2024年人教版八年级上册数学同步训练：等腰三角形（解析版）

第03讲等腰三角形

学习目标

课程标准学习目标

1.掌握等腰三角形的性质并能够对其熟练应用。

①等腰三角形的性质

2.掌握等腰三角形的判定方法，能够运用已知条件熟

②等腰三角形的判定

练判定等腰三角形。

思维导图

知识清单

知识点01等腰三角形的性质

I.等腰三角形的概念:

有两条边相等的三角形是等腰三角形。相等的两边叫做等腰三角形的腰，所对的角叫做

等腰三角形的底角，另一边是三角形的底，所对的角是等腰三角形的顶角。

2.等腰三角形的性质：如图

①等腰三角形的两腰相等。即/3=/C。

②等腰三角形的两个底角相等。即乙8=NC。【简称：等边对等角】

③等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互」【简

称底边上三线合一】即=NCAD,BD=CD,ADLBC。

题型考点：①熟练性质。②利用性质计算。

【即学即练1】

1.下列说法错误的是（）

A.等腰三角形的高、中线、角平分线互相重合

B.三角形两边的垂直平分线的交点到三个顶点距离相等

C.等腰三角形的两个底角相等

D.等腰三角形顶角的外角是底角的二倍

【解答】解：/、等腰三角形底边上的高、底边上的中线、顶角的角平分线互相重合，故N错误；

8、三角形两边的垂直平分线的交点到三个顶点的距离相等，故8正确；

C、等腰三角形的两个底角相等，故C正确；

。、等腰三角形顶角的外角是底角的二倍，故。正确，

故选：A.

【即学即练2】

2.己知等腰三角形的一个顶角为120°,则这个等腰三角形的底角为（）

A.30°B.60°C.80°D.120°

【解答】解：：等腰三角形的两个底角相等，

二底角为（180°-120°）4-2=30°,

故选：A.

【即学即练31

3.如果一个等腰三角形的两边长分别为2cm和5c加，那么它的周长是（）

A.9cmB.12cm

C.9cm或12cmD.以上答案都不对

【解答】解：当腰长为2cm时，则三边分别为2c%,2cm,5cm,因为2+2<5,所以不能构成直角三角

形；

当腰长为5cm时，三边长分别为5c%,5cm,1cm,符合三角形三边关系，此时其周长为：5+5+2=

12cm.

故选：B.

【即学即练4】

4.如图，在△NBC中，AB=AC,BD平分/ABC,BD=BE,//=100°,则NDEC=（）

【解答】解：•.•在△N8C中，AB=AC,ZA=100°,

/.ZABC=ZC=40°,

平分N4BC,

ZDBE=-^-ZABC=20°,

2

：.NBDE=NBED=80°,

：.ZDEC=IOO°.

故选：B.

【即学即练5】

5.在等腰△NBC中，AB=AC,其周长为16cm,则边的取值范围是（）

A.lcm<AB<4cmB.3cm<AB<6cm

C.4cm<AB<8cmD.5cm<AB<10cm

【解答】解：・.,在等腰中，AB=AC,其周长为16c加，

AB=AC=xcm,贝!JBC=（16-2x）cm,

.，2x>16-2x

"\16-2x>0'

解得4cm<x<8cm.

故选：C.

知识点02等腰三角形的判定

1.利用等角对等边判定：

一个三角形中如有两个角相等，则这两个角所对的两条边也相等。（等角对等边）则这个三

角形是等边三角形。

2.利用三线合一性质判定：

若三角形有一边上的中线、高线以及它对角的角平分线重合，则这个三角形是等腰三角形。

题型考点：①利用内角和公式求内角和或求多边形的边数。

②利用多边形的内外角关系计算。

【即学即练1】

6.在△N8C中，与//相邻的外角是130°,要使△4BC为等腰三角形，则N2的度数是（）

A.50°B.65°

C.50°或65°D.50°或65°或80°

【解答】解：//=180°-130°=50°.

当时，Z5=ZC=A（180°-50°）=65°；

2

当/时，N/=NC=50°,则/2=180°-50°-50°=80°；

当C4=C2时，ZA=ZB=50°.

