.

11137Ill37

【答案】c

【详解】由等差数列的性质可得：

na

a+ala2aSn+ln+25Ila11+213a13

b+b+b3b3b'Tnb3〃+4'TUb3x11+437，'b37

46866nj»*i41166

2

a+a2a21326

..39—X6==X—=—

b+Z?+b3b337111

4686

2024新高考1卷一一基本量计算：利用等差中项简化计算

5.设等差数列1｝的公差为d,且d>l.令b=竺土己，记S,T分别为数列｛a｝,｛〃｝的前〃项和.

nnClnnnn

n

(1)若3a=3a+a,S+T=21,求｛〃｝的通项公式；

21333n

⑵若｛b｝为等差数列，且s-T=99,求d.

n9999

【答案】⑴a=3",⑵d=t

«50

【分析】(1)依据等差数列的通项公式建立方程求解即可；

(2)由g｝为等差数列得出。="或4="，再由等差数列的性质可得“-b=1,分类探讨即可

n115050

得解.

【详解】(1)T3。=3。+a,/.3d=a+2d,解得a-d,

21311

/.S=3a=3(a+d)=6d,

321

rT77726129

又7=b+b+b=—+——+——=—,

3123d2d3dd

9

:.S+T=6d+—=21,

33d

即2d2-7d+3=0,解得d=3或d=g(舍去)，

/.a-a+(M-1)-=3n.

(2)•••欧｝为等差数列，

12212

?.2b=b+b,即一=—十—,

2i3aaa

213

6(---)=6d_=J_,即q2-3ad+2d2=0,解得a=t/或Q=〃，

aaaaaiii1

23231

d>1,：.a>0,

n

又S-T=99,由等差数列性质知，99a-99b=99,即a-b=1,

999950505050

255011

-----=l,即。2—。—2550=0,解得。=51或。=—50(舍去)

50a50505050

50

当4=2/时a=a+49d=5ld=5l,解得d=l,与d>l冲突，无解；

I50I

当a=d时，a=a+49d=50d=51,解得d=—.综上，d-—.

i5。i5050

【题型2】等差数列片段和

2024新高考2卷T8

6.记S为等比数列1｝的前n项和，若S=-5,S=2lS,

则乎().

nn462

A.120B.85C.-85D.-120

【答案】C

【分析】方法一：基本量计算

依据等比数列的前n项和公式求出公比，再依据S,S的关系即可解出；

48

方法二：依据等比数列的前n项和的性质求解.

【详解】方法一：设等比数列｛。｝的公比为4,首项为“，

n1

若q=-l,则S=0~5,与题意不符，所以#_1；

4

若4=1,则=6q=3x2q=3g,与题意不符，所以

一〃…cIaG-qJaG-^6)aG-^27

由S=-5,S=21S可得，_J__±=_5,-J——=21x^一上①，

462\-ql-q1-q

由①可得，1+/+农=21,解得：92=4,

〃6-"8)〃(1一44)/\zx

所以S------=_^------xV+q"=—5x(l+16)=—85.

8l-ql-q

方法二：利用片段和性质计算

因为S=-5,S=21S,所以44一1,否则s=0,

4624

从而，s,s-s,s-s,s-s成等比数列，

2426486

所以有，（-5-S）=S（21S+5）,解得：5=-1或5==,

222224

当S=—1时，S,S—S,S—S,S—S,即为—1,—4,—16,S+21,

224264868

易知，S+21=—64,即S=—85；

88

当S=5时，s=a+a+a+a=（〃+〃）G+q2）=G+q2）S>0,

2441234122

与S=-5冲突，舍去.

4

7.（2024•广东深圳二模）设等差数列｛a｝的前n项和为S,若S=20,S=10,则S=（）

nn102030

A.0B.-10C.-30D.-40

【答案】C

【解析】由等差数列｛。｝的前〃项和的性质可得：S,s2。一%，S,。一S2。也成等差数列,

n10

...2（S-S）=S+（S-S）,

2010103020

.-.2x（10-20）=20+5-10,解得S=-30.

