2024六年级数学思维拓展训练：圆和扇形（含答案）

第十七讲圆和扇形--2024六年

级数学思维拓展

第17讲圆和扇形

■知识概述

有关圆的计算主要是指圆的周长和面积的计算，其中求组合图形的面积是学习的重点。在进行

组合图形的面积计算时,必须掌握有关的概念、公式,要观察图形的特点,看清组合图形是由哪

几个基本图形组成的，看清题目的已知条件和问题。

对于一些比较复杂的组合图形，有时直接进行分解有一定的困难,可以通过把其中的部分图形

进行平移、翻折或旋转，化难为易，使比较复杂的图形变得简单，从而找出解答的方法。

战例题精学

例1计算图中阴影部分的面积（单位:厘米）。

【思路点拨】这个图形不是我们学过的简单图形，是个组合图形。是由一个扇形和一个直角梯形

合并而成的。求阴影部分的面积就是求扇形面积与梯形面积的和。扇形是个士圆，扇形的半径

4

是4厘米。直角梯形的上底和高是扇形的半径，都是4厘米。

册例题精学

例2计算图中阴影部分的面积（单位:厘米）。

【思路点拨】图中的阴影部分是个环形。可用外圆的面积减去内圆的面积。可以求出外圆的半

径是24+2=12（厘米）因为外圆的半径比内圆的半径多6厘米，所以内圆的半径是12-6=6（厘

米）。

科原例题精学

例3计算图A中阴影部分的面积（单位:厘米）。

【思路点拨】阴影部分通过翻折移动位置后，可构成一个新的图形。连接BC构成一个新的图形

（如图B所示）。空白部分的面积就是大三角形面积的一半。用半径为4厘米的圆面积的一减去

空白部分面积就是阴影部分的面积。

取:例题精学

例4计算图A中阴影部分的面积（单位:厘米）。

【思路点拨】阴影部分的一半，可以看做是扇形中减去一个等腰直角三角形（如图A）。

以最大的等腰三角形底的中点为中心。把图A的右半部分顺时钟旋转180°后,得出8

图Bo等腰直角三角形的斜边等于圆的半径，斜边上的高等于斜边的一半，圆的半径为20・

2=10（厘米）阴影部分的面积就变为从半径为10厘米的半圆面积中，减去直角边为10厘米的等

腰直角三角形的面积的差。

双例题精学

例5计算图中阴影部分的面积（单位:厘米）。

【思路点拨】把图中的4个部分的面积分别用甲、乙、丙、丁表示。长方形的।工----II

面积减去小扇形的面积，得空白部分（丙）的面积。再用大扇形的面积减去空白农、丙：

部分（丙）的面积，就得到了阴影部分的面积。还有一种容斥的方法:小扇形的I\T

面积=甲+乙，大扇形的面积=乙+丙+丁，长方形的面积=乙+丙+甲。

小扇形的面积+大扇形的面积-长方形的面积=阴影部分的面积。

c同步精练

1.计算下面各图中阴影部分的面积（单位:厘米）。

2

2.如图,三角形的顶点就是每个圆的圆心,每个圆的面积都是10平方厘米,求阴影部分的面积。

3.正方形的面积是12平方厘米，求图中阴影部分的面积。

4.如图,0为圆心,0C垂直于AB,三角形ABC的面积是45平方厘米,求阴影部分的面积。

5.如图，将0A等分成四份，以0为圆心画出四个扇形，已知最小的扇形面积是20平方厘米,求阴

影部分的面积。

3

0DCBA

羔课后疝

1.如图，已知AB=50厘米，求图中各圆的周长总和？

2.右图中阴影甲的面积比阴影乙的面积多28平方厘米,AB=40厘米,CB垂直于AB,求CB的长。

3.如图,三角形的顶点就是每个圆的圆心,各个圆的面积都是12平方厘米,求阴影部分的面积。

4.在右下图中，三角形的三条边分别是三个圆的直径,三角形是直角三角形。两个阴影部分的面

积和是多少（单位:厘米）？

20

5.右下图是由正方形和半圆形组成的图形,其中点P为半圆周的中点，点Q为正方形一边的中点,

求阴影部分的面积。（单位:厘米）

4

A,10D

6.下图中两个小正方形共同的一个顶点和圆心重合，阴影部分的面积是10平方厘米,求圆环的

面积。

7.如下图,0点为正方形中心,求空白部分的面积是正方形面积的几分之几?

