2025年高考数学复习题型突破训练：数列求和（解析版）

第04讲数列求和

目录

题型一：倒序相加法.............................................................2

题型二：分组求和法.............................................................5

题型三：裂项相消法.............................................................9

角度1：等差型..............................................................9

角度2：无理型.............................................................11

角度3：指数型.............................................................13

角度4：通项裂项为“+”型.................................................15

题型四：错位相减法............................................................24

角度1：乘型...............................................................24

角度2：除型...............................................................26

角度3：混合求和...........................................................28

题型五：奇偶项讨论求和........................................................34

Q〃为奇数

角度1：通项公式为分段式％〃为偶数....................................34

角度2：通项公式为g=(-1)"%型.............................................38

题型六：插入新数列............................................................46

角度1：插入新数列构成等差.................................................46

角度2：插入新数列构成等比.................................................49

角度3：插入新数混合.......................................................50

题型七：其他类型求和..........................................................55

角度1：通项含绝对值.......................................................55

角度2：通项含取整函数.....................................................56

题型一：倒序相加法

典型例题

例题1.(2023•全国•高三对口高考)已知函数贝!]/(x)+/(l-x)=__________；数列｛%｝

4+2

满足%=d三」，则这个数列的前2015项的和等于.

…20151

【答案】1-^-/1007.5

4X

【详解】由/(x)=—

八4、+2

41-x7

得了(I—%)=^^=二，所以〃')+"17)=1，

4"+24"+2

设数列｛0"｝前"项之和为，，

…/11/21/31/2014、(2015

人2015-，12016》/[2016卜，[2016卜…一，12016卜/r12016

52015=/f—+\/f—^••.+/f—^+/f—1

05(2016)U016JU016J(2016)12016)

两式相加得2sM5=2015,所以其。15=芈，

即这个数列的前2。15项的和等于等

辽"心生2015

故答案为：1;一--

例题2.(2023春•辽宁沈阳•高二沈阳二中校考阶段练习)已知函数/卜+；

为奇函数，且g(x)=〃x)+l,

n

若.”=g，则数列｛%｝的前2022项和为

2023

【答案】2022

【详解】由于函数/卜+:

=0,所以/(x)+/(l-/=0,

所以g(x)+g(l-X)=[/(%)+1]+[/(1)+1]=2,

22022

所以2(4+出+…+。2022)=2g+g+…+g

202320232023

「「1'(2022、］「(2'(2021Y2022A

=2x2022,

1/12023JK2023+2023尸刈2023j+…"2023J

ha

因此数列｛%,｝的前2022项和为％+电---2022=2022,

故答案为：2022

例题3.（2023•全国•高二专题练习）德国大数学家高斯年少成名，被誉为数学届的王子，19岁的高斯

得到了一个数学史上非常重要的结论，就是《正十七边形尺规作图之理论与方法》.在其年幼时，对

1+2+3+……+100的求和运算中，提出了倒序相加法的原理，该原理基于所给数据前后对应项的和呈现一

定的规律生成，因此，此方法也称之为高斯算法，现有函数〃》）=3号，设数列｛%｝满足

%,=/（0）+/用…+/[喘+/⑴*eN*）,若b"=2"",,则也｝的前〃项和/=.

【答案】n-2"+,

X

【详解】由=一2得，

2X+V2

T21r2、22、也

/(x)+/(1-%)=---------------------产=----产+——j=—=------产+-^―

2、+收21-x+V22X+V22+£-2、2、+/6+2

由%=…+〃EN),

得Kl)+/(汩+…+/g+d+/(。)，

,,.,〃+1

故2an=〃+1,。“=-^―,

故6“=2%=(力+1).2",

所以5“=22+3"+42+...+(〃+1).2",

则25“=2.22+3.23+4.24+~+小2"+(〃+1).2"”,

31

两式相减得：~Sn=2x2+2?+2+...+2-(〃+1)/

,,2(1-2"),，…用巾

=2-1—j-----(n+1)-2=—n-2

故S.=〃-2用，

故答案为：w-2"+i

精练核心考点

]]12n

1.（2023・全国•高三专题练习）已知数列｛%｝的前〃项和为E,,J3.—+—+-1-+—=,设函数

f(X)=COS7ix+—,贝U4〃=+

，〔矗]+/〔急+《建>-4^>-----•

【答案】«亍/1010.5

【详解】解：由于J+J+…+J=Wf，①,

AjrTII

当〃=i时!=1,所以〃i=i,

111_2(〃-1)

