2023-2024学年7上数学期末考点（北师大版）期末压轴专题分类（必刷60题22种题型专项训练）解析版

期末压轴专题分类（必刷60题22种题型专项训练）一．绝对值（共2小题）1．已知+＝0，则的值为﹣1．【答案】见试题解答内容【解答】解：∵+＝0，∴a、b异号，∴ab＜0，∴＝＝﹣1．故答案为：﹣1．2．已知|x|＝4，|y|＝2，且xy＜0，则x﹣y的值等于6或﹣6．【答案】见试题解答内容【解答】解：∵|x|＝4，|y|＝2，∴x＝±4，y＝±2．又xy＜0，∴x＝4，y＝﹣2或x＝﹣4，y＝2．当x＝4，y＝﹣2时，x﹣y＝4﹣（﹣2）＝6，当x＝﹣4，y＝2时，x﹣y＝﹣4﹣2＝﹣6．故答案为：6或﹣6．二．倒数（共1小题）3．a是不为1的有理数，我们把称为a的差倒数．如：2的差倒数是＝﹣1，﹣1的差倒数是＝．已知a1＝，a2是a1的差倒数，a3是a2的差倒数，a4是a3的差倒数，…，依此类推，则a2011＝﹣．【答案】见试题解答内容【解答】解：a1＝﹣a2＝＝；a3＝＝4；a4＝＝﹣，因而一下三个一次循环，故a2011＝﹣．故答案为：﹣三．有理数的乘方（共4小题）4．一根1米长的绳子，第一次剪去一半，第二次剪去剩下的一半，如此剪下去，第六次后剩下的绳子的长度为（）米．A． B． C． D．【答案】C【解答】解：∵1﹣＝，∴第2次后剩下的绳子的长度为米；依此类推第六次后剩下的绳子的长度为米．故选：C．5．为了求1+3+32+33+…+3100的值，可令M＝1+3+32+33+…+3100，则3M＝3+32+33+34+…+3101，因此，3M﹣M＝3101﹣1，所以M＝，即1+3+32+33+…+3100＝，仿照以上推理计算：1+5+52+53+…+52015的值是．【答案】见试题解答内容【解答】解：设M＝1+5+52+53+…+52015，则5M＝5+52+53+54…+52016，两式相减得：4M＝52016﹣1，则M＝．故答案为．6．我们常用的数是十进制数，计算机程序使用的是二进制数（只有数码0和1），它们两者之间可以互相换算，如将（101）2，（1011）2换算成十进制数应为：；按此方式，将二进制（1101）2换算成十进制数的结果是13．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1101）2＝1×23+1×22+0×21+1×20＝8+4+0+1＝13．故答案为：13．7．在数学兴趣小组活动中，小明为了求…+的值，在边长为1的正方形中，设计了如图所示的几何图形．则…+的值为1﹣（结果用n表示）．【答案】见试题解答内容【解答】解：…+＝1﹣．答：…+的值为1﹣．故答案为：1﹣．四．有理数的混合运算（共3小题）8．计算机中常用的十六进制是一种逢16进1的计数制，采用数字0～9和字母A～F共16个计数符号，这些符号与十进制的数字的对应关系如表：十六进制01234567十进制01234567十六进制89ABCDEF十进制89101112131415例如，用十六进制表示E+D＝1B，用十进制表示也就是13+14＝1×16+11，则用十六进制表示A×B＝（）A．6E B．72 C．5F D．B0【答案】A【解答】解：∵表格中A对应的十进制数为10，B对应的十进制数为11，∴A×B＝10×11，由十进制表示为：10×11＝6×16+14，又表格中E对应的十进制为14，∴用十六进制表示A×B＝6E．故选：A．9．张阿姨准备在某商场购买一件衣服、一双鞋和一套化妆品，这三件物品的原价和优惠方式如下表所示．请帮张阿姨分析一下，选择一个最省钱的购买方案．此时，张阿姨购买这三件物品实际所付出的钱的总数为（）欲购买的商品原价（元）优惠方式一件衣服420每付现金200元，返购物券200元，且付款时可以使用购物券一双鞋280每付现金200元，返购物券200元，但付款时不可以使用购物券一套化妆品300付款时可以使用购物券，但不返购物券A．500元 B．600元 C．700元 D．800元【答案】B【解答】解：应该先买鞋子花280现金，因为鞋子不能使用购物券，返200购物券；再买衣服花220现金+200购物券，可返200购物券再加100现金买化妆品．所以共计280+220+100＝600．故选：B．10．观察，依照上述方法计算＝．【答案】见试题解答内容【解答】解：由题意得，原式＝1﹣＝．五．列代数式（共3小题）11．如图是2007年5月的日历表，任意圈出一竖列上相邻的三个数，请你运用方程思想来研究，发现这三个数的和不可能是（）A．27 B．36 C．40 D．54【答案】C【解答】解：设中间的数是x，则上面的数是x﹣7，下面的数是x+7．则这三个数的和是（x﹣7）+x+（x+7）＝3x，因而这三个数的和一定是3的倍数．则，这三个数的和不可能是40．故选：C．12．矩形窗户上的装饰物如图所示，它是由半径均为b的两个四分之一圆组成，则能射进阳光部分的面积是．【答案】见试题解答内容【解答】解：能射进阳光部分的面积＝2ab﹣πb2．13．随着计算机技术的迅猛发展，电脑价格不断降低，某种品牌电脑原售价为n元，现按原售价降低m元后，又降低10%，那么该电脑的现售价为90%（n﹣m）元．【答案】见试题解答内容【解答】解：依题意得，该电脑的现售价为：（n﹣m）（1﹣10%）＝90%（n﹣m）．故答案为：90%（n﹣m）．六．代数式求值（共3小题）14．已知整式的值为6，则2x2﹣5x+6的值为（）A．9 B．12 C．18 D．24【答案】C【解答】解：∵＝6∴2x2﹣5x+6＝2（）+6＝2×6+6＝18，故选：C．15．若实数a满足a2﹣2a＝3，则3a2﹣6a﹣8的值为1．【答案】见试题解答内容【解答】解：∵a2﹣2a＝3，∴3a2﹣6a﹣8＝3（a2﹣2a）﹣8＝3×3﹣8＝1，∴3a2﹣6a﹣8的值为1．16．有一数值转换器，原理如图所示，若开始输入x的值是7，可发现第1次输出的结果是12，第2次输出的结果是6，第3次输出的结果是3，依次继续下去…，第2013次输出的结果是3．