2024年中考数学复习：似三角形的性质与判定

相似三角形的性质与判定

1.比例线段的相关概念:

⑴在四条线段a,b,c,d中，如果a和b的比等于c和d的比，那么这四条线段a,b,c,d叫作成比例线段,简称比例线段.

注意：在求线段比时，线段单位要统一.

⑵比例的性质(注意性质里的条件：分母不能为0)

a:b=c:d=ad=be;ab=c/ao^^=

ba

(3)比例线段的有关定理

平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所截得的对应线段成比例.

2.相似三角形：

⑴概念：三个角分别相等，三条边成比例的三角形，叫作相似三角形.

相似比:相似三角形对应边的比叫作相似比.

⑵相似三角形的性质：

相似三角形对应角相等，对应边成比例.

相似三角形对应高的比，对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比.

相似三角形周长的比等于相似比.

相似三角形面积的比等于相似比的平方.

注意：相似三角形性质可用来证明线段成比例、角相等，也可用来计算周长、边长等.

(3)三角形相似的判定：

①平行法：平行于三角形一边的直线和其他两边(或两边的延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相似.

②只看角法(AA)：两角分别相等的两个三角形相似.

③只看边法：

SSS:三边对应成比例的两个三角形相似.

HL：如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相

似.

④边角组合法(SAS):两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似.

3.射影定理：在直角三角形中，斜边上的高的平方是两直角边在斜边上射影的乘积.每一条直角边的平方是这条直角边在斜边上的

射影和斜边的乘积.

如图,RtAABC中,ZB4C=90°,AD是斜边BC上的高,贝UAD2=BD-DC.AB2=BD-BC,AC2=CDBC.

直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形相似.

4.相似三角形判定的基本模型

(1)“A”形及其变形

(3)双垂直型

如图1,ACAPOAPBD.

如图2、图3,有以下结论：(①△CAPO△PBD;;②连接CD,当点P为AB的中点时，△CAPO△PBDACPD.

图3

图4结论:△ABN<^AMAN^AMCA.

图5结论:△ABD^ACAE^ACBA.

K一例题精讲

例i阅读与计算，请阅读以下材料，并完成相应的问题.

角平分线分线段成比例定理，如图1,在^ABC中，AD平分立B4C,则桀=器.下面是这个定理的部分证明过程.

证明:如图2,过点C作CE〃DA,交BA的延长线于点E

任务：

⑴请按照上面的证明思路，写出该证明的剩余部分；

⑵填空:如图3,已知RtAABC中,AB=3,BC=4,乙48c=90°„AD平分NBAC,则△ABD的周长是___.

图1图2图3

图1图2

⑴图1中共有______对相似三角形，分别为(不需证明)；

(2)已知.AB=10,AC=8,,求出CD的长;

(3)在⑵的情况下，以AB为x轴、CD为y轴、点D为坐标原点O建立直角坐标系(如图2),若点P从C点出发，以每秒I个单

位的速度沿线段CB运动，点Q从B点出发，以每秒1个单位的速度沿线段BA运动，其中一点最先到达线段的端点时，两点即刻同

时停止运动；设运动时间为t秒，是否存在点P,使以点B,P,Q为顶点的三角形与△相似?若存在，请求出点P的坐标；若不

存在，请说明理由.

举一反三3已知如图.在RtAACB中,NC=9(T,AC=4cm,BC=3cm,点P由B出发沿BA方向向点A匀速运动,速度为1cm/s;点Q由

A出发沿AC方向向点C匀速运动，速度为2cm/s；连接PQ.若设运动的时间为t(单位:s)(0<t<2),当t为何值时，以A,P,Q为顶点的三角

形与△ABC相似？

例3从三角形(不是等腰三角形)一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形,

如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原三角形相似，我们把这条线段叫作这个三角形的完美分割线.

图1图2

⑴如图1,在4ABC中,CD为角平分线/A=4(r,/B=60。,求证:CD是AABC的完美分割线；

(2)如图2,在八ABC中,AC=2,BC=V2.CD是八ABC的完美分割线，且△ACD是以CD为底边的等腰三角形，求完美分割线CD

的长.

【思路点拨】(1)根据三角形内角和定理求出NACB=80。,根据角平分线的定义得到NACD=40。,证明ABCDs^BAC,证明结论；

⑵根据△BCDs/XBAG得到器=需设BD=x,解方程求出x,再根据相似三角形的性质定理列式计算即可.

举一反三4两对相似的直角三角形按如图所示的方式摆成矩形ABCD,其中△ADHCo△BAE,AADH三&CBFAABE三&CDG.

若EF:FG=1:2,4B:BC=2:3,则矩形EFGH与矩形ABCD的面积之比为（）

A..4—8

85

6唁

例4如图，四边形ABCD是正方形，点E在边BC上，在CD边上取一点F使AEAF=45°,AE与BD交于点H.AF与BD交于点

⑴求证:加=BG-DH;

⑵求证:CE=V2DG;

(3)求证:EF=V2WG.

备用图

举一反三5已知:正方形ABCD,点E在边CD上，点F在线段BE的延长线上，且乙FCE=乙CBE.

⑴如图1,当点E为CD边的中点时，求证:（CF=2EF-,

⑵如图2,当点F位于线段AD的延长线上时，求证：If=器

BEDF

例5【问题情境】如图1,R3ABC中,NACB=9(T,CD_LAB我们可以利用△ABC与4ACD相似证明.AC2=AD-AB,,这个结论

我们称之为射影定理，试证明这个定理.

