初中数学与高中数学教材衔接知识

初中数学与高中数学教材衔接汇总

现有初高中数学教材存在以下“脱节”：

1、绝对值型方程和不等式，初中没有讲，高中没有专门的内容却在使用；

2、立方和与差的公式在初中己经删去不讲，而高中还在使用；

3、因式分解中，初中主要是限于二次项系数为1的二次三项式的分解，对系数不为1

的涉及不多，甚至没有，而且对三次或高次多项式的分解几乎不作要求；高中教材中许多化

简求值都要用到它，如解方程、不等式等；

4、二次根式中对分子、分母有理化初中不作要求，而分子、分母有理化是高中数学中

函数、不等式常用的解题技巧；

5初中教材对二次函数的要求较低，学生处于了解水平。而高中则是贯穿整个数学教材

的始终的重要内容；配方、作简图、求值域(取值范围)、解二次不等式、判断单调区间、

求最大最小值、研究闭区间上的函数最值等等是高中数学所必须掌握的基本题型和常用方法;

6、二次函数、二次不等式与二次方程之间的联系，根与系数的关系(韦达定理)初中

不作要求，此类题目仅限于简单的常规运算，和难度不大的应用题，而在高中数学中，它们

的相互转化屡屡频繁，且教材没有专门讲授，因此也脱节；

7、图像的对称、平移变换初中只作简单介绍，而在高中讲授函数时，则作为必备的基

本知识要领；

8、三角函数中，只简单学习了直角三角形的锐角与边的关系中的正弦、余弦、正切。

对于其性质已删去。斜三角形，正、余弦定理早删除了。而高中却要大量的运用。

9、含有参数的函数、方程、不等式初中只是定量介绍了解，高中则作为重点，并无专

题内容在教材中出现，是高考必须考的综合题型之一；

10、平面上任意两点间距离公式初中没有也不再训练，但高中是工具。

11、几何中很多概念(如三角形的五心：重心、内心、外心、垂心)和定理(平行线等

分线段定理、平行线分线段成比例定理、射影定理、相交弦定理等(圆累定理))初中早就

已经删除，大都没有去学习；

12、圆中四点共圆的性质和判定初中没有学习。高中则在使用。

另外，象配方法、换元法、待定系数法、十字相乘法、双十字相乘法分解因式等等初中

大大淡化，甚至老师根本没有去补讲，更谈不上延伸挖掘，很不利于高中数学的学习。

13、平行线等分线段、平行线分线段成比例定理也不再有。

新的课程改革，难免会导致很多知识的脱节和漏洞。下面我就具体谈谈初高中数学的脱

节与补救，仅个人看法，不当之处请指正。

一、教材内容衔接脱钩与补救

(―)绝对值

a,a>0,

(1)绝对值的代数意义：正数的绝对值是它的本身，|。|=0,。=0,

-a,a<0.

负数的绝对值是它的相反数，零的绝对值仍是零.即

(2)绝对值的几何意义：一个数的绝对值，是数轴上表示它的点到原点的距离.

(没讲)(3)两个数的差的绝对值的几何意义：-4表示在数轴上，数。和数6之间的距离.

(4)两个绝对值不等式：|x|<a(a>0)o

I%|<a(a>0)o

衔接：

(简单)(1)若忖=5,则产；若N=|—4|,则尸.

(难)⑵如果向+网=5,且。=一1,则b=；若|1一c|=2,则c=.

3.化简:|^-5|-|2%-13|(x>5).(用数轴)

(没得)4、(1)|%—1|>3；(2),+31+,一2|<7；(3)|x—1|+|%+1|>6.

(-)乘法公式

在初中已经学习过了下列一些乘法公式:

(1)平方差公式(a+b)(a—b)—tz2-b；

(2)完全平方公式(a土6)2-a2+2ab+b2.

未学的乘法公式：

(1)立方和公式(a+b)(a2—cib+b?)—/+b，；

(2)立方差公式(a_b)(a-+cib+b~)—cr—；

(3)三数和平方公式(a+Z?+c)~—a2+O2+c~+2(ab+be+ac)；

(4)两数和立方公式(a+bp=/+3a/+3cib^+b，；

(5)两数差立方公式(a-/?)3-a3-3a2b+3ab2-b3.

