江苏省南京市鼓楼区某中学2024年中考数学最后冲刺卷（含解析）

江苏省南京市鼓楼区鼓楼实验中学2024年中考数学最后冲刺浓缩精华卷

注意事项：

1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。

2.答题时请按要求用笔。

3.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。

4.作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。

5.保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）

1.如图，在平面直角坐标系中，以O为圆心，适当长为半径画弧，交x轴于点M,交y轴于点N,再分别以点M、

N为圆心，大于」MN的长为半径画弧，两弧在第二象限交于点P.若点P的坐标为（2a,b+1）,则a与b的数量关

2

系为

A.a=bB.2a+b=-1C.2a-b=lD.2a+b=l

2.实数-5.22的绝对值是()

A.5.22B.-5.22C.±5.22D.,5.22

3.如图，在AABC中,NC=9(F,NB=30o,AD是AABC的角平分线,口£，人8,垂足为点£浦£=1,则屁=()

A.逝B.2C.3D.6+2

4.2012-2013NBA整个常规赛季中，科比罚球投篮的命中率大约是83.3%,下列说法错误的是

A.科比罚球投篮2次，一定全部命中

B.科比罚球投篮2次，不一定全部命中

C.科比罚球投篮1次，命中的可能性较大

D.科比罚球投篮1次，不命中的可能性较小

5.体育测试中，小进和小俊进行800米跑测试，小进的速度是小俊的1.25倍，小进比小俊少用了40秒，设小俊的速

度是x米/秒，则所列方程正确的是（）

800800“c

A.4xl.25x—40x=800B.-----------------=40

x2.25%

x1.25%1.25%x

6.将一些半径相同的小圆按如图所示的规律摆放，第1个图形有4个小圆，第2个图形有8个小圆，第3个图形有

个小圆，…，依次规律，第个图形的小圆个数是()

147D

88

O

88O0

8O0

8D0

第1个图刑第1个图粒第3个图彬第4个图也

A.56B.58C.63D.72

7.由一些大小相同的小正方体搭成的几何体的俯视图如图所示，其中正方形中的数字表示该位置上的小正方体的个数,

那么该几何体的主视图是()

A.中位数不相等，方差不相等

B.平均数相等，方差不相等

C.中位数不相等，平均数相等

D.平均数不相等，方差相等

9.我省2013年的快递业务量为1.2亿件，受益于电子商务发展和法治环境改善等多重因素，快递业务迅猛发展，2012

年增速位居全国第一.若2015年的快递业务量达到2.5亿件，设2012年与2013年这两年的平均增长率为x,则下

列方程正确的是()

A.1.2(1+x)=2.5

B.1.2(l+2x)=2.5

C.1.2(1+x)2=2.5

D.1.2(1+x)+1.2(1+x)2=2.5

10.下列运算正确的是()

A.a64-a3=a2B.3a2»2a=6a3C.(3a)2=3a2D.2x2-x2=l

二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）

11.在一个不透明的布袋中，红色、黑色的玻璃球共有20个，这些球除颜色外其它完全相同.将袋中的球搅匀，从中

随机摸出一个球，记下颜色后再放回袋中，不断地重复这个过程，摸了200次后，发现有60次摸到黑球，请你估计这

个袋中红球约有个.

12.如图，一名滑雪运动员沿着倾斜角为34。的斜坡，从A滑行至B,已知AB=500米，则这名滑雪运动员的高度下

降了米.（参考数据：sin34°~0.56,cos34°~0.83,tan34°=0.67）

13.对于函数y^xn+xm,我们定义y'=rue"-1+rwcm-l（m、n为常数）.

例如丁=/+%2,则了=4丁+2%.

已知：y=1x3+（m-l）x2+/n2x.若方程V=0有两个相等实数根，则m的值为.

14.化简:.

a-bb-a

15.如图，在平面直角坐标系xOy中，A（-2,0）,B（0,2）,。。的半径为1,点C为。O上一动点，过点B作BP,

直线AC,垂足为点P,则P点纵坐标的最大值为cm.