8.下图中，正方形边长6厘米,求阴影部分的面积,

9.下图中,若小圆直径为4分米,求阴影部分的面积。

10.下图中，长方形的宽为1厘米，以B点和C点为圆心，以宽为半径的两个扇形相交于G点,形

5

成两个阴影部分。已知两个阴影部分的面积相等，求长方形的长。

D

B

6

第17讲圆和扇形

辱知识概述

有关圆的计算主要是指圆的周长和面积的计算，其中求组合图形的面积是学习的重点。在进行

组合图形的面积计算时,必须掌握有关的概念、公式,要观察图形的特点,看清组合图形是由哪

几个基本图形组成的，看清题目的已知条件和问题。

对于一些比较复杂的组合图形，有时直接进行分解有一定的困难,可以通过把其中的部分图形

进行平移、翻折或旋转，化难为易，使比较复杂的图形变得简单，从而找出解答的方法。

战例题精学

例1计算图中阴影部分的面积（单位:厘米）。

解⑴扇形的面积：

3.14X42X-=37.68（平方厘米）

4

⑵直角梯形的面积：

（4+6）x4-2=20（平方厘米）

⑶阴影部分的面积：

37.68+20=57.68（平方厘米）

答：阴影部分的面积是57.68平方厘米。

【思路点拨】这个图形不是我们学过的简单图形，是个组合图形。是由一个扇形和一个直角梯形

合并而成的。求阴影部分的面积就是求扇形面积与梯形面积的和。扇形是个士圆，扇形的半径

4

是4厘米。直角梯形的上底和高是扇形的半径，都是4厘米。

战例题精学

例2计算图中阴影部分的面积（单位:厘米）。

解外圆的面积：

3.=3.14x124452.16（平方厘米）

内圆的面积：

3.14x[g-=3.14x6J113.04（平方厘米）

阴影部分的面积：

452.16-113.04=339.12（平方厘米）

答：阴影部分的面积是339.12平方厘米。

【思路点拨】图中的阴影部分是个环形。可用外圆的面积减去内圆的面积。可以求出外圆的半

径是24+2=12（厘米）因为外圆的半径比内圆的半径多6厘米，所以内圆的半径是12-6=6（厘

米）。

般例题精学

例3计算图A中阴影部分的面积（单位:厘米）。

解3.14x42x^-4x(4+2)+2=8.56(平方厘米)

4

答：阴影部分的面积是8.56平方厘米

【思路点拨】阴影部分通过翻折移动位置后，可构成一个新的图形。连接BC构成一

个新的图形（如图B所示）。空白部分的面积就是大三角形面积的一半。用半径为4

厘米的圆面积的一减去空白部分面积就是阴影部分的面积。

漱例题精学

例4计算图A中阴影部分的面积（单位:厘米）。

解方法一：

20+2=10（厘米）

2

10+2=5（厘米）

{3.14xl（）2x』T0x5+2}x2=107（平方厘米）

4

方法二：

3.14x（204-2）2X--（204-2）2X-=107（平方厘米）

22

答：阴影部分的面积是107平方厘米。

【思路点拨】阴影部分的一半，可以看做是扇形中减去一个等腰直角三角形（如图A）。以最大的

等腰三角形底的中点为中心。把图A的右半部分顺时钟旋转180°后,得出图B。等腰直角三角

形的斜边等于圆的半径，斜边上的高等于斜边的一半，圆的半径为20+2=10（厘米）阴影部分的

面积就变为从半径为10厘米的半圆面积中,减去直角边为10厘米的等腰直角三角形的面积的

差。

战例题精学

例5计算图中阴影部分的面积（单位:厘米）。

解方法一:

3.14x5、(5x2-3.14x22x^)=12.765(平方厘米)