初中书上有(杨辉三角可助推或用多项式乘法推导)

衔接：计算：(1)(3+2y)(9-6y+4y2)；(2)(2xT)(4x2+2x+l)

(3)计算：(x+l)(x-1)(%2-x+l)(x2+x+1).

(4)已知a+Z?+c=4,ab+bc+ac=4,求a?+片+c?的值.

(5)已知x+y=l,求丁+,3+3孙的值.

(三)次根式的概念与运算：一般地，形如&(a20)的代数式叫做二次根式.

a,a>0,

-a,a<0.

无理式、分母(子)有理化.有理化因式的概念.、最简二次根式、同类二次根式.

衔接:将下列式子化为最简二次根式：(1)J再；(2)V^(tz>0);(3)j4V>(x<0).

没有(4)计算：73^(3-73).

(5)化简：(1)5/9—4-^5；(2)、卜~T---2(0<x<1).

f

(6)已矢口x=V3+V2，y-V3-V2求3代-5孙+3V的值.

（四）分式

分式的意义、基本性质、运算

AAA

形如白■的式子，若6中含有字母，且BwO,则称白•为分式.当此。时，分式公具有下

BBB

AAxMAA—M

列性质：三上；三=二巴.上述性质被称为分式的基本性质.

BBxMBB+M

分式的约分；①.分式的通分；②.分式的乘除；③分式的加减④分式的混合运算；

⑤零指数，负整数，整数，整数指数幕的运算。

a）零指数a0=l（"0）,

b）负整数指数a-。=工（4/0,0为正整数）.，

ap

「a•a„n=a„m+n,

c）注意正整数幕的运算性质J暧+优=。*"（“片0）,可以推广到整数指数幕，也就是上述

］（amy=am",

（ab）"=a"b"

等式中的m、n可以是0或负整数.

a

繁分式：像逆一，一:“+.这样,分子或分母中又含有分式的分式叫做繁分式.

c+d2m

n+p

（五）分解因式：有理数范围分解因式，无理数范围分解

因式分解的主要方法有：十字相乘法、提取公因式法、公式法、分组分解法，另外还应了

解求根法及待定系数法.

学过的，用平方差和完全平方公式即公式法在有理数范围分解因式：无理数范围分解

未学的：十字相乘法、提取公因式法、分组分解法，求根法及待定系数法.

技巧：添项、拆项法

衔接：1、分解因式：（1）V—3x+2；（平方系数为1的）(2)V+4X—12；

(3)x2-(«+b)xy+aby2；(4)xy-l+x-y.

图1.2-1

说明：今后在分解与本例类似的二次三项式时，可以直接将图1.2-1中的两个x用1来表

示(如图1.2—2所示).

2.提取公因式法与分组分解法

(1)%3+9+3X2+3x；(2)2f+xy——4x+5y—6.

解：(1)x3+9+3x2+3x=(x3+3x2)+(3x+9)=x2(x+3)+3(%+3)=(x+3)(x2+3).

或％3+9+3x2+3%=(x3+3x2+3x+l)+8=(x+1)3+8=(x+1)3+23

=[(x+l)+2][(x+1)2-(X+1)X2+22]=(X+3)(X2+3).

(2)2%2+肛一＞2-4x+5y-6=2x2+(y-4-)x-y2+5y-6

=2/+(y—4)九一(y—2)(y—3)

=(2x-y+2)(x+y-3)

3.关于x的二次三项式苏+3c(aW0)的因式分解.

若关于x的方程依2+云+。=0(〃。0)的两个实数根是七、的,则二次三项式

ax2+bx+c(aw0)就可分解为〃(无一王)(九一马).

衔接：1、把下列关于x的二次多项式分解因式：

(1)%2+2x—1；(2)x2+4xy—4y2.

解：(1)令f+2%—1=0,则解得石=—l+J^,々=—1一

.•.f+2x—l=[x-(-1+回][x-(-1_伪卜(戈+1-衣(x+1+扬.