【结论运用】如图2,正方形ABCD的边长为6,点0是对角线AC,BD的交点.点E在CD上，过点C作CF_LBE,垂足为F.连接

⑴试利用射影定理证明△BOF^ABED;

⑵若DE=2CE,求OF的长.

举一反三6一直角三角形的两直角边之比为2：3,若斜边上的高分斜边为两线段，则较小的一段与较大的一段之比是—.

举一反三7如图，矩形ABCD过点A作AE±BD于点E,AB=4,ZBAE=30°,]!!!]△DEC的面积是

(1)如图1,如果四周的小路的宽均相等，那么小路四周所围成的矩形4®CD和矩形ABCD相似吗?请说明理由.

(2攻口图2,如果相对着的两条小路的宽均相等，试问小路的宽x与y的比值为多少时，能使小路四周所围成的矩形.

矩形ABCD?请说明理由.

【思路点拨】⑴首先设四周的小路的宽为x,易得甯力誓，则可判定：小路四周所围成的矩形.4ECD和矩形ABCD不相

似;⑵由相似多边形的性质可得：当誓=甯时，小路四周所围成的矩形.4®C'D'和矩形ABCD相似，继而求得答案.

举一反三8善于学习的小敏查资料知道：对应角相等，对应边成比例的两个梯形，叫作相似梯形.他想到“平行于三角形一边的直

线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似”，提出如下两个问题，你能帮助解决吗？

问题一：平行于梯形底边的直线截两腰所得的小梯形和原梯形是否相似？

（1）从特殊情形入手探究.如图1,假设梯形ABCD中，AD\\BC,AB=6,BC=8,CD=4,AD=2,MN是中位线.根据相似梯形的定义，请你

说明梯形AMND与梯形ABCD是否相似.

⑵一般结论：平行于梯形底边的直线截两腰所得的梯形与原梯形—（填“相似”“不相似”或“相似性无法确定”，不要求证明）.

问题二：平行于梯形底边的直线截两腰所得的两个小梯形是否相似？

（3）从特殊平行线入手探究梯形的中位线截两腰所得的两个小梯形—（填“相似”“不相似”或“相似性无法确定”，不要求证明）.

（4）从特殊梯形入手探究.同上假设，如图2,梯形ABCD中，4D||BC,AB=6,BC=8,CD=4,AD=2,你能找到与梯形底边平行的直线P

Q（点P,Q在梯形的两腰上）,使得梯形APQD与梯形PBCQ相似吗?请根据相似梯形的定义说明理由.

⑸一般结论：对于任意梯形（如图3）,一定一（填“存在”或“不存在”）平行于梯形底边的直线PQ，使截得的两个小梯形相似.若存

在，则确定这条平行线位置的条件是芸=一.（不妨设.AD=a,BC=b,AB=c,CD=d.不要求证明）

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基础夯实

1.如图，在△ABC中，点D在AB边上，若BC=3.BD=2.且NBCD=NA,则线段AD的长为（）

2.在正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点，以格点为顶点的三角形叫作格点三角形.如图ABC是格点三角形，在图中

的6x6正方形网格中作出格点三角形^ADE（不含△ABC）,使得△ADEs^ABC（同一位置的格点三角形△ADE只算一个）,这样的格

点三角形一共有（）

A.4个B.5个

C.6个D.7个

C

3如图，在口ABCD中,AC是一条对角线,EF〃:BC.且EF与AB相交于点E,与AC相交于点F,3AE=2EB,连接DF若SAAEF=1,则

SAADF的值为.

4.如图，在^ABC中,D.E为边AB的三等分点,EF〃DG〃AC,H为AF与DG的交点若AC=6,则DH=

5.如图，点Pl,Pzp3,P4均在坐标轴上，且PlPzXPzP3P2P3-LP3P4，右点Pl,Pz的坐标分别为(0,1),(—2,0),则点P4的坐

7.如图,矩形ABCD中,AB=6,BC=8,动点P从B点出发沿着BC向C点移动，速度为每秒2个单位，动点Q从C点出发沿CD向

D点移动，速度为每秒1个单位，几秒后由C,P,Q三点组成的三角形与△ABC相似？这时线段PQ与AC的位置关系如何?请说明

理由.

8。)某学校“智慧方园”数学社团遇到这样一个题目：

如图1,在AABC中，点O在线段BC±,ZBAO=30°,ZOAC=75°,AO=3V5,BO:CO=1:3,求AB的长.

经过社团成员讨论发现，过点B作BD〃AC,交AO的延长线于点D,通过构造八ABD就可以解决问题(如图2).

A

4

请回答:NADB=—°,AB=____

⑵请参考以上解决思路，解决问题：

如图3,在四边形ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,AC±AD,AO=3V3,ZABC=ZACB=75°,BO:OD=1:3,SDC的长.

能力拓展

10如图,在RtAABC中,NACB=90。，分别以其三边为边向外作正方形，过点C作CR1FG于点R,再过点C作PQ1CR分别交

边DE,BH于点P,Q.若QH=2PE,PQ=15,则CR的长为()

A.14B.15

C.8V3P.6V5

11.如图,AB〃CD,AD〃CE,F,G分别是AC和FD的中点，过点G的直线依次交AB,AD,CD,CE于