2023-2024学年9上数学期末考点（北师大版）专题06 直角三角形的边角关系（考点清单9个考点）解析版

专题06直角三角形的边角关系（考点清单）【考点1】锐角三角函数的相关概念【考点2】特殊角的三角函数值【考点3】同角的三角函数关系【考点4】互余的三角函数关系【考点5】解直角三角形【考点6】解直角三角形的应用【考点7】解直角三角形的应用-坡度坡角【考点8】解直角三角形应用-仰角俯角问题【考点9】解直角三角形应用-方向角问题【考点1】锐角三角函数的相关概念1．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，AC＝3，则sinB等于（）A． B． C． D．【答案】D【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，AC＝3，sinB＝＝，故选：D．2．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝1，BC＝2，那么cosA的值为（）A． B．2 C． D．【答案】C【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝1，BC＝2，由勾股定理，得AB＝＝．由锐角的余弦，得cosA＝＝＝．故选：C．3．在Rt△ABC中，各边都扩大5倍，则锐角A的正切函数值（）A．不变 B．扩大5倍 C．缩小 D．不能确定【答案】A【解答】解：锐角三角函数值随着角度的变化而变化，而角的大小与边的长短没有关系，因此锐角A的正切函数值不会随着边长的扩大而变化，故选：A．4．在Rt△ABC中，∠C＝90°，，则AB＝25，则BC＝（）A．24 B．20 C．16 D．15【答案】D【解答】解：Rt△ABC中，∠C＝90°，，∴＝，∵AB＝25，∴BC＝15．故选：D．5．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝2，BC＝5，那么cosA的值是（）A． B． C． D．【答案】B【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝2，BC＝5，由勾股定理，得AB＝＝，由锐角的余弦，得cosA＝＝＝．故选：B．6．在Rt△ABC中，∠C＝90°，a，b，c分别表示∠A，∠B，∠C的对边，那么下列结论中错误的是（）A．a＝bcotA B．a＝csinA C． D．b＝atanB【答案】A【解答】解：∵由锐角三角函数的定义可知sinA＝，cosA＝，cotA＝，tanB＝，∴a＝csinA，c＝，a＝，b＝atanB，故A选项不符合题意．故选：A．7．由小正方形组成的网格如图，A，B，C三点都在格点上，则∠ABC的正切值为（）A． B． C． D．【答案】C【解答】解：如图，作CD⊥AB于点D，则CD＝，BD＝＝2，故tan∠ABC＝＝＝，故选：C．【考点2】特殊角的三角函数值8．sin45°的值是（）A．1 B． C． D．【答案】C【解答】解：由特殊角的三角函数值可知，sin45°＝．故选：C．9．tan60°的值是（）A． B． C．1 D．【答案】D【解答】解：tan60°的值是，故选：D．【考点3】同角的三角函数关系10．在△ABC中，∠A＝90°，，则cosC的值是（）A． B． C． D．【答案】B【解答】解：在△ABC中，∠A＝90°，，∴sin2C+cos2C＝1，∴+cos2C＝1，解得：cosC＝或cosC＝﹣（舍去），∴cosC的值是，故选：B．11．已知，则cosA＝（）A． B． C． D．【答案】C【解答】解：∵tanA＝，∴tanA＝＝，则sinA＝cosA，∵sin2A+cos2A＝1，∴cos2A＝1，解得cosA＝±．又∵0＜A＜90°，∴cosA＞0，∴cosA＝．故选：C．12．在Rt△ABC中，∠C＝90°，sinA＝，则tanA＝（）A． B． C． D．【答案】D【解答】解：∵∠C＝90°，sin2A+cos2A＝1；∴cosA＝＝＝，∴tanA＝＝＝．故选：D．【考点4】互余的三角函数关系13．在Rt△ABC中，∠C＝90°，，则tanA＝（）A． B． C． D．