2025年中考数学专项复习：二次函数综合题的解决方法

第十四单元二次函数综合题的解决方法

专题一抛物线与线段关系

核心考点一线段的大小比较

01.如图，抛物线y=/-2%-3与X轴交于A(-l,0),B(3,0)两点,与y轴交于点C.有一宽度为1的直尺平行于y

轴，在点O,B之间平行移动，直尺两长边被线段BC和抛物线截得两线段DE,FG.设点D的横坐标为t,且

(0<t<2„试比较线段DE与FG的大小.

核心考点二化斜为直

02.如图,抛物线y=-"+4-6与x轴交于A(3,0),B(8,0)两点与y轴交于点C,直线y=依-6经过点B.

点P在抛物线上，设点P的横坐标为m.若点P在直线BC上方的抛物线上，过点P作.PQ1BC,垂足为Q,求

CQ+»Q的最大值

C

专题二抛物线与点线距离

核心考点一点到直线的距离相等与平行转化，再分类讨论

01.如图，抛物线y=Y-2久-3交X轴于A,B两点（A在B的左边），C是第一象限抛物线上一点，直线AC交y

轴于点P.当（OP=。21时，在抛物线上存在点D（异于点B）,使B,D两点到AC的距离相等，求出所有满足

条件的点D的横坐标.

核心考点二化斜为直与配方求最值

02.如图，抛物线.y=-必+2x+3与x轴交于A和B两点，与y轴交于点C,连接AC，作直线BC.将直线BC向

下平移.山（巾＞0）个单位长度，交抛物线于B\C两点.在直线B（，上方的抛物线上是否存在定点D,无论m取

何值时，都是点D到直线的距离最大？若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由.

专题三抛物线与平行四边形

01.如图,抛物线y="2—|x—9与.X轴交于点A,B,与y轴交于点C,连接AC,BC.P是x轴上任意一点.点Q在抛

物线上，若以点A,C,P,Q为顶点，AC为一边的四边形为平行四边形时，求点Q的坐标.

02.抛物线y=尤2—1交x轴于A,B两点(A在B的左边)，平行四边形ACDE的顶点C在y轴的正半轴上，顶点

E在y轴右侧的抛物线上.

(1)如图1,若点C的坐标是(0,3),点E的横坐标是李直接写出点A,D的坐标；

⑵如图2,若点D在抛物线上，且平行四边形ACDE的面积是12,求点E的坐标.

图1图2

专题四抛物线与矩形、菱形、正方形

核心考点一抛物线与正方形

01如图,点A在y轴正半轴上.正方形ABCD的顶点B,D在二次函数.y=f的图象上，点B,D在y轴的同侧，目

点B在点D的左侧，设点B,D的横坐标分别为m,n,试探究n-m是否为定值.如果是，求出这个值；如果

不是，请说明理由.

核心考点二抛物线与菱形

02.如图，点A在y轴正半轴上.菱形ABCD的顶点B,C,D在二次函数.y=/的图象上,且.AD1y轴，求菱形的边

长；

核心考点三抛物线与矩形

03.如图，抛物线y=Y-2久-3交x轴于A,B两点，交y轴于点C.P是x轴上方抛物线上的一个动点.在平面直

角坐标系内是否存在点Q,使得以B,C,P,Q为顶点的四边形是矩形?若存在,请求出点Q的坐标；若不存

在，请说明理由.

专题五抛物线与面积一割补法与铅垂法、平行转化法

核心考点一重叠面积的处理---同时加或减重叠面积

01.如图,抛物线y=，—2x-3交X轴于A,B两点（点A在点B左侧），交y轴于点C,D为抛物线上第四象限的

动点，直线AD交BC于点P,连接AC,BD,设△4CP和ABDP的面积分别为Si和S?.当S?的值最小时，

求直线AD的解析式.

核心考点二铅垂法（宽高公式）法

02.如图,抛物线的顶点在原点,且点C（2,1）在此抛物线上,直线.y=mx-m2+1与抛物线交于A,B两点（点C在

直线AB下方），若SABC=|,求m的值.

核心考点三平行转化（拉窗帘）法

03.如图，已知抛物线y=a久2经过点A（2,1）,B为y轴右侧抛物线上一点.若△力B。的面积为6,求点B的坐标.

04.如图,抛物线y=-1/+2%+6与x轴交于A,B两点,与y轴交于点C(0,6),D为线段BC上的一动点，过动点

D作DPIMC,交抛物线第一象限部分于点P,连接PA,PB,记△PAD与△PBD的面积和为S.当S取得最大值

时，求点P的坐标，并求出此时S的最大值.

