2024-2025学年七年级数学上册 绝对值化简的三种考法（北师大版）

专题02绝对值化简的三种考法

【知识点精讲】

i.绝对值的意义

绝对值：数轴上表示数a的点与原点的距离叫做a的绝对值，记作卜|

2.绝对值的性质

a,a>0

绝对值表示的是点到原点的距离，故有非负性时20,即：14=0,4=0

-a,a<0

互为相反数的两个数绝对值相等

3.绝对值与数的大小

1)正数大于0,0大于负数。

2)理解：绝对值是指距离原点的距离

所以：两个负数，绝对值大的反而小；两个正数，绝对值大的大。

类型一、利用数轴化简绝对值

例.实数a、b、c在数轴上的位置如图所示，化简：la-47。-。|+|6-。|-同的结果是()

IIII

ab0c

A.a-2cB.-aC.aD.2b-a

【答案】C

【详解】由数轴上〃、b、c的位置关系可知：a<b,c>a,c>b,a<0,团〃一。<0,c-a>Qfb-c<Q,

^\\a-b\-\c-a\+\b-c|-1<2|=b-a-(c-〃)+(c-Z?)-(一a)=b-a-c+a+c-b+a=a.故选C.

【变式训练1】已知有理数。、b、。在数轴上的位置如图所示，且同=同

⑴求a+b和f的值

b

(2)化简:|^|—|6z+Z?|—|c-+|c—Z?|—|-2Z?|

Cb0a

【答案】(1)a+b=0；-=-l；(2)3b.

b

【分析】(1)根据同=|4且a、b位于原点两侧，得到a、b互为相反数，然后进行求解即可;

(2)先分别判定绝对值内的数的大小，再去绝对值，再合并同类项即可求解.

【详解】(1)回同=例且a、b位于原点两侧

回a、b互为相反数

回〃+b=0,，=-1

b

(2)如图可得：cVbVOVa且|。|=|。|

03>0,a=-b即a+b=O,c-a<0,c-b<0,-2b>0

因此\ci\~\ci~^b\—\c-a\+\c-b\—\—2b\

=a-0—(a—c)+(5—c)—(-2Z7)

=a—a+c+b—c+2b

=3b

【点睛】本题考查了根据数轴取绝对值进行计算的问题，其中根据去掉绝对值是解答本题的

关键.

【变式训练2】解答下列问题

(1)若有理数X、y满足|x|=3,|y+l|=4,且|x+y|=-(x+y),求|x|+lyl的值.

(2)已知有理数。、b、。的在数轴上的位置如图所示，请化简：\a+b\+\a\+\b\-\c\.

■IIIa

ab0c

【答案】(1)6或8.

(2)—2a-2b-c.

【分析】(1)根据绝对值的性质解得x,y的值，分情况讨论得出符合条件的x,y的值，即

可解.

(2)根据数轴可以判断a、b、c的正负情况，从而可以将绝对值符号去掉，本题得以解决.

【详解】(1)回|x|=3,|y+l|=4,

Elx=3或-3,y=3或一5,

①当x=3,>=3时，|x+y|=6w-(x+y)=-6(舍去)，

②当x=3,y=-5时，|尤+y|=2=-(-尤+y)=2,|尤|+|y|=8

③当x=-3,y=3时，|x+y|=O=-(x+y)=O,IxI+1y|=6.

④当x=-3,y=-5时，|尤+y|=8=-(尤+y)=8,|x|+|y|=8.

则②3④满足，则|x|+lyl=6或8.

(2)由题得：a+b<Q,a<0,b<0,c>0,

^\a+b\+\a\+\b\-\c\

=-(a+b)-a-b-c=-2a-2b-c.

【点睛】考查数轴、绝对值，解答本题的关键是明确数轴的特点，可以将绝对值符号去掉,

利用数形结合的思想解答.

【变式训练3]已知4、b、C在数轴上位置如图所示:

-----(—•1•------------------a

ca------Q-----------b

⑴判断正负，用">"或填空：b-aO-,c-bO；o+cO；

⑵化简：|^—a|—|c—/?|—2|a+c|

【答案】(1)>;<;<;(2)a+3c

【分析】(1)先根据数轴判断服从c的符号及大小，再根据有理数的加减法，可得答案；

(2)由(1)中的判断，再根据绝对值的性质，可化简去掉绝对值，合并同类项，可得答案.

