2024届北师大版高考数学一轮复习 基本不等式 教案

§1.4基本不等式

【考试要求】1.了解基本不等式的推导过程2会用基本不等式解决简单的最值问题3理解基

本不等式在实际问题中的应用.

・落实主干知识

【知识梳理】

,—a+b

1.基本不等式：，益W—2一

(1)基本不等式成立的条件：介0,620.

(2)等号成立的条件：当且仅当〃之时，等号成立.

a+b,_

(3)其中？^为a,b的算术平均值，/而称为a,b的几何平均值.

2.几个重要的不等式

(l)a2+b2^2ab(a,Z?£R).

(2)§+"2(。,b同号).

(3)加^^25,》GR).

a2+b2(a+b\

(4)-丁飞了卜。，OCR).

以上不等式等号成立的条件均为a=b.

3.利用基本不等式求最值

⑴若x+y=s(s为定值)，则当且仅当x=y时，町取得最大值》；

⑵若xy=p(p为定值),则当且仅当x=y时，x+y取得最小值2g.

注意：利用不等式求最值应满足三个条件“一正、二定、三相等”.

【思考辨析】

判断下列结论是否正确(请在括号中打“J”或“X”)

(1)不等式abW停芋)与J石wg”等号成立的条件是相同的.(X)

(2)y=x+p勺最小值是2.(X)

(3)若x>0,y>0且无+>=孙，则孙的最小值为4.(V)

(4)函数产sinx+7^—,xe(0,与)的最小值为4.(X)

SillX\乙)

【教材改编题】

1.若正实数a,b满足〃+4。=，则次?的最小值为()

A.16B.8C.4D.2

答案A

解析因为正实数a,b满足q+4b=〃/?,

所以ab=a+4b^2\[4ab=4y[ab,

所以M216,

当且仅当a=4b,即〃=8,8=2时等号成立.

2.函数y=x+」一(x2O)的最小值为.

x+1

答案1

解析因为x20,所以x+l>0,—TT>0,

x十1

利用基本不等式得y=x+~^7=x+1+七一1(x+l)--7-l=l,

J%十1X十1\17x+1

当且仅当x+l=战，即x=0时，等号成立.

所以函数y=x+*Y(xLO)的最小值为1.

3.若把总长为20m的篱笆围成一个矩形场地，则矩形场地的最大面积是_______nA

答案25

解析设矩形的一边为xm,面积为yn?,

则另一边为3*(20—2x)=(10—x)m,

其中0<x<10,

x+(10—x)

・・・y=x(10—x)W—------29=25,

当且仅当x=10—x,即x=5时，等号成立，

,,'max-25,

即矩形场地的最大面积是25n?.

■探究核心题型

题型一利用基本不等式求最值

命题点1配凑法

例1⑴已知x>2,则函数y=x+-的最小值是()

2(%-2)

A.2小B.2^2+2

C.2D.A/2+2

答案D

解析由题意可知，x-2>0,

：.y—(x—2)+.+2^2-\I(X—2)-ZT^7；+2=V2+2,当且仅当x=2+号时，等号成立,

；•函数y=x+需与(x>2)的最小值为也+2.

3

⑵设。〃工,则函数y=4x(3-2x)的最大值为.

9

宏案-

u木2

3

解析V0<x<2，A3-2x>0,

>2x+(3—2x),

y=4x(3—2x)=2[2x(3—2x)]W2————--

3

当且仅当2x=3—2x,即x=a时，等号成立.

，函数y=4x(3—2x)(0<x<|')的最大值为

命题点2常数代换法

例2已知x>0,y>0,且4x+2y-孙=0,则2%+y的最小值为()

A.16B.8+4A/2

C.12D.6+4/

答案A

解析由题意可知彳2+4三=1,

xy

2+尸口+)0停+$*+?+短2坐|+8=16,

当且仅当牛=?,即尤=4,y=8时，等号成立，

yx

则2x+y的最小值为16.

命题点3消元法

例3(2023•烟台模拟)已知x>0,j>0,x+3y+xy=9,则x+3y的最小值为.

答案6

解析方法一(换元消元法)

由已知得9—(x+3y)=xy=；»3yW；・当且仅当x=3y,即x=3,y=l时取等号.

即(x+3y)2+12(尤+3y)—10820,

令x+3y=f,则>0且产+12f-108N0,

得f>6,即x+3y的最小值为6.