16.已知点A（4,yi）,B（J二，y2）,C（-2,y3）都在二次函数y=（x-2）2」的图象上，则y>y2,y3的大小关系

是.

三、解答题（共8题，共72分）

17.（8分）《杨辉算法》中有这么一道题：“直田积八百六十四步，只云长阔共六十步，问长多几何？”意思是：一块

矩形田地的面积为864平方步，只知道它的长与宽共60步，问它的长比宽多了多少步？

18.（8分）如图,有四张背面完全相同的纸牌A,B,C,D,其正面分别画有四个不同的几何图形，将这四张纸牌背面朝上洗

匀.

ABCD

从中随机摸出一张，求摸出的牌面图形是中心对称图形的概率;小明和小亮约定

平行四

正三角形正方形边形矩形

做一个游戏，其规则为:先由小明随机摸出一张纸牌，不放回，再由小亮从剩下的纸牌中随机摸出一张，若摸出的两张牌面

图形都是轴对称图形小明获胜,否则小亮获胜，这个游戏公平吗?请用列表法（或树状图）说明理由（纸牌用A,B,C,D表示）.

19.（8分）如图，已知△A5C是等边三角形，点O在AC边上一点，连接5D,以5。为边在A5的左侧作等边△

连接AE,求证：Ab平分NEAC.

3k

20.（8分）在平面直角坐标系中，一次函数丁=—-x+b的图象与反比例函数y=—（k/0）图象交于A、B两点,

4x

与y轴交于点C,与x轴交于点D,其中A点坐标为（-2,3）.

求一次函数和反比例函数解析式.若将点C沿y轴向下平移4个单位长度至点F,连接AF、

3k

BF,求△ABF的面积.根据图象，直接写出不等式--x+/7>—的解集.

4x

21.（8分）如图，在四边形ABCD中，AB〃CD,ZABC=ZADC,DE垂直于对角线AC,垂足是E,连接BE.

（1）求证：四边形ABCD是平行四边形

(2)若AB=BE=2,sinZACD=—,求四边形ABCD的面积.

2

R

22.(10分)如图，Rt的直角顶点P在第四象限,顶点A、B分别落在反比例函数y=-图象的两支上,且，x

轴于点C,PALy轴于点D,AB分别与x轴，y轴相交于点F和E.已知点B的坐标为(1,3).

(1)填空：k=;

(2)证明：CD//AB；

(3)当四边形ABCD的面积和PCD的面积相等时，求点P的坐标.

23.(12分)已知：二次函数图象的顶点坐标是(3,5),且抛物线经过点A(l,3).求此抛物线的表达式；如果点A关

于该抛物线对称轴的对称点是B点，且抛物线与y轴的交点是C点，求△ABC的面积.

24.如图，AC是。O的直径，点P在线段AC的延长线上，且PC=CO,点B在。O上，且NCAB=30。.

(1)求证：PB是。。的切线；

(2)若D为圆O上任一动点，。。的半径为5cm时，当弧CD长为时，四边形ADPB为菱形，当弧CD长

为__________时，四边形ADCB为矩形.

参考答案

、选择题(共10小题，每小题3分，共30分)

1,B

【解析】

试题分析：根据作图方法可得点P在第二象限角平分线上，

则P点横纵坐标的和为0,即2a+b+l=0,

/.2a+b=-1.故选B.

2、A

【解析】

根据绝对值的性质进行解答即可.

【详解】

实数-5.1的绝对值是5.1.

故选A.

【点睛】

本题考查的是实数的性质，熟知绝对值的性质是解答此题的关键.

3、C

【解析】

试题分析：根据角平分线的性质可得CD=DE=L根据RtAADE可得AD=2DE=2,根据题意可得△ADB为等腰三角

形，则DE为AB的中垂线，贝!]BD=AD=2,贝!JBC=CD+BD=1+2=1.

考点：角平分线的性质和中垂线的性质.

