结构力学数值方法：迭代法：结构力学中的直接法与迭代法对比

结构力学数值方法：迭代法：结构力学中的直接法与迭代法对比1结构力学数值方法：迭代法与直接法对比1.1绪论1.1.1结构力学数值方法简介结构力学是研究结构在各种载荷作用下的响应，包括变形、应力和应变等。随着计算机技术的发展，数值方法在结构力学分析中扮演了越来越重要的角色。数值方法允许工程师和科学家通过离散化连续问题，将其转化为计算机可以处理的数学模型。在结构力学中，数值方法主要分为两大类：直接法和迭代法。1.1.2直接法与迭代法的概念直接法：直接法通常涉及将结构力学问题转化为线性代数方程组，然后通过求解这些方程组来获得结构的响应。这种方法在求解过程中不依赖于初始猜测，而是直接计算出精确解。直接法适用于小型和中型问题，其中方程组的规模可以被现代计算机有效处理。迭代法：迭代法是一种逐步逼近精确解的方法。它从一个初始猜测开始，通过一系列的迭代步骤逐步改进解，直到达到预定的精度。迭代法在处理大型复杂结构时更为有效，因为它们可以利用稀疏矩阵和并行计算的优势，减少计算时间和内存需求。1.1.3选择合适方法的重要性选择正确的数值方法对于确保结构分析的准确性和效率至关重要。直接法在处理小规模问题时通常更快速，但随着问题规模的增加，其计算成本急剧上升。迭代法虽然在初始阶段可能需要更多的时间来收敛，但在处理大规模问题时，其效率和内存使用优势明显。因此，理解每种方法的优缺点，以及它们在不同场景下的适用性，是结构工程师和研究人员的一项基本技能。1.2直接法详解1.2.1矩阵求解直接法中最常见的技术是高斯消元法和LU分解。这些方法将结构力学问题转化为矩阵方程Ax=b的形式，其中A是系数矩阵，x是未知数向量，b是已知向量。直接法的目标是通过一系列的行操作，将A矩阵转化为上三角矩阵或对角矩阵，从而可以直接求解未知数向量x。1.2.1.1示例：高斯消元法假设我们有以下线性方程组：2可以表示为矩阵方程：2使用Python的NumPy库，我们可以直接求解这个方程组：importnumpyasnp

#定义系数矩阵A和已知向量b

A=np.array([[2,1],[1,3]])

b=np.array([8,9])

#使用NumPy的linalg.solve函数求解方程组

x=np.linalg.solve(A,b)

print(x)1.2.2代码解释上述代码首先导入了NumPy库，然后定义了系数矩阵A和已知向量b。np.linalg.solve函数接受这两个参数，并返回未知数向量x的解。在本例中，解为x=2.0,y=3.0，这与通过手动高斯消元法求解得到的结果一致。1.3迭代法详解1.3.1基本原理迭代法基于一个初始猜测，通过重复应用一个迭代公式来逐步改进解。迭代法的关键是选择一个合适的迭代公式，以及确定何时停止迭代的收敛准则。常见的迭代法包括雅可比迭代法、高斯-赛德尔迭代法和共轭梯度法。1.3.1.1示例：高斯-赛德尔迭代法考虑同样的线性方程组：2高斯-赛德尔迭代法的迭代公式为：xy其中xk和yimportnumpyasnp

#定义系数矩阵A和已知向量b

A=np.array([[2,1],[1,3]])

b=np.array([8,9])

#定义迭代公式

defgauss_seidel(A,b,x0,max_iter=100,tol=1e-6):

x=x0.copy()

for_inrange(max_iter):

x_new=np.zeros_like(x)

foriinrange(A.shape[0]):

s1=np.dot(A[i,:i],x_new[:i])

s2=np.dot(A[i,i+1:],x[i+1:])

x_new[i]=(b[i]-s1-s2)/A[i,i]

ifnp.linalg.norm(x_new-x)<tol:

returnx_new

x=x_new

returnx

#使用高斯-赛德尔迭代法求解方程组

x0=np.array([0,0])#初始猜测

x=gauss_seidel(A,b,x0)