44

方法二：

3.14x2x-+3.14x5x--2x5=12.765（平方厘米）

44

答：阴影部分的面积是12.765平方厘米。

【思路点拨】把图中的4个部分的面积分别用甲、乙、丙、丁表示。长方形的I工----II

面积减去小扇形的面积，得空白部分（丙）的面积。再用大扇形的面积减去空白农、丙？

部分（丙）的面积，就得到了阴影部分的面积。还有一种容斥的方法:小扇形的

面积=甲+乙，大扇形的面积=乙+丙+丁，长方形的面积=乙+丙+甲。

小扇形的面积+大扇形的面积-长方形的面积=阴影部分的面积。

U同步精练

1.计算下面各图中阴影部分的面积（单位:厘米）。

3

正方形边长为2厘米

【答案】(1)10.28平方厘米(2)4.71平方厘米(3)216.66平方厘米(4)24平方厘米(5)50平

方厘米(6)36.48平方厘米

2.如图，三角形的顶点就是每个圆的圆心，每个圆的面积都是10平方厘米,求阴影部分的面积。

【答案】5平方厘米

3.正方形的面积是12平方厘米，求图中阴影部分的面积。

【答案】28.26平方厘米

4.如图,0为圆心,0C垂直于AB,三角形ABC的面积是45平方厘米,求阴影部分的面积。

【答案】45平方厘米

5.如图,将0A等分成四份，以。为圆心画出四个扇形，已知最小的扇形面积是20平方厘米,求阴

4

影部分的面积。

【答案】200平方厘米

航课后作正

1.如图，已知AB=50厘米,求图中各圆的周长总和？

【答案】周长总和为157厘米。

提示:三个圆的周长之和也就等于以AB为直径的圆的周长。3.14x50=157（厘米）。

2.右图中阴影甲的面积比阴影乙的面积多28平方厘米,AB=40厘米,CB垂直于AB,求CB的长。

【答案】CB长为30厘米

提示：来国示：阴影甲的面积比阴影乙的面积大28平方厘米，阴影甲和阴影乙同时加上图中空

白部分的面积，所得半圆和直角三角形的面积差不变，还是28平方厘米，这样直角三角形的

面积就等于半圆面积减去28平方厘米。半圆的面积为3.+2=628（平方厘米），则直角

三角形的面积为628-28=600（平方厘米）,在直角三角形ABC中、BC的长为:600x2-40=30（厘米）

3.如图,三角形的顶点就是每个圆的圆心,各个圆的面积都是12平方厘米,求阴影部分的面积。

【答案】影部分的面积为6平方厘米

提示：由于三个圆的面积相等,那么图中三个阴影部分就是三个半径相等的小扇形,这三个小扇

形的三个圆心角分别是三角形的三个内角，而三角形的三个内角和为180°,180°是360°的

5

一半，那么三个小扇形刚好能拼成一个半圆。三个阴影部分的面积和就是一个半圆的面

积：12+2=6（平方厘米）

4.在右下图中，三角形的三条边分别是三个圆的直径,三角形是直角三角形。两个阴影部分的面

积和是多少（单位:厘米）？

【答案】阴影部分的面积和为96平方厘米。

提示:小圆的半径是12+2=6（厘米），中圆的半径是16+2=8（厘米），大圆的半径是20+2=10（厘

米）阴影面积=小圆面积+2+中圆面积+2-（大圆面积+2-三角形面积）

3.14x6x6+2+3.14x8x8+2-（3.14x10x10+2-12x16+2）=96（平方厘米）

5.右下图是由正方形和半圆形组成的图形，其中点P为半圆周的中点，点Q为正方形一边的中点,

求阴影部分的面积。（单位:厘米）

【答案】阴影部分的面积为51.75平方厘米。

提示:如图，过P点作AB的垂线段PEo半圆直径为10厘米,则半径的长度

为5厘米,那么PE的长度为10+5=15（厘米）oAE的长为10-2=AE5（厘米）。一一二1

三角形PAE的面积为5x15-2=37.5（平方厘米）。二|

梯形PEBQ的面积为：（5+15）x5+2=50（平方厘米）。那么阴影部分的面积«。c

就等于正方形的面积加半圆的面积减去三角形PAE的面积再减去梯形PEBQ的面积：

10x10+3.14x5x54-2-37.5-50=100+39.25-37.5-50=51.75（平方厘米）。

6.下图中两个小正方形共同的一个顶点和圆心重合，阴影部分的面积是10平方厘米,求圆环的

面积。

【答案】圆环的面积是31.4平方厘米

提示:设大圆的半径为R,小圆的平径为r,圆环的面积等于n（RJ/）。由于R等于图

中大正方形的边长.r等于图中小正方形的边长,就等于大正方形与小正方形的匕））

面积差,也就是图中的阴影部分面积,这样R2-r2=10（平方厘米），圆环的面积就等于：&/

n（R2-d）=3.14x10=31.4（平方厘米）

6

7.如下图,0点为正方形中心,求空白部分的面积是正方形面积的几分之几?

【答案】空白部分是正方形面积的工

2

提示:如图，把正方形平均分成四个完全相同的小正方形，从图中可以知道A=B,C=D,

这样B+C=A+D,阴影部分就拼成一个长方形，占原正方形面积的一半,那么空白部分

面积也是正方形面积的工。

2

8.下图中，正方形边长6厘米,求阴影部分的面积，

【答案】阴影部分面积为8平方厘米。

提示:如右图，添加一条辅助线以后，阴影甲的面积就和空白乙的面积相等,这样阴z

影部分面积和就等于长为4厘米,宽为2厘米的长方形的面积,4x2=8（平方厘米）

9.下图中,若小圆直径为4分米,求阴影部分的面积。，

【答案】阴影部分面积为10.28