4、A

【解析】

试题分析：根据概率的意义，概率是反映事件发生机会的大小的概念，只是表示发生的机会的大小，机会大也不一定

发生。因此。

A、科比罚球投篮2次，不一定全部命中，故本选项正确；

B、科比罚球投篮2次，不一定全部命中，正确，故本选项错误；

C、•科比罚球投篮的命中率大约是83.3%,

二科比罚球投篮1次，命中的可能性较大，正确，故本选项错误；

D、科比罚球投篮1次，不命中的可能性较小，正确，故本选项错误。

故选Ao

5、C

【解析】

先分别表示出小进和小俊跑800米的时间，再根据小进比小俊少用了40秒列出方程即可.

【详解】

小进跑800米用的时间为逆叫秒，小俊跑8oo米用的时间为幽秒,

1.25%x

;小进比小俊少用了40秒，

方程是迎一桨二4。，

x1.25%

故选C.

【点睛】

本题考查了列分式方程解应用题，能找出题目中的相等关系式是解此题的关键.

6^B

【解析】

试题分析：第一个图形的小圆数量=卜2+2=4；第二个图形的小圆数量=2x3+2=8；第三个图形的小圆数量=3x4+2=14；

则第n个图形的小圆数量=n(n+l)+2个，则第七个图形的小圆数量=7x8+2=58个.

考点：规律题

7、A

【解析】

由三视图的俯视图,从左到右依次找到最高层数，再由主视图和俯视图之间的关系可知，最高层高度即为主视图高度.

【详解】

解：几何体从左到右的最高层数依次为1,2,3,

所以主视图从左到右的层数应该为1,2,3,

故选A.

【点睛】

本题考查了三视图的简单性质，属于简单题，熟悉三视图的概念，主视图和俯视图之间的关系是解题关键.

8、D

【解析】

分别利用平均数以及方差和中位数的定义分析，进而求出答案.

【详解】

2、3、4的平均数为：-(2+3+4)=3,中位数是3,方差为：-[(2-3)2+(3-3)2+(3-4)2]=-；

333

3、4、5的平均数为：-(3+4+5)=4,中位数是4,方差为：-[(3-4)2+(4-4)2+(5-4)2]=-；

333

故中位数不相等，方差相等.

故选：D.

【点睛】

本题考查了平均数、中位数、方差的意义，解答本题的关键是熟练掌握这三种数的计算方法.

9、C

【解析】

试题解析：设2015年与2016年这两年的平均增长率为x,由题意得：

1.2(1+x)2=2.5,

故选C.

10、B

【解析】

A、根据同底数暴的除法法则计算；

B、根据同底数易的乘法法则计算；

C、根据积的乘方法则进行计算；

D、根据合并同类项法则进行计算.

【详解】

解：A、a64-a3=a3,故原题错误；

B、3a2»2a=6a3,故原题正确；

C、(3a)2=9a2,故原题错误；

D、2x2-x2=x2,故原题错误;

故选B.

【点睛】

考查同底数塞的除法，合并同类项，同底数基的乘法，积的乘方，熟记它们的运算法则是解题的关键.

二、填空题(本大题共6个小题，每小题3分，共18分)

11、1

【解析】

估计利用频率估计概率可估计摸到黑球的概率为0.3,然后根据概率公式计算这个口袋中黑球的数量，继而得出答案.

【详解】

因为共摸了200次球，发现有60次摸到黑球，

所以估计摸到黑球的概率为0.3,

所以估计这个口袋中黑球的数量为20x0.3=6(个)，

则红球大约有20-6=1个，

故答案为：1.

【点睛】

本题考查了利用频率估计概率：大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越

小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率.用频率

估计概率得到的是近似值，随实验次数的增多，值越来越精确.

12、1.

【解析】

AC

试题解析：在RtAABC中，sin34°=—

AB

AAC=ABxsin34°=500x0.56=l米.

故答案为1.

1

13、一

2

【解析】

分析：根据题目中所给定义先求V，再利用根与系数关系求机值.

详解：由所给定义知，=x2+2m-lx+m2X2+2m-lx+zw2=0,

♦=4（=-1）2-4xm2=0,

解得m=^-.