【详解】解：(1)由数轴可知c<a<O<b,

M-a>0；c-b<0；a+c<0；

(2)S\b-a>0；c-b<0；a+c<0

l?]|/j-a|-|c-Z?|-2|a+c|=b-a-(b-c)-2(-a-c)=b-a-b+c+2a+2c=a+3c

【点睛】本题考查了绝对值的性质及数轴的有关知识，利用数轴判断出。、氏c的符号及大

小关系，再用绝对值的性质化简是解题关键.

类型二、分类讨论化简

例1.若|x|=3,|y|=2,且-—X,求x+V的值.

【答案】-1或-5.

【分析】先1》-田=丫-》判定x、y的大小，然后1%1=3,|川=2确定*、y的值进行分类解答.

【详解】解：I尤一y=y-xfflXyx,当y=2时，x=-3,则x+y=-l；当y=-2时，无=一3,

则x+y=_5.

【点睛】本题考查了绝对值的性质，解题的关键在于确定x,y的大小和分类讨论.

例2.若a,b,c都是非零有理数，求三十与+三的值.

\a\\b\|c|

【答案】±1或±3.

【详解】分析：要对。，b,c所有可能出现的不同情况进行分类讨论，找出符合要求的取值，

代入求值.

详解：对a,b,c的取值情况分类讨论如下：

_abc

①当a,b,c都是正数时，口+网+同=3；

abc

②当a,b,c都是负数时，p=-|^|=-p|=-1,所以和为-3；

abc

③当a,b,c中有两个正数，一个负数时，同、忸、H中有两个1,一个-1,和为1.

abc

④当a,6,c中有一个正数、两个负数时，同、同、H中有两个-1,一个+1,所以和为

abc

-1.综上所述：时+同+冏=±1或±3-

点睛：分类讨论时要全面，要做到不重复不遗漏.规律总结：一个正数的绝对值是它本身；

一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0.

【变式训练1】已知ab>0,则芦i+U+()

|a|b\ab\

A.3B.-3C.3或-1D.3或-3

【答案】C

【详解】解：设加=告+弓+黑，分四种情况讨论：

\a\b\ab\

①当a>0,6>0时，M=l+1+1=3；

②当a<0,b<0时，M=-1+(-1)+1=-1；

③40,万<0时，-1-1=-1；

④当a<0,。>0时，M=-1+1-1=-1.

故选C.

点睛：本题主要考查的是绝对值的化简、有理数的除法，分类讨论是解题的关键.

【变式训练2】已知同+a=0,U=—ljc|=c,化简：|<7+2/>|—|c—al+l—Z?—d=__________.

b

【答案】-a-3b-c

【分析】先确定a、b、c的正负，然后再去绝对值，最后化简求值即可.

【详解】解：回同+〃=(),1■=—i，H=c,

0a<O,b<0,c>0

团a+2bV0,c-a>0,-b-a>0

[?]|tz+2Z?|—|c—+|-b—=-(a+2b)-(c-a)+(-b-a)=-a-2b-c+a-b-3=-a-3b-c

故答案为-a-3b-c.

【点睛】本题考查了绝对值的相关知识，牢记非负数得绝对值是它本身，负数的绝对值为其

相反数，是解答本题的关键.

一,c\abc\

【变式训练3】若公。，则向+至+两一次二一

【答案】2或2

【分析】对a、b、c中正数的个数进行讨论，即可求解.

【详解】解：当a、b、c中没有负数时，都是正数，则原式=1+1+1-1=2；

当a、b、c中只有一个负数时，不妨设a是负数，则原式=-1+1+1+1=2；

当a、b、c中有2个负数时，不妨设a、b是负数，则原式=-1；+1-1=-2；

当a、b、c都是负数时，则原式=-1-1-1+1=-2,

总是代数式的值是2或-2,

故答案为：2或2

【点睛】本题考查了有理数的除法法则和乘法法则，正确进行讨论是关键.

【变式训练4】①若2a与1—a互为相反数，则a=.