【答案】A【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，sinB＝＝，∴设AC＝3x，AB＝5x，∴BC＝＝＝4x，∴tanA＝＝＝．故选：A．14．在Rt△ABC中，∠C＝90°，，则tanB等于（）A． B． C． D．【答案】C【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，∴cosA＝，tanB＝，a2+b2＝c2，∵cosA＝，设b＝2x，则c＝3x，a＝x．∴tanB＝＝．故选：C．15．在Rt△ABC中，∠C＝90°，sinA＝，则cosB的值为（）A． B． C． D．【答案】C【解答】解：∵在Rt△ABC中，，∴．故选：C．16．在△ABC中，∠C＝90°，sinB＝，则tanA＝（）A． B． C． D．【答案】B【解答】解：∵∠C＝90°，sinB＝＝，∴令AC＝4x，则AB＝5x，∴BC＝＝3x，∴tanA＝＝＝．故选：B．17．在Rt△ABC中，∠C＝90°，cosA＝，则tanB的值为（）A． B． C． D．【答案】D【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，cosA＝＝，可设AC＝x，则AB＝3x，由勾股定理得，BC＝＝2x，∴tanB＝＝，故选：D．18．在直角△ABC中，∠C＝90°，BC＝3，sinA＝，求tanB为（）A． B． C． D．【答案】D【解答】解：在直角△ABC中，∠C＝90°，BC＝3，sinA＝＝，∴AB＝5，∴AC＝＝4，∴tanB＝＝，故选：D．19．在△ABC中，若，则∠C的度数是（）A．45° B．60° C．75° D．105°【答案】C【解答】解：∵|cosA﹣|+2（1﹣tanB）2＝0，∴cosA﹣＝0，2（1﹣tanB）2＝0，∴cosA＝，tanB＝1，∴∠A＝60°，∠B＝45°，∴∠C＝180°﹣∠A﹣∠B＝75°，故选：C．【考点5】解直角三角形20．如图，将△ABC放在每个小正方形的边长为1的网格中，点A，B，C均在格点上，则tanA的值是（）A． B． C．2 D．【答案】B【解答】解：如图：连接BD，由题意得：AD2＝22+22＝8，BD2＝12+12＝2，AB2＝12+32＝10，∴AD2+BD2＝AB2，∴△ABD是直角三角形，∴∠ADB＝90°，在Rt△ABD中，AD＝2，BD＝，∴tanA＝＝＝，故选：B．21．如图，在△ABC中，AC＝2，∠B＝45°，∠C＝30°，则BC的长度为（）A． B．2 C．1+ D．3【答案】C【解答】解：过A作AD⊥BC于D，∴∠ADB＝∠ADC＝90°在Rt△ADC中，∠C＝30°，AC＝2，∴AD＝AC＝1，∴CD＝，在Rt△ADB中，∠B＝45°，AD＝1，∴BD＝AD＝1，∴BC＝BD+CD＝1+．故选：C．22．计算：cos30°•tan60°﹣cos245°+tan45°．【答案】2．【解答】解：cos30°•tan60°﹣cos245°+tan45°＝×﹣（）2+1＝﹣+1＝1+1＝2．23．如图，已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，sin∠ABC＝，点D在边BC上，BD＝4，连接AD，tan∠DAC＝．（1）求边AC的长；（2）求tan∠BAD的值．【答案】（1）6；（2）．【解答】解：（1）设AC＝3m，∵BD＝4，BC＝CD+BD∠C＝90°，sin∠ABC＝，tan∠DAC＝，∴CD＝2m，∴4m＝2m+4，解得m＝2，∴AC＝3m＝6；（2）作DE⊥AB于点E，由（1）知，AB＝5m＝10，AC＝6，BD＝4，∵，∴，解得DE＝，∵AC＝6，CD＝2m＝4，∠C＝90°，∴AD＝＝2，∴AE＝＝＝，∴tan∠BAD＝，即tan∠BAD的值是．24．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，cosA＝，D是边AC的中点，联结BD．（1）已知BC＝，求AB的长；（2）求cot∠ABD的值．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）Rt△ABC中，∵cosA＝＝，∴AC＝AB．