【答案】见试题解答内容【解答】解：根据题意得：开始输入x的值是7，可发现第1次输出的结果是7+5＝12；第2次输出的结果是×12＝6；第3次输出的结果是×6＝3；第4次输出的结果为3+5＝8；第5次输出的结果为×8＝4；第6次输出的结果为×4＝2；第7次输出的结果为×2＝1；第8次输出的结果为1+5＝6；归纳总结得到输出的结果从第2次开始以6，3，8，4，2，1循环，∵（2013﹣1）÷6＝335…2，则第2013次输出的结果为3．故答案为：3；3七．规律型：图形的变化类（共3小题）17．如图，在数轴上，点A表示1，现将点A沿x轴做如下移动，第一次点A向左移动3个单位长度到达点A1，第二次将点A1向右移动6个单位长度到达点A2，第三次将点A2向左移动9个单位长度到达点A3，按照这种移动规律移动下去，第n次移动到点An，如果点An与原点的距离不小于20，那么n的最小值是13．【答案】见试题解答内容【解答】解：第一次点A向左移动3个单位长度至点A1，则A1表示的数，1﹣3＝﹣2；第2次从点A1向右移动6个单位长度至点A2，则A2表示的数为﹣2+6＝4；第3次从点A2向左移动9个单位长度至点A3，则A3表示的数为4﹣9＝﹣5；第4次从点A3向右移动12个单位长度至点A4，则A4表示的数为﹣5+12＝7；第5次从点A4向左移动15个单位长度至点A5，则A5表示的数为7﹣15＝﹣8；…；则A7表示的数为﹣8﹣3＝﹣11，A9表示的数为﹣11﹣3＝﹣14，A11表示的数为﹣14﹣3＝﹣17，A13表示的数为﹣17﹣3＝﹣20，A6表示的数为7+3＝10，A8表示的数为10+3＝13，A10表示的数为13+3＝16，A12表示的数为16+3＝19，所以点An与原点的距离不小于20，那么n的最小值是13．故答案为：13．18．观察下列一组图形：它们是按一定规律排列的，依照此规律，第n个图形中共有3n+1个★．【答案】见试题解答内容【解答】解：观察发现，第1个图形五角星的个数是：1+3＝4，第2个图形五角星的个数是：1+3×2＝7，第3个图形五角星的个数是：1+3×3＝10，第4个图形五角星的个数是：1+3×4＝13，…依此类推，第n个图形五角星的个数是：1+3×n＝3n+1．故答案为：3n+1．19．将一个正三角形纸片剪成四个全等的小正三角形，再将其中的一个按同样的方法剪成四个更小的正三角形，…如此继续下去，结果如下表．则an＝3n+1．（用含n的代数式表示）所剪次数1234…n正三角形个数471013…an【答案】见试题解答内容【解答】解：故剪n次时，共有4+3（n﹣1）＝3n+1．八．单项式（共1小题）20．观察一列单项式：1x，3x2，5x2，7x，9x2，11x2，…，则第2013个单项式是4025x2．【答案】见试题解答内容【解答】解：系数依次为1，3，5，7，9，11，…2n﹣1；x的指数依次是1，2，2，1，2，2，1，2，2，可见三个单项式一个循环，故可得第2013个单项式的系数为4025；∵＝671，∴第2013个单项式指数为2，故可得第2013个单项式是4025x2．故答案为：4025x2．九．整式的加减（共2小题）21．把四张形状大小完全相同的小长方形卡片（如图①）不重叠地放在一个底面为长方形（长为mcm，宽为ncm）的盒子底部（如图②），盒子底面未被卡片覆盖的部分用阴影表示．则图②中两块阴影部分的周长和是（）A．4mcm B．4ncm C．2（m+n）cm D．4（m﹣n）cm【答案】B【解答】解：设小长方形卡片的长为a，宽为b，∴L上面的阴影＝2（n﹣a+m﹣a），L下面的阴影＝2（m﹣2b+n﹣2b），∴L总的阴影＝L上面的阴影+L下面的阴影＝2（n﹣a+m﹣a）+2（m﹣2b+n﹣2b）＝4m+4n﹣4（a+2b），又∵a+2b＝m，∴4m+4n﹣4（a+2b），＝4n．故选：B．22．小明背对小亮按下列四个步骤操作：（1）分发左、中、右三堆牌，每堆牌不少于两张，且各堆牌现有的张数相同；（2）从左边一堆拿出两张，放入中间一堆；（3）从右边一堆拿出两张，放入中间一堆；（4）左边一堆有几张牌，就从中间一堆拿几张牌放入左边一堆，当小亮知道小明操作的步骤后，便准确地说出中间一堆牌现有的张数，你认为中间一堆牌现在还剩有的张数是6．【答案】见试题解答内容【解答】解：设第一步时候，每堆牌的数量都是x（x≥2）；第二步时候：左边x﹣2，中间x+2，右边x；第三步时候：左边x﹣2，中间x+4，右边x﹣2；第四步开始时候，左边有（x﹣2）张牌，则从中间拿走（x﹣2）张，则中间所剩牌数为（x+4）﹣（x﹣2）＝x+4﹣x+2＝6．所以中间一堆牌此时有6张牌．故答案为：6．十．一元一次方程的解（共1小题）23．已知a，b为定值，关于x的方程＝1﹣，无论k为何值，它的解总是1，则a+b＝0．【答案】见试题解答内容【解答】解：把x＝1代入方程＝1﹣，得：＝1﹣，2（k+a）＝6﹣（2+bk），2k+2a＝6﹣2﹣bk，2k+bk+2a﹣4＝0，（2+b）k+2a﹣4＝0，∵无论k为何值，它的解总是1，∴2+b＝0，2a﹣4＝0，解得：b＝﹣2，a＝2．则a+b＝0．故答案为：0．十一．一元一次方程的应用（共10小题）24．寒假到来，某书店开展学生优惠购买名著活动，凡一次性购买不超过100元的，一律九折优惠；超过100元的，其中100元按九折优惠，超过100元的部分按八折优惠．小青第一次去购买时付款36元，第二次又去购买时享受到了八折优惠．他查看了所买名著的定价，发现两次共节省了17元，则小青第二次购买时实际付款102元．【答案】102．【解答】解：第一次购书付款36元，享受了九折优惠，实际定价为36÷0.9＝40元，省去了4元钱．依题意，第二次节省了：17﹣4＝13元．设第二次所购书的定价为x元．（x﹣100）×0.8+100×0.9＝x﹣13，解得x＝115．故第二次购书实际付款为：115﹣13＝102元．故答案为：102．25．实验室里，水平桌面上有甲、乙、丙三个圆柱形容器（容器足够高），底面半径之比为1：2：1，用两个相同的管子在容器的5cm高度处连通（即管子底端离容器底5cm）．现三个容器中，只有甲中有水，水位高1cm，如图所示．若每分钟同时向乙和丙注入相同量的水，开始注水1分钟，乙的水位上升cm，则开始注入或或分钟的水量后，甲与乙的水位高度之差是0.5cm．