当〃22时,--------1----------r...H-------------------------------②，

E邑S“Tn

1_2n2(1)2

①-②得:

s〃〃+1nn(n+1)

所以邑=若义(〃之2),显然〃=1时邑=3罗也成立,

当心2时，％=5”/「丁一丁=〃，

当〃=1时〃〃=〃也成立，所以%=〃;

根据函数/(x)=cosxr+；,

所以f(I-X)=COS乃(1一X)+；=COS(%-7TX)+g=-COS7rx~^~(H7111

uj222

所以/(x)+/(I-X)=COS71X-COS+1=1；

所以/(▲)+/(▲)+/(二)+...+/(咏)+/(咏)

20222022202220222022

1、“2、”3、~2020、~2021、

=f(------)+f(-------)+f(------)+...+f(-------)+f(------)

20222022202220222022

1、//2021、］「乙2、//2020、］「“1010、^J012J“1011、

:"——)+"——)+"——)+…+"——)+/(—

2021

1010+-=

22

2021

故答案为：

2

2

2.(2023・高三课时练习)设函数/(幻=鼻，利用课本中推导等差数列前〃项和的方法，求得

2"+1

/(—5)+/(—4)+…+/(0)+…+/(4)+/(5)的值为.

【答案】11

22

【详解】因/㈤+/(_%)=------1-------=2，

2"+12-”+12、+212

设S=/(-5)+〃-4)+…+/(0)+-+/(4)+/(5),则

2S=/(-5)+/(5)+/(-4)+/(4)+.■■+2/(0)+.■.+/(4)+/(-4)+/(5)+/(-5)=22,故5=11.

故答案为：11

1—丫

3.(2023•全国•高三专题练习)设函数/口)=1+111丁1设q=l,

+++/1V](〃eN*,〃").求数列｛%｝的通项公式.

1,72=1

【答案】a=

nn-l,n>2

【详角星】/(%)+/(I—%)=1+In------F1+In-----=2；

x1-x

包+/

2

+f271-2,

、几

1,77=1

所以对一切正整数〃，有%=

n-l,n>2'

题型二：分组求和法

典型例题

例题1.(2023•安徽安庆•安庆一中校考三模)设数列｛4｝的前〃项和S“满足S“=2%,-%,且外,%-1,

%-3成等比数列.

(1)求数列｛%｝的通项公式；

(2)设是首项为1,公差为2的等差数列，求数列｛2｝的通项公式与前〃项和

［答案］⑴a*=2"T

(2也=2(2〃-1)一2",7；,=2«2-2"+1+2

【详解】(1)由已知S“=2a0-4，有a“=S"一九=2a“-2A“T”2),

即an=2an_x(«>2),从而a2=2%,a3=2a2=4%,

又因为％,a2-l,%-3成等比数列，即(为-1)2=%(%-3),

所以(2%—1)=%(4%—3),解得%=1,

所以，数列｛6｝是首项为1,公比为2的等比数列，

故。"=27

（2）因为《6"+。，是首项为1,公差为2的等差数列，所以口〃+%=1+2（”-1）,

所以数列出｝的通项公式为a=2（2〃-1）-2",

7；,=2[l+3+---+（2n-l）]-（21+22+---+2"）

〃[1+⑵-1）[2（1-2"）

=L----------------------------------

21-2

=2/—2"1+2.

例题2.（2023春•四川广安•高二四川省广安友谊中学校考阶段练习）已知等比数列｛«„｝的各项均为正

数，且。2+。3+。4=39,。5=2。4+3。3.

⑴求同｝的通项公式；

⑵数列也｝满足a=〃+。“，求也｝的前"项和人

【答案】（1）%=3"T

...3,!+n2+H-]

（2）7；,=——-——

｛a.+a.+a.=39

【详解】（1）V2；",

1%=2a4+3a3

...产（：+，+f）=3：,q>°,解得”二=3?

axq=2axq+3axq区一3

（2）由题可知”=〃+3〃T,・・・7；=l+2+-+〃+l+3i+-+3"T,

.T（l+〃）13〃_3〃+/+及一1

n21-32

例题3.（2023春•河南•高二校联考阶段练习）数列｛%｝的前〃项和E,满足S“=.用-1,"eN*,且％=1.