(2)令X?+4孙一4丁=o,贝U解得玉=(―2+=(—2—2-\/2)_y,

x2+4xy-4y2=[%+2(1A/2)y][%+2(1+^2)y].

2.在实数范围内因式分解：

(1)X2-5X+3；(2)尤2一2岳—3；

(3)3x~+4xy—y~；(4)(%2—2x)2—7(x"—2x)+12.

(六)根的判别式

我们知道，对于一元二次方程af+Zu，+c=0(aWO),用配方法可以将其变形为

因为a#0,所以，4a2>0.于是

（1）当4ac>0时，方程①的右端是一个正数，因此，原方程有两个不相等的实数根

-b£b~-4ac

Xi,2=--------------

2a

⑵当犬一4ac=0时，方程①的右端为零，因此，原方程有两个等的实数根为=丫2=—上；

2a

A

(3)当炉一4ac<0时，方程①的右端是一个负数，而方程①的左边(x+—A—定大于或

2a

等于零，因此，原方程没有实数根.

由此可知，一元二次方程aV+6x+c=0(aWO)的根的情况可以由来判定，我们

把作一4ac叫做一元二次方程a/+6x+c=0(aWO)的根的判别式，通常用符号“A”来

表不.

综上所述，对于一元二次方程ax'+Ar+cuO(aWO),有

(1)当△>0时，方程有两个不相等的实数根刈2=——--------

2a

(2)当A=0时，方程有两个相等的实数根xi=x?=一2

2a

(3)当A<0时，方程没有实数根.

衔接1、不解方程判定下列一元二次方程根的情况。

(1)x2-x-6=0b~-4-ac=

(2)x2-2x—lb1-4-ac=£

22

(3)x—2x+2=0b-4ac=X]

2、判定下列关于x的方程的根的情况(其中a为常数)，如果方程有实数根，写出方程的实

数根.

(1)x—3x+3=0；(2)x—ax—1=0；(3)x—ax+(a—1)=0；(4)x—2x+a=0.

(七)根与系数的关系(韦达定理)

探究根与系数关系

一元二次方程若一元二次方程aV+6x+c=0(aWO)有两个实数根

_-Z?+“2-4〃c-b-A//?2-4ac_b2-(Z?2-4ac)_4ac_c

122a2a4a24a2a

所以，一元二次方程的根与系数之间存在下列关系：

b「

如果3/+Z?x+c=O(HWO)的两根分别是不，X2,那么不+苞=——，xi•X2=—.这一关

aa

系也被称为韦达定理.

特别地，对于二次项系数为1的一元二次方程/+内+q=0,若X1,£2是其两根，由韦达定

理可知

Xi+x2=—p,Xi•X2=q,即0=一(矛1+至)，q=Xi•x2,

所以，方程f+px+q=O可化为(xi+*2)x+xi•入2=0,由于矛1,也是一元二次方程

3+夕X+。=0的两根，所以，Xi,用也是一元二次方程第一(xi+x2)x+xi•至=0.因此有

以两个数的，至为根的一元二次方程(二次项系数为1)是(不+至)x+x-X2=0.

6Z(X-X1)(X-X2)=0

衔接：(少)1、已知方程5/+6—6=0的一个根是2,求它的另一个根及人的值.

(无)2、已知关于X的方程f+2(必一2)x+/2+4=0有两个实数根，并且这两个实

数根的平方和比两个根的积大21,求〃的值.

3、已知两个数的和为4,积为一12,求这两个数.

4、若xi和歪分别是一元二次方程2x?+5x—3=0的两根.

(1)求|布一用|的值；(2)求」了+」号的值；(3)x^+x2.

再入2

一元二次方程的两根之差的绝对值

—h+xl/72—

设用和生分别是一元二次方程^+bx+c=O(aWO),则石=——---------，

2a

-b-y/b2-4ac

x二--------------------------------,

22a

1

—b+yjb1-4ac-b-yjb-4ac\2ylb2-4ac_yjb2-4ac_A/A

2a2a2a\a\\a\

于是有下面的结论:若M和田分别是一元二次方程af+"+c=O(a#O),则|x-x2\=—

\a\

(其中A=Z>2—4ac).