3030

2025届•江苏连云港&、南通质量调研（一）

8.设等差数列｛。｝的前〃项和为S,已知S=5,a=-45,a+aH—+a=-45,其中正

nnkF+lk+ik+22k'

整数％之2,则该数列的首项％为（）

A._5B.0C.3D.5

【答案】D

【分析】结合等差数列的性质求解即可.

［详解］a+aH—+a=-45,

k+lk+22k

又S=ci+ci+…+a=5,

k12k

两式相减得：kd+kd+…+kd=k2d=-50,

a=a+k2d=a-50=-45,

左2+111

解得：a=5.

2024年全国II卷（理）一一等差数列片段和

9.北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层，上层中心有一块圆形石板（称为天心

石），环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加9块，下一层的第一环比上

一层的最终一环多9块，向外每环依次也增加9块，已知每层环数相同，且下层比中层多729

块，则三层共有扇面形石板（不含天心石）（）

A.3699块B.3474块C.3402块D.3339块

【答案】C

【详解】设第n环天石心块数为。，第一层共有n环，

n

则仅｝是以9为首项，9为公差的等差数列，a=9+(n-l)x9=9n,

nn

设s为｛〃｝的前n项和，则第一层、其次层、第三层的块数分

nn

别为-S,S一s,因为下层比中层多729块，

n2nn3n2n

所以s-5=S-S+729,

3n2nInn

3n(9+27n)2n(9+18n)2n(9+18H)〃(9+9〃)

即0n-------------------------=-----------------------+729

2222

即9程=729,解得〃=9,

所以S=S=27(9+9x27)=3402

3〃272

【题型3】等差数列及其前n项和的基本量计算

10.已知等差数列｛。｝的前〃项和为S,S=40,S=210,S=130,则〃等于(

nn4nn—4

A.12B.14C.16D.18

【答案】14

【解答】解：由题意可得S-S=210-130=80,

nn-4

.•.4(〃+a)=S+S-S=40+80=120,

1n4nn-4

.,.a+a=30,

1n

:.S="(q+a")=15”=210解得〃=14

"2

11.在等差数列｛a｝中，公差d>0,a+a=14,aa=40,则数列｛a｝的前9项之和等于

n1625n

【答案】90

【解答】解：由公差d>0,a+a=14,aa=40,

1625

/.la+5d=14,(a+d)(a+4d)=40,

iii

联立解得：a=2,d=2,

i

QXQ

故S=9a+---xd=90.

912

【题型4】通过等差数前n项和的比值相关运算

12.已知等差数列"｝和等差数列｛”的前〃项和分别为S.和T,,且＞等，则使得/为整

数的正整数〃的个数为（）

A.6B.7C.8D.9

【答案】B

【分析】依据等差数列前〃项和公式以及等差数列的性质可得S=（2n-l）a,进而可求解.

2n—1n

■、斗向、,-j-）3-1）2a（2n-l）（\

【详解】由于S=-_»-----------=一-------=\2n-\）a

2n-l22〃

S5（2M-1）+635/J+29,24

所以了-=2n1=--------------=---------=5-1--------.

T2n-1+3n+1n+1

n2n—1

a

要使丁•为整数，则W+1为24的因数，由于"+1N2,故"+1可以为2,3,4,6,8,12,24,故满足条件的

b

正整数〃的个数为7个

13.两等差数列｛a｝和仍｝前〃项和分别为S,T,且'=止2,贝［%*=

〃〃nnTn+3b+b

n45

【答案】等

SIn+2

【解答】解：•••两等差数列｛a｝和g｝前w项和分别为S,T,且y=丁《，

nnnn1H~r3

（a+a）x10

a+aa+a8124S47x10+2288

—2---------9-=—i----w-二—x

b+ba+a10（b+b）85T58+355

45181228

14.已知两个等差数列"｝和｛”的前〃项和分别为x，且则使吟为整数的

正整数”的值为.