②已知|a|=3,|b-l|=4,|a-b|=b-a,贝|a+b=.

【答案】-18或2或-6

【分析】①根据互为相反数的两数和为0,列等式求解；②根据绝对值性质求出a,b值,

再根据-4=6-。确定asb,根据此关系确定a,b的值求解即可.

【详解】解：①回2a与1-a互为相反数，

02a+(l-a)=O,[2a=-l.

②团|a|=3,团a=3或a=-3；

0|b-l|=4,团b-l=4或b-l=-4,回b=5或b=-3.

0|a-b|=b-a,回a-bWO,团aWb.

团a=3,b=5或a=-3,b=5或a=-3,b=-3,

0a+b=3+5=8或a+b=(-3)+5=2或a+b=(-3)+(-3)=-6,即a+b的值为8或2或-6

故答案为①；；②8或2或-6

【点睛】本题考查相反数和绝对值的性质以及简单代数式求值问题，掌握绝对值的性质是解

答此题的关键.

类型三、几何意义化简绝对值

例.点A、B在数轴上分别表示有理数以b,A.8两点之间的距离表示为A2,则在数轴上

A、8两点之间的距离A5=|b-a|.所以式子卜-2|的几何意义是数轴上表示尤的点与表示2

的点之间的距离.借助于数轴回答下列问题：

-flo-^~>

(1)数轴上表示2和5两点之间的距离是,数轴上表示1和-3的两点之间的距离

是.

⑵如果|x+l|=3,那么x=.

⑶若卜-3|=2g+2|=l,且数°,6在数轴上表示的数分别是点A,点3,则A,8两点间的

最大距离是,最小距离是.

⑷①若数轴上表示x的点位于-3与1之间，则|x-l|+|x+3|=；

(2)若3|+|x+l|=8,贝!Jx=.

【答案】⑴3,4

(2)2或T

(3)8,2

(4)①4；②5或一3.

【分析】(1)根据距离公式AB=|人-。|计算即可.

(2)根据绝对值的意义计算即可.

(3)根据绝对值的意义，确定。，6的值，再最值的意义计算即可.

(4)①根据取值范围，化简绝对值计算即可.

②分x>3,x<-l,三种情况计算即可.

【详解】(1)数轴上表示2和5两点之间的距离是：|2-5|=3,数轴上表示1和-3的两点

之间的距离是：卜3-1|=4；

故答案为：3,4.

(2)|%+1|=3,

0JV+1—3,x+1——3,

回％=2,x=-4,

故答案为：2或T.

(3)回a-3|=2,口+2]=1,

团〃一3=±2,〃+2=±1,

回a=3±2,b=一2±1,

回〃=5或1,b=-l或-3,

0A,2两点间的最大距离是：5-(-3)=8,最小距离是：1-(-1)=2；

故答案为：8,2.

(4)①函的点位于-3与1之间，

0|x-l|+|x+3|=l-x+3+x=4,故答案为：4.

②当x>3时，3|+|x+l|=8,得到x—3+x+l=8,

解得，x=5；

当时，|x—3|+|x+l|=8,得至!]S—x—x—]=8,解得，x=—3；

当TW3时，|x-3|+|x+l|=8,得至!|3—x+x+l=4*8,无解；

综上，x=5或x=-3；故答案为：5或-3.

【点睛】本题考查了数轴上的两点间的距离，绝对值的化简与取值范围的关系，熟练掌握绝

对值方程的计算是解题的关键.

【变式训练1】一般地，数轴上表示数相和数〃的两点之间的距离等于|机-〃|.

IIIIIIIII1A

-4-3-2-1012345

结合数轴与绝对值的知识回答下列问题：

(1)数轴上表示5和1的两点之间的距离是;表示-3和2两点之间的距离是

⑵如果表示数a和-2的两点之间的距离是3,那么a=.

