专题3 数列的综合应用2024-2025学年新教材高中数学选择性必修第一册同步教学设计 (湘教版2019)

专题3数列的综合应用2024-2025学年新教材高中数学选择性必修第一册同步教学设计(湘教版2019)主备人备课成员教学内容本节课的教学内容来自于湘教版2019年新教材高中数学选择性必修第一册，专题3“数列的综合应用”。本节课的主要内容是数列的通项公式的应用，以及数列的极限概念。具体包括以下几个方面：

1.数列的通项公式的应用：通过具体例子，让学生理解并掌握如何利用数列的通项公式求解数列的前n项和、求解数列的项、判断数列的收敛性等。

2.数列的极限概念：介绍数列极限的定义，让学生理解数列极限的概念，并学会如何判断数列极限的存在性。

3.数列极限的应用：通过实际问题，让学生了解数列极限在数学分析中的应用，如求解函数的导数、积分等。

4.数列的综合应用问题：通过综合性的例题，让学生将数列的通项公式、极限概念等知识综合运用，解决实际问题。核心素养目标本节课的核心素养目标在于培养学生的逻辑推理能力、数学建模能力和直观想象能力。通过数列的通项公式的应用和数列极限概念的学习，学生能够熟练运用数列知识解决实际问题，锻炼数学建模能力。同时，通过数列极限的应用问题，学生能够培养对数学概念的深度理解和灵活运用，提高逻辑推理能力。在解决问题的过程中，学生能够将抽象的数列概念与实际问题相结合，提升直观想象能力。教学难点与重点1.教学重点

-数列的通项公式的应用：掌握数列通项公式求解数列的前n项和、求解数列的项、判断数列的收敛性等基本方法。

-数列极限的概念：理解数列极限的定义，能够判断数列极限的存在性。

-数列极限的应用：学会利用数列极限的概念求解函数的导数、积分等。

-数列的综合应用问题：能够将数列的通项公式、极限概念等知识综合运用，解决实际问题。

2.教学难点

-数列极限的概念理解：数列极限是数学中的基本概念，但对学生来说较为抽象，难以理解。需要通过具体的例子和实际问题，帮助学生建立直观的理解。

-数列极限的判断：判断数列极限的存在性是教学难点之一，需要学生掌握判断极限存在的方法，如夹逼定理、单调有界定理等。

-数列的综合应用问题：将数列的通项公式、极限概念等知识综合运用，解决实际问题，需要学生具备较高的逻辑推理和数学建模能力。

举例说明：

-对于数列极限的理解，可以举例子让学生观察数列{an}=(1/n)在n趋向于无穷大时的极限，通过图形或实际问题引导学生理解极限的概念。

-对于数列极限的判断，可以利用夹逼定理或单调有界定理，给出具体的数列例子，让学生学会如何判断数列极限的存在性。

-对于数列的综合应用问题，可以给出实际问题，如求解函数f(x)=x^2在区间[0,1]上的定积分，引导学生将数列极限的概念与实际问题相结合，锻炼学生的数学建模能力。学具准备多媒体课型新授课教法学法讲授法课时第一课时师生互动设计二次备课教学方法与手段1.教学方法

-问题驱动法：通过提出问题，激发学生的思考，引导学生主动探索数列极限的概念和应用。

-案例教学法：通过具体的数列例子，让学生理解并掌握数列的通项公式的应用和数列极限的判断方法。

-小组合作法：鼓励学生分组讨论，共同解决数列的综合应用问题，培养学生的合作能力和解决问题的能力。

2.教学手段

-多媒体教学：利用PPT、动画等多媒体教学材料，直观地展示数列极限的概念和实例，提高学生的学习兴趣和理解程度。

-在线学习平台：利用教学软件或在线平台，提供丰富的学习资源，方便学生自主学习和复习。

-实时互动教学：通过提问、讨论等方式，与学生保持实时互动，及时解答学生的疑问，提高教学效果。教学实施过程1.课前自主探索

-教师活动：通过在线平台或班级微信群，发布预习任务，明确预习目标和要求。设计预习问题，引导学生自主思考。监控预习进度，确保预习效果。

-学生活动：自主阅读预习资料，理解数列极限知识点。思考预习问题，记录自己的理解和疑问。提交预习成果，如笔记、思维导图、问题等。

-教学方法/手段/资源：自主学习法，信息技术手段，共享预习资源。

-作用与目的：帮助学生提前了解数列极限，培养自主学习能力和独立思考能力。

2.课中强化技能

-教师活动：导入新课，讲解数列极限知识点，组织课堂活动，解答疑问。

-学生活动：听讲并思考，积极参与小组讨论、角色扮演、实验等活动，体验数列极限的应用。提问与讨论，针对不懂的问题或新的想法，勇敢提问并参与讨论。

-教学方法/手段/资源：讲授法，实践活动法，合作学习法。

-作用与目的：深入理解数列极限知识点，掌握数列极限技能，培养团队合作意识和沟通能力。

3.课后拓展应用

-教师活动：布置作业，提供拓展资源，反馈作业情况。

-学生活动：完成作业，拓展学习，反思总结。

-教学方法/手段/资源：自主学习法，反思总结法。

-作用与目的：巩固数列极限知识点和技能，拓宽知识视野和思维方式，发现不足并提出改进建议，促进自我提升。

举例说明：

1.课前自主探索

-教师活动：发布预习任务，要求学生阅读教材中关于数列极限的章节，并回答预习问题，如“数列极限的定义是什么？举例说明如何判断数列极限的存在性。”