N3的度数为50°或65°或80°,

故选：D.

【即学即练2】

7.下列能确定△/2C为等腰三角形的是（)

A.ZA=50°、ZS=80°B.NN=42°、Z5=48°

C.乙4=2/8=70°D.48=4、BC=5,周长为15

【解答】解：4、VZA=50°、Z5=80°,

；.ZC=180°--Z5=50°,

ZA=ZC,

△NBC为等腰三角形；

故本选项能确定△Z3C为等腰三角形;

B、：//=42°、NB=48°,

.1.ZC=180°-N4-ZB=90°,

二/AW/BW/C,

.•.△/8C不是等腰三角形；

故本选项能确定A/BC不是等腰三角形;

C、VZA=2ZB=70°,

:"B=35°,

；.NC=180°-/A-/B=75°,

：.ZA^ZB^ZC,

...△/8C不是等腰三角形；

故本选项能确定△48C不是等腰三角形;

D、:45=4、BC=5,周长为15,

.'.AC=15-4-5=6,

；・AB乎BC乎AC,

...△/8C不是等腰三角形；

故本选项能确定△NBC不是等腰三角形.

故选：A.

【即学即练3】

8.如图，在△N8C中，AB^AC,/BAC=36°,BD平分N4BC交4c于点D,过点/作4&〃5C,交BD

的延长线于点E.

（1）求N4D2的度数；

（2）求证：是等腰三角形.

E

：.ZABC=ZC=^-(180°-ABAC}=72°,

2

,:BD平分/ABC,

:.NDBC=L/ABC=36。,

2

:./ADB=NC+NDBC=12°+36°=108°；

(2)证明：'CAE//BC,

：.NEAC=/C=72°,

VZC=72°,ZDBC=36°,

：.N4DE=NCDB=180°-72°-36°=72°,

NEAD=ZADE,

：.AE=DE,

...△NOE是等腰三角形.

【即学即练41

9.如图，在△Z8C中，点。为N4BC的平分线AD上的一点，过点D作EF〃BC交4B于点E,交zC于

点、F,连接CD,若BE+CF=EF.求证：△CFZ）是等腰三角形.

【解答】证明：：瓦）为N/8C的平分线,

・•・/ABD=/CBD,

•:EF〃BC,

；・/EDB=NCBD,/FDC=NDCB,

：./ABD=NEDB.

:.BE=DE.

■:BE+CF=EF,

：.DE+CF=DE+DF,

:・CF=DF,

・•・△/）四。是等腰三角形.

题型精讲

题型01等腰三角形与周长

【典例1】

若等腰三角形的两边长分别为2和5,则它的周长为(

C.12D.9或12

【解答】解：(1)若2为腰长，5为底边长，

由于2+2<5,则三角形不存在；

(2)若5为腰长，则符合三角形的两边之和大于第三边.

所以这个三角形的周长为5+5+2=12.

故选：C.

【典例2】

一个等腰三角形的两边长为8和10,则它的周长加的取值为()

A.26或28B.26C.28D.26c机<28

【解答】解：若8是底边，则三角形的三边分别为8、10、10,

能组成三角形，

周长=8+10+10=28,

8是腰长，则三角形的三边分别为8、8、10,

能组成三角形，

周长=8+8+10=26.

综上所述，它的周长根的取值为26或28.

故选：A.

【典例3】

已知等腰三角形的两边a,b满足心耳+|b-8|=0,则等腰三角形的周长为()

A.12B.16C.20D.16或20

【解答】解：,.,右区+也-8|=0,

.,.(7-4=0,b-8=0,

.*.<7=4,b=8・

当a=4为底时，腰长为8,8,4+8>8,能组成三角形，故周长为4+8+8=20.

当6=8为底时，腰长为4,4,4+4=8,不能组成三角形.

所以等腰三角形的周长为20.

故选：C.