【答案】2、4,14

aa

【分析】利用等差数列前〃项和公式求得的表达式，结合丁为整数求得正整数〃的值.

（2孔-1）（。+a）

【详解】由题意可得尸（2n-l）G+bT（2n-1）bb

2n-l-----------------------1--------—nn

2

aS3（2n-1）+393H+18嗔15

—n-=2”-l=-1——------=一一=3+一

bT（2n-17+3n+1n+1

n2n-l

由琦为整数，则"+1为15的正约数，则”+1的可能取值有3、5、15,

因此，正整数〃的可能取值有2、4、14.

【题型5】等差数列奇偶项和相关运算

15.在项数为2〃+1的等差数列中，全部奇数项的和为165,全部偶数项的和为150,则〃等于10

【答案】10

【解答】解：\•等差数列中，全部奇数项的和为165,全部偶数项的和为150

设奇数项和S=(彳+2,,/(〃+D=165,

12

•/数列前2〃+1项和S=("「%,+i)(2"+D=165+150=315,

22

(Q+Q)(H+1)

ST~H+1165…

••・丁=叵三叵亘=罚=市,解传：〃=10,

2-^

16.已知等差数列｛a｝共有2n+1项，全部奇数项之和为132,全部偶数项之和为120,则w等

n

于______

【答案】10

【解答】解：+。+…+。=132,S=a+。+...+〃—120

奇数132n+l偶数24In

/.S—S=a—nd=a=12

奇数偶数2n-ln+\

（2〃+1）（〃+a）（\（\

:.S=S+S=252=------------1_2^_=（2〃+l）q=12（2〃+1）=252,

2n+l奇数偶数2n+1

解得〃=10.

31.已知等差数列｛〃｝共有10项，其奇数项之和为10,偶数项之和为30,则其公差是4

n

【解答】解：依题意，4+(〃+2d)+(。+4d)+(a+6d)+(a+8d)=5(a+4d)=10,

iiiiii

同理，5(a+5d)=30,

i

两式相减得：d=4,

故答案为：4.

【题型6】等差数列前n项和的单调性与最值

17.在等差数列｛〃｝中，其前〃项和是S,若S>0,S<0,则在3.，巳■中最大的是

nn910aa

9

A.1B.匕C.幺

D.

aaa

185

【答案】c

【解答】解：依题意，数列｛。｝是等差数列，其前〃项和是S,

nn

｛9a>0

s>0,S<0,所以5所以Q>o,〃<0,所以公差d<0,

9io\a+a<056

l56

ss

所以当时f<0,当时f>。，又因为当时，S单调递增，。单调递减，

ClQ.nn

nn

所以当《限5时，三单调递增，所以里最大

aa

n5

18.已知等差数列L｝的前n项和为S,并且S>0,5<0,若S<5对“eN恒成立，则正整数

nn1011nk+

k的值为.

【答案】5

【详解】由题意可知，S=10（4+,|。）=5（4+a）=5（a+a）>0,所以。+。>0,

1021105656

同理得s=llfl<0,所以a<0.

1166

结合。+Q>0,可得。>0.

565

当〃=5时，S取得最大值为S,

n5

要使S<5对weN恒成立，只须要（s）<S,weN即可，

nk+〃max&+

所以S<S,neN,即k=5.

5k+

所以正整数上的值为5.

19.若等差数列。｝的前"项和为S,且满足S>0,5<0,对随意正整数,，都有心怛卜

nn40434044'nm

则机的值为（）

A.2024B.2024C.2024D.2024

【答案】C

【分析】依据等差数列的前〃项和公式以及数列的单调性得出结果.