今后，在求一元二次方程的两根之差的绝对值时，可以直接利用上面的结论.

(A)二次函数

(1)二次函数/=&为2+法+。的图像和性质

函数y=ax,二次函数了=//(@¥0)的图象可以由尸V的图象各点的纵坐标变为原来的a倍

得到.在二次函数y=af(a#O)中，二次项系数a决定了图象的开口方向和在同一个坐标系

中的开口的大小.

二次函数y=a(x+/y+ASWO)中，a决定了二次函数图象的开口大小及方向；7?决定了

二次函数图象的左右平移，而且“右正左移，力负右移”；次决定了二次函数图象的上下平

移，而且“左正上移，次负下移”.

(2)画二次函数y=ax2+6x+c(a=0)的图象的方法：

b

由于y=ax+bx+c=a(/+—x)+c

a

=a(H3+")+cb2

a4-a"4-a

.b.,b2-4ac

a(x+——)+--------

2a4a

所以，y=a/+6x+c(aW0)的图象可以看作是将函数y=af的图象作左右平移、上下平移

得到的，于是，二次函数/=@/+版+。殳。0)具有下列性质：

①当3>0时,函数y=ax+bx+c图象开口②当5<o时，函数y=ax+bx-\-c图象开口

向上；向下；

顶点坐标为(-4,),顶点坐标为(-2,oc〃),

2a4a2a4a

bb

对称轴为直线X=---,对称轴为直线x=一二；

2ala

bb

当xV——时，p随着x的增大而减小；当2时，y随着x的增大而增大;

2a2a

bb

当x>—二时，y随着x的增大而增大；当x>——时，y随着x的增大而减小；

2a2a

bb

当£=----时，函数取最小值当牙=一一时，函数取最大值

2a2a

4ac-b24ac-b2

了4a,74a,

(闭区间上的求最值没有学。)(区间与集合的关系)

衔接：1、求二次函数尸-3/-6^+1图象的开口方向、对称轴、顶点坐标、最大值(或

最小值)，并指出当x取何值时，y随x的增大而增大(或减小)？求当一时，函数

的最值。并画出该函数的图象.

2、己知函数尸寸，一2W后a,其中a>—2,求该函数的最大值与最小值，并求出函

数取最大值和最小值时所对应的自变量X的值.

本例中函数自变量的范围是一个变化的范围，需要对a的取值进行讨论.

解：①当a=-2时，函数的图象仅仅对应着一个点(一2,4),所以，函数的最大值

和最小值都是4,此时x=-2；

②当一2<a<0时，由图2.2—6①可知，当x=-2时，函数取最大值y=4；当x=a

时，函数取最小值y=a-,

③当0Wa<2时，由图2.2—6②可知，当x=-2时，函数取最大值y=4；当x=0时，

函数取最小值y=0；

④当a22时，由图2.2—6③可知，当x=a时，函数取最大值y=a?；当x=0时，函

数取最小值7=0.

说明：在本例中，利用了分类讨论的方法，对a的所有可能情形进行讨论.此外，本例中所

研究的二次函数的自变量的取值不是取任意的实数，而是取部分实数来研究，在解决这一类

问题时，通常需要借助于函数图象来直观地解决问题.

(3)二次函数的三种表示方式

1.一般式：y=ax+bx-\-0)；

2.顶点式：y=a(x+/i)2+k(aWO),其中顶点坐标是(一方，电.

3.交点式或两根式：y=a(x—荀)(x—加(aWO),其中E,苞是二次函数图象与x轴

交点的横坐标.(课本没要求，)

衔接：第三种形式的得出可如下：

我们先来研究二次函数y=aV+6x+c(aW0)的图象与x轴交点个数.