【答案】见试题解答内容【解答】解：∵甲、乙、丙三个圆柱形容器（容器足够高），底面半径之比为1：2：1，∵注水1分钟，乙的水位上升cm，∴注水1分钟，丙的水位上升cm，设开始注入t分钟的水量后，甲与乙的水位高度之差是0.5cm，甲与乙的水位高度之差是0.5cm有三种情况：①当乙的水位低于甲的水位时，有1﹣t＝0.5，解得：t＝分钟；②当甲的水位低于乙的水位时，甲的水位不变时，∵t﹣1＝0.5，解得：t＝，∵×＝6＞5，∴此时丙容器已向乙容器溢水，∵5÷＝分钟，＝，即经过分钟丙容器的水到达管子底部，乙的水位上升，∴，解得：t＝；③当甲的水位低于乙的水位时，乙的水位到达管子底部，甲的水位上升时，∵乙的水位到达管子底部的时间为：分钟，∴5﹣1﹣2×（t﹣）＝0.5，解得：t＝，综上所述开始注入或或分钟的水量后，甲与乙的水位高度之差是0.5cm．26．如图，两根铁棒直立于桶底水平的木桶中，在桶中加入水后，一根露出水面的长度是它的，另一根露出水面的长度是它的．两根铁棒长度之和为55cm，此时木桶中水的深度是20cm．【答案】见试题解答内容【解答】解：设较长铁棒的长度为xcm，较短铁棒的长度为（55﹣x）cm．又知两棒未露出水面的长度相等，故可知x＝（55﹣x），解得：x＝30，因此木桶中水的深度为30×＝20cm．故填20．27．在我国明代数学家吴敬所著的《九章算术比类大全》中，有一道数学名题叫“宝塔装灯”，内容为“远望巍巍塔七层，红灯点点倍加增；共灯三百八十一，请问顶层几盏灯？”（倍加增指从塔的顶层到底层）．请你算出塔的顶层有3盏灯．【答案】见试题解答内容【解答】解：假设顶层的红灯有x盏，由题意得：x+2x+4x+8x+16x+32x+64x＝381，127x＝381，x＝3；答：塔的顶层是3盏灯．故答案为：3．28．如图，已知数轴上点A表示的数为﹣60，点B表示的数为20，甲在A点，乙在B点，甲的速度是每秒5个单位，乙的速度是每秒3个单位，小狗的速度是每秒20个单位．（1）点A与点B之间的距离是80．（2）若甲、乙两人同时同向（向右）而行，几秒钟甲追上乙？（3）若甲、乙两人同时相向而行，在C点相遇，求点C表示的数并在数轴上表示出来？（4）若小狗随甲同时同地向右出发，当小狗碰到乙时，乙才开始出发，乙和小狗同时向甲方向前进，当小狗再次碰到甲时又向乙方向跑，碰到乙的时候再向甲方向跑，就这样一直跑下去，直到甲、乙两人相遇为止，问这只小狗一共跑了多少路程？【答案】（1）80设甲乙两人运动的时间为t秒，根据题意，得5t﹣3t＝80．解得t＝40．所以，甲、乙两人同时同向（向右）而行，40秒钟甲追上乙．（3）相遇点C表示的数为﹣60+5×10＝﹣10．点C在数轴上表示如下（4）这只小狗一共跑了230个单位长度．【解答】（1）点A，点B之间的距离是20﹣（﹣60）＝80．（2）设甲乙两人运动的时间为t秒，根据题意，得5t﹣3t＝80．解得t＝40．所以，甲、乙两人同时同向（向右）而行，40秒钟甲追上乙．（3）设甲乙两人运动的时间为t秒，根据题意，得5t+3t＝80．解得t＝10．所以10秒时，甲乙相遇，此时相遇点C表示的数为﹣60+5×10＝﹣10．点C在数轴上表示如下：（4）设小狗运动的时间为t秒．当小狗第一次碰到乙时，20t＝80．解得t＝4．此时甲乙之间的距离为80﹣5×4＝60．当甲乙相遇时，3（t﹣4）+5（t﹣4）＝60．解得t＝．所以这只小狗跑的总路程为20×＝230．即这只小狗一共跑了230个单位长度．29．已知：A，B在数轴上对应的数分别用a，b表示，且（a+4）2+|b﹣12|＝0．（1）数轴上点A表示的数是﹣4，点B表示的数是12．（2）若点A与点C之间的距离表示为AC，点B与点C之间的距离表示为BC，当C点在数轴上且满足AC＝3BC时，求C点对应的数．（3）若一动点P从点A出发，以3个单位长度/秒速度由A向B运动，当P运动到B点时，再立即以同样速度返回，运动到A点停止；点P从点A出发时，另一动点Q从原点O出发，以1个单位长度/秒速度向B运动，运动到B点停止．设点Q运动时间为t秒．当t为何值时，点P与点Q之间的距离为2个单位长度．【答案】（1）﹣4，12．（2）C对应的数为8或20．（3）t＝1或3或6.5或7.5．【解答】解：（1）∵（a+4）2+|b﹣12|＝0，∴a+4＝0，b﹣12＝0，解得：a＝﹣4，b＝12，∴A表示的数是﹣4，B表示的数是12，故答案为：﹣4，12．（2）设数轴上点C表示的数为c∵AC＝3BC，∴|c+4|＝3|c﹣12|，当点C在线段AB上时，则c+4＝3（12﹣c），解得：c＝8；当点C在AB的延长线上时，则c+4＝3（c﹣12），解得：c＝20；综上可知：C对应的数为8或20．（3）若P从A到B运动，则P点表示的数为﹣4+3t，Q点表示的数为t．若点P在Q点左侧，则﹣4+3t+2＝t，解得：t＝1，若点P在Q点右侧，则﹣4+3t﹣2＝t，解得：t＝3，若P从B向A运动，则P点表示的数为28﹣3t，Q点表示的数为t．若点若点P在Q点右侧，则28﹣3t﹣2＝t，解得：t＝6.5，若点若点P在Q点左侧，则28﹣3t+2＝t，解得：t＝7.5，综上可知：t＝1或3或6.5或7.5．30．某单位计划“五一”期间组织职工到东江湖旅游，如果单独租用40座的客车若干辆刚好坐满；如果租用50座的客车可以少租一辆，并且有40个剩余座位．（1）该单位参加旅游的职工有多少人？（2）如同时租用这两种客车若干辆，问有无可能使每辆车刚好坐满？如有可能，两种车各租多少辆？（此问可只写结果，不写分析过程）【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）设该单位参加旅游的职工有x人，由题意得方程：，解得x＝360；答：该单位参加旅游的职工有360人．（2）有可能，因为租用4辆40座的客车、4辆50座的客车刚好可以坐360人，正好坐满．31．如图，正方形ABCD的周长为40米，甲、乙两人分别从A、B同时出发，沿正方形的边行走，甲按逆时针方向每分钟行55米，乙按顺时针方向每分钟行30米．