【详解】依题意S=4043（q+）=4043.>0,。>0,

4043220222022

一40441。+a）口广八小

又S=------»---^4-<0,即。。<0,则（2+a<0

404421404420222023

则.<0,且,|<|aI,

2023120221120231

所以等差数列｛a｝单调递减，a>a>->a>ci>0>a>a>•••

n122021202220232024

所以对随意正整数“，都有|。归|。|,贝i］机=2022.

nm

20.（多选）已知等差数列｛a｝的前n项和为S,公差d>0,则下列数列确定递增的是（）

nn

A.用B.｛na｝

n

C用D-1<a+3nd｝

n

【答案】AD

【分析】依据等差数列的通项公式及前"项和公式,利用数列单调性的概念，结合作差法即可推断.

【详解】对于A,S-na+—~—d,J=a+—

-d,

〃i2ni2

-f=。+—d-\a|=—d>0,则数列[f]是递增数列，A正确;

n+ln12k12/2In

对于B,Q+1)Q-na=(n+l)G+nd>)—n[>a+(n-l)j]=a+2nd,

n+\n1

「aeR,二。+2wd不愿定是正实数，即数列｛wa｝不愿定是递增数列，B错误;

11n

aaa+nda+(〃-l)dd-〃

对于C,-7rH---n—i------—i------------

n+1nn+1nn(n+1)'

d—ci［n1

・・・q£R,・・・而不不愿定是正实数，即数列［了］不愿定是递增数列，C错误;

对于D,a+3(几+1)4-(。+3nd)=a-a+3d=4d>0,

〃+1nM+1n

故数列｛a+3〃d｝是递增数列，D正确

n

T为数列[%]的

21.设｛a｝为等差数列，S为数列｛a｝的前"项和，已知a+a=1,S=75,

nnn2515〃[n]

前n项和(neN*).

(1)求S；(2)求T,及T的最小值.

【解答】解：(1)"｛a｝为等差数列,首项为『公差设为d,

(。+d)+(a+4d)=1

ii

则依题意有«15x147.

15aH---------d=75

i2

a=-2

解得

d=1

；.s=“〃+吐%=一2〃+&a〃2-5n

n1222

M2-5nSn-5

(2),・・S

n2n2

Sn-5(〃+1)-5n—51

设b=—n-，贝朋—b=

nn2n+ln22一2'

•••数列协｝是公差为:；的等差数列，首项为》=丁=。=-2,

«2111

T为数列，£4的前九项和，

nn

.To,〃5-1)1n2-9n

〃224

Y2—QxQ

又：y=--------图象开口向上，对称轴为x=5，且weN*,

42

42—9x4

，〃=4或〃=5时，(T)=----------=一5.

nmin4

【题型7】等差数列性质推断与综合运用

2024新高考1卷•T7——数列性质的推断

22.记S为数列｛0｝的前”项和，设甲：5｝为等差数列；乙：｛三｝为等差数列，则（）

nnn〃

A.甲是乙的充分条件但不是必要条件

B.甲是乙的必要条件但不是充分条件

C.甲是乙的充要条件

D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件

【答案】c

【分析】利用充分条件、必要条件的定义及等差数列的定义，再结合数列前n项和与第n项的关系

推理推断作答.，

【详解】方法1,甲：L｝为等差数列，设其首项为。，公差为d,

n1

gcn(n-Y)TSBd=dd5S_d

贝!］S=TiaH-------d,—rr=〃+—n+a----—n-H----------rr=—

n11

2n2212n+1n2

q

因此｛f｝为等差数列，则甲是乙的充分条件;

n

qSSnS-(n+l)Sna-S

反之，乙:｛匕｝为等差数列，即4-----------------4---------f为常数，设为

nn+1nn(n+1)n(n+l)

jna-S

即「n+l----/=t,贝”=na-t-n(n+1),有S=(n-V)a-t-n(n-l),n>2,

n(n+l)n+1n—1n

两式相减得：a=na—(n—Y)a—2tn,即a—a—2t,对〃=1.也成立,

nn+1nn+1n

因此｛。｝为等差数列，则甲是乙的必要条件，

n

所以甲是乙的充要条件，c正确.