⑶若数轴上表示数a的点位于-4与2之间，贝山+4|+|°-2|的值为；

⑷利用数轴找出所有符合条件的整数点x,使得|x+2|+|x-5|=7,这些点表示的数的和是

【答案】(1)4,5

(2)1或-5

(3)6

(4)12

【分析】(1)根据数轴上两点之间的距离等于两点所表示数的绝对值进行解答即可；

(2)根据数轴上两点之间的距离等于两点所表示数的绝对值得到|。+2|=3,即可得结果；

(3)先根据表示数a的点位于-4与2之间可知-4<a<2,再根据绝对值的性质把原式去

掉绝对值符号求出。的值即可；

(4)根据线段上的点到线段两端点的距离的和最小，可得答案.

(1)

由题意可得，

数轴上表示5和1的两点之间的距离是：5-1=4,

表示-3和2两点之间的距离是：2-(-3)=5,

故答案为：4,5；

(2)

若表示数a和-2的两点之间的距离是3,贝l]|a+2|=3,解得。=1或a=-5,

故答案为：1或-5；

(3)

0-4<a<2,

团|〃+41+|a-21=(2+4+2-62=6,

故答案为：6；

(4)

当5时，|x+21+1x-51=x+2+x-5=2x-3>7,

当-2W5时，|尤+2|+|尤-5|=x+2+5-x=7,

当x<-2时，|x+2|+|x-5|=-尤-2+5-x=-2x+3>7,

团使得|x+2|+|*5|=7的所有整数为：-2,-1,0,1,2,3,4,5,

0-2+(-1)+0+1+2+3+4+5=12,

故答案为：12；

【点睛】本题考查数轴、绝对值，解答本题的关键是明确题意，利用数轴的特点和分类讨论

的数学思想解答.

【变式训练2】综合与实践：

问题情境：数学活动课上，王老师出示了一个问题：

点A、B在数轴上分别表示有理数以b,A3两点之间的距离表示为AB,在数轴上A、B两

点之间的距离AB=\a-b\.利用数形结合思想回答下列问题：

AB

------1---------11-----------►

a-------0-------------------b

(1)数轴上表示1和7两点之间的距离是；数轴上表示3和-2的两点之间的距

离是;

独立思考：

(2)数轴上表示尤和-3的两点之间的距离表示为；

(3)试用数轴探究：当|21=3时机的值为.

实践探究：利用绝对值的几何意义，结合数轴，探究：

(4)利用数轴求出|x-l|+|x-4|的最小值，并写出此时x可取哪些整数值？

(5)当I〃2+1|+I〃L9|+|16|的值最小时，机的值为(直接写出答案即可).

【答案】(1)6,5；(2)|x+3|；(3)5或-1；(4)3;1、2、3、4；(5)9

【分析】(1)用大数减小数便可求得两点的距离；

(2)根据定义用代数式表示；

(3)分两种情况：加点在2的左边；加点在2的右边；分别列式计算便可；

(4)确定x与1的距离加上x与4的距离之和最小时，x的取舍范围，再在该范围内求整数；

(5)|加+1|+|9|+|加-16|表示数轴上某点到表示一1、9、16三点的距离之和，依此即

可求解.

【详解】解：(1)数轴上表示1和7两点之间的距离是：7-1=6；

数轴上表示3和一2的两点之间的距离是3—(-2)=3+2=5,

故答案为：6；5；

(2)数轴上表示无和-3的两点之间的距离表示为Ix+31,

故答案为：Ix+3|；

(3)|机-2|=3表示数加的点与表示数2的点距离为3,

当表示数优的点在2的左边时，m=2-3=-1,

当表示数m的点在2的右边时，〃?=2+3=5,

所以〃?=-1或5,

故答案为：-1或5；

(4)."-1|表示数轴上x和1两点之间的距离，|x-4|表示数轴上x和4两点之间的距离，

当且仅当1麴k4时，两距离之和最小，

\x可取的整数有：1,2,3,4.

(5).|加+1|表示数轴上加和-1两点之间的距离，I9|表示数轴上加和9两点之间的距离，

依-16|表示数轴上m和16两点之间的距离，

当且仅当〃工=9时，距离之和最小，

.,.当|m+1|+|加-9|+|〃2-16|的值最小时，m的值为9.

故答案为：9.

【点睛】本题考查了数轴，绝对值的性质，读懂题目信息，理解数轴上两点间的距离的表示

是解题的关键.

