2025年高考数学总复习专项训练：直线、平面垂直的判定与性质

专练37直线、平面垂直的判定与性质

［基础强化］

一、选择题

1.在四棱锥的四个侧面中，直角三角形最多可能有（）

A.1个B.2个

C.3个D.4个

答案：D

解析：如图ABC。为矩形，

P

B4_L平面A8CQ时，△B43,为直角三角形，

又AD_LOC,PALDC,FAQAD=A,

・・.CD_L平面PAD,

：.CD.LPD,

•••△PCD为直角三角形，同理△P5C为直角三角形，共4个直角三角形.

2.已知a,夕是两个不同的平面，m,〃是两条不同的直线，下列命题不正确的是（）

A.若m//n,m-La,贝！Jn.La

B.若m_La,mL',贝！Ja〃4

C.若根_La,mu8,则a_L4

D.若小〃a,aCp=n,贝!J加〃〃

答案：D

解析：易知A、B、C均正确，D错误，相与〃也可能异面.

3.设〃，匕是两条不同的直线，a,£是两个不同的平面，则能得出。_16的是（）

A.a_La,b〃B，a_L夕B.aA_a,Z?_L夕，a//§

C.aua,b_Lp,a///3D.“ua,b〃£,Q_L£

答案:C

解析：当Q〃A，b_L4时，b.La,又〃ua,.\b.La,故C正确.

4.在正方体ABC。一AiBiGDi中，E为CO的中点，贝心）

A.AiE±DCiB.AxELBD

C.AiE±BCiD.AiE±AC

答案：C

解析：平面BCCIi,

BCiU平面BCGBi,；HCi,

又8Ci_L5iC且BiCn4Bi=Bi,

...8Ci_L平面A1B1CD,又AiEu平面4B1CD,

：.BCi±AiE.

5.在正方体ABC。-AllCQi中，£为4G的中点，则直线CE垂直于（）

A.A1C1B.BD

C.AiZ）iD.AAi

答案：B

解析:连接65,,.•ABCD—AiBiGDi为正方体，.•.EGBiZh且BiDiLiiG,BiAiCCi,又4cmeci

=Ci,.•.801_1平面4＜《，又CEu平面ACC,：.B\DiLCE,又：.BD±CE.

6.若/,机是两条不同的直线，加垂直于平面a,则“dm”是“/〃a”的（）

A.充分而不必要条件

B.必要而不充分条件

C.充分必要条件

D.既不充分也不必要条件

答案：B

解析：由且/L/推出“/ua或/〃a”，但由“M7_La且/〃a”可推出“江机”，所以“江机”

是“/〃a”的必要而不充分条件，故选B.

7.已知互相垂直的平面a,万交于直线/,若直线相，“满足”?〃a,〃_1_尸，则（）

A.m//1B.m//n

C.n.LlD.m_Ln

宏空.

1=1」c

解析：.../<=£,又，：n邛,

••nII.

8.在长方体ABCD-AiBiCiDi中,A5=4,BC=3,A4i=5,则AC与平面ABCD所成角的正切值为(

A.乎B.|

3

C.5D.1

答案：解析：如图所示，连接AC,・・・A4i，平面A3CQ,・・・AC与平面A3CD所成的角为NACAi,,：AB

=4,BC=3,

：.AC=5,・.・AAi=5,

tanZACAi=1,故选D.

9.如图，在三棱锥。一ABC中，若AB=BC,AD^CD,E为AC的中点，则下列命题中正确的是(

A.平面A8C_L平面A3。

B.平面AB£)_L平面BCD

C.平面A2C_L平面BDE且平面ACD_L平面BDE

D.平面A3C_L平面ACD且平面ACZ)_L平面BDE

答案：C

解析：：A8=BC,E为AC的中点，

：.EB±AC,同理。E_LAC,又DECEB=E,...ACl,平面又ACu平面AC。，

平面ACD_L平面BDE,同理平面ABC_L平面BDE

二、填空题

10.在三棱锥P-A2C中，PA^PB=PC,则尸在平面ABC中的射影。为△ABC的心.