（1）出发后2分钟时，甲乙两人第一次在正方形的顶点处相遇；（2）如果用记号（a，b）表示两人行了a分钟，并相遇过b次，那么当两人出发后第一次处在正方形的两个相对顶点位置时，对应的记号应是（6，13）．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）∵两个人的速度之和是85米每分钟，分钟后两人第一次相遇．如果要两人在顶点相遇，则：每个人所走的路程均为10的整数倍，且两个人所走路程之和为10+40n（n是整数）．S＝10+40n，n为0、1、2、3…n①S甲＝55t可以被10整除t为2、4、6…②S乙＝30t也可以被10整除t为甲方取值即可，∵S＝S甲+S乙，整理得：55t+30t＝10+40n，即：85t＝10+40n，∴n＝③，由①②③得：当t＝2时，两人第一次在顶点相遇．此时甲走了110米，乙走了60米，相遇在点D．（2）甲、乙相遇则两者走时间相同，设甲走x米，则乙走x＝x米，∵要相遇在正方形顶点，∴x和x都要为10的整数倍且x+x﹣10＝x﹣10为40的整数倍（除第一次走10米相遇，以后每次相遇都要再走40米），∴（a﹣）×85＝40（b﹣1）+20，由上式可知：当a＝6时，甲走了330米，甲走到点B，乙走了180米，乙走到点D，解得：b＝13．故答案为：（6，13）．32．台风“海棠”所引起的暴雨给一些地区带来严重的灾害．某小七（1）班班委会决定，由小敏、小聪两人负责选购圆珠笔、钢笔共22支，送给受灾的一所希望学校．他们去了商场，看到圆珠笔每支5元，钢笔每支6元．（1）若他们购买的圆珠笔、钢笔刚好用去120元，问圆珠笔、钢笔各买了多少支？（2）若购圆珠笔可9折优惠，钢笔可8折优惠，在所需费用不超过100元的前提下，请你写出一种．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）设买了x支圆珠笔，那么买了（22﹣x）支钢笔．根据题意得：5x+6（22﹣x）＝120，解得：x＝12，∴22﹣x＝10．故圆珠笔买了12支，钢笔买了10支．（2）设买了x支圆珠笔，那么买了（22﹣x）支钢笔．根据题意得：0.9×5x+0.8×6（22﹣x）＜100，解得x＞．又x应是整数且小于22，∴不妨取如圆珠笔19支，钢笔3支等．33．甲、乙两件服装的成本共500元，商店老板为获取利润，决定将甲服装按50%的利润定价，乙服装按40%的利润定价．在实际出售时，应顾客要求，两件服装均按9折出售，这样商店共获利157元，求甲、乙两件服装的成本各是多少元？【答案】见试题解答内容【解答】解：设甲服装的成本为x元，则乙服装的成本为（500﹣x）元，根据题意得：90%•（1+50%）x+90%•（1+40%）（500﹣x）﹣500＝157，解得：x＝300，500﹣x＝200．答：甲服装的成本为300元、乙服装的成本为200元．十二．一元一次方程的应用（共12小题）34．一列火车匀速行驶，经过一条长200m的隧道需要20s的时间，隧道的顶上有一盏灯，垂直向下发光，灯光照在火车上的时间是10s．则这列火车的长度是200m．【答案】见试题解答内容【解答】解：设这列火车的长度是xm．根据题意，得＝解得x＝200．答：这列火车的长度是200m．故答案为200．35．为了更好地落实“双减”政策，丰富学生课后托管服务内容，某校决定购买一批足球运动装备．经市场调查发现：甲、乙两商场以同样的价格出售同种品牌的足球队服和足球，已知每套队服比每个足球多50元，两套队服与三个足球的费用相等．（1）求每套队服和每个足球的价格各是多少？（2）甲商场优惠方案是：每购买十套队服，送一个足球；乙商场优惠方案是：若购买队服超过80套，则购买足球打八折．若该校购买100套队服和a个足球（其中a≥10且为整数），请通过计算说明，学校采用哪种优惠方案更省钱？①请用含a的式子表示：甲商城所花的费用100a+14000，乙商城所花的费用80a+15000；②当购买的足球数a为何值时在两家商场购买所花的费用一样？【答案】（1）每套队服150元，每个足球100元；（2）①100a+14000；80a+15000；②购买的足球数a＝50时在两家商场购买所花的费用一样．【解答】解：（1）设每个足球的定价是x元，则每套队服是（x+50）元，根据题意得2（x+50）＝3x，解得x＝100，x+50＝150．答：每套队服150元，每个足球100元；（2）①甲商场购买所花的费用为：150×100+100（a﹣）＝100a+14000（元），乙商场购买所花的费用为：150×100+0.8×100•a＝80a+15000（元）；故答案为：100a+14000；80a+15000；②两家商场购买所花的费用一样时，100a+14000＝80a+15000，解得a＝50，答：购买的足球数a为50时在两家商场购买所花的费用一样．36．已知：b是最小的正整数，且a、b满足（c﹣6）2+|a+b|＝0，请回答问题（1）请直接写出a、b、c的值．a＝﹣1，b＝1，c＝6（2）a、b、c所对应的点分别为A、B、C，点P为一动点，其对应的数为x，点P在A、B之间运动时，请化简式子：|x+1|﹣|x﹣1|﹣2|x+5|（请写出化简过程）（3）在（1）（2）的条件下，点A、B、C开始在数轴上运动，若点A以每秒n（n＞0）个单位长度的速度向左运动，同时，点B和点C分别以每秒2n个单位长度和5n个单位长度的速度向右运动，假设经过t秒钟过后，若点B与点C之间的距离表示为BC，点A与点B之间的距离表示为AB．请问：BC﹣AB的值是否随着时间t的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求其值．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）∵b是最小的正整数，∴b＝1，∵（c﹣6）2+|a+b|＝0，（c﹣6）2≥0，|a+b|≥0，∴c＝6，a＝﹣1，b＝1，故答案为﹣1，1，6．（2）由题意﹣1＜x＜1，∴|x+1|﹣|x﹣1|﹣2|x+5|＝x+1+x﹣1﹣2x﹣10＝﹣10．