2024-2025学年湖南省岳阳市岳阳县一中高二（上）入学数学试卷（含解析）VIP

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年湖南省岳阳市岳阳县一中高二（上）入学数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.直线y=−3x+3的倾斜角为A.30° B.60° C.120° D.150°2.若复数z满足：(1−i)z−3+i=0，其中i为虚数单位，则复数z在复平面内对应的点位于(

)A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限3.设点A(3,−3)，B(−2,−2)，直线l过点P(1,1)且与线段AB相交，则l的斜率k的取值范围是(

)A.k≥1或k≤−4 B.k≥1或k≤−2 C.−4≤k≤1 D.−2≤k≤14.在三棱锥P−ABC中，PA=PB=PC=2，PA⊥PB，PA⊥PC，PB⊥PC，则该三棱锥的外接球的表面积为(

)A.43π B.12π C.48π5.过点A(1,4)的直线在两坐标轴上的截距之和为零，则该直线方程为(

)A.x−y+3=0 B.x+y−5=0

C.4x−y=0或x+y−5=0 D.4x−y=0或x−y+3=06.已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若bsinB−asinA=5csinC，cosA=12，则bcA.6 B.5 C.4 D.37.如图是某零件结构模型，中间大球为正四面体的内切球，小球与大球和正四面体三个面均相切，若AB=12，则该模型中一个小球的体积为(

)A.3π

B.3π2

C.6π

8.已知平面α与β所成锐二面角的平面角为70°，P为空间内一定点，过点P作与平面α，β所成的角都是35°的直线l，则这样的直线l有且仅有(

)A.1条 B.2条 C.3条 D.4条二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.已知a，b是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，下列命题中正确的是(

)A.若a//b，b//α，则a//α B.若a⊥α，α//β，则a⊥β

C.若α⊥γ，β⊥γ，则α//β D.若α⊥β，β//γ，则α⊥γ10.已知a>0，b>0，且2a+b=ab，则(

)A.ab≥8 B.a+b≤3+22 C.b>2 11.若Ox，Oy是平面内两条相交成60°角的数轴，e1和e2是x轴、y轴正方向上的单位向量，若向量f=xe1+ye2，则规定有序数对(x,y)为向量f在坐标系xOy中的坐标，记作fA.|a|=2 B.a/​/c12.数学中有许多形状优美，寓意独特的几何体，“勒洛四面体”就是其中之一.勒洛四面体是以正四面体的四个顶点为球心，以正四面体的棱长为半径的四个球的公共部分，且其体积小于正四面体外接球体积.如图，在勒洛四面体中，正四面体ABCD的棱长为4，则下列结论正确的是(

)A.勒洛四面体最大的截面是正三角形

B.若P、Q是勒洛四面体ABCD表面上的任意两点，则PQ的最大值可能大于4

C.勒洛四面体ABCD的体积是86π

D.勒洛四面体三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13.sin160°cos40°−sin250°cos50°=

．14.直线mx+(m+2)y−1=0与直线(m−1)x+my=0互相垂直，则m=

．15.正四棱锥P−ABCD中，PA=AB=4，E，F为棱PB，PD的中点，则异面直线AE，BF所成角的余弦值为

．16.命题p：“∃x∈[2,8]，mlog2x+1≥0”是真命题，则实数m四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。17.(本小题10分)

已知△ABC的三个顶点是A(1,2)，B(−2,−1)，C(3,−2).求：

(1)边AC上的中线BD所在直线方程；

(2)边AC上的高BE所在直线方程．18.(本小题12分)

如图，在△ABC中，AB=3,AC=4,∠BAC=2π3,AE=1,AF=2，D为BC的中点，AD与EF交于G点.设AB=a，AC=b．

(1)试用a,b表示BG；19.(本小题12分)

如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD是菱形．

(1)若点E是PD的中点，证明：PB//平面ACE；

(2)若PA=PD=AD，∠BAD=120°，且平面PAD⊥平面ABCD，求二面角P−AC−D的正弦值．20.(本小题12分)