答案：外

p

解析：连结。4,OB,OC,OP,：.^POA,△POB,△尸OC为直角三角形，

^PA=PB=PC,：.OA=OB=OC,

：.O为△ABC的外心.

11.已知平面a、/｝、y是空间中三个不同的平面，直线/、机是空间中两条不同的直线，若aJ_y,yCa

—m,yC\/3—l,/_!_«?则

①《t_L夕；②/_La；③尸_Ly；④。_1_乃.

由上述条件可推出的结论有(请将你认为正确的结论的序号都填上).

答案：②④

解析：7=/,/cy,又a_l_y,yC\a=m,l-Lm,/J_a,,:：.luB,又/J_a,.*.aJ_y8,

②④正确.

12.在四棱锥尸一ABC。中，底面ABCD为矩形，出_1面42。。，则这个四棱锥的五个面中两两互相垂

直的共有对.

答案:5

解析：

•.•外，平面A8CD,又以u平面也。，

二平面B4Z)_L平面ABCD；同理平面B48_L平面A8CD,

又出1.平面ABCD,C.PAA.CD,

XCDLAD,AD^PA^A,

.•.8_1平面小。，又CDu平面PCD,

平面尸CO_L平面P4。，同理平面PBC_L平面平面P4B_L平面E4D,共有5对.

［能力提升］

13.在正方体ABCO-AbBiGA中，E,尸分别为AB,BC的中点，贝式)

A.平面BiE凡L平面

B.平面3EE_L平面AB。

C.平面〃平面A1AC

D.平面SEP〃平面AC。

姣1=1案•■cA

解析:如图，在正方体ABC。一AllCQ1中，易知BDLAC又E,歹分别为AB,BC的中点，所以EF//AC,

所以_LEE由正方体的性质，知。A_L平面A8CD.又EFu平面A8C£>,所以。£h_LEE因为CDd=。，

所以EF_L平面BDDi.因为EFu平面田£匕所以平面BiEF_L平面BAA,A正确.假设平面BiEF_L平面AiBD.

因为平面BiEF_L平面BDDi,且平面A/。。平面BDDi=BD,所以8OJ_平面修££在正方体ABCD-

AiBiCi。中，显然8。与平面SEF不垂直，B错误.设AiA与囱£的延长线相交于点P,所以平面SEF

与平面AiAC不平行，C错误.连接ABi,BiC,易证平面AC8i〃平面4GD因为平面AC以与平面BiEF

相交，所以平面3EF与平面4C1O不可能平行，D错误.故选A.

14.

如图，在正四面体P—4BC中，D,E,尸分别是棱AB,BC,CA的中点，下面四个结论中不成立的是

)

A.BC〃平面PDF

B.切口_平面

C.平面P£)F_L平面ABC

D.平面B4E_L平面ABC

答案：C

解析：如图，

p

因为。、尸分别是A3、AC中点，所以8C〃。凡因为。ft平面POEBS平面PDF,所以BC〃平面

厅因为该几何体是正四面体，E是BC中点，所以BC_LPE,BC1AE,因为PEnAE=E,所以2。，平

面B4E,因为BC〃。尸，所以。口L平面E4E,又因为。尸u平面ABC,所以平面E4E_L平面ABC,故A、B、

D都成立.故选C.

15.在四棱锥P-ABCD中，出，面ABCD,底面各边都相等,M为尸C上的一动点，当点M满足

时，平面平面PCD.

答案：BMIPC(DMLPC)

解析：

当时，平面M8D_L平面PC。，证明如下:

如图所示，；E4_L平面A8CD,AB^AD,

：.PB=PD,又BC=CD,

：.△PB8APCD,：.当BM±PC时，

DM±PC,平面MB。，又尸Cu平面尸CD,

平面平面PCD.

16.

如图，侬，平面ABC,△ABC的外接圆是以边AB的中点0为圆心的圆，点M、N、P分别为侬、VC.

】多的中点，则下列结论正确的是.(把正确结论的序号都填上)