print(x)1.3.2代码解释在高斯-赛德尔迭代法中，我们首先定义了系数矩阵A和已知向量b。然后，我们定义了一个gauss_seidel函数，它接受A、b、初始猜测x0以及迭代次数和收敛容差作为参数。在函数内部，我们使用了一个循环来执行迭代，直到达到最大迭代次数或满足收敛准则。迭代公式在循环中被应用，其中我们计算了新的x和y值，并检查了它们与前一次迭代值之间的差异是否小于给定的容差。如果满足收敛条件，函数返回当前的解；否则，返回最后一次迭代的结果。1.4结论在结构力学的数值分析中，直接法和迭代法各有优势。直接法适用于小规模问题，而迭代法在处理大规模问题时更为高效。选择合适的方法取决于问题的规模、矩阵的性质以及可用的计算资源。通过理解每种方法的工作原理和限制，工程师和研究人员可以更有效地进行结构分析，确保结果的准确性和计算的效率。请注意，上述代码示例是为了说明直接法和迭代法的实现，实际应用中可能需要更复杂的控制结构和错误处理机制。此外，迭代法的收敛性依赖于矩阵的性质，如对称性和正定性，以及初始猜测的选择。在实际工程问题中，选择和调整迭代法的参数可能需要更多的专业知识和经验。2直接法基础2.1直接法的原理与步骤直接法是结构力学中解决线性方程组的一种方法，尤其适用于小型或中型结构的分析。其核心原理是通过一系列的数学操作，直接求解出结构的未知量，如位移、应力等。直接法的步骤通常包括：建立方程组：根据结构的平衡条件和变形协调条件，建立结构的线性方程组。简化方程组：通过消元法或分解法，将方程组简化为更易于求解的形式。求解未知量：直接计算出方程组的解，得到结构的未知量。后处理：根据求解出的未知量，计算结构的其他物理量，如应力、应变等。2.2矩阵求解与直接法在结构力学中，直接法通常涉及到矩阵的求解。例如，对于一个结构的平衡方程，可以表示为：K其中，K是刚度矩阵，u是位移向量，F是外力向量。直接法通过求解这个方程组，直接得到u的值。2.2.1示例：使用Python的Numpy库求解线性方程组假设我们有以下线性方程组：2这可以表示为矩阵形式：2下面是如何使用Python的Numpy库来求解这个方程组的代码示例：importnumpyasnp

#定义刚度矩阵K和外力向量F

K=np.array([[2,3],[4,5]])

F=np.array([10,20])

#使用Numpy的linalg.solve函数求解线性方程组

u=np.linalg.solve(K,F)

#输出解

print("u1=",u[0])

print("u2=",u[1])运行上述代码，将得到u的值，即结构的位移向量。2.3直接法在结构力学中的应用案例直接法在结构力学中的应用广泛，下面通过一个简单的梁结构分析来展示直接法的应用。2.3.1示例：分析一个简支梁的位移考虑一个简支梁，两端固定，中间受到一个集中力的作用。假设梁的长度为L，集中力为P，梁的截面惯性矩为I，弹性模量为E。我们可以通过直接法求解梁的位移。2.3.1.1步骤1：建立方程组根据梁的平衡条件和变形协调条件，可以建立以下方程组：E其中，δx−L/2是Dirac2.3.1.2步骤2：简化方程组对于这个方程组，我们可以通过积分和边界条件来简化求解过程。首先，对上述方程进行两次积分，得到位移方程：u然后，应用边界条件u0=0和uL=0来求解2.3.1.3步骤3：求解未知量通过边界条件，可以求得C1和C2.3.1.4步骤4：后处理根据位移方程，可以进一步计算梁的应力、应变等物理量。2.3.2Python代码示例下面是一个使用Python求解上述简支梁位移的示例代码：importnumpyasnp

#定义参数

L=10.0#梁的长度

P=100.0#集中力

E=200e9#弹性模量

I=1.0#截面惯性矩

#定义位移方程

defu(x,C1,C2):

return(P/(6*E*I))*(x**3-(3/2)*L*x**2+L**2*x)+C1*x+C2

#应用边界条件求解C1和C2

C1=0

C2=0

forxin[0,L]:

ifabs(u(x,C1,C2))>1e-6:

#如果边界条件不满足，调整C1和C2的值

C2=-u(x,C1,C2)

#计算梁在中间点的位移

x_mid=L/2

u_mid=u(x_mid,C1,C2)