方法二(代人消元法)

由x+3y+xy=9,得x=[十；‘

斯"9—3y9—3y+3y(1+y)

所以x+3y-]+y+3y-引

9+3y23(l+y)2-6(l+y)+12

=]+y=r+^

12/12~

=3(1+y)+干—622V3(1+y)•干—6

=12—6=6,

12

当且仅当3(1+丁)=冷，即y=l,x=3时取等号，

所以x+3y的最小值为6.

延伸探究本例条件不变，求孙的最大值.

角星9—xy=x+3y^2\[3xy,

.，・9一孙22寸3孙,

；・9-p'2小t,

即?+2^-9^0,

解得OvW小，

小,・••孙W3,

当且仅当x=3y,即x=3,y=l时取等号，

・・・孙的最大值为3.

思维升华（1）前提：“一正”“二定”“三相等”.

（2）要根据式子的特征灵活变形，配凑出积、和为常数的形式，然后再利用基本不等式.

（3）条件最值的求解通常有三种方法：一是配凑法；二是将条件灵活变形，利用常数“1”代

换的方法；三是消元法.

跟踪训练1（1）（多选）若正实数。，6满足。+6=1,则下列说法错误的是（）

A.ab有最小值（

B.8g+8班有最大值8^2

C.常有最小值4

D./+加有最小值坐

答案AD

解析由1=。+力22^^（当且仅当。=6=3时等号成立），

得abW；,故次?有最大值;，故A错误；

（、2+或）2=〃+人+2、局=1+2、/^^1+2\^=2（当且仅当。=/?=；时等号成立）,

则出+班W也，则队「+8也有最大值8y[2,故B正确；

工+[=妇*=工24（当且仅当。=》=；时等号成立），

ababab\27

故土+应有最小值明故C正确;

/+庐=（〃+力2—2而=1—2。心茎当且仅当〃=人=3时等号成立）,

所以层+加有最小值;，故D错误.

x~

⑵已知.，则"中最大值为——

答案I

解析令t=X—1,.\x=t+1,

*.*x>l,

._t_/_1<1」

，y22

,~(t+l)+3~t+2t+4-t+4+2^2y[4+2~6'

4

当且仅当f=7，，=2,即x=3时，等号成立，

.,.当X=3时，Jmax=1.

题型二基本不等式的常见变形应用

例4（1）若0<a<b,则下列不等式一定成立的是（）

a+b-

A.b>-2-

a+b

B.b>y[ab>~~>ci

a+b_

C.b>2>y]ab>a

a+b-

D.b>a>2Xab

答案c

解析\'0<a<b,：.2b>a+b,

.ci-I-bI—

/.b>~2->7ab.

2

\*b>a>09ab>a,•\y[ab>a.

..a+bI—

故b>2Xab>a.

⑵（2023.宁波模拟）《几何原本》卷2的几何代数法（以几何方法研究代数问题）成了后世西方

数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数公理或定理都能够通过图形实现证

明也称之为无字证明现有如图所示图形点尸在半圆0上点C在直径上且OFLAB,

设AC=a,BC=6,则该图形可以完成的无字证明为（）

a+b—

A.-2-ab(a>0,b>0)

B.a2+b2^2\[ab(a>0,b>0)

C.2~a^b~^：y[ab(a>0,b>0)

a+b

a+ba2+b2

D.~2~~2-3>0,b>0)

答案D

解析由图形可知，。尸=；AB=3(〃+份,

℃=；(〃+/?)—Z?=T(〃i),

在RtZiOC/中，由勾股定理可得，

qj/+u)+份(〃>0,z?>o).

思维升华基本不等式的常见变形

跟踪训练2(2022.漳州质检)已知a,b为互不相等的正实数，则下列四个式子中最大的是

()

2「11

A.------B-+T

a+bab

2/2

'y[ab/+bi

答案B

解析,・Z,匕为互不相等的正实数，

11

-

-十I

〃P

2212

2\[aby[aby[ab9

I2l~T__12_

a2+b2\2aby^abyfab"

••.最大的是5+5

题型三基本不等式的实际应用

例5中华人民共和国第十四届运动会在陕西省举办，某公益团队联系全运会组委会举办一

场纪念品展销会，并将所获利润全部用于社区体育设施建设.据市场调查，当每套纪念品（一

个会徽和一个吉祥物）售价定为尤元时，销售量可达到（15-0.1尤）万套.为配合这个活动，生

产纪念品的厂家将每套纪念品的供货价格分为固定价格和浮动价格两部分，其中固定价格为

50元，浮动价格（单位：元）与销售量（单位：万套）成反比，比例系数为10.约定不计其他成本,

即销售每套纪念品的利润=售价-供货价格.