核心考点四铅锤法(宽高公式)与含参计算

05.如图，抛物线y=好—轨+3交x轴于A,B两点(点A在点B的左边),交y轴正半轴于点C,点P在抛物线

上,平面上有两点.M(m--m-3),N(m+2>-m-5),求△PMN的面积的最小值.

06.如图,抛物线y=/-2x-3与x轴交于点A,B,直线1与抛物线有且只有一个公共点E,1与抛物线对称轴交

于点F,若△AEF的面积为接求点E的坐标.

专题六抛物线与全等及全等构造

01.如图,过定点的直线:y=kx-k-2与抛物线.y=-久2交于A,B两点,直线.y-X-2与抛物线交于点E,F,

EG||F”||y轴.点G,H在直线.ykx—k—2上,当.EG=时，求k的值.

02如图,点A在抛物线.y=(x-2)2-6(对称轴1右侧)上，点B在对称轴1±,A。48是以OB为斜边的等腰直角

三角形，求点A的坐标.

专题七抛物线与相似及相似构造（1）一线段比

核心考点一线段最值

01.如图,抛物线y=-2x+3与X轴交于A,B两点，与y轴交于点C,P是直线AC上方的抛物线上一点，连

接BP交AC于点D.当冬的值最大时，求点P的坐标及雄勺最大值.

DUDU

02.如图，抛物线y=-x2+2x+8分别交x轴于点A,B,交y轴于点C,点G为y轴负半轴上的一动点，过点G

作直线EF与抛物线交于点E,F,与直线.y=-4久交于点H,若2-2=白求点G的坐标.

专题八抛物线与相似及相似构造⑵一特殊角

核心考点一由特殊角构造一线三等角型相似

01.如图,抛物线y=-?2+?x—6与X轴交于A(3,0),B(8,0)两点,与y轴交于点C,点P在抛物线上,设点P的横

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坐标为m.连接AC,AP,PC,若△力PC是以CP为斜边的直角三角形，求点P的坐标.

核心考点二由特殊三角函数值(特殊角)构造一线三等角型相似

02.如图，抛物线.y=/一八+3交x轴于A,B两点(点A在点B的左边)，交y轴正半轴于点C,点P在抛物线

上,若tanzXPC=*求点P的横坐标.

专题九抛物线与相似及相似构造(3)—妙用三角函数

核心考点一利用等角构造对称型相似

01.如图，已知抛物线y=f-4x+3,与x轴交于A,B两点(点A在点B的左边)，与y轴交于点C,点E为抛物线

上x轴下方一动点，点F在x轴上方的抛物线上，EF交x轴于G,且乙FBA=^EBA,FM1久轴于M,求

tcm/FG。的值.

核心考点二利用内心构造对称型相似

02.如图,抛物线.y=%2-2%-3与x轴交于点A,B,直线.y=kx+九与抛物线交于点C,D,若△4CD的内心落在

x轴上，求k的值.

专题十抛物线与相似及相似构造(4)—定角与角度转化

核心考点一利用三角函数构造直角得相似与参数计算

01.如图，抛物线y=ax2-\+c(a)0)与x轴正半轴交于A,B两点，与y轴交于点C.若。B=2OC,求sin^ACB

的值.

核心考点二直接利用(或平行转化)定角度构造直角三角形类相似

02.如图，抛物线y=产—2%—3与x轴交于A,B两点(A在B左侧)，与y轴交于点C.P(—7,0)为x轴上一点，在

抛物线第四象限的图象上有一点G,连PG交线段AC于点D,当tanzPDX=手寸,求出点G的坐标.

专题十一抛物线与相似及相似构造(5)—阿氏圆与胡不归

核心考点一由特殊线段构造子母型相似求最值一阿氏圆

01.如图，抛物线y=Y—6久+5与x轴交于A,B两点，与y轴交于点C,以点B为圆心，画半径为2的圆，点P

为。B上一个动点，请求出PC+*4的最小值

核心考点二利用三角函数化折为直一胡不归

02.如图,抛物线y^-x2+bx+c(6>0)与x轴交于4(-1，0),B两点M(t,0)是x轴正半轴上的动点，点Q(6+

在抛物线上.当正AM+2QM的最小值为竽时，求抛物线的解析式.