∵AC2+BC2＝AB2，∴AB2+2＝AB2．∴AB＝3或﹣3（﹣3不合题意舍去）．∴AB＝3．（2）过点D作DE⊥AB，垂足为E．由（1）知AB＝3，∴AC＝AB＝2．∵D是边AC的中点，∴CD＝AD＝AC＝1，S△BCD＝S△ABD＝CD•BC＝×1×＝.∴AB•DE＝．∴DE＝．在Rt△DAE中，∵AE＝＝＝，∴BE＝3﹣＝．在Rt△DBE中，cot∠ABD＝＝＝．25．已知：如图，在△ABC中，AB＝AC＝15，tanA＝．求：（1）S△ABC；（2）∠B的余弦值．【答案】（1）90；（2）．【解答】解：（1）过点C作CD⊥AB，垂足为D，在Rt△ABC中，tanA＝＝，∴设CD＝4k，则AD＝3k，∴AC＝＝＝5k，∵AC＝15，∴5k＝15，∴k＝3，∴AD＝9，CD＝12，∴S△ABC＝AB•CD＝×15×12＝90，∴S△ABC＝90；（2）在Rt△BCD中，BD＝AB﹣AD＝15﹣9＝6，CD＝12，∴BC＝＝＝6，∴cosB＝＝＝，∴∠B的余弦值为．26．综合与实践：在学习《解直角三角形）一章时，小邕同学对一个角的倍角的三角函数值与这个角的三角函数值是否有关系产生了浓厚的兴趣，并进行研究．【初步尝试】我们知道：tan60°＝，tan30°＝．发现：tanA≠2tan（填“＝”或“≠”）．【实践探究】在解决“如图1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝2，BC＝1，求tan的值”这一问题时，小邕想构造包含A的直角三角形，延长CA到点D，使DA＝AB，连接BD，所以可得∠D＝∠BAC，问题即转化为求∠D的正切值，请按小邕的思路求tan的值．【拓展延伸】如图2，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，tanA＝．请模仿小邕的思路或者用你的新思路，试着求一求tan2A的值．【答案】【初步尝试】，，≠；【实践探究】﹣2；【拓展延伸】．【解答】解：【初步尝试】tan60°＝，tan30°＝，发现结论：tanA≠2tan（），故答案为：，，≠；【实践探究】在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝2，BC＝1，∴AB＝，如图1，延长CA至D，使得DA＝AB，∴AD＝AB＝，∴∠D＝∠ABD，∴∠BAC＝2∠D，CD＝AD+AC＝2+，∴tan（）＝tanD＝；【拓展延伸】如图2，作AB的垂直平分线交AC于E，连接BE，则∠BEC＝2∠A，AE＝BE，∠A＝∠ABE∵Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，tanA＝．∴BC＝1，AB＝＝，设AE＝x，则EC＝3﹣x，在Rt△EBC中，x2＝（3﹣x）2+1，解得x＝，即AE＝BE＝，EC＝，∴tan2A＝tan∠BEC＝．【考点6】解直角三角形的应用27．电线杆AB直立在水平的地面BC上，AC是电线杆AB的一根拉线，测得BC＝5，∠ACB＝52°，则拉线AC的长为（）A． B． C．5•cos52° D．【答案】B【解答】解：∵∠ABC＝90°，∠ACB＝52°，BC＝5，∴cos52°＝＝，∴AC＝故选：B．28．如图，要焊接一个等腰三角形钢架，钢架的底角为28°，高CD长为3米，则斜梁AC的长为（）A．3sin28°m B．m C．m D．m【答案】B【解答】解：因为等腰三角形钢架，钢架的底角为28°，高CD长为3米，所以AC＝米，故选：B．29．如图，一座金字塔被发现时，顶部已经荡然无存，但底部未受损．已知该金字塔的下底面是一个边长为140m的正方形，且每一个侧面与地面成60°角，则金字塔原来高度为（）A．140m B． C． D．【答案】B【解答】解：如图：∵该金字塔的下底面是一个边长为140m的正方形，∴BC＝×140＝70（m），∵AC⊥BC，∴∠ACB＝90°，在Rt△ABC中，∠ABC＝60°，∴AC＝BC•tan60°＝70（m），∴则金字塔原来高度为70m，故选：B．29.（2023春•红旗区校级期末）超速行驶是引发交通事故的主要原因．上周末，小威等三位同学在幸福大道段，尝试用自己所学的知识检测车速，观测点设在到公路l的距离为100m的P处．