中国陕西2021

SHAANXICHINA

（1）每套会徽及吉祥物售价为100元时，能获得的总利润是多少万元？

⑵每套会徽及吉祥物售价为多少元时，单套的利润最大？最大值是多少元？

解（1）每套会徽及吉祥物售价为100元时，销售量为15—0.1X100=5（万套），

供货单价为50+当=52（元），

总利润为5X（100—52）=240（万元）.

（2）设售价为x元，则销售量为（15—O.lx）万套，供货单价为元,

单套利润为x—50—］x=（x—50—］黑，）元,因为15—0.1x>0,所以0<x<150.

所以单套利润为

尸L50一9=—［（150—尤）+居］+1。z10。—2,（150—x）•高=80,

当且仅当150—％=10,即x=140时取等号，

所以每套会徽及吉祥物售价为140元时，单套的利润最大，最大值是80元.

思维升华利用基本不等式求解实际问题时，要根据实际问题，设出变量，注意变量应满足

实际意义，抽象出目标函数的表达式，建立数学模型，再利用基本不等式求得函数的最值.

跟踪训练3某公益广告公司拟在一张矩形海报纸（记为矩形ABCD，如图）上设计三个等高的

宣传栏（栏面分别为一个等腰三角形和两个全等的直角梯形），宣传栏（图中阴影部分）的面积之

和为1440cn?.为了美观，要求海报上所有水平方向和竖直方向的留空宽度均为2cm.当直角

梯形的高为cm时，用纸量最少（即矩形ABCD的面积最小）.

答案12事

解析设直角梯形的高为xcm,

•..宣传栏(图中阴影部分)的面积之和为1440cm2,

且海报上所有水平方向和竖直方向的留空宽度均为2cm,

1440

・•・海报宽AZ)=x+4,海报长DC=-^+8,

故S矩形A3GD=AZ>QC=a+4)(^^+8)=8x+^^+]472>2yJ

1472=192小+

1472,

I，ejI，c5760

当且仅当8犬=一工一，

即x=12小时，等号成立.

，当直角梯形的高为124cm时，用纸量最少.

课时精练

《基础保分练

1,下列函数中，最小值为2的是()

A./+2

7X

f+3

B-y~\[771

C.y=ex+e-x

兀

D.y二sinx+<x<2

答案C

2

解析当x<0时，y=x+~<0,故A错误;

炉+3I-1

尸而K79无+平寿2，

当且仅当人人+2=1==^,即r=—1时取等号,

又dw—1,故B错误；

y=ex+e~x^2yle士一=2,

当且仅当ex=e~x,

即x=0时取等号，故C正确；

当xe（0,习时，sinxe（0,1）,

丫二五11尤+系三2,

当且仅当sinx=^?

即sinx=l时取等号，

因为sinx£（0,l），故D错误.

2.已知a>0,b>0,a+b=2,则1g〃+1g/7的最大值为（）

A.0B.gC.^D.1

答案A

解析・.・〃>（）,b>0,a+b=2,

**.lg〃+lgb=lg«Z?<lg（^y^j2=0,

当且仅当〃=b=l时，取等号.

・・・lgQ+lgb的最大值为0.

3（2021•新高考全国I）已知R尸2是椭圆C1的两个焦点点M在C上则

的最大值为（）

A.13B.12C.9D.6

答案C

解析由椭圆C：卷+[=1，得g+|g|=2><3=6,则叱产迫与蛆｝=32

=9,当且仅当|MB|=|MB|=3时等号成立.

所以IMF1HM&I的最大值为9.