【典例4】

已知实数x,y满足|X-31+J?7=0,则以x,y的值为两边长的等腰三角形的周长是（）

A.10B.11

C.10或11D.以上答案均不对

【解答】解：•••卜-3|+正%=0,

.*.X-3=0,y-4=0,

•»x=3,y=4,

分两种情况：

当等腰三角形的腰长为4,底边长为3时，

二等腰三角形的周长=4+4+3=11；

当等腰三角形的腰长为3,底边长为4时，

...等腰三角形的周长=3+3+4=10；

综上所述：等腰三角形的周长是10或11,

故选：C.

题型02等腰三角形的性质求线段长度

【典例1】

如图，ZUBC中，AB=AC,ZA=45°,NC的垂直平分线分别交/8、/C于。、E,若CD=1,则8。等

C.&D.V2-1

【解答】解：的垂直平分线分别交/夙ZC于。、E,

.,.AD=CD=1,

AZA=ZACD=45°,

/.ZADC=90°,

AC=VAD24CD2=V2'

，AB=AC=&，

.••BD=AB-AD=V2-1；

故选：D.

【典例2】

如图，在△/8C中，AB=AC=6,点£在NC上，即垂直平分/C,交4B于F,BF=1,则斯的长为（）

A.4B.3C.&D.西

34

【解答】解：即垂直平分/C,

：.AE=CE=^AC=3,

2

•;BF=1,

：.AF=AB-BF=6-1=5,

:.AF=CF=5,

在Rt"EF中，

2222

EF=VAF-AE=VB-3=V16=4;

故选：A.

【典例3】

如图，在△45。中，AB=AC,4)_L5C于点。，DE上AB于点、E,瓦U4C于点尸,DE=5cm,贝!J()

A

A.8cmB.10cmC.12cmD.14cm

【解答】M：'JAB^AC,NOLBC于点。，

根据等腰三角形三线合一的性质，得AADBmAADC,

,.SAADB=SAADC革SAACB，

•:S"DB=%B-DE,S“CB=%C-BF,

22

LAB・DEX2=LAC・BF,

22

:.BF=2DE,

•：DE=5cm,

:,BF=10cm.

故选：B.

【典例4】

如图，在△N8C中，AC^lScm,BC=20cm,点M从点/出发以每秒2cm的速度向点C运动，点N从点C

出发以每秒1.6。%的速度向点台运动，其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动，当△CW

是以九W为底的等腰三角形时，则这时等腰三角形的腰长是（）

A.5cmB.6cmC.7cmD.8cm

【解答】解：设运动的时间为X秒，

在△N2C中，BC=20cm,4c=18cm,

点、M从点、A出发以每秒2cm的速度向点C运动，点N从点C出发以每秒1.6cm的速度向点B运动，

当△0期是等腰三角形时，CM=CN,

CA/=18-2x,CN=L6x

BP18-2x=1.6x,

解得x=5.

：.CM=CN=S（cm）,

故选：D.

题型03等腰三角形的性质求角度

【典例1】

等腰三角形的一个底角是/,它的顶角是（）

A.aB.90°-aC.180°-2a

【解答】解：•••等腰三角形的一个底角是a°,

.•.它的顶角=180°-2a,

故选：C.

【典例2】

如图，直线°〃6,点/和点8分别在直线a和6上，点C在直线a、6之间，且3C=4C,ZACB=120°,

Zl=45°,则/2的度数是（)

B

A.60°B.65°C.70°D.75°

/.ZABC=ZBAC=^-X(180°-120°)=30。，

2

VZ1=45°，

：.ZABD=Z1+ZABC^75°，

9：a//b,

：・42=/ABD=Q5°，

故选：D.

【典例3】

如图所示的五边形花环是用五个全等的等腰三角形拼成的，则N5/C的度数为（）

A.28°B.36°C.45°D.72°

【解答】解：如图所示，五个全等的等腰三角形拼成内外两个正五边形,

・・・/EAB=ZACD=^--X(5-2)

=108

5

/.ZACB=ZEAC=ISO°-108°=72°,

AZBAC=ZEAB-ZEAC^108°-72°=36°,

故选：B.