这时，一辆红旗轿车由西向东匀速驶来，测得此车从A处行驶到B处所用的时间为3s，并测得∠APO＝60°，∠BPO＝45°，（1）求AP的长？（2）试判断此车是否超过了80km/h的限制速度？（≈1.732）【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）由题意知：PO＝100米，∠APO＝60°，∠BPO＝45°，在直角三角形BPO中，∵∠BPO＝45°，∴BO＝PO＝100m，在直角三角形APO中，∵∠APO＝60°，∴AO＝PO•tan60°＝100m，∴AP＝＝m；（2）由题意知：PO＝100米，∠APO＝60°，∠BPO＝45°，在直角三角形BPO中，∴AB＝AO﹣BO＝（100﹣100）≈73米，∵从A处行驶到B处所用的时间为3秒，∴速度为73÷3≈24.3米/秒＝87.6千米/时＞80千米/时，∴此车超过每小时80千米的限制速度．【考点7】解直角三角形的应用-坡度坡角30．如图，一名滑雪运动员沿着倾斜角为30°的斜坡，从A滑行至B，已知AB＝100m，则这名滑雪运动员的高度下降了50米．【答案】50．【解答】解：在Rt△ABC中，∠B＝30°，AB＝100m，则AC＝AB＝50（m），故答案为：50．31．如图是拦水坝的横断面，斜坡AB的水平宽度为12米，斜面坡度为1：2，则斜坡AB的长为6m．【答案】见试题解答内容【解答】解：∵斜面坡度为1：2，AC＝12m，∴BC＝6m，则AB＝＝＝（m）．故答案为：6m．32．为增强体质，小明和小强相约周末去登山，小明同学从北坡山脚C处出发，小强同学同时从南坡山脚B处出发，如图所示．已知小山北坡长为240米，坡度，南坡的坡脚是45°．（出发点B和C在同一水平高度，将山路AB、AC看成线段）（1）求小山南坡AB的长；（2）如果小明以每分钟24米的速度攀登，小强若要和小明同时到达山顶A，求小强攀登的速度．（结果保留根号）【答案】（1）小山南坡AB的长为120米；（2）小强若要和小明同时到达山顶A，小强攀登的速度为12米/分．【解答】解：（1）过点A作AD⊥BC，垂足为D，∵山坡AC的坡度，∴＝＝，在Rt△ADC中，tan∠ACD＝＝，∴∠ACD＝30°，∵AC＝240米，∴AD＝AC＝120（米），在Rt△ABD中，∠ABD＝45°，∴AB＝＝＝120（米），∴小山南坡AB的长为120米；（2）∵AC＝240米，∴小明到达山顶A需要的时间＝＝10（分），∵AB＝120米，∴小强攀登的速度＝＝12（米/分），∴小强若要和小明同时到达山顶A，小强攀登的速度为12米/分．33．速滑运动受到许多年轻人的喜爱，如图，四边形BCDG是某速滑场馆建造的滑台，已知CD∥EG，滑台的高DG为6米，且坡面BC的坡度为1：1，为了提高安全性，决定降低坡度，改造后的新坡面的坡度∠CAG＝37°．（参考数据：sin37，cos37，tan37）（1）求新坡面AC的长；（2）原坡面底部BG的正前方10米处（EB＝10米）是护墙EF，为保证安全，体育管理部门规定，坡面底部至少距护墙7米，请问新的设计方案是否符合规定，试说明理由．【答案】（1）10米；（2）新的设计方案符合规定，理由见解答．【解答】解：（1）如图，过点C作CH⊥BG，垂足为H，∵新坡面AC的坡度为∠CAG＝37°，∴tan∠CAH＝＝，∵CH＝DG＝6米，∴AH＝＝8（米），∴AC＝＝＝10（米），答：新坡面AC的长为10米；（2）新的设计方案不符合规定．理由如下：∵坡面BC的坡度为1：1，∴BH＝CH＝6米，∴AB＝AH﹣BH＝8﹣6＝2（米），∴AE＝EB﹣AB＝10﹣2＝8（米）＞7（米），∴新的设计方案符合规定．【考点8】解直角三角形应用-仰角俯角问题34．（2023•农安县一模）如图所示，塔底B与观测点A在同一水平线上．为了测量铁塔的高度，在A处测得塔顶C的仰角为α，塔底B与观测点A的距离为80米，则铁塔的高BC为（）A．80sinα米 B．米 C．80tanα米 D．米【答案】C【解答】解：根据题意得：，∴BC＝tanα⋅AB＝80tanα（米）．故选：C．35．（2023•光明区二模）在综合实践课上，某班同学测量校园内一棵树的高度．