如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD为矩形，平面PAD⊥平面ABCD，AB=3,AD=2,PC=11,PA=2，E为AD的中点，点F在棱PB上．

(1)若PF=13PB，求三棱锥P−FAC的体积；

(2)在线段PB上是否存在点F，使得EF/​/平面PCD？若存在，求21.(本小题12分)

甲、乙、丙、丁4名棋手进行象棋比赛，赛程如下面的框图所示，其中编号为i的方框表示第i场比赛，方框中是进行该场比赛的两名棋手，第i场比赛的胜者称为“胜者i”，负者称为“负者i”，第6场为决赛，获胜的人是冠军.已知甲每场比赛获胜的概率均为34(1)求乙仅参加两场比赛且连负两场的概率；

(2)求甲获得冠军的概率；

(3)求乙进入决赛，且乙与其决赛对手是第二次相遇的概率．22.(本小题12分)

如图，在△ABC中，AB=2AC，∠BAC的角平分线交BC于D，AD=kAC．

(1)求k的取值范围；

(2)已知△ABC面积为1，当线段BC最短时，求实数k．

答案解析1.C

【解析】解：直线y=−3x+3的斜率为−3，

则倾斜角为120°，

故选：C2.A

【解析】解：由题意，z=3−i1−i=(3−i)(1+i)2=2+i，

则复数z在复平面内对应的点为3.B

【解析】解：如图，直线PB的斜率为kPB=1+21+2=1，

直线PA的斜率为kPA=1+31−3=−2，

当直线l与线段AB相交时，

则l的斜率k的取值范围是k≥1或k≤−2．4.B

【解析】解：由题意将三棱锥P−ABC补全为正方体，

则正方体的外接球就是所求的外接球，设球半径为R，

则4R2=(2R)2=PA2+PB5.D

【解析】解：解法一：当直线过原点时，满足题意，

此时直线方程为y=4x，即4x−y=0，

当直线不过原点时，设直线方程为xa+y−a=1(a≠0)，

因为直线过点A(1,4)，所以1a−4a=1，

解得a=−3，此时直线方程为x−y+3=0．

故选：D．

解法二：易知直线斜率不存在或直线斜率为0时不符合题意，

设直线方程为y−4=k(x−1)(k≠0)，

则x=0时，y=4−k，y=0时，x=1−4k，

由题意知1−4k+4−k=0，

解得k=46.A

【解析】解：由正弦定理及bsinB−asinA=5csinC得，b2−a2=5c2，

由余弦定理得，cosA=b2+c7.C

【解析】解：如图所示，

设O为大球的球心，大球的半径为R，大正四面体的底面中心为E，棱长为AB=12，高为ℎ，

CD的中点为F，连接OA，OB，OC，OD，OE，BF，

则BE=23BF=33×12=43，正四面体的高ℎ=AE=AB2−BE2=63×12=46．

因为V正四面体=4VO−ABC，所以138.C

【解析】解：设过点P与平面α、β垂直的直线分别为a、b，

故直线a，b所成角为70°，

又∵直线l与平面α，β所成的角都是35°，∴直线l与直线a，b所成角为55°，

当l在直线a与直线b所确定的平面内，且为a，b所成钝角的角分线时，满足题意；

当l不在直线a与直线b所确定的平面内时，满足与a，b所成角为55°的直线l有2条．

故这样的直线l共有3条．

故选：C．9.BD

【解析】解：对于A，若a//b，b//α，则a//α或a⊂α，故A错误；

对于B，若a⊥α，α//β，由直线与平面垂直的性质可得a⊥β，故B正确；