（3）不变，由题意BC＝5+5nt﹣2nt＝5+3nt，AB＝nt+2+2nt＝2+3nt，∴BC﹣AB＝（5+3nt）﹣（2+3nt）＝3，∴BC﹣AB的值不变，BC﹣AB＝3．37．已知数轴上的点A，B对应的数分别是x，y，且|x+100|+（y﹣200）2＝0，点P为数轴上从原点出发的一个动点，速度为30单位长度/秒．（1）求点A，B两点之间的距离；（2）若点A向右运动，速度为10单位长度/秒，点B向左运动，速度为20单位长度/秒，点A，B和P三点同时开始运动，点P先向右运动，遇到点B后立即掉后向左运动，遇到点A再立即掉头向右运动，如此往返，当A，B两点相距30个单位长度时，点P立即停止运动，求此时点P移动的路程为多少个单位长度？（3）若点A，B，P三个点都向右运动，点A，B的速度分别为10单位长度/秒，20单位长度/秒，点M、N分别是AP、OB的中点，设运动的时间为t（0＜t＜10），在运动过程中①的值不变；②的值不变，可以证明，只有一个结论是正确的，请你找出正确的结论并求值．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）A、﹣100B、200AB＝300（2）设点P运动时间为x秒时，A，B两点相距30个单位长度．由题意得10x+20x＝300﹣30，解得x＝9，则此时点P移动的路程为30×9＝270．答：P走的路程为270；（3）运动t秒后A、P、B三点所表示的数为﹣100+10t，30t，200+20t，∵0＜t＜10，∴PB＝200﹣10t，OA＝100﹣10t，PA＝30t+100﹣10t＝20t+100，OB＝200+20t，∵N为OB中点，M为AP中点，∴N表示的数为100+10t，M表示的数为20t﹣50，∴MN＝100+10t﹣（20t﹣50）＝150﹣10t，OA+PB＝100﹣10t+200﹣10t＝300﹣20t，＝2．38．为了鼓励居民节约用水，某市自来水公司按如下方式对每户月用水量进行计费：当用水量不超过10吨时，每吨的收费标准相同；当用水量超过10吨时，超出10吨的部分每吨收费标准也相同．下表是小明家1﹣4月份用水量和交费情况：月份1234用水量（吨）8101215费用（元）16202635请根据表格中提供的信息，回答以下问题：（1）若小明家5月份用水量为20吨，则应缴水费多少元？（2）若小明家6月份交纳水费29元，则小明家6月份用水多少吨？【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）从表中可以看出规定吨数位不超过10吨，10吨以内，每吨2元，超过10吨的部分每吨3元，小明家5月份的水费是：10×2+（20﹣10）×3＝50元；（2）设小明家6月份用水x吨，29＞10×2，所以x＞10．所以，10×2+（x﹣10）×3＝29，解得：x＝13．小明家6月份用水13吨．39．某生产车间专门加工生产螺栓和螺母，每人每天能生产螺母24个或螺栓15个，一个螺栓配两个螺母配成如图的一套．（1）若安排20人生产螺栓，那么应安排多少人生产螺母才能使螺栓和螺母正好配套？（2）若车间里有90名工人，那么应分配多少人生产螺栓，多少人生产螺母才能使螺栓和螺母正好配套？【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）设安排x人生产螺母才能使螺栓和螺母正好配套，24x＝15×20×2解得，x＝25即安排25人生产螺母才能使螺栓和螺母正好配套；（2）设生产螺栓的有x人，15x×2＝24（90﹣x），解得，x＝40，则90﹣x＝50，即若车间里有90名工人，那么应分配40人生产螺栓，50人生产螺母才能使螺栓和螺母正好配套．40．为增强公民节水意识，合理利用水资源，某市采用“阶梯收费”，标准如下表：用水量单价不超过6m3的部分2元/m3超过6m3不超过10m3的部分4元/m3超出10m3的部分8元/m3譬如：某用户2月份用水9m3，则应缴水费：2×6+4×（9﹣6）＝24（元）（1）某用户3月用水15m3应缴水费多少元？（2）已知某用户4月份缴水费20元，求该用户4月份的用水量；（3）如果该用户5、6月份共用水20m3（6月份用水量超过5月份用水量），共交水费64元，则该户居民5、6月份各用水多少立方米？【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）应收水费2×6+4×（10﹣6）+8×（15﹣10）＝68元．（2）∵该用户4月份交水费20元，20＜28，∴设该户居民4月份用水xm3（x＜10），根据题意得出：6×2+4×（x﹣6）＝20，解得：x＝8．故该户4月份用水8m3；（3）①当5月份用水不超过6m3时，设5月份用水xm3，则6月份用水（20﹣x）m3，根据题意得出：2x+2×6+4×4+8（20﹣x﹣10）＝64，解得：x＝＞6，不符合题意舍去．②当5月份用水超过6m3时，但不超过10m3时，设5月份用水xm3，则2×6+4（x﹣6）+2×6+4×4+8×（20﹣10﹣x）＝64，解得：x＝8＜10，符合题意．③当5月份用水超过10m3时，根据6月份用水量超过5月份用水量，故不合题意．所以5月份用水8m3，6月份用水量为12m3．41．盈盈超市第一次用6000元购进甲，乙两种商品，其中乙商品的件数比甲商品件数的多15件，甲，乙两种商品的进价和零售价如下表（注：获利＝售价﹣进价）：甲乙进价（件/元）2230售价（件/元）2940（1）第一次进货时甲，乙两种商品各购进多少件？（2）该超市第二次以第一次的进价又购进甲，乙两种商品，其中甲种商品的件数不变，乙种商品的件数是第一次的3倍，甲商品按原价销售，乙商品打折销售．第二次两种商品都销售完后盈利2130元，求第二次乙种商品是按原价打几折销售的．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）设第一次甲种商品购进x件，依题意：22x+30（x+15）＝6000，解此方程：x＝150；（x+15）＝90，答：第一次甲，乙两种商品分别购进150件和90件；（2）设第二次乙种商品按打y折销售，依题意：（29﹣22）×150+（40×﹣30）×90×3＝2130，解此方程：y＝8.5，答：第二次乙种商品是按原价打8.5折销售的．