专题十二抛物线与相似及相似构造(6)——分类讨论思想

核心考点一由等角构造相似与分类讨论

01如图，抛物线y=-1%2-|%+^x轴交于A,B两点，点C(-3，|)在抛物线上.(CD1x轴于点D,连接AC.E

为抛物线上一点，当乙EAB=时，求点E的坐标.

核心考点二顶点不确定对应关系与分类讨论

02.如图，抛物线.y=必一2x-8交x轴于A,B两点(A在B的左边),交y轴于点C.作直线%=t(0<t<4),,分别

专题十三抛物线与角的关系处理⑴——等角和角度差

01.如图，抛物线y=2/+比_3交X轴于A,B两点与y轴交于点C,连AC,BC,点P在抛物线上，且乙PCB=

乙4C。，，求点P的坐标.

02.如图，抛物线.y=-/+2久+3与x轴交于A,B两点(点A在点B的左侧),与y轴交于点C,P为第一象限内

抛物线上一点，若点E的坐标为(1,0),且.NPOC+乙OCE=45。,求点P的坐标

专题十四抛物线与角的关系处理⑵一二倍角

方法：直接构造二倍角或者利用轴对称或者直角三角形斜边上的中线.

01.如图，抛物线y=-12+|久+2与X轴交于A,B两点，与y轴交于点C,P为第一象限抛物线上的点,连接C

A,CB,PB,PC.当工PCB=2NOC4时，求点P的坐标.

02.如图，已知抛物线G：y=|一一X—|与X轴交于点A,B两点（点A在点B的左边）与y轴交于点C.点D是抛物

线加上一点，并且4DAB=2乙4BC,求点D的坐标.

专题十五抛物线与角的关系处理(3)—角平分线

01.如图，抛物线y=/-4x交x轴于原点O和点A,顶点为点B,在第四象限抛物线上有一点P,OP平分乙4OB

,,求点P的坐标.

02.如图，抛物线y=12_2_爪的顶点为P,交x轴负半轴于点M,交射线AB:y=2x-2于点N,NQ1x轴于点Q,当

NP平分NMNQ时，求m的值.

专题十六抛物线与参数计算⑴一线参处理(热点方法)

01.如图，直线.y=kx-2k+3(k^0)与抛物线y=a(x-2)2(a>0)相交于A,B两点(点A在点B的左侧)，顶点

为点D,过点A作AE1x轴，垂足为E,与直线BD交于点F,求线段EF的长.

02.如图,直线y=履—2k+3(k丰0)与抛物线y=4%—2)2(a〉0)相交于A,B两点(点A在点B的左侧).

(1)不论k取何值，直线y=kx-2k+3必经过定点P,直接写出点P的坐标；

(2)已知B,C两点关于抛物线y=l(x-2尸的对称轴对称.求证：直线AC必经过一定点.

专题十七抛物线与参数计算⑵一点参处理（热点方法）

01.如图,过B（2,0）点的直线BD交抛物线y=于点D,F,过点F的直线.y=x+6交抛物线于另一点E,试说明

直线DE恒过一定点.

02.如图，点P是y轴负半轴上一点，PM,PN与抛物线y=%2-2x均有唯一公共点M,N（异于原点）,过点P的直线

交抛物线于点E,G,交MN于点F,若白+白=2,求k的值.

专题十八抛物线与参数计算(3)—恒存在

核心考点一直角恒存在性

01.如图，直线y=依+k+1与抛物线y=%2-2%-3交于M,N两点，在抛物线上存在定点Q，使得对于任意实

数k,都有乙MQN=90。.求点Q的坐标.

核心考点二等角恒存在

02如图,抛物线y=|久2_|%_4与x轴交于A,B两点(A在B点左边),与y轴负半轴交于C点，P是线段AC上

一个动点，F点在线段AB上，且.4F=皿，若P点总存在两个不同的位置使乙BPF=NB4C,求m满足的条

件.

专题十九抛物线与参数计算(4)—唯一存在

01.如图,M是x轴正半轴上一动点,N(0,3).经过点M的直线PQ交抛物线y=Y于P,Q两点当点M运动到某一

个位置时，存在唯一的一条直线PQ，使乙PNQ=90。,求点M的坐标.

02.如图，抛物线y=/+5依-3k(k>0)与y轴交于点C,过C作(CD，y轴与抛物线交于点D,在直线.y=kx

+k上是否存在唯一一点P,使得乙CPD=90。?若存在，请求出此时k的值；若不存在，请说明理由.

专题二十抛物线与参数计算⑸一过定点的动直线

01.如图，已知抛物线为y=/-6,直线y=kx（k丰0,k为常数）与抛物线交于E,F两点，M为线段EF的中点，

直线y=-楙％与抛物线交于G,H两点，N为线段GH的中点.求证：直线MN经过一个定点.