#输出结果

print("梁在中间点的位移为：",u_mid)请注意，上述代码示例中，我们简化了求解C1和C通过以上内容，我们了解了直接法在结构力学中的基本原理、矩阵求解方法以及一个具体的应用案例。直接法因其直接性和准确性，在结构分析中占有重要地位。3迭代法基础3.1迭代法的原理与步骤迭代法是一种在数学和工程中广泛使用的数值解法，尤其在解决大型线性方程组时非常有效。其基本思想是通过一系列逐步逼近的过程，从一个初始猜测值开始，逐步修正，直到达到满意的解。迭代法的步骤通常包括：初始化：选择一个初始解向量。迭代公式：定义一个迭代公式，该公式基于当前解向量生成下一个解向量。收敛条件：设定一个收敛条件，当迭代结果满足该条件时，停止迭代。迭代过程：重复应用迭代公式，直到满足收敛条件。3.1.1示例：Jacobi迭代法假设我们有如下线性方程组：10Jacobi迭代法的迭代公式为：x其中，xik表示第k次迭代时importnumpyasnp

#定义系数矩阵A和常数向量b

A=np.array([[10,-1,2],

[-1,11,-1],

[2,-1,10]])

b=np.array([1,25,-11])

#定义迭代公式

defjacobi(A,b,x0,tol,max_iter):

D=np.diag(np.diag(A))#对角矩阵

R=A-D#剩余矩阵

x=x0

iter=0

whileiter<max_iter:

x_new=np.dot(np.linalg.inv(D),b-np.dot(R,x))

ifnp.linalg.norm(x_new-x)<tol:

returnx_new,iter

x=x_new

iter+=1

returnNone,iter

#初始解向量x0，收敛精度tol，最大迭代次数max_iter

x0=np.array([0,0,0])

tol=1e-6

max_iter=1000

#运行Jacobi迭代法

x,iter=jacobi(A,b,x0,tol,max_iter)

print("解向量:",x)

print("迭代次数:",iter)3.2迭代法的收敛性迭代法的收敛性是其应用的关键。一个迭代过程是否收敛，以及收敛速度如何，取决于迭代矩阵的谱半径。如果谱半径小于1，则迭代过程收敛；如果等于1，则可能收敛也可能发散；如果大于1，则迭代过程发散。3.2.1收敛条件对于Jacobi迭代法，如果系数矩阵A是严格对角占优的，即对角线元素的绝对值大于其他元素绝对值之和，那么迭代过程是收敛的。3.3迭代法在结构力学中的应用案例在结构力学中，迭代法常用于求解大型结构的线性方程组，如有限元分析中的平衡方程。这些方程组通常非常大，直接法可能需要大量的计算资源和时间，而迭代法可以更高效地求解。3.3.1有限元分析中的迭代法应用考虑一个由多个单元组成的结构，每个单元的平衡方程可以表示为：K其中，K是刚度矩阵，u是位移向量，f是外力向量。对于大型结构，K可能是一个非常大的稀疏矩阵，直接求解Ku3.3.2示例：共轭梯度法求解有限元分析中的平衡方程假设我们有如下简化后的刚度矩阵K和外力向量f：K使用共轭梯度法求解Kuimportnumpyasnp

#定义系数矩阵K和常数向量f

K=np.array([[4,1],

[1,3]])

f=np.array([1,2])

#定义共轭梯度法

defconjugate_gradient(K,f,x0,tol,max_iter):

r=f-np.dot(K,x0)

p=r

rs_old=np.dot(r,r)

x=x0

foriinrange(max_iter):

Ap=np.dot(K,p)

alpha=rs_old/np.dot(p,Ap)

x=x+alpha*p

r=r-alpha*Ap

rs_new=np.dot(r,r)

ifnp.sqrt(rs_new)<tol:

break

p=r+(rs_new/rs_old)*p

rs_old=rs_new

returnx

#初始解向量x0，收敛精度tol，最大迭代次数max_iter

x0=np.array([0,0])

tol=1e-6

max_iter=1000

#运行共轭梯度法

u=conjugate_gradient(K,f,x0,tol,max_iter)