2

点睛：一元二次方程的根的判别式是ax2+bx+c=0（aw0）,

△=b2-4ac,a,b,c分别是一元二次方程中二次项系数、一次项系数和常数项.

△>0说明方程有两个不同实数解，

A=0说明方程有两个相等实数解，

△<0说明方程无实数解.

实际应用中，有两种题型（1）证明方程实数根问题，需要对△的正负进行判断，可能是具体的数直接可以判断，也可

能是含字母的式子，一般需要配方等技巧.

14、a+b

【解析】

将原式通分相减，然后用平方差公式分解因式，再约分化简即可。

【详解】

解：原式=上———

a-ba-b

a2-b2

a-b

_(〃+/?)(〃_〃)

a-b

=a+b

【点睛】

此题主要考查了分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键.

1+G

10>----------

2

【解析】

当AC与。O相切于点C时，P点纵坐标的最大值，如图，直线AC交y轴于点D,连结OC,作CH±x轴于H,PM±x

轴于M,DN_LPM于N,

VAC为切线，

.\OC±AC,

在AAOC中，VOA=2,OC=1,

.\ZOAC=30°,ZAOC=60°,

在RtAAOD中，VZDAO=30°,

.\OD=—OA=^I,

33

在RtABDP中，,:ZBDP=ZADO=60°,

.•.DP=-BD=-(2-^1)=1-B,

2233

在RtADPN中，VNPDN=30。，

11Jj

;.PN=-DP=--2LL,

226

而MN=OD=^8,

3

PM=PN+MN=1-昱+=1+6,

632

即P点纵坐标的最大值为匕8.

2

【点睛】

本题是圆的综合题，先求出OD的长度，最后根据两点之间线段最短求出PN+MN的值.

16、y3>yi>y2.

【解析】

试题分析：将A,B,C三点坐标分别代入解析式，得：yi=3,y2=54j£,y3=15,；.y3>yi>y2.

考点：二次函数的函数值比较大小.

三、解答题（共8题，共72分）

17、12

【解析】

设矩形的长为x步，则宽为（60-x）步，根据题意列出方程，求出方程的解即可得到结果.

【详解】

解：设矩形的长为x步，则宽为（60-x）步，

依题意得：x（60-x）=864,

整理得：x2-60x+864=0,

解得：x=36或x=24（不合题意，舍去），

.\60-x=60-36=24（步），

.*.36-24=12（步），

则该矩形的长比宽多12步.

【点睛】

此题考查了一元二次方程的应用，找出题中的等量关系是解本题的关键.

3

18、（1）（2）公平.

4

【解析】

试题分析：（1）首先根据题意结合概率公式可得答案；

（2）首先根据（1）求得摸出两张牌面图形都是轴对称图形的有16种情况，若摸出两张牌面图形都是中心对称图形的

有12种情况，继而求得小明赢与小亮赢的概率，比较概率的大小，即可知这个游戏是否公平.

3

试题解析：(1)共有4张牌，正面是中心对称图形的情况有3种，所以摸到正面是中心对称图形的纸牌的概率是一；

(2)列表得:

ABcD

A(A,B)(A,C)(A,D)

B(B,A)(B,C)(B,D)

C(C,A)(C,B)(C,D)

D(D,A)(D,B)(D,C)

共产生12种结果，每种结果出现的可能性相同，其中两张牌都是轴对称图形的有6种，

AP(两张都是轴对称图形)=-,因此这个游戏公平.

2

考点：游戏公平性；轴对称图形；中心对称图形；概率公式；列表法与树状图法.

19、详见解析

【解析】

由等边三角形的性质得出AB=BC,BD=BE,ZBAC=ZBCA=ZABC=ZDBE=60°,证出NABE=NCBD,证明

△ABE^ACBD(SAS),得出NBAE=NBCD=60。，得出NBAE=NBAC,即可得出结论.

【详解】

证明：•••△ABC,ZkOEB都是等边三角形，

：.AB=BC,BD=BE,ZBAC=ZBCA=ZABC=ZDBE=6Q°,

:.ZABC-ZABD^ZDBE-ZABD,

即

在4ABE^ihCBD中，

VAB=CB,

NABE=NCBD,

BE=BD,,

：.AABE^ACBD(SAS),

:.ZBAE=ZBCZ)=60°,

：.ZBAE=ZBAC,

：.AB平分NEAC.