-学生活动：学生通过阅读教材，理解数列极限的概念，尝试回答预习问题，并在平台上提交自己的答案和疑问。

2.课中强化技能

-教师活动：通过PPT展示数列极限的定义和判断方法，然后组织学生进行小组讨论，探讨如何判断特定数列的极限存在性。

-学生活动：学生在听讲过程中积极记录重点知识点，参与小组讨论，提出自己的观点和疑问，如“如何判断数列{an}=(1/n)的极限？”

3.课后拓展应用

-教师活动：布置课后作业，要求学生解决一些与数列极限相关的实际问题，并提供拓展资源，如相关的学术论文或数学竞赛题目。

-学生活动：学生完成课后作业，尝试解决实际问题，并利用提供的拓展资源进行进一步的学习和思考。同时，学生对自己的学习过程和成果进行反思总结，提出改进建议。知识点梳理1.数列极限的定义与性质

-数列极限的定义：数列极限是指当数列的项数趋向于无穷大时，数列的某一项或某一项的函数趋向于某一确定的值。

-数列极限的性质：数列极限具有保号性、保不等式性、保连续性等性质。

2.数列极限的判断方法

-夹逼定理：如果两个数列都收敛于同一极限值，则它们的和数列也收敛于该极限值。

-单调有界定理：如果数列单调且有界，则该数列收敛。

-收敛数列的性质：收敛数列的所有子序列都收敛于该数列的极限。

3.数列极限的应用

-求解函数的导数：利用数列极限的概念求解函数的导数，如求解f(x)=x^2的导数。

-求解函数的积分：利用数列极限的概念求解函数的积分，如求解定积分∫(from0to1)x^2dx。

-数列的极限问题：解决实际问题中的数列极限问题，如求解某个物理量的极限值。

4.数列的综合应用问题

-数列的极限问题：将数列的通项公式、极限概念等知识综合运用，解决实际问题。

-数列的收敛性问题：判断数列的收敛性，解决数列的收敛性问题。

-数列的极值问题：求解数列的极值，解决实际问题中的数列极值问题。

5.数列极限的举例分析

-举例说明数列极限的定义：如数列{an}=(1/n)，当n趋向于无穷大时，数列的极限为0。

-举例说明数列极限的判断：如数列{an}=(1/n^2)，利用单调有界定理判断该数列收敛。

-举例说明数列极限的应用：如求解函数f(x)=x^2在区间[0,1]上的定积分，利用数列极限的概念进行求解。

6.数列极限的练习题解析

-针对数列极限的定义、性质、判断方法等知识点，设计相应的练习题，帮助学生巩固知识点。

-解析练习题的解题思路和方法，引导学生掌握解题技巧。

-提供练习题的解答和解析，帮助学生理解和掌握数列极限的相关知识。板书设计-①数列极限的定义：当数列的项数趋向于无穷大时，数列的某一项或某一项的函数趋向于某一确定的值。

-②数列极限的性质：数列极限具有保号性、保不等式性、保连续性等性质。

2.数列极限的判断方法

-①夹逼定理：如果两个数列都收敛于同一极限值，则它们的和数列也收敛于该极限值。

-②单调有界定理：如果数列单调且有界，则该数列收敛。

-③收敛数列的性质：收敛数列的所有子序列都收敛于该数列的极限。

3.数列极限的应用

-①求解函数的导数：利用数列极限的概念求解函数的导数。

-②求解函数的积分：利用数列极限的概念求解函数的积分。

-③数列的极限问题：解决实际问题中的数列极限问题。

4.数列的综合应用问题

-①数列的极限问题：将数列的通项公式、极限概念等知识综合运用，解决实际问题。

-②数列的收敛性问题：判断数列的收敛性，解决数列的收敛性问题。

-③数列的极值问题：求解数列的极值，解决实际问题中的数列极值问题。

5.数列极限的举例分析

-①举例说明数列极限的定义：如数列{an}=(1/n)，当n趋向于无穷大时，数列的极限为0。

-②举例说明数列极限的判断：如数列{an}=(1/n^2)，利用单调有界定理判断该数列收敛。

-③举例说明数列极限的应用：如求解函数f(x)=x^2在区间[0,1]上的定积分，利用数列极限的概念进行求解。

6.数列极限的练习题解析

-①针对数列极限的定义、性质、判断方法等知识点，设计相应的练习题。

-②解析练习题的解题思路和方法，引导学生掌握解题技巧。

-③提供练习题的解答和解析，帮助学生理解和掌握数列极限的相关知识。课堂小结，当堂检测1.课堂小结

-本节课我们学习了数列极限的定义、性质、判断方法、应用以及综合应用问题。

-数列极限的定义是指当数列的项数趋向于无穷大时，数列的某一项或某一项的函数趋向于某一确定的值。

-数列极限的性质包括保号性、保不等式性、保连续性等。

-数列极限的判断方法包括夹逼定理、单调有界定理等。

-数列极限的应用包括求解函数的导数、积分等。

-数列的综合应用问题包括解决实际问题中的数列极限问题、数列的收敛性问题、数列的极值问题等。

-数列极限的举例分析帮助我们理解和掌握数列极限的概念和应用。

-练习题解析帮助我们巩固数列极限的相关知识点，提高解题技巧。

2.当堂检测

-请同学们完成以下数列极限的练习题：

(1)求数列{an}=(1/n)的极限。

(2)判断数列{an}=