对于C，当α⊥β时，也能α⊥γ，β⊥γ，可联想到“墙角”模型，故C错误；

对于D，若α⊥β，则α内存在直线l，满足l⊥β，又β//γ，则l⊥γ，可得α⊥γ，故D正确．

故选：BD．10.ACD

【解析】解：根据基本不等式可知2a+b=ab≥22ab，则ab≥8，当且仅当a=2，b=4时，等号成立，故A正确；

因为a>0，b>0，2a+b=ab变形得2b+1a=1，

所以a+b=(a+b)(2b+1a)=2ab+2+1+ba≥3+22，

当且仅当2ab=ba，即b=2+2，a=2+1时，等号成立，

所以a+b≥3+22，故B错误；

由2b+1a=111.BCD

【解析】解：对于A，|a|=a2=(e1+e2)2

=e12+e22+2e1⋅e2=12.BD

【解析】解：对选项A：勒洛四面体最大的截面即经过四面体ABCD表面的截面，如图1所示，错误；

对选项B：如图2，设弧AB的中点是M，线段AB的中点是N，

设弧CD的中点是H，线段CD的中点是G，

则根据图形的对称性，四点M，N，G，H共线且过正四面体ABCD的中心O，

则MG=NH=DM2−DG2=42−22=23，

NG=AG2−AN2═(23)2−22=22，MN=GH=23−22，

故MH=43−22>4，正确；

对选项C：如图3，由对称性可知内切球的球心O是正四面体ABCD外接球的球心，

连接BO并延长交勒洛四面体的曲面于点E，则OE就是勒洛四面体内切球的半径，

如图4，M为△BCD的中心，O是正四面体ABCD外接球的球心，

连接BM，BO，AM，由正四面体的性质可知O在AM上．

因为AB=4，所以BM=23×42−22=13.3【解析】解：原式=sin20°cos40°+cos20°sin40°

=sin(20°+40°)=sin60°=3214.0或−1【解析】解：m=0时，2y−1=0和x=0垂直；

m=−2时，2x+1=0和3x+2y=0不垂直；

m≠0且m≠−2时，由mm+2·m−1m=−1，

解得：m=−1215.15【解析】解：设M为线段PF的中点，故EM//BF，

故异面直线AE，BF所成角为∠AEM或其补角，

在△AEM中，AE=23,ME=5,AM=13，

则cos∠AEM=AE2+ME16.[−1,+∞)

【解析】解：当x∈[2,8]，log2x>0，

所以∃x∈[2,8]，mlog2x+1≥0，即∃x∈[2,8],m≥−1log2x成立．

则m≥(−1log2x)min,x∈[2,8]，17.解：(1)由题知AC的中点D(2,0)，所以直线BD的斜率kBD=−1−0−2−2=14，

则边AC上的中线BD所在直线的方程为y=14(x−2)，化简得x−4y−2=0．

(2)由题意得直线AC的斜率kAC=−2−23−1=−2，且【解析】(1)求出点D的坐标为(2,0)，由两点式斜率公式求出BD的斜率，代入点斜式即可求解．

(2)由两点式斜率公式求出AC斜率，利用垂直关系得BE的斜率，代入点斜式即可求解．

本题主要考查了直线的一般式方程的简单应用，属于基础题．18.解：(1)由题意，AD=12AB+12AC，

AG=λAD=λ2AB+λ2AC=3λ2AE+λAF，

由于E，G，F三点共线，【解析】本题考查的知识要点：向量的线性运算，向量的模，向量的数量积，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于中档题．