【典例4】

如图，在等腰△E2C中，EB=EC,AB=BC,/E=40：N/CD的度数为()

A.10°B.15°C.25°D.30°

【解答】解：，；BE=EC,ZE=40°,

：.ZB=ZBCE=(180°-40°)4-2=70°,

:AB=BC,

：.ZACB=(180°-70°)4-2=55°,

AZACD=ABCE-ZACB=70°-55°=15°,

故选：B.

【典例5】

定义：等腰三角形的顶角与其一个底角的度数的比值先称为这个等腰三角形的“特征值”.若在等腰△45。

中，N/=50°,则它的特征值上等于(

A.坨B,1

CD

138X

【解答】解：分两种情况：

当等腰三角形的顶角为50°,

...等腰三角形的两个底角都=工义(180°-50°)=65°,

2

这个等腰三角形的“特征值”左=或一10，

6513

当等腰三角形的一个底角为50°时，那么另一个底角也是50°,

等腰三角形的顶角=180°-2X50°=80°,

二这个等腰三角形的“特征值"左=或_=&；

505

综上所述：曲或反，

135

故选：D.

题型04等腰三角形的判定

【典例1】

如图，在△48C中，4D平分NBAC,CE〃/。交民4的延长线于点£,求证：△，＜?£1是等腰三角形.

【解答】证明：是△NBC中NA4c的平分线，

ZBAD=ZDAC,

5L'：CE//AD,

：.ZBAD=ZE,ZDAC=ZACE,

：.ZE=ZACE,

：.AE=AC,

...△4CE是等腰三角形.

【典例2】

如图，NZCD是△4BC的一个外角，CE平分/ACD,且CE〃/5,求证：△4BC为等腰三角形.

【解答】证明：平分N/CD,

•■•ZACE=ZDCE^-ZACD-

,JCE//AB,

:.—ACE,ZB=ZDCE,

：.ZB=ZA,

：.BC=AC,

...△/8C为等腰三角形.

【典例3】

如图，已知在△N8C中，D、£是8c上两点，S.ZADE=ZAED,ZBAD=ZEAC,求证：AB=AC.

A

JZBAD+ZB=ZEAC+ZC,

•.*/BAD=/EAC

：.ZB=ZC.

：.AB=AC.

【典例4】

如图，在△4BC中，尸是5C边上的一点，过点尸作5C的垂线，交45于点0,交。的延长线于点R若

【解答】证明：・・ZQ=ZH,

・•・ZR=ZAQR.

又,:/BQP=/AQP,

：.ZR=ZBQP.

在Rt/XQPB和RtZiKPC中，ZB+ZBQP=90°,ZC+Z7?=90°,

・•・/B=/C,

：・AB=AC,

・・・△48。是等腰三角形.

【典例5】

如图，在△45。中，AB=AC,过点/作8C的平行线交N4BC的角平分线于点。，连接CZ).求证：AACD

为等腰三角形.

AD

：./ADB=NDBC,

平分N4BC,

/./ABD=/DBC,

：./ABD=/ADB,

:・AB=AD,

U：AB=AC,

：.AD=AC,

・・・△/CO是等腰三角形.

题型05等腰三角形的判定与性质

【典例1】

如图，在四边形/BCD中，AD//BC,AC平分/BCD.

(1)求证：AD=CD；

(2)若4C=5C,ZD=120°,求的度数.

【解答】(1)证明：・・7。平分NBCZ),

/ACD=/ACB,

,:AD〃BC,

：.ZDAC=NACB,

：.ZDAC=ZACD,

：.AD=CD；

(2)解：VZD=120°,

AZDAC=ZACD=^-~^^-=30°,

2

AZACB=30°,

•：AC=BC,

:./B=NBAC=~~-/MB=75".

2

【典例2】

如图，在△NBC中，AB^AC,48的垂直平分线”N交NC于点。，交48于点瓦(1)求证：△48。是等

腰三角形；

(2)若NE=6,△C5D的周长为20,求△4BC的周长.