如图，测量仪在A处测得树顶D的仰角为45°，在C处测得树顶D的仰角为37°（点A、B、C在同一条水平主线上），已知测量仪的高度AE＝CF＝1.65米，AC＝28米，则树BD的高度是（）【参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75】A．12米 B．12.65米 C．13米 D．13.65米【答案】D【解答】解：连接EF交BD于点M，则EF⊥BD，AE＝BM＝CF＝1.65，EF＝AC＝28．设DM＝x米，∵在Rt△DEM中，∠DEM＝45°，∴EM＝DM＝x，∴MF＝28﹣x．在Rt△DFM中，∠DFM＝37°，∴，即：，解得x＝12，即DM＝12．∴BD＝DM+BM＝12+1.65＝13.65（米）．∴树BD的高度约为13.65米．故选：D．36．（2023•黄州区校级二模）如图，社小山的东侧炼A处有一个热气球，由于受西风的影响，以30m/min的速度沿与地面成75°角的方向飞行，20min后到达点C处，此时热气球上的人测得小山西侧点B处的俯角为30°，则小山东西两侧A，B两点间的距离为600．​【答案】600．【解答】解：如图，过点A作AD⊥BC，垂足为D，在Rt△ACD中，∠ACD＝75°﹣30°＝45°，AC＝30×20＝600（米），∴AD＝AC•sin45°＝300（米）．在Rt△ABD中，∵∠B＝30°，∴AB＝2AD＝600（米）．故答案为：600．37．（2023•市中区校级模拟）小明同学想利用刚学的三角函数知识测量一栋教学楼的高度，如图，他在A处测得教学楼顶B点的仰角为45°，走7m到C处测得B的仰角为55°，已知O、A、C在同一条直线上．求教学楼OB的高度．（参考数据：sin55°≈0.82，cos55°≈0.57，tan55°≈1.43，结果精确到0.1m）【答案】23.3米．【解答】解：在Rt△AOB中，∠A＝45°，则OA＝OB，∵AC＝7米，∴OC＝（OB﹣7）米，在Rt△COB中，∠BCO＝55°，∵tan∠BCO＝，∴＝1.43，解得：OB≈23.3，答：教学楼OB的高度约为23.3米．38．（2023•振兴区校级一模）如图，一座山的一段斜坡BD的长度为400米，且这段斜坡的坡度i＝1：3（沿斜坡从B到D时，其升高的高度与水平前进的距离之比）．已知在地面B处测得山顶A的仰角（即∠ABC）为30°，在斜坡D处测得山顶A的仰角（即∠ADE）为45°．求山顶A到地面BC的高度AC是多少米？【答案】40+40m．【解答】解：过点D作DH⊥BC于H，设AE＝xm．∵这段斜坡的坡度i＝1：3，∴DH：BH＝1：3．在Rt△BDH中，DH2+（3DH）2＝4002，∴DH＝40（m），则BH＝120（m）．在Rt△ADE中，∠ADE＝45°，∴DE＝AE＝xm．又∵HC＝ED，EC＝DH，∴HC＝xm，EC＝40m，在Rt△ABC中，tan30°＝＝＝，解得x＝40，∴AC＝AE+EC＝（40+40）m．故山顶A到地面BC的高度AC是（40+40）m．39．（2023•开平市二模）如图所示，建筑物MN一侧有一斜坡AC，在斜坡坡脚A处测得建筑物顶部N的仰角为60°，当太阳光线与水平线夹角成45°时，建筑物MN的影子的一部分在水平地面上MA处，另一部分影子落在斜坡上AP处，已知点P的距水平地面AB的高度PD＝5米，斜坡AC的坡度为（即tan∠PAD＝），且M，A，D，B在同一条直线上．（测倾器的高度忽略不计，结果保留根号）（1）求此时建筑物MN落在斜坡上的影子AP的长；（2）求建筑物MN的高度．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）如图，作PH⊥MN于H．则四边形PDMH是矩形．∵tan∠PAD＝＝，PD＝5，∴AD＝15，PA＝＝5（米），∴此时建筑物MN落在斜坡上的影子AP的长为5米．（2）∵∠NPH＝45°，∠PHN＝90°，∴∠PNH＝∠NPH＝45°，∴NH＝PH，设NH＝PH＝x米，则MN＝（x+5）米，AM＝（x﹣15）米，在Rt△AMN中，∵tan60°＝，∴MN＝AM，∴x+5＝（x﹣15）解得x＝（10+25）（米），∴MN＝x+5＝（10+30）米．【考点9】解直角三角形应用-方向角问题40．（2023•龙凤区校级模拟）如图，一艘轮船位于灯塔