当抛物线y=aV+6x+c(a=0)与x轴相交时，其函数值为零，于是有al+^x+cu。.①

并且方程①的解就是抛物线尸af+fcr+cGWO)与x轴交点的横坐标(纵坐标为零)，于

是，不难发现，抛物线y=ax2+6x+c(a=0)与x轴交点个数与方程①的解的个数有关，而

方程①的解的个数又与方程①的根的判别式A=62—4ac有关，由此可知，抛物线y=af

+6x+c(a#0)与x轴交点个数与根的判别式A=匠—4ac存在下列关系：

(1)当A>0时，抛物线y=af+£x+c(aWO)与x轴有两个交点；反过来，若抛物线y=

ax'+^x+cQ/O)与x轴有两个交点，则△>0也成立.

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（2）当A=0时，抛物线/=苏+6匠+0（收0）与x轴有一个交点（抛物线的顶点）；反过

来，若抛物线夕=&^+6*+。（己/0）与x轴有一个交点，则△=0也成立.

（3）当AV0时，抛物线y=〃x2+6x+c（aW0）与x轴没有交点；反过来，若抛物线

+法+c（aW0）与x轴没有交点，则AV0也成立.

于是，若抛物线尸与x轴有两个交点/（xi,0）,8（期0）,则xi,也是

bcbc

方程a^+6x+c=0的两根，所以为+苞=---,xix=—,即一=—（XI+E）,—=xxx.

a2aaa2

bc

以，y=ax+bx~\~c=a（xH—xH—）=a[x~-（xi+x2）x+X1X2]~a（x-xj（x-X2）.

aa

由上面的推导过程可以得到下面结论:若抛物线y=a/+6x+c（aW0）与x轴交于/（为,0）,

8（刘，0）两点，则其函数关系式可以表示为尸a（x—不）（x—为）（aNO）.这样，也就得到

了表示二次函数的第三种方法：

衔接1、已知二次函数的图象过点（一1,0）,（0,-3）,（2,0）,求此二次函数的表达式.

（设三种形式该可）

顶点式研究其顶点的位置即可.

衔接：求把二次函数y=V—4x+3的图象经过下列平移变换后得到的图象所对应的函数解

析式：

（1）向右平移2个单位，向下平移1个单位；（2）向上平移3个单位，向左平移2个单位.

衔接如图9—2所示，在边长为2的正方形26切的边上有一个

动点、P,从点/出发沿折线/式》移动一周后，回到4点.设点

A移动的路程为x，△*C的面积为y.

（1）求函数y的解析式；（2）画出函数y的图像；（3）求函数y的取值

范围.

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%,0<%<2,

4—x,2<x<4,

函数『（X）的解析式为_

r44<x<6,

8-x,6<x<8.

（九）方程与不等式

1、二元二次方程组解法

学生已具备的：

1）知道“代入消元法、加减消元法”的基本思想和一般步骤；

2）已掌握由“代入法、消元法”解由两个二元一次方程组成的方程组；

3）通过对二元一次方程组解法的学习，已渗透了“消元”、“降次”的数学思想方法.

通过衔接学生可体会数学知识之间的内在联系，养成深入观察、分析的良好习惯

衔接：方程x?+2孙+/+1+丁+6=0

（生自己能得出后面概念）是一个含有两个未知数,并且含有未知数的项的最高次数是2的

整式方程，这样的方程叫做二元二次方程.其中一,2孙，丁叫做这个方程的二次项，X,y

叫做一次项,6叫做常数项.

我们看下面的两个方程组：

例1解方程组\+4y-4=0,x+y=7,

x-2y-2=0.xy=12.

x2-4y2+尤+3y-1=0,x2+/=20,

<

2x-y-l=0;x2-5孙+6y2=0.

2、一元二次不等式解法（符号解决）

理解一元二次方程、一元二次不等式和二次函数之间的关系.

衔接：一元二次不等式的解法：二次项系数a>0的一元二次不等式的解法，其关键是抓住

相应二次函数的图像与x轴的交点。二次函数y=x2—x—6的对应值表与图象如下：

x—3—2—101234

y60-4-6-61406

由对应值表及函数图象（如图2.3—1）可知

当万=-2或x=3时，y=0,即x=6=0；

当xV—2或x>3时，y>0,即x—6>0；

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当一2cx<3时，y<0,即/一为一6<0.