(1)直接利用向量的线性运算和三点共线求出结果；

(2)利用向量的数量积和向量的模求出向量的夹角．19.解：(1)证明：连接BD交AC于M，连接EM，

因为底面ABCD是菱形，

所以M为BD的中点，

又点E是PD的中点，

故ME为△DPB的中位线，

故EM//PB，

而ME⊂平面ACE，PB⊄平面ACE，

故PB//平面ACE；

(2)设O为AD的中点，连接PO，因为PA=PD=AD，

故PO⊥AD，

因为平面PAD⊥平面ABCD，且平面PAD∩平面ABCD=AD，PO⊂平面PAD，

所以PO⊥平面ABCD，

而AC⊂平面ABCD，

故PO⊥AC，

又底面ABCD是菱形，

故AC⊥BD，

作ON//BD交AM于N，

则ON⊥AC，且N为AM的中点，

连接PN，因为PO⋂ON=O，PO，ON⊂平面PON，

故AC⊥平面PON，

则∠PNO即为二面角P−AC−D的平面角，

设PA=PD=AD=2，则PO=3，

∠BAD=120°，则∠DAC=60°，

则DM=2×sin60°=3，

由于O为AD的中点，N为AM的中点，

故ON=12DM=32，

而PO⊥平面ABCD，ON⊂平面ABCD，

故PO⊥ON，

所以【解析】(1)连接BD交AC于M，连接EM，根据线面平行的判定定理即可证明结论；

(2)设O为AD的中点，连接PO，证明PO⊥平面ABCD，从而作出二面角P−AC−D的平面角，解直角三角形即可求得答案．

本题考查线面平行的判定定理，考查二面角的定义及其求解，考查空间想象能力，推理论证能力和运算求解能力，考查直观想象和数学运算等核心素养，属于中档题．20.解：(1)因为

PF=13PB，S△ABC=12AB⋅BC=12×3×2=3，

所以VP−FAC=VF−PAC=13VB−PAC=13VP−ABC=19dP−ABCS△ABC=13dP−ABC，

又因为面PAD⊥面ABCD，面PAD∩面ABCD=AD，AD⊥CD，AD⊂面ABCD，

所以CD⊥面PAD，而PD⊂面PAD，故CD⊥PD，

由于AB=3,AD=2,PC=11,PA=2，

故PE=2−1=1，PD=PE2+DE2=1+1=2，

又因为AD=2,PA=2,E为AD的中点，所以PE⊥AD，PE=1，

又因为平面PAD⊥平面ABCD，面PAD∩面ABCD=AD，PE⊥AD，PE⊂面PAD，

所以PE⊥平面ABCD，

即故dP−ABC=PE=1，所以三棱锥P−FAC的体积为13．

(2)存在，PF：PB=1：2，即F为PB的中点．

证明：当F为PB的中点时，取BC的中点M，连接FM，EM【解析】本题考查线面垂直、线面平行的判定和性质、三棱锥的体积等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．

(1)由

PF=13PB，得到VP−FAC=13dP−ABC，推导出CD⊥PD，PE⊥AD，从而PE⊥平面ABCD，由此能求出三棱锥P−FAC的体积．

(2)当F为PB的中点时，取BC的中点M，连接FM，EM，因为E为AD的中点，从而EF//DC，FM//PC，推导出FM//面PCD，EM//面PCD，面EFM//面PCD，EF//面PCD，由此得到当PF21.解：(1)甲、乙、丙、丁4名棋手进行象棋比赛，赛程如下面的框图所示，

其中编号为i的方框表示第i场比赛，方框中是进行该场比赛的两名棋手，第i场比赛的胜者称为“胜者i”，负者称为“负者i”，

第6场为决赛，获胜的人是冠军．已知甲每场比赛获胜的概率均为34，而乙、丙、丁相互之间胜负的可能性相同．

乙获连负两场，所以1、4均负，

所以乙获连负两场的概率为P=34×12=38．

(2)甲获得冠军，则甲参加的比赛结果有三种情况：

1胜3胜6胜；1负4胜5胜6胜；1胜3负5胜6胜，

所以甲获得冠军的概率为：P=(34)3+2×(34)3×14=81128．

(3)若乙的决赛对手是甲，则两人参加的比赛结果有两种情况：

甲1胜3胜，乙1负4胜5胜；甲1负4胜5胜，乙1胜3胜，

所以甲与乙在决赛相遇的概率为：P=34×34×12×12+14×34×34×12=【解析】(1)乙获连负两场，所以1、4均负，由独立事件概率公式，即可得出答案．

(2)甲获得冠军，则甲参加的比赛