42．某校计划购买20张书柜和一批书架（书架不少于20只），现从A、B两家超市了解到：同型号的产品价格相同，书柜每张210元，书架每只70元，A超市的优惠政策为每买一张书柜赠送一只书架，B超市的优惠政策为所有商品八折．（1）若在同一超市购买所有的产品，购买多少只书架付出的钱数相等？（2）在（1）的基础上，若规定只能到其中一个超市购买所有物品，什么情况下到A超市购买合算？（3）若学校想购买20张书柜和100只书架，分别求出在A超市和B超市购买所有产品付出的钱数．（4）若学校想购买20张书柜和100只书架，且可到两家超市自由选购．你认为至少要准备多少货款，请用计算说明．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）设买x只书架时，到两家超市一样优惠．根据题意得：20×210+70（x﹣20）＝0.8×（20×210+70x），解得：x＝40．答：若在同一超市购买所有的产品，购买40只书架付出的钱数相等；（2）根据实际问题，购买数量大于20只，小于40只书架选择到A超市购买合算；（3）学校购买20张书柜和100只书架，到A超市付出的钱数为：20×210+70（100﹣20）＝9800元，到B超市购买付出的钱数为：0.8×（20×210+70×100）＝8960元；（4）经分析：到A超市购买20个书柜和20个书架，到B超市购买80只书架，共需货款：20×210+70（100﹣20）×0.8＝8680元．43．元旦期间，某商场打出促销广告（如下表）优惠条件一次性购物不超过200元一次性购物超过200元但不超过500元一次性购物超过500元优惠办法无优惠全部按9折优惠其中500元仍按9折优惠，超过500元部分按8折优惠小明妈妈第一次购物用了134元，第二次购物用了490元．（1）小明妈妈第一次所购物品的原价是134元；（2）小明妈妈第二次所购物品的原价是多少元？（写出解答过程）（3）若小明妈妈将两次购买的物品一次性买清，可比两次购买节省多少元？【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）∵第一次付了134元＜200×90%＝180元，∴第一次购物不享受优惠，即所购物品的原价为134元；故答案为134．（2）∵第二次付了490元＞500×90%＝450元，∴第二次购物享受了500元按9折优惠，超过部分8折优惠．设小明妈妈第二次所购物品的原价为x元，根据题意得：90%×500+（x﹣500）×80%＝490，得x＝550．答：小明妈妈第二次所购物品的原价分别为550元．（3）500×90%+（550+134﹣500）×80%＝597.2（元），又134+490＝624（元），624﹣597.2＝26.8（元）她将这两次购物合为一次购买节省26.8元．44．为庆祝“六一”儿童节，某市中小学统一组织文艺汇演，甲、乙两所学校共92人（其中甲校的人数多于乙校的人数，且甲校的人数不足90人）准备统一购买服装参加演出；下面是某服装厂给出的演出服装的价格表购买服装的套数1套至45套46套至90套91套以上每套服装的价格60元50元40元（1）如果两所学校分别单独购买服装一共应付5000元，甲、乙两所学校各有多少学生准备参加演出？（2）在（1）的条件下，如果甲校有10名同学抽调去参加书法绘画比赛不能参加演出，请你为两所学校设计一种最省钱的购买服装方案．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）设甲校x人，则乙校（92﹣x）人，依题意得50x+60（92﹣x）＝5000，x＝52，∴92﹣x＝40，答：甲校有52人参加演出，乙校有40人参加演出．（2）乙：92﹣52＝40人，甲：52﹣10＝42人，两校联合：50×（40+42）＝4100元，而此时比各自购买节约了：（42×60+40×60）﹣4100＝820元若两校联合购买了91套只需：40×91＝3640元，此时又比联合购买节约：4100﹣3640＝460元因此，最省钱的购买方案是两校联合购买91套服装，即比实际人数多买91﹣（40+42）＝9套．45．如图，长方体盒子是用大长方形硬纸片裁剪制作的，每个盒子由4个小长方形侧面和上下2个正方形底面组成，大长方形硬纸片按两种方法裁剪：A所示方法剪4个侧面：B所示方法剪6个底面．现有112张大长方形硬纸片全部用于裁剪制作长方体盒子，设裁剪时x张用A方法，其余用B方法．（1）请用含x的代数式分别表示裁剪出的侧面和底面个数；（2）若裁剪出的侧面和底面恰好全部用完，问A方法、B方法各裁剪几张？能做多少个盒子？【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）由题意可得，裁剪出的侧面个数是：4x，裁剪出的底面个数是：6（112﹣x）＝﹣6x+672；（2）由题意可得，4x＝2×（﹣6x+672），解得，x＝84，∴112﹣84＝28，即A方法裁剪84张，B方法裁剪28张，能做84个盒子．一十三．二元一次方程组的应用（共1小题）46．某地生产一种绿色蔬菜，若在市场上直接销售，每吨利润为1000元；经粗加工后销售，每吨利润可达4500元；经精加工后销售，每吨利润涨至7500元．当地一家农工商公司收获这种蔬菜140吨，该公司加工厂的生产能力是：如果对蔬菜进行粗加工，每天可加工16t；如果进行精加工，每天可加工6t，但两种加式方式不能同时进行，受季节条件的限制，公司必须在15天之内将这批蔬菜全部销售或加工完毕，为此公司研制了三种加工方案．方案一：将蔬菜全部进行粗加工；方案二：尽可能多的对蔬菜进行精加工，没有来得及加工的蔬菜在市场上全部销售；方案三：将部分蔬菜进行精加工，其余蔬菜进行粗加工，并恰好在15天完成，你认为选择哪种方案获利最多，为什么？【答案】见试题解答内容【解答】解：①方案一获利为：4500×140＝630000（元）．②方案二获利为：7500×（6×15）+1000×（140﹣6×15）＝675000+50000＝725000（元）．