这就是说，

如果抛物线产x—6与x轴的交点是(一2,0)、(3,0),

那么一■元二次方程6=0的解就是Xi=~2,苞=3；

同样，结合抛物线与x轴的相关位置，可以得到

一元二次不等式/一x—6>0的解是x<—2或x>3；

一元二次不等式6<0的解是一2<x<3.

上例表明：由抛物线与x轴的交点可以确定对应的一元二次方程的解和对应的一元二次不等

式的解集.那么，怎样解一元二次不等式af+bx+cXKaWO)呢？

我们可以用类似于上面例子的方法,借助于二次函数y=a/+te+C(a#0)的图象来解一元

二次不等式ax+bx-\-c>0(2^0).

为了方便起见，我们先来研究二次项系数a>0时的一元二次不等式的解.

我们知道，对于一元二次方程af+6x+c=0(a>0),设△=犬-4ac,它的解的情形按照△

>0,△=(),△<()分别为下列三种情况一一

有两个不相等的实数解、有两个相等的实数解和没有实数解，

相应地，抛物线y=aV+6x+c(a>0)与x轴分别有两个公共点、一个公共点和没有公共

点(如图2.3—2所示)，因此，我们可以分下列三种情况讨论对应

的一元二次不等式ax'+^x+c>。(a>0)与aY+bx+cCO(a>

0)的解.

(1)当△>()时，抛物线y=ax'+6x+c(a>0)与x轴有两个

公共点(不，0)和(如0),方程af+6x+c=0有两个不相等的实

数根xi和苞(xiCxJ,由图2.3—2①可知

不等式。/+5尤+。>0的解为无<xi,或无>尤2；

不等式ax'+^x+cVO的解为/<彳<彳2.

(1)当A=0时，抛物线丫=症+匕尤+c(a>0)与x轴有且仅

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有一个公共点,

_b，一,

方程依2+6尤+c=0有两个相等的实数根无1=忿=—五，由图2.3—2②可知

b

不等式办2+6x+c>0的解为洋一在i；

不等式af+bx+cVO无解.

(2)如果△<(),抛物线y=a/+6x+c(a>0)与x轴没有公共点，

方程aV+6x+c=0没有实数根，由图2.3—2③

可知不等式a/+6x+c>0的解为一切实数；

不等式a/+6x+c<0无解.

今后，我们在解一元二次不等式时,如果二次项系数大于零，可以利用上面的结论直接求解；

如果二次项系数小于零，则可以先在不等式两边同乘以一1,将不等式变成二次项系数大于

零的形式，再利用上面的结论去解不等式.

练习：

解不等式：(1)/+2A—3<0；(2)x—V+6<0；(3)4x+4x+l>0；

(4)Y—6JT+9<0；(5)—4+^r—y<0.

(十)平行线分线段成比例定理

衔接1、网格图中，由全等三角形很容易证得平行线等分线段定理。|||||।।।।

衔接2：在一张方格纸上，我们作平行线4，&4(如图-1)，

直线。交/i，!于点A,比C，AB=2,BC—3,

4'R'4R9

另作直线6交/1,4,4于点4,3'，。'，不难发现力匚=——=-

B'C'BC3

我们将这个结论一般化，归纳出平行线分线段成比例定理：

三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例.

如图-2,/]///7//Z3,有空_=匹当然,也可以得出这=%.在运用该定理解决问题的过程中，我

BCEFACDF

们一定要注意线段之间的对应关系，是“对应”线段成比例.

练习：1、如图2,/J〃2〃/3,且AB=2,5。=3,。尸=4,求。E,防.

7Qq19W____________

DE=------DF=—,EF=——DF=—.丁

2+352+35

2、在ABC中，为边上的点，DE//BC,求证：—=—=—.

ABACBC

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证明（1）DE//BC,ZADE=ZABC,ZAED=ZACB,

cl.ADAEDE

.^AtDEs_-----------------

ABACBC

证明（2）如图3,过A作直线〃/BC,

U/DEHBC,

.ADAE

,AB-AC'

过E作EF〃AB交AB于。，得「BDEF,

因而。石=6匠

EF//AB,•.更=里=吧.