02.如图，点F在抛物线.y=/+%—2上，点E平移线段EF至HG,使H,G分别与E,F对应，且H,G均

落在抛物线上，连接FH.求证：直线FH经过一个定点.

专题二十一抛物线与参数计算(6)——定直线上的动点

01.如图，过点(1,4)的直线与抛物线y=交于c,D两点,直线PC,PD与抛物线均只有一个公共点，且PC,PD

与y轴不平行，问点P是否在一条定直线上？若是，求该直线的解析式；若不是，请说明理由.

02.如图，直线.y=2%与抛物线y=好交于O,G两点，过OG的中点H作直线MN(异于直线OG)交抛物线C?于

M,N两点，直线MO与直线GN交于点P.问点P是否在一条定直线上?若是，求该直线的解析式；若不是，

说明理由.

专题二十二抛物线与参数计算⑺一直线的位置关系

核心考点一互相垂直

01.如图，抛物线y=直线1：y=七久+1（七＜0）与X轴交于点D，经过点D的直线y=k2x+6（后＞0）与抛物

线只有唯一公共点，求M与七的数量关系.

核心考点二互相平行

02.如图,抛物线y=a/+c（a）0）交y轴于点C,过点D（0,2c）的直线交抛物线于点F,E,FC交x轴于点Q,过点

E的直线1与抛物线只有一个公共点，1交y轴于点P.求证：PQ\\EF.

03.如图,抛物线y=-/+久+2与x轴交于A,B两点，与y轴交于点C.平行于BC的直线MN交抛物线于M,N

两点，作直线MC,NB的交点P,求点P的横坐标.

04.如图,点P是抛物线y=之一上不与原点重合的点，直线y=丘+b与抛物线只有唯一公共点P,交y轴于点Q,

过点Q的直线QS交抛物线于点R,S（R,S与点P不在同一象限），且瞿=，点T是PS中点，求证：RT||y轴.

专题二十三抛物线与参数计算⑻——定值

核心考点一截距相关的线段

01如图,抛物线.y=/-1交X轴于A,B两点（A在B的左边）,F是原点O关于抛物线顶点的对称点，不平行y轴

的直线1分别交线段AF,BF（不含端点）于G,H两点，若直线1与抛物线只有一个公共点，求证：FG+FH的

值是定值.

核心考点二抛物线和直线的参数关系

02如图.抛物线y=a/+法+c与x轴负半轴交于点C,与y轴交于点G,点P在点C左侧抛物线上，点Q在y

轴右侧抛物线上，直线CQ交y轴于点F,直线PC交y轴于点H,设直线PQ解析式为.y=kx+t若SHCQ=2

SGCQ,试证明£为一个定值.

专题二十四抛物线与参数计算⑼一抛物线内接斜X型

核心考点一截距相关的线段

01如图,抛物线y=Y-2x-3交x轴于A,B两点（A在B的左边），C是第一象限抛物线上一点，直线AC交y轴

于点P.直线BP交抛物线于另一点E,连接CE交y轴于点F,点C的横坐标为m.求.芸的值（用含m的式子表

示）.

核心考点二线段比

02.如图，已知抛物线y=/-2尤_3与x轴交于A,B,与y轴交于点C.点N为y轴上一点,AN,BN交抛物线于E,

F两点,求箫肆勺值.

专题二十五抛物线与参数计算（10）——倒数和

01.如图,过点D（2,0）的直线交抛物线y=,2于点E,F,点Q（4,m）为抛物线上一点射线QE,QF分别交x轴于点

GH,求亲+总的值

02.如图,抛物线y=Y-2%-3与x轴交于点A,B（点B在点A的右侧），与y轴交点为C.直线y=丘（公0）与抛

物线交于P,Q两点（点Q在点P的右侧），与直线y=-2x+3交于点R.试证明：无论k取任何正数，9+

1=日立・

OR

CM

专题二十六抛物线大综合⑴一定直线上的动点

01抛物线y=-K2+•+C与X轴交于A,B(l,0)两点与y轴交于点C(0,3).

(1)求抛物线的解析式；

(2)如图1,Q是AC上方抛物线上一点，若SACQ=js^Bc，求点Q的坐标；

(3)如图2,过点D(0,1)的直线交抛物线于E,F两点，过点E的直线与过点F的直线交于点P,若直线PE和

PF与抛物线均只有一个公共点，求