【解答】解：(1):4台的垂直平分线交NC于点。，

：.DB=DA,

是等腰三角形；

(2)的垂直平分线交NC于点。，AE=6,

：.AB=2AE=}2,

「△CB。的周长为20,

：.BD+CD+BC=AD+CD+BC=AC+BC=20,

：./\ABC的周长=48+/C+3C=12+20=32.

【典例3】

如图，已知点。，£分别是△N8C的边胡和8C延长线上的点，作/ZMC的平分线NR若AF〃BC.

(1)求证：A/BC是等腰三角形；

(2)作/NCE的平分线交/尸于点G,若乙8=40°,求/NGC的度数.

【解答】(1)证明：：/尸平分

ZDAF^ZCAF,

'：AF//BC,

：.ZDAF=ZB,ZCAF=ZACB,

ZB=ZACB,

...△NBC是等腰三角形；

(2)解：；AB=AC,ZB=40°,

/.ZACB=ZB=40°，

：.ZBAC=100°,

AZACE=ZBAC+ZB=140°,

TCG平分N4C£,

•••ZACG=yZ^C£=70°，

,:AF〃BC,

：.ZAGC=180°-ZBCG=180°-40°-70°=70°.

已知在△45C中，AB=AC,点。是边48上一点，NBCD=/A.

(1)如图1,试说明CO=CB的理由；

(2)如图2,过点8作垂足为点£,8E与相交于点?

①试说明N5CD=2NCB£的理由；

②如果△助尸是等腰三角形，求N4的度数.

/ABC=/ACB,

'：ZBDC是"DC的一个外角,

ZBDC=/A+N4CD,

■:/ACB=/BCD+/ACD,/BCD=/A,

：.ZBDC=/ACB,

：.ZABC=ZBDC.

：.CD=CB；

(2)①・・・5£_L/C,

:・/BEC=90°，

：.ZCBE+ZACB=90

设/CBE=CL,则N4C5=90°-a,

：・/ACB=NABC=NBDC=90°-a,

：.ZBCD=180°-ZBDC-ZABC=180°-(90°-a)-(90°-a)=2a,

・•・ZBCD=2ZCBE；

②,//BFD是ACBF的一个外角，

/BFD=ZCBE+ZBCD=a+2a=3a.

分三种情况：

当50=8/时，

JZBDC=/BFD=3a,

NACB=ZABC=ZBDC=90°-a,

.*.90°-a=3a,

.,.a=22.5°,

N4=NBCZ)=2a=45°；

当。/时，

:./DBE=/BFD=3a,

ZDBE=/ABC-ZCBE=90°-a-a=90°-2a,

.*.90°-2a=3a,

.,.a=18°,

AZA=ZBCD=2a=36°；

当尸5=即时，

・•・ZDBE=/BDF,

ZBDF=ZABO/DBF,

；・不存在用=即，

综上所述：如果△瓦汗是等腰三角形，N4的度数为45°或36°.

【典例5】

(1)如图1,已知：在△N8C中，AB=AC=10,BD平分N4BC,CD平分/ACB,过点。作EF〃台C,分

别交48、NC于E、尸两点，则图中共有二个等腰三角形；EF与BE、CF之间的数量关系是BE+CF

=EF,△]£尸的周长是20

AA

CB

(2)如图2,若将(1)中“△/2C中，/5=/C=10”改为“若△N8C为不等边三角形，48=8,ZC=

10”其余条件不变，则图中共有2个等腰三角形:EF与BE、C户之间的数量关系是什么？证明你的

结论，并求出△/所的周长

(3)已知：如图3,。在△4BC外，AB>AC,且平分N4BC,CD平分△NBC的外角N/CG,过点

D&DE/1BC,分别交48、4c于E、尸两点，则斯与BE、CF之间又有何数量关系呢？直接写出结论

不证明.

【解答】解：(1)BE+CF=EF.