ACBCBC

AD_AE_DE

一AB—AC~BC'

从上例可以得出如下结论：（相似只只考角角）

平行于三角形的一边的直线截其它两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例.

平行于三角形的一边，并且和其它两边相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角

形的三边对应成比例.

3、已知/ABC,。在AC上，AO：r）C=2:l,能否在A5上找到一点瓦使得线段EC

的中点在5。上.

解假设能找到，如图，设EC交3。于p，则p为EC的中点，作EG〃AC交于G.

我们在探索一些存在性问题时，常常先假设其存在，再解之，有解则存在，无解或矛盾

则不存在.

4、在/ABC中，AD为/ABC的平分线，求证：—=—.

ACDC

角平分线性质定理，可叙述为角平分线分对边成比例（等于该角的两边之比）.

5.在/ABC中，/ABC的外角平分线A。交8C的延长线于点。，求证：—=—.（H

ACDC

角形外角平分线定理）

（十一）三角形的“四心”

三角形是最重要的基本平面图形，很多较复杂的图形问题可以化归为三角形的问题.

,题型归纳

衔接：如图，在三角形AABC中，有三条边A53CCA,三个顶点A,3,C,在三角

形中，角平分线、中线、高是三角形中的三种重要线段.

1、三角形的三条中线相交于一点，这个交点称为三角形的重心.三角形的重心在三角形的

内部，恰好是每条中线的三等分点.

求证:，三角形的三条中线交于一点，且被该交点分成的两段长度之比为2：1.

已知D、E、尸分别为AABC三边BC、CA、的中点，

求证AD、BE、C尸交于一点，且都被该点分成2：1.

证明连结DE,设AD.BE交于点G,

D、E分别为BC、AE的中点，则。且

2

/GDEs/GAB,且相似比为1：2,

AG=2GD,BG=2GE.

设AD、CP交于点G',同理可得，AG'=2GD,CG=2

则G与G'重合，

AD,BE、b交于一点，且都被该点分成2：1.

2、三角形的三条角平分线相交于一点，是三角形的内心.(提及)

三角形的内心在三角形的内部，它到三角形的三边的距离相等.

B-

已知/ABC的三边长分别为3C=a,AC=c,I为/

ABC的内心，且I在/ABC的边6C、AC,A3上的射影分别为口E、F,求

……b+c-a

AE=AF=-----------.

2

证明作/ABC的内切圆，则口E、歹分别为内切圆在三边上的切点，

AE,Ab为圆的从同一点作的两条切线，'AE=AF,

同理，BD=BF,CD=CE.

\b+c-a=AF+BF+AE+CE-BD-CD

=AF+AE=2AF=2AE

口n……b+c-a

即AE=AF=----------

2

3、三角形的三条高所在直线相交于一点，该点称为三角形的垂心.锐角三角形的垂心一定

在三角形的内部，直角三角形的垂心为他的直角顶点，钝角三角形的垂心在三角形的外部.

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求证：三角形的三条高交于一点.

已知/ABC中，AD_LBC于D,BE_LAC于EA。与BE交于反点.

求证CH±AB.

证明以S为直径作圆，

ADXB,BEXAC,ZHDC=ZHEC=90°

D、E在以Ca为直径的圆上，

ZFCB=ZDEH

同理，E、D在以AB为直径的圆上，可得

ZBED=ZBAD.ZBCH=ZBAD

又力ABD与/CBF有公共角ZB,

ZCFB=ZADB=90°即CHXAB..

4、过不共线的三点A、B、C有且只有一个圆，该圆是三角形ABC的外接圆，圆心。为三

角形的外心(提及).三角形的外心到三个顶点的距离相等，是各边的垂直平分线的交点.