⑴求小

⑵设”=（-1）",求数列也｝的前2〃项和52„.

【答案】（1）%=2"T

【详解】（1）因为5〃=4+1-1,当〃=1时H=〃2-1，又q=1可得%=2,

当“22时作差得W-Siu.-1一（。“一1）,即2%=%+1,

乂詈=2,所以数列｛%｝是以1为首项，2为公比的等比数列，

所以a,=2"T.

(2)由(1)知，=(-l)"2"T-(-l)",

所以伪“=221-1,Vi=-22"-2+l)

所以勾T+&=4"L

所以耳=(4+%)+(4+")+…+(41+%)=1+4+…+4"一

1-4"4"-1

-1-4-3

精练核心考点

1.(2023・湖北咸宁•校考模拟预测)设S,为公差不为0的等差数列｛%｝的前"项和，若为,%，心成等比数歹人

$6-邑=33.

⑴求数列｛%,｝的通项公式；

(2)设。=20+In-，求数列也｝的前n项和Tn.

°n

【答案】(l)a„=2M+l(neN*)

841

(2)?;=(lZ)+ln2^3^eN.)

【详解】(1)设等差数列｛%｝的公差为

由%,为，%成等比数列可得，

所以(q+3d)2=%(%+12d),

所以2a/-3/=0,

因为dwO,所以2%-3d=0.①

又§6—03=33,

所以。4+。5+。6=33,②

所以％+4d=11,

联立①②得q=3"=2,

所以数列｛。,｝的通项公式%=2〃+1(〃eN*).

(2)由(1)知++

61n2〃+1

所以北=4+%+4+••,+”

=23+ln5-ln3+25+ln7-ln5+---+22n+1+ln(2«+3)-ln(2w+l)

=23+25+---+22"+1+ln(2/j+3)-ln3

2〃+3

+ln

3

…+1小

neN*)-

33

2.(2023•四川南充•统考三模)已知数歹!]｛。"｝的前〃项和为3,%=3,25.=3%-3.

⑴求｛g｝的通项公式;

(2)设数列低｝满足：4=。”+小3%,记也｝的前"项和为北,求却

【答案】⑴。"=3"(〃eN*)

，…r+1+n2+n-3

【详解】(1)•••25“=3%-3①

二当〃22时，2S“_]=3。“一1-3②

①一②得：2%=3a“一3%即%=3%(〃22)

,•,%=3,.•.数列｛%｝是以3为首项，3为公比的等比数列.

:.an=3"(〃eN*)

(2)bn=an+log3a„=3"+n.

7；=^+^++Z>„=(31+l)+(32+2)+---+(3"-1+n-l)+(3"+«)

=(31+32+---+3n_1+3,')+(l+2+---+n-l+n)

_3(1-3")+_3"+i+”2+〃_3

-1-3+-2--2

所以也｝的前〃项和(=,"fl

3.(2023春•福建莆田•高二莆田一中校考期中)设等比数列｛%｝的前〃项和为S“，且%-%=7,其=7

⑴求数列｛%｝的通项公式；

、//甲双r

丁”'小:制数列｛4｝的前2〃项和为七，求％“•

(唾2%，〃为奇数,

【答案】⑴%=2"T

(2)7；„=j-22-+1+n2-n-1

【详解】(1)由题知%-%=7,$3=7,设等比数列｛与｝的公比为分显然

3

飞①

=

7

9「

o

有也3」

②

=

7

、1

.

=2〃T

以4

,所

％=1

①得

代入

2,

以9=

1,所

q—1=

+②得

由①

偶数

〃为

2〃T,

二

得”

）可

由（1

（2）

为奇数

〃-1,“

+&)

"+…

(仇+

)+

+仇〃_1

4+…

伯+

&=

+…+

+仇

&=4

所以

2n1

3

-)

--+2

2+-

)+(2+

n-2

---+2

4+

+2+

=(0

")

2(l-4

^n

(2n-2

1-4

2

2

M

+1.2

1O2n

---.

—n-

+n

2

=—•

3

3

法

相消

：裂项

题型三

等差型

1：

角度

例题

典型

%

_i+

〃+]

iq

〃

1

1

中,

｛风｝

数列

中）在

考期

校校

才学

北育

二东

阳•高

宁沈

春•辽

023

1.（2

例题

=36

+——

,且一

a