print("位移向量:",u)通过以上示例，我们可以看到迭代法在结构力学中的应用，以及如何通过编程实现这些方法。迭代法不仅在理论上提供了求解大型线性方程组的途径，而且在实践中也证明了其高效性和实用性。4直接法与迭代法对比4.1求解效率与精度的对比在结构力学的数值分析中，直接法与迭代法是两种常见的求解线性方程组的方法。它们在求解效率和精度上各有特点，适用于不同的问题场景。4.1.1直接法直接法，如高斯消元法、LU分解等，通过一系列的数学操作将原方程组转换为上三角或对角矩阵，从而可以直接求解出未知数。这种方法的优点是，一旦矩阵被分解，未知数的求解过程是确定的，不需要反复计算。然而，直接法的计算量与矩阵的大小成正比，对于大规模的矩阵，计算时间可能较长。4.1.1.1示例：LU分解法假设我们有以下线性方程组：2可以表示为矩阵形式：2使用Python的numpy库进行LU分解求解：importnumpyasnp

#定义矩阵A和向量b

A=np.array([[2,3,1],[4,3,3],[6,9,4]])

b=np.array([10,18,24])

#LU分解

P,L,U=scipy.linalg.lu(A)

#使用LU分解求解线性方程组

x=np.linalg.solve(U,np.linalg.solve(L,np.dot(P.T,b)))

print(x)4.1.2迭代法迭代法，如雅可比迭代法、高斯-赛德尔迭代法和共轭梯度法等，通过不断逼近的方式逐步求解未知数。迭代法的计算量通常与矩阵的大小无关，而是与迭代次数和每次迭代的计算量有关。迭代法在处理大规模稀疏矩阵时，往往比直接法更有效率，但可能需要更多的迭代次数才能达到满意的精度。4.1.2.1示例：高斯-赛德尔迭代法考虑同样的线性方程组，使用高斯-赛德尔迭代法求解：importnumpyasnp

#定义矩阵A和向量b

A=np.array([[2,3,1],[4,3,3],[6,9,4]])

b=np.array([10,18,24])

#初始化解向量

x=np.zeros(3)

#迭代求解

for_inrange(100):

x_new=np.zeros(3)

foriinrange(3):

s1=np.dot(A[i,:i],x_new[:i])

s2=np.dot(A[i,i+1:],x[i+1:])

x_new[i]=(b[i]-s1-s2)/A[i,i]

ifnp.allclose(x,x_new,atol=1e-10):

break

x=x_new

print(x)4.2适用场景分析4.2.1直接法适用场景小规模或中等规模问题：当问题规模不大时，直接法可以快速准确地求解。非稀疏矩阵：对于非稀疏矩阵，直接法的计算效率较高。4.2.2迭代法适用场景大规模问题：在处理大规模问题时，迭代法可以显著减少内存使用和计算时间。稀疏矩阵：对于稀疏矩阵，迭代法可以利用矩阵的稀疏性，避免不必要的计算，提高效率。4.3直接法与迭代法的优缺点4.3.1直接法优点：求解过程确定，精度高，适用于非稀疏的小规模问题。缺点：计算量大，内存占用高，不适合大规模问题。4.3.2迭代法优点：计算量和内存占用相对较小，适用于大规模稀疏矩阵问题。缺点：求解过程不确定，可能需要较多迭代次数才能达到高精度，且某些情况下可能不收敛。在实际应用中，选择哪种方法取决于问题的规模、矩阵的性质以及对求解速度和精度的要求。对于大规模的结构力学问题，尤其是涉及稀疏矩阵的情况，迭代法通常更为适用。而对于小规模问题或需要高精度解的情况，直接法则可能更为合适。5迭代法深入解析5.1迭代法的类型：雅可比迭代法5.1.1原理雅可比迭代法（JacobiIteration）是一种用于求解线性方程组的迭代方法。它基于将系数矩阵分解为对角矩阵、上三角矩阵和下三角矩阵，然后利用对角矩阵的逆来迭代求解未知数。对于结构力学中的线性方程组，雅可比迭代法可以有效地处理大型稀疏矩阵，尽管其收敛速度可能较慢。5.1.2内容考虑线性方程组Ax=b，其中A是系数矩阵，x是未知数向量，b是常数向量。雅可比迭代法首先将A分解为对角矩阵D、上三角矩阵U和下三角矩阵L，即x其中，xk是第k5.1.3示例假设我们有以下线性方程组：4可以表示为AxA使用雅可比迭代法求解，首先分解A：D迭代公式为：x5.1.4代码示例importnumpyasnp