(十二)三角函数

1、直角三角形的四个锐角三角函数的概念；

1正弦、余弦、正切、余切2、特殊角的三角函数值(30°45°60°)没有0和

90

2、直角三角形的边角公式：平方和关系、商的关系、倒数关系(没运用)

.22rsinacosa,

sina+cosa=ltga=-----ctga=­---tg2a•ctg2a=l

cosasma

衔接：分别写出变形式：_______________________________________________

3、锐角三角函数.(A为锐角)

sinA=sin(180°-A)cosA=-cos(1800-A)

cotA=-cot(180°-A)catA=-cat(180°-A)

可顺势在坐标系中将锐角改为钝角看看结果怎样？

画图像举例说明：正弦值为“+”，其余为“-”

(十三)正弦定理和余弦定理

正弦定理三角形各边的长度与其对角的正弦值的比相等，且等于它的外接圆的直径

证明(传统证法)在任意斜AABC当中：

—absinC=—acs\nB=—bcsvaA

。△枫222

两边同除以Lq期得:

2sinAsin8sinC

余弦定理三角形任何一边的平方等于其它两边平方的和减去这两边与它们夹角的余

弦的积的两倍。

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a2=b2+c2-2bccosA变形式：_________________________________________

b2=c2+a2-2accosB变形式：________________________________________

c2=a2+b2-2abcosC变形式：__________________________________________

练习：1、在aABC中，已知a=3,c=3小,NA=30°,求NC及b

分析已知两边及一边的对角，求另一边的对角，用正弦定理.注意已知两边和一边的

对角所对应的三角形是不确定的，所以要讨论.

解VZA=30°,a<c,c•sinA—3yVa,工此题有两解.

csinA「

sinC==Z^C=60°,或NC=120°.

aJz0

.•.当NC=60°时，ZB=90°,b=^/a2+b2=6.

当NC=120°时，ZB=30°,b=a=3.

点评已知两边和一边的对角的三角形是不确定的，解答时要注意讨论.

2、在aABC中，已知acosA=bcosB,判断AABC的形状.

分析欲判断AABC的形状，需将已知式变形.式中既含有边也含有角，直接变形难以进

行，若将三角函数换成边，则可进行代数变形，或将边换成三角函数，则可进行三角变换.

RI一分

2,C22a2_i_c2_u2

解方法一：由余弦定理，得a•(9.)=b•(.),

.'.a2c2—a4—b2c2+b4=0.

(a2—b2)(c2—a2—b2)=0.

a2—b2=0,BS,c2—a2—b2=0.

a=b,c2=a2+b2.

/.△ABC是等腰三角形或直角三角形.

方法二：由acosA=bcosB,得2RsinAcosA=2RsinBcosB.

sin2A=sin2B.2A=2B,或2A=180°—2B.

；.A=B,或A+B=90°.

/.△ABC为等腰三角形或直角三角形.

点评若已知式中既含有边又含有角，往往运用余弦定理或正弦定理，将角换成边或将

边换成角，然后进行代数或三角恒等变换.

(十五)圆塞定理及其应用

衔接：1、用相似三角形可证相交弦定理、切割线定理、割线定理的内容.

2.然后提出问题.相交弦定理、切割线定理及其推论这三者之间是否有联系？

提出问题让学生思考，在学生回答的基础上，教师用电脑或投影演示图形的变化过程,

从相交弦定理出发，用运动的观点来统一认识定理.

(1)如图，。。的两条弦AB,CD相交于点P,则PA-PB=PC-PD.这便是我们学过的相交

弦定理.对于这个定理有两个特例：

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一是如果圆内的两条弦交于圆心0,则有PA=PB=PC=PD=/的半径R,此时AB,CD

是直径，相交弦定理当然成立.（如图）

二是当P点逐渐远离圆心0,运动到圆上时，点P和B,D重合，这时PB=PD=0,仍然

有PA-PB=PC-PD=0,相交弦定理仍然成立.（图）

⑵点P继续运动，运动到圆外时，两弦的延长线交于圆外一点P,成为两条割线，则有PA-PB

=PC-PD,这就是我们学过的切割线定理的推论（割线定理）.（图）

（3）在图中，如果将割线PDC按箭头所示方向绕P点旋转，使C,D两点在圆上逐渐靠

近，以至合为一点C,割线PCD变成