4.（2023•太原模拟）已知a,b为正实数，a+6=3，则'的最小值为（）

a+16+2

A.|B.jC.1D.4

答案A

解析因为a+6=3,

所以力1+讦12=%1（穴1+1讦、1+/?+2）=61\0a~+\~21+匕a-\+-21、

_2

=y

当且仅当小=W，即4=2,6=1时，等号成立.

a-r1。十2

所以士1+占1的最小值为9《

a+1b+23

4

5.（多选）（2022•衡阳模拟）设〃=log23,b=log2Q,则下列关系正确的是（）

a+ba+b

A.ab>~2-B.ab<-2-

a+bbC7b

C.c>一D.ab>~

2aa

答案BCD

角窣析易知〃>0,z?>o,q」=i,（〃+/?）'bi小i、、

ab<——=1,ab>^^a>1,显然成立.

a-\~bb

所以一厂

6.（多选）（2023・黄冈模拟）若〃>0,，且a+6=4,则下列不等式恒成立的是（）

111

Aw-+

4-b-

〃

11

aw-

28

+PT

答条BD

解析因为a>0,b>0,所以"《"”小,当且仅当。=b=2时等号成立,

则或侍,当且仅当。=b=2时等号成立，

则表斗次+启8,悬庐4

当且仅当a=b=2时等号成立，

则10g2〃+10g28=10g24b《10g24=2,

当且仅当〃=b=2时等号成立，故A,C不恒成立，D恒成立;

对于B选项，1+：="¥=W14X]=1,

ababab4

当且仅当a=6=2时等号成立，故B恒成立.

7.函数k-)的最小值为——

答案0

——]+J11

解析因为y=1=x-1+I=x~\~1+I—2(x>-1),

Jx+1x十1%十1

所以丁2山―2=0,

当且仅当尤=0时，等号成立.

x2

所以y=TP7(Q—i)的最小值为0-

8.(2023.娄底质检)已知a"为正实数，且2a+b=1,贝吟+冬的最小值为

答案6

解析由已知条件得，|+齐吗四+齐号+型+4N2\^^+4=6,

当且仅当?=条即a=|,时，取等号.

所以|+为的最小值为6.

9.⑴当x<|时，求函数y=x+士的最大值；

乙2x-3

(2)已知0<x<2,求函数y=国4-公的最大值.

8++

解(l)J=1(2^-3)+2jt,_3+|=23-2x)i

当x<|时，有3—2尤>0,

所以三8、~l3-2x8“

3-2x^2\2'3-2x~4,

3—ooi

当且仅当丁r=&,即X=T时,取等号•

于是户一4+尹3一家s故函数的最大值为一宗5

(2)因为04<2,

所以4一通>0,

则y=x\/4—x2=ylx2-(4—x2)~—=2,

当且仅当dnd—%2,即工=也时，取等号，

所以二乒的最大值为2.

10.某企业为了进一步增加市场竞争力，计划利用新技术生产某款新手机.通过市场分析，

生产此款手机全年需投入固定成本300万元，每生产尤（干部）手机，需另投入成本7?（无）万元,

lOx2+100.x,0cx<40,

且R（x）=<10000通过市场调研知，每部手机售价0.7万元，且全

705+上生-9450,龙240,

〔无

年内生产的手机当年能全部销售完.

⑴求出今年的利润W（元）（万元）关于年产量x（干部）的函数关系式（利润=销售额-成本）；

⑵今年产量为多少（干部）时，企业所获利润最大？最大利润是多少？

解⑴当0a<40时，W(x)=700x-(lOx2+100x)-300=-1O^2+600x-300,

当x240时，W(x)=700x—(701x+@詈-9450)—300=一口+地詈)+9150,

—1Ox1+600x—300,0<x<40,

・・・W(x)=<卜10000)

+9150,%240.

（2）若0<xv40,W（x）=-10（x-30）2+8700,

当冗=30时，W（X）max=8700（万元）.

若尤240,W（x）=-[x+10^00^+9150W9150-2^/10000=8950,

当且仅当苫=彗更时，即x=100时，取等号.

•••W（X）max=8950（万元）.

今年产量为100千部时，企业所获利润最大，最大利润是8950万元.

维综合提升练

11.（2023・湘潭模拟）已知a,P为锐角，且tana-tan4+2tanatan2s=0,则tana的最大值为

（）

A.乎B.*C当D巾

答案A

解析因为力为锐角，所以tan£>0,

由题意可得tana?；黑厂;~当,

2taW诉、

当且仅当tanQ=半时取等号，

故tana的最大值为乎.

12.(2022・天津模拟)若〃>0,b>0,贝[|(〃+8)2+匕的最小值为.

答案4

解析若。>0,b>09则(〃+/?)2+£》(2^^)2+£=4"+/24,

a='b,

当且仅当I1

[4曲=防，

即a=6=坐时取等号，

故所求的最小值为4.

维尧展冲刺