#定义系数矩阵A和常数向量b

A=np.array([[4,-1,0],[-1,4,-1],[0,-1,4]])

b=np.array([3,1,2])

#定义迭代次数和初始解向量

max_iterations=100

x=np.zeros(3)

#雅可比迭代法

forkinrange(max_iterations):

x_new=np.zeros(3)

foriinrange(3):

sum1=sum(A[i][j]*x[j]forjinrange(i))

sum2=sum(A[i][j]*x[j]forjinrange(i+1,3))

x_new[i]=(b[i]-sum1-sum2)/A[i][i]

ifnp.allclose(x,x_new,atol=1e-8):

break

x=x_new

print("解向量:",x)5.2迭代法的类型：高斯-赛德尔迭代法5.2.1原理高斯-赛德尔迭代法（Gauss-SeidelIteration）是另一种求解线性方程组的迭代方法，与雅可比迭代法类似，但使用了最新的迭代结果来更新解向量，这通常可以加速收敛。5.2.2内容对于线性方程组Axx其中，aij是矩阵A的元素，xk和xk+1分别是第k5.2.3示例使用与雅可比迭代法相同的线性方程组，但应用高斯-赛德尔迭代法求解。5.2.4代码示例importnumpyasnp

#定义系数矩阵A和常数向量b

A=np.array([[4,-1,0],[-1,4,-1],[0,-1,4]])

b=np.array([3,1,2])

#定义迭代次数和初始解向量

max_iterations=100

x=np.zeros(3)

#高斯-赛德尔迭代法

forkinrange(max_iterations):

x_new=np.zeros(3)

foriinrange(3):

sum1=sum(A[i][j]*x_new[j]forjinrange(i))

sum2=sum(A[i][j]*x[j]forjinrange(i+1,3))

x_new[i]=(b[i]-sum1-sum2)/A[i][i]

ifnp.allclose(x,x_new,atol=1e-8):

break

x=x_new

print("解向量:",x)5.3迭代法的类型：共轭梯度法5.3.1原理共轭梯度法（ConjugateGradientMethod）是一种用于求解大型稀疏线性方程组的高效迭代方法，特别适用于系数矩阵为对称正定的情况。它通过构建一系列共轭方向来最小化目标函数，从而快速收敛到解。5.3.2内容对于线性方程组Ax=b，其中A是对称正定矩阵，共轭梯度法的迭代过程如下：1.初始化：选择初始解向量x0和残差向量r0=b−Ax0。2.设置初始搜索方向p0=r0。3.迭代计算：-计算步长αk=rk5.3.3示例考虑线性方程组Ax=b，其中5.3.4代码示例importnumpyasnp

defconjugate_gradient(A,b,x0,tol=1e-8,max_iter=100):

x=x0

r=b-A@x

p=r

rs_old=r@r

foriinrange(max_iter):

Ap=A@p

alpha=rs_old/(p@Ap)

x=x+alpha*p

r=r-alpha*Ap

rs_new=r@r

ifnp.sqrt(rs_new)<tol:

break

p=r+(rs_new/rs_old)*p

rs_old=rs_new

returnx

#定义系数矩阵A和常数向量b

A=np.array([[4,-1,0],[-1,4,-1],[0,-1,4]])

b=np.array([3,1,2])

#定义初始解向量

x0=np.zeros(3)

#使用共轭梯度法求解

x=conjugate_gradient(A,b,x0)

print("解向量:",x)以上代码示例展示了如何使用Python实现雅可比迭代法、高斯-赛德尔迭代法和共轭梯度法来求解线性方程组。这些方法在结构力学数值分析中有着广泛的应用，特别是在处理大型结构的线性方程组时。6案例研究与实践6.1直接法与迭代法在桥梁设计中的应用在桥梁设计中，结构力学数值方法扮演着至关重要的角色，其中直接法和迭代法是解决结构分析问题的两种主要途径。直接法，如高斯消元法，适用于小型或中型结构，能够直接求解线性方程组，得到精确的解。迭代法，如共轭梯度法或雅可比迭代法，更适合处理大型结构问题，通过逐步逼近的方式找到方程组的解。6.1.1高斯消元法示例假设我们有以下线性方程组，代表桥梁中某部分的受力分析：2使用Python的NumPy库，我们可以直接求解这个方程组：importnumpyasnp