③设x天进行粗加工，y天进行精加工，由题意，得解得：所以方案三获利为：7500×6×10+4500×16×5＝810000（元）．由于810000＞725000＞630000，所以选择方案三获利最多．答：选择方案三获利最多．十四．专题：正方体相对两个面上的文字（共1小题）47．如图是一个正方体的展开图，标注了字母A的面是正方体的正面，如果正方体的左面与右面所标注代数式的值相等，则x的值是1或2．【答案】见试题解答内容【解答】解：正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，∵标注了字母A的面是正面，∴左右面是标注了x2与3x﹣2的面，∴x2＝3x﹣2，解得x1＝1，x2＝2．故答案为：1或2．十五．直线、射线、线段（共1小题）48．平面内的9条直线任两条都相交，交点数最多有m个，最少有n个，则m+n等于（）A．36 B．37 C．38 D．39【答案】B【解答】解：三条最多交点数的情况．就是第三条与前面两条都相交：1+2四条最多交点数的情况．就是第四条与前面三条都相交：1+2+3五条最多交点数的情况．就是第五条与前面四条都相交：1+2+3+4六条最多交点数的情况．就是第六条与前面五条都相交：1+2+3+4+5七条最多交点数的情况．就是第七条与前面六条都相交：1+2+3+4+5+6八条最多交点数的情况．就是第八条与前面七条都相交：1+2+3+4+5+6+7九条最多交点数的情况．就是第九条与前面八条都相交：1+2+3+4+5+6+7+8＝36当平面内的9条直线相交于同一点时，交点数最少，即n＝1则m+n＝1+36＝37故选：B．十六．两点间的距离（共2小题）49．点A、B、C在同一条数轴上，其中点A、B表示的数分别为﹣3、1，若BC＝2，则AC等于（）A．3 B．2 C．3或5 D．2或6【答案】D【解答】解：此题画图时会出现两种情况，即点C在线段AB内，点C在线段AB外，所以要分两种情况计算．点A、B表示的数分别为﹣3、1，AB＝4．第一种情况：在线段AB外，AC＝4+2＝6；第二种情况：在线段AB内，AC＝4﹣2＝2．故选：D．50．如图，已知直线l有两条可以左右移动的线段：AB＝m，CD＝n，且m，n满足|m﹣4|+（n﹣8）2＝0．（1）求线段AB，CD的长；（2）线段AB的中点为M，线段CD中点为N，线段AB以每秒4个单位长度向右运动，线段CD以每秒1个单位长度也向右运动，若运动6秒后，MN＝4，求移动前线段BC的长；（3）将线段CD固定不动，线段AB以每秒4个单位速度向右运动，M、N分别为AB、CD中点，BC＝24，在线段AB向右运动的某一个时间段t内，始终有MN+AD为定值．求出这个定值，并直接写出t在哪一个时间段内．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）∵|m﹣4|+（n﹣8）2＝0，∴m﹣4＝0，n﹣8＝0，∴m＝4，n＝8，∴AB＝4，CD＝8；（2）若6秒后，M’在点N’左边时，由MN+NN’＝MM’+M’N’，即2+4+BC+6×1＝6×4+4，解得BC＝16，若6秒后，M’在点N’右边时，则MM’＝MN+NN’+M’N’，即6×4＝2+BC+4+6×1+4，解得BC＝8，（3）运动t秒后MN＝|30﹣4t|，AD＝|36﹣4t|，当0≤t＜7.5时，MN+AD＝66﹣8t，当7.5≤t≤9时，MN+AD＝6，当t≥9时，MN+AD＝8t﹣66，∴当7.5≤t≤9时，MN+AD为定值．十七．角平分线的定义（共2小题）51．已知∠AOB是一个直角，作射线OC，再分别作∠AOC和∠BOC的平分线OD、OE．（1）如图①，当∠BOC＝70°时，求∠DOE的度数；（2）如图②，当射线OC在∠AOB内绕O点旋转时，∠DOE的大小是否发生变化．若变化，说明理由；若不变，求∠DOE的度数；（3）如图③，当射线OC在∠AOB外绕O点旋转时，画出图形，判断∠DOE的大小是否发生变化．若变化，说明理由；若不变，求∠DOE的度数．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）∵OD、OE分别平分∠AOC和∠BOC，∴＝35°，＝10°，∴∠DOE＝45°；（2）∠DOE的大小不变等于45°，理由：∠DOE＝∠DOC+∠COE＝＝＝＝45°；（3）∠DOE的大小发生变化，∠DOE＝45°或135°．如图①，则为45°；如图②，则为135°．（说明过程同（2））52．点O是直线AB上一点，∠COD是直角，OE平分∠BOC．（1）①如图1，若∠DOE＝25°，求∠AOC的度数；②如图2，若∠DOE＝α，直接写出∠AOC的度数（用含α的式子表示）；（2）将图1中的∠COD绕点O按顺时针方向旋转至图2所示位置．探究∠DOE与∠AOC的度数之间的关系，写出你的结论，并说明理由．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）①∵∠COD＝90°，∠DOE＝25°，∴∠COE＝∠COD﹣∠DOE＝90°﹣25°＝65°，又∵OE平分∠BOC，∴∠BOC＝2∠COE＝130°，∴∠AOC＝180°﹣∠BOC＝180°﹣130°＝50°；②∵∠COD＝90°，∠DOE＝α，∴∠COE＝∠COD﹣∠DOE＝90°﹣α，又∵OE平分∠BOC，∴∠BOC＝2∠COE＝180°﹣2α，∴∠AOC＝180°﹣∠BOC＝180°﹣（180°﹣2α）＝2α；（2）∠DOE＝∠AOC，理由如下：如图2，∵∠BOC＝180°﹣∠AOC，又∵OE平分∠BOC∴∠COE＝∠BOC＝（180°﹣∠AOC）＝90°﹣∠AOC，又∵∠COD＝90°，∴∠DOE＝90°﹣∠COE＝90°﹣（90°﹣∠AOC）＝∠AOC．十八．角的计算（共1小题）53．如图1，O为直线AB上一点，过点O作射线OC，∠AOC＝30°，将一直角三角板（其中∠P＝30°）的直角顶点放在点O处，一边OQ在射线OA上，另一边OP与OC都在直线AB的上方．将图1中的三角板绕点O以每秒3°的速度沿顺时针方向旋转一周．