【点睛】

本题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质等知识，熟练掌握等边三角形的性质，证明三角形全等是解

题的关键.

33-6-

20、(1)y---x+-,y=—;(2)12;(3)xV-2或0VxV4.

42x

【解析】

（1）将点A坐标代入解析式，可求解析式；（2）一次函数和反比例函数解析式组成方程组，求出点3坐标，即可求

△A3尸的面积；（3）直接根据图象可得.

【详解】

3k

（1）..次函数尸一二+方的图象与反比例函数尸1厚。）图象交于A（一3,2）、5两点,

3

3=-----x(-2)+b,k=-2x3=-6

4

3

b=—,k=-6

2

33

••・一次函数解析式+反比例函数解析式,二

x

33

y=--x+—

-42

（2）根据题意得：＜

-6

y=­

X

x=4

%]=-22

解得：＜3

%=3=-5

1

SAABF=—x4x(4+2)=12

2

（3）由图象可得：x＜-2或0VxV4

【点睛】

本题考查了反比例函数图象与一次函数图象的交点问题，待定系数法求解析式，熟练运用函数图象解决问题是本题的

关键.

21、(1)证明见解析；(2)S平行四边形ABCD=3石.

【解析】

试题分析：(1)根据平行四边形的性质得出NABC+NDCB=180。，推出NADC+NBCD=180。，根据平行线的判定得出

AD〃BC,根据平行四边形的判定推出即可；

(2)证明△ABE是等边三角形，得出AE=AB=2,由直角三角形的性质求出CE和DE,得出AC的长，即可求出四

边形ABCD的面积.

试题解析：(1)VAB//CD,/.ZABC+ZDCB=180o,

VZABC=ZADC,/.ZADC+ZBCD=180°,.•.AD/ZBC,

•；AB〃CD,.•.四边形ABCD是平行四边形；

(2)；sinNACD=且，AZACD=60°,

2

.四边形ABCD是平行四边形，,•.AB/ZCD,CD=AB=2,/.ZBAC=ZACD=60°,

VAB=BE=2,.,.△ABE是等边三角形，/.AE=AB=2,

VDE±AC,.•.NCDE=90。-60。=30。，/.CE=yCD=1,ADE=73CE=73，AC=AE+CE=3,

*••S平行四边形ABCD=2SAACD=AODE=373.

22、(1)1；(2)证明见解析；⑴P点坐标为(1，—3行—3).

【解析】

(1)由点B的坐标，利用反比例函数图象上点的坐标特征可求出k值；

⑵设A点坐标为］a,：}则D点坐标为［0,£),P点坐标为［1,1}C点坐标为(1,0),进而可得出PB,PC,PA,

PCPD

PD的长度，由四条线段的长度可得出——=—，结合NP=NP可得出PDC-PAB,由相似三角形的性质可得

PBPA

出/CDP=/A,再利用“同位角相等，两直线平行”可证出CD//AB；

(3)由四边形ABCD的面积和PCD的面积相等可得出sPAB=2SPCD，利用三角形的面积公式可得出关于a的方程,

解之取其负值，再将其代入P点的坐标中即可求出结论.

【详解】

k

(1)解：B点(1,3)在反比例函数y=一的图象，

X

二.k=1x3=3•

故答案为：1.

3

（2）证明:反比例函数解析式为y=

X

设A点坐标为I)

PB，x轴于点C,PA，y轴于点D,

.•.D点坐标为[0,j,P点坐标为。,j],C点坐标为(1,0),

33

•.PB=3—,PC=—,PA=1—a,PD=1,

aa

_3

,PC__1PD1

・pB，3-l-*PA-T^a?

j—a

a

PC_PD

"PB-PA'

又NP=4,

.♦qPDCsPAB.

.../CDP=/A,

（3）解：四边形ABCD的面积和PCD的面积相等,

…0PAB-PCD9

-X