课后训练

1.若2<a<3时，化简|2-"+°-3=()

A.1B.2a—5C.—1D.5—2a

【答案】B

【分析】直接利用绝对值的性质化简求出答案.

【详解】解：.2v〃<3,

「.2-〃<0,「J2-'《=-(2-■〃)=〃-2,

.,12-4+3=〃-2+〃-3=2a-5.

故答案为：B.

【点睛】此题主要考查了绝对值的性质，正确利用〃的取值范围化简是解题关键.

2.在数轴上和有理数a、b、c对应的点的位置如图所示，有下列四个结论：

11।1tl»

a-10bc1

①(a-l)(6-l)(c-l)<0；(2)|a-fe|+|/?-c|=|a-c|；(3)(a+b\b+c)(c+a)>0；@\a\<l-bc,

其中正确的结论有()个

A.4个B.3个C.2个D.1个

【答案】B

【分析】根据三点与1的位置关系即可判断①；对于②，根据a、b、c的位置关系化简方

程左端，判断是否等于右端即可；对于③，首先判断三个式子的正负，然后判断积的符号；

对于④，首先判断l-bc的符号，然后和a比较即可.

【详解】®0a<l,b<l,c<l

0a-l<O,b-l<0,c-l<0

0(«-W-l)(c-l)<O,故①正确；

②回a<b,b<c,a<c

0a-b<O,b-c<0,a-c<0

^\\a-b\+\b-c\=b-ac-b=c-a,\a-c\=c-a

^\a-b\+\b-c\=\a-c\,故②正确;

③国a+b<0,b+c>0,a+c<0

团(a+Z?)S+c)(c+a)>0,故③正确；

④团av-1

0|a|>l

回0<b<c<l

S0<bc<l

01-bc<l

0|a|>l-bc,故④错误；

故选B

【点睛】本题考查了数轴，有理数，绝对值的化简，题目较难，英重点关注数轴上点和已知

数的位置关系，然后进行推导求解.

3.|冗-21+-41+-61+|x-81的最小值是-一-+^—^+-~~-=-1>那么

abc

\ab\\bc\\ac\\abc\古石,、

abbeacabc

A.-2B.-1C.0D.不确定

【答案】C

【分析】根据绝对值的意义，先求出。的值，然后进行化简，得到手+回=-2,则。<0,

bc

c<0,再进行化简计算，即可得到答案.

【详解】解：固x-2|+|x-4|+|x-6|+|x-8|的最小值是a,

团当x=5时，|x-2|+|x-4|+|x-6|+|x-81有最小值8,

团d=8,

回+叫比

bc

把+电+皿=一1,

SbC

0Z?<O,c<0,

0Z?c>O

\ab\\bc\\ac\\abc\

izi--------1----------1----------1----------

abbeacabc

\8b\\bc\18cl\8bc\

=--------1----------1----------1----------

8bbe8cSbe

\b\\bc\\c\\bc\

--------1----------1--------1--------

bbecbe

\bc\\bc\

--z-\---------1---------

bebe

=-2+1+1

=0；

故选：c.

【点睛】本题考查了绝对值的意义，求代数式的值，解题的关键是掌握绝对值的意义，正确

的求出a=8,b<0,c<0.

4.有理数。、b、c在数轴上的位置如图，化简：-卜-1卜|。一。卜|1-4=.

【答案】2a-2

【分析】根据数轴得至!jb<a<0<c<l,|Z?|>|c|>|a|,即可判断a-b>0,6-l<0,a-c<Q,

l-c>0,根据绝对值性质求解即可得到答案.

【详解】解：由数轴可得，

b<a<0<c<l,|^|>|c|>|a|,

回。一b>Q,b—1<0,a—c<0,1—c>0,

=a—b—(1—b)—(c-ci)—(1—c)=a—b—1+Z?—c+a—l+c=2a—2,

故答案为2a-2.

【点睛】本题考查根据数轴去绝对值，解题的关键是根据数轴判断式子与0的关系及正数绝

对值等于它本身，负数绝对值是它的相反数.

过7八,八|fl|,\b\\ab\\a+b\

5c.右a6H0,a+b^0；则--n——i—■—i-------1.

ababa+b

【答案】-2或。或4

【分析】对。和b,以及a+人的正负进行分类讨论，然后去绝对值求出对应的值.