（1）如图2，经过t秒后，OP恰好平分∠BOC．①求t的值；②此时OQ是否平分∠AOC？请说明理由；（2）若在三角板转动的同时，射线OC也绕O点以每秒6°的速度沿顺时针方向旋转一周，如图3，那么经过多长时间OC平分∠POQ？请说明理由；（3）在（2）问的基础上，经过多少秒OC平分∠POB？（直接写出结果）．【答案】见试题解答内容【解答】解（1）①∵∠AOC＝30°，∴∠BOC＝180°﹣30°＝150°．∵OP平分∠BOC，∴∠COP＝∠BOC＝75°．∴∠COQ＝90°﹣75°＝15°．∴∠AOQ＝∠AOC﹣∠COQ＝30°﹣15°＝15°．所以t＝15°÷3°＝5秒；②是，理由如下：∵∠COQ＝15°，∠AOQ＝15°，∴OQ平分∠AOC；（2）∵OC平分∠POQ，∴∠COQ＝∠POQ＝45°．根据旋转的速度，设∠AOQ＝3t，∠AOC＝30°+6t，由∠AOC﹣∠AOQ＝45°，可得30°+6t﹣3t＝45°，解得t＝5秒；所以5秒时OC平分∠POQ；（3）设经过t秒后OC平分∠POB．∵OC平分∠POB，∴∠BOC＝∠BOP．∵∠AOQ+∠BOP＝90°，∴∠BOP＝90°﹣3t．又∠BOC＝180°﹣∠AOC＝180°﹣30°﹣6t，∴180°﹣30°﹣6t＝（90°﹣3t），解得t＝秒．十九．角的计算（共4小题）54．已知∠AOD＝160°，OB、OC、OM、ON是∠AOD内的射线．（1）如图1，若OM平分∠AOB，ON平分∠BOD．当OB绕点O在∠AOD内旋转时，求∠MON的大小；（2）如图2，若∠BOC＝20°，OM平分∠AOC，ON平分∠BOD．当∠BOC绕点O在∠AOD内旋转时，求∠MON的大小；（3）在（2）的条件下，若∠AOB＝10°，当∠BOC在∠AOD内绕着点O以2度/秒的速度逆时针旋转t秒时，∠AOM＝∠DON．求t的值．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）因为∠AOD＝160°，OM平分∠AOB，ON平分∠BOD，所以∠MOB＝∠AOB，∠BON＝∠BOD，即∠MON＝∠MOB+∠BON＝∠AOB∠BOD＝（∠AOB+∠BOD）＝∠AOD＝80°，答：∠MON的度数为80°；（2）因为OM平分∠AOC，ON平分∠BOD，所以∠MOC＝∠AOC，∠BON＝∠BOD，当OC在OB左侧时，如图：∠MON＝∠MOC+∠BON﹣∠BOC＝∠AOC∠BOD﹣∠BOC＝（∠AOC+∠BOD）﹣∠BOC＝（∠AOD+∠BOC）﹣∠BOC＝×180°﹣20°＝70°；如图，当射线OC在OB右侧时，∵∠COM＝∠AOC，∠BON＝∠BOD，∴∠MON＝∠MOC+∠BON+∠BOC＝∠AOC+∠BOD+∠BOC＝（∠AOC+∠BOD）+∠BOC＝（∠AOD﹣∠BOC）+∠BOC＝×140°+20°＝90°；答：∠MON的度数为70°或90°．（3）∵射线OB从OA逆时针以2°每秒的速度旋转t秒，∠COB＝20°，∴根据（2）中，得∠AOC＝∠AOB+∠COB＝2t°+10°+20°＝2t°+30°．∵射线OM平分∠AOC，∴∠AOM＝∠AOC＝t°+15°．∵∠BOD＝∠AOD﹣∠BOA，∠AOD＝160°，∴∠BOD＝150°﹣2t°．∵射线ON平分∠BOD，∴∠DON＝∠BOD＝75°﹣t°．又∵∠AOM：∠DON＝2：3，∴（t+15）：（75﹣t）＝2：3，解得t＝21．答：t的值为21秒．55．已知∠AOD＝40°，射线OC从OD出发，绕点O以20°/秒的速度逆时针旋转，旋转时间为t秒（t≤7）．射线OE、OF分别平分∠AOC、∠AOD．（1）如图①，如果t＝4秒，求∠EOA的度数；（2）如图①，若射线OC旋转时间为t秒，求∠EOF的度数（用含t的代数式表示）；（3）射线OC从OD出发时，射线OB也同时从OA出发，绕点O以10°/秒的速度逆时针旋转，射线OC、OB在旋转过程中（t≤7），若∠BOD＝∠EOB，请你借助图②和备用图进行分析后，直接写出的值．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）如图①，根据题意，得∠DOC＝4×20°＝80°∴∠AOC＝∠AOD+∠DOC＝40°+80°＝120°，∵射线OE平分∠AOC，∴＝60°，答：∠EOA的度数为60°．（2）根据题意，得∠COD＝（20t）°∴∠AOC＝（40+20t）°∵射线OE、OF分别平分∠AOC、∠AOD，∴＝（20+10t）°，∠AOF＝20°，∴∠EOF＝∠AOE﹣∠AOF＝（10t）°，答：∠EOF的度数为（10t）°．（3）∵射线OE、OF分别平分∠AOC、∠AOD，根据题意，得∠EOB＝∠AOE﹣∠AOB＝＝20+10t﹣10t＝20°∴∠BOD＝∠EOB＝10°，①如图②：当OB落在OF和OD之间时，∠BOD＝40﹣10t，40﹣10t＝10，解得t＝3．②如图3：当OB落在OD和OE之间时，∠BOD＝10t﹣40，10t﹣40＝10解得t＝5．∵＝＝＝当t＝3时，的值为，当t＝5时，的值为．答：的值为或．56．如图，∠AOB＝20°，∠AOE＝110°，OB平分∠AOC，OD平分∠AOE．（1）求∠COD的度数；（2）若以点O为观察中心，OA为正东方向，求射线OD的方位角；（3）若∠AOE的两边OA，OE分别以每秒5°和每秒3°的速度，同时绕点O按逆时针方向旋转，当OA回到原处时，OA，OE停止运动，则经过多少秒时，∠AOE＝30°？【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）因为OB平分∠AOC，∠AOB＝20°，所以∠AOC＝40°，因为OD平分∠AOE，∠AOE＝110°，所以∠AOD＝55°，因为∠COD＝∠AOD﹣∠AOC，所以∠COD＝55°﹣40°＝15°；（2）因为90°﹣55°＝35°，所以射线OD的方位角是北偏东35°；（3）设经过x秒时，∠AOE＝30°，①如图1所示，当OA未追上OE时，依题意，得5x﹣110＝3x﹣30，解得，x＝40；②如图2所示，当OA超过OE时，依题意，得