方法2,甲：｛。｝为等差数列，设数列｛。｝的首项。，公差为d,即S="〃+里0人

12

则三=a=+a-g,因此｛'｝为等差数列，即甲是乙的充分条件;

n12212n

反之，乙：｛、｝为等差数列，即二9一S=O,£r=S+(n-l)D,

nn+1nn1

即S=nS+〃(〃-1)0,S=(n-l)S+(n-l)(n-2)P,

n-l

当时，上两式相减得：S—S=S+2（〃-1）。，当〃=1时，上式成立,

nn—11

于是a=a+2（〃一1）。，又a:=a+2就>-［。+2(〃-1)。］=2。为常数,

n1n+1n11

因此｛。｝为等差数列,则甲是乙的必要条件,

n

所以甲是乙的充要条件.

23.（雅礼中学月考）（多选）设S是公差为d（d/0）的无穷等差数列｛a｝的前〃项和，则下列

nn

命题正确的是（）

A.若d<0,则S是数列拈｝的最大项

1n

B.若数列拈｝有最小项，则d>0

n

C.若数列｛s｝是递减数列，则对随意的：weN*,均有S<0

nn

D.若对随意的weN*,均有S>0,则数列｛s｝是递增数列

nn

【答案】BD

【分析】取特殊数列推断A；由等差数列前〃项和的函数特性推断B；取特殊数列结合数列的单调性

推断C；探讨数列｛SJ是递减数列的状况，从而证明D.

【详解】对于A：取数列｛。｝为首项为4,公差为-2的等差数列，S=4<S=6,故A错误；

n12

对于B：等差数列｛〃｝中，公差d,S=na+———d=—n2+(a,S是关于n的二次函

nH12212«

数.当数列｛s｝有最小项，即s有最小值，s对应的二次函数有最小值，对应的函数图象开口向上,

nnn

d>09B正确；

对于C：取数列｛a｝为首项为1,公差为-2的等差数列，s=-n2+2n,

nn

S-S=-(n+1)2+2(n+1)-(-«2+2/1)=-2n+1<0,S<S恒成立，此时数列｛s｝是递减数歹i］,

n+lnn+1nn

而S=l>0,故C错误；

1

对于D:若数列｛S｝是递减数列，则。=S-S<0(n>2),确定存在实数左，当〃>左时，之后全部

nnnn—1

项都为负数，不能保证对随意〃eN*,均有S>0.

n

故若对随意weN*,均有S>0,有数列｛S｝是递增数列，故D正确

nn

24.(多选)已知等差数列M｝的前n项和为S,公差d>0,则下列数列确定递增的是()

nn

【答案】AD

【分析】依据等差数列的通项公式及前〃项和公式，利用数列单调性的概念，结合作差法即可推断.

【详解】对于A,S=na+—~—d,^-n-=a+-~-c?,

>'i2ni2

=a+—d-｛a+——=—</>0,则数列［f］是递增数列，A正确；

n+ln12\12)2n

对于B,(〃+l)a-na=(〃+l)(a+〃d)-+(〃-l)d］=a+2nd,

M+1n1

♦."JR,.・.Q]+2Md不愿定是正实数，即数列｛“a｝不愿定是递增数列，B错误;

n

aaa+nda+(几-l)dd-a

1

对于c,+i15

n+lnn+lnn(n+l)

即数列］外不愿定是递增数列，c错误;

・•・+不愿定是正实数，

对于D,a+3(〃+l)d-(a+3〃d)=aci+3d—4d>0,

M+1nn+ln

故数列｛a+3〃d｝是递增数列，D正确

(多选)已知数列｛。｝的前项和是则下列说法正确的是(

25.nS,)

A.若S=。，则A｝是等差数列

nnn

B.若a=2,a=2a+3,则｛a+3｝是等比数列

1n+lnn

C.若｛a｝是等差数列，则s,S-S,S-S成等差数列

nn2nn3n2n

D.若％｝是等比数列，则S,S-S,S-S成等比数列