【详解】解：①当a>0,人>。时，ab>0,a+b>0,

b4ababa+b/

原式=—+-+—+---=1+1+1+1=4；

ababa+b

②当。<0,b<0时，ab>0,Q+b<0,

由--a-bab-[a+b)〔11i。

原式=---1----1----1--------=—1—1+1—1=—2；

ababa+b

③当a>0,b<Qf且a+b>0时，ab<0,

工a—b-aba+b八

原式=—+——+——+----=1—1-1+1=0；

ababa+b

④当a>0,&<0,且a+b<0时，ab<0,

店a-b-ab一(a+b)。

原式二—I---1-----1--------=1—1—1—1=—2；

ababa+b

⑤当。<0,b>0,且a+b>0时，ab<0,

hq-ab-aba+b,,,,

原式=——+-+——+----=-1+1-1+1=0；

ababa+b

⑥当a<0,b>0,且a+Z?vO时，ab<0,

西--ab-ab—(a+b)〔111。

原式=---11-----1--------=-1+1—1—1=—2.

ababa+b

故答案是：-2或0或4.

【点睛】本题考查绝对值的性质，解题的关键是利用分类讨论的思想去化简绝对值.

6.已知。，b,c的大小关系如图所示，则下列各式：①6+。+(-c)>0；②(-。)-8+c>0；

③言卡+"1;®bc-a>0；⑤…Hi+I…=。淇中正确的是—.(请填写序

号)

bQac

【答案】②③⑤

【分析】根据数轴先求出a、b和c的取值范围，再逐一进行判断即可得出答案.

【详解】由图可得，b<0,0<a<c

0b+a+(-c)<O,故①)错误；-a-b+c>0,故②正确；j-^+—+^-=1-1+1=1,故③)正确；be-。<0,

故④错误；卜一耳-卜-闿+|a-d=a-6-c+b-a+c=0,故⑤正确；故答案为②③⑤.

【点睛】本题考查的是数轴、相反数和绝对值的综合应用，难度较大，需要熟练掌握相关基

础知识.

7.学习过绝对值之后，我们知道|5-2|表示5与2的差的绝对值，实际上也可理解为5与2

两数在数轴上所对应的两点之间的距离.试探究解决以下问题：

(1)6］可以理解为与两数在数轴上所对应的两点之间的距离；

(2)已知|x+l|=3,求x的值；

⑶利用数轴探究：

①满足卜+1|+卜-2卜5的所有整数％的值为；

②当x满足时，|x+l|+|x-2|的值最小最小值是；

⑷已知在一条笔直的高速公路旁边依次有A、2、C三个城市，它们距离高速公路起点的距

离分别是587km、669km、819km.现在需要在该公路旁建一个物流集散中心P,请直接

指出该物流集散中心P应该建设在何处，才能使得P到三个城市的距离之和最小，这个最

小距离是多少？

【答案】⑴工，-6

⑵或x=T

⑶①-2或3；@-1<x<2,3

⑷物流集散中心尸应该建设在8处，最小距离是232km

【分析】(1)根据题意可知卜+6|表示尤与-6的差的绝对值，即可求解；

(2)根据题意找出与-1相距三个单位的点即可；

(3)①根据题意可知题目是求x与一1的距离加上x与2的距离之和等于5,求解即可；②

根据题意可知：归+1|+归-2|代表x与一1的距离加上尤与2的距离之和最小，则尤应在-1和2

之间；

(4)以高速公路起点为数轴原点建立数轴，点尸应在AC之间，此时

B4+PC=|819-587|=232,所以，当PB=O时，PA+PB+PC最小.

(1)

解：k+6］可以理解为X与一6两数在数轴上所对应的两点之间的距离；

故答案为：x,—6；

(2)

解：0|%+1|=3,即x与一1的距离为3,

则x=-l+3=2或x=-l—3=-4,

Ex=2或x=T；

(3)

解:①根据题意可知题目是求x与一1的距离加上无与2的距离之和等于5,

若x位于T和2之间，贝小+1|+归-2|=3,

团原式=5>3,

团x只能