#定义系数矩阵和常数向量

A=np.array([[2,1,-1],

[-3,-1,2],

[-2,1,2]])

b=np.array([8,-11,-3])

#使用高斯消元法求解

x=np.linalg.solve(A,b)

print("解为：",x)6.1.2迭代法示例：雅可比迭代法对于大型桥梁结构，雅可比迭代法是一种常用的迭代求解线性方程组的方法。以下是一个使用雅可比迭代法求解上述方程组的Python示例：importnumpyasnp

#定义系数矩阵和常数向量

A=np.array([[2,1,-1],

[-3,-1,2],

[-2,1,2]])

b=np.array([8,-11,-3])

#定义迭代初值和迭代次数

x=np.zeros_like(b)

iterations=1000

tolerance=1e-6

#雅可比迭代法

foriinrange(iterations):

x_new=np.zeros_like(x)

forjinrange(A.shape[0]):

s1=np.dot(A[j,:j],x[:j])

s2=np.dot(A[j,j+1:],x[j+1:])

x_new[j]=(b[j]-s1-s2)/A[j,j]

ifnp.allclose(x,x_new,atol=tolerance):

break

x=x_new

print("迭代解为：",x)6.2在高层建筑结构分析中的对比高层建筑结构分析中，直接法和迭代法的选择同样重要。直接法能够提供精确解，但计算资源消耗大，尤其在处理包含数千乃至数万个节点的复杂结构时。迭代法虽然初始解可能不精确，但随着迭代次数的增加，解会逐渐逼近真实值，且在处理大规模问题时更为高效。6.2.1直接法：高斯消元法对于一个包含多个楼层的高层建筑，每个楼层的受力分析可以简化为线性方程组。使用高斯消元法，我们可以精确求解每个楼层的受力情况，但这种方法在处理整个建筑结构时可能效率低下。6.2.2迭代法：共轭梯度法共轭梯度法是一种高效的迭代求解线性方程组的方法，尤其适用于高层建筑结构分析中的大规模问题。以下是一个使用共轭梯度法求解线性方程组的Python示例：importnumpyasnp

fromscipy.sparse.linalgimportcg

#定义系数矩阵和常数向量

A=np.array([[2,1,-1],

[-3,-1,2],

[-2,1,2]])

b=np.array([8,-11,-3])

#使用共轭梯度法求解

x,info=cg(A,b)

print("共轭梯度法解为：",x)6.3解决大型结构问题的策略在处理大型结构问题时，迭代法通常优于直接法。这是因为迭代法能够利用现代计算机的并行计算能力，减少计算时间。此外，迭代法在内存使用上也更为经济，因为它们不需要存储整个系数矩阵的逆矩阵。6.3.1迭代法策略：预条件共轭梯度法预条件共轭梯度法是一种改进的迭代法，通过使用预条件矩阵来加速收敛过程。在处理大型结构问题时，选择合适的预条件矩阵是关键，它能够显著减少迭代次数，提高求解效率。importnumpyasnp

fromscipy.sparse.linalgimportcg,LinearOperator

#定义系数矩阵和常数向量

A=np.array([[2,1,-1],

[-3,-1,2],

[-2,1,2]])

b=np.array([8,-11,-3])

#定义预条件器

defpreconditioner(x):

returnnp.linalg.solve(np.diag(A),x)

M=LinearOperator((3,3),matvec=preconditioner)

#使用预条件共轭梯度法求解

x,info=cg(LinearOperator((3,3),matvec=lambdax:A@x),b,M=M)

print("预条件共轭梯度法解为：",x)通过上述案例研究与实践，我们可以看到，在结构力学数值方法中，直接法和迭代法各有优势，选择合适的方法取决于具体问题的规模和计算资源的限制。在处理大型结构问题时，迭代法，尤其是预条件共轭梯度法，因其高效性和经济性而成为首选。7结论与展望7.1总结直接法与迭代法的适用性在结构力学的数值分析中，直接法与迭代法各有其适用场景。直接法，如高斯消元法、LU分解等，适用于小型到中型的线性系统，其主要优势在于能够一次性求解出精确解，计算过程稳定，且易于理解和实现。然而，随着结构复杂度的增加，直接法的计算量和内存需求急剧上升，对于大规模系统，其效率和可行性大大降低。迭代法，如雅可比迭代法、高斯-赛德尔迭代