理由如下：

'：AB=AC,

：.NABC=ZACB,

,:BD平分/ABC,CD平分N4CB,

：./EBD=ZCBD,ZFCD=ZBCD,

：./DBC=NDCB,

：.DB=DC

,JEF//BC,

:.NAEF=/ABC,NAFE=NACB,ZEDB=ZCBD,ZFDC=ZBCD,

：.ZEBD=ZEDB,ZFDC=ZBCD,

:.BE=DE,CF=DF,AE=AF,

等腰三角形有△48C,△4£凡ADEB,ADFC,△8OC共5个，

Z.BE+CF=DE+DF=EF,

即BE+CF=EF,

/\AEF的周长=AE+EF+AF=AE+BE+AF+FC=AB+AC=20.

故答案为：5；BE+CF=EF；20；

(2)BE+CF=EF,

■:BD平分乙4BC,CD平分N4CB,

：.ZEBD=ZCBD,ZFCD=ZBCD,

".'EF//BC,

：.NEDB=ZCBD,ZFDC=ZBCD,

：.ZEBD=ZEDB,ZFDC=/BCD,

：.BE=DE,CF=DF,

二等腰三角形有△BOE,ACFD,

：.BE+CF=DE+DF=EF,即BE+CF=EF.

可得△/£■厂的周长为18.

(3)BE-CF=EF,

由（1）知BE=ED,

•:EF〃BC,

：.ZEDC=ZDCG=NACD,

：.CF=DF,

又・；ED-DF=EF,

：.BE-CF=EF.

强化训练

1.等腰三角形的两个底角相等，顶角的度数比一个底角度数的2倍多20°,则这个底角的度数是（）

A.30°B.40°C.50°D.60°

【解答】解：设底角的度数是X。，则顶角的度数为（2x+20）°,

根据题意得：x+x+2x+2Q=180,

解得：x=40,

故选：B.

2.己知等腰三角形一边长等于4,一边长等于9,它的周长是（）

A.17或22B.22C.17D.13

【解答】解：分两种情况：

当腰为4时，4+4<9,所以不能构成三角形；

当腰为9时，9+9>4,9-9<4,所以能构成三角形，周长是：9+9+4=22.

故选：B.

3.如图，在等腰中，EB=EC,AB=BC,/B=70°,//CD的度数为（）

A.10°B.15°C.25°D.30°

【解答】解：,••£5=EC,

:./BCE=NB=10°,

:AB=BC,/B=70°,

；.NACB=NBAC=LX(180°-70°)=55°,

2

ZACD=ZECB-ZACB=70°-55°=15°.

故选：B.

4.“廊桥凌水，楼阁傲天，状元故里状元桥，绶溪桥上看绶溪”.莆田绶溪公园开放“状元桥”和“状元阁”

游览观光，其中“状元阁”的建筑风格堪称“咫尺之内再造乾坤”.如图，“状元阁”的顶端可看作等腰

三角形4BC,AB=AC,。是边2c上的一点.下列条件不能说明4D是△/8C的角平分线的是（）

A.NADB=/ADC

C.BC=2ADD.SUBD=S“CD

【解答】解：:/ADB=NADC,ZADB+ZADC=ISO°,

AZADB=ZADC=90a,即/。是△48C的高线，

•.•△/8C是等腰三角形，AB=AC,

40是△NBC的角平分线，故/选项不符合题意；

•.•△/3C是等腰三角形，BD=CD,

是△NBC的角平分线，故2选项不符合题意；

若BC=24D,不能说明/。是△N8C的角平分线，故C选项符合题意;

■:S“BD=SMCD，

：.BD=CD,

是△NBC的角平分线，故。选项不符合题意；

故选：C.

5.如图，△NBC中，AB=AC,AD_LBC于D点,,DELAB于点E,AF_L/C于点RDE=6,则2尸=()

A.8B.9C.12D.18

【解答】解：:△48。中，AB=AC,ADLBC,

是△/8C的中线，

L=2"=2义我曲

•：SMBC=?C・BF,

：.—AC-BF=6AB,

2

；AC=4B,

:ABF=6,

2

:.BF=n,

故选：c.

6.在平面直角坐标系中，已知点/（3,-3）,在坐标轴上确定一点2,使为等腰三角形，则符合条

件的点3共有（）个.

A.5B.6C.7D.8

【解答】解：分三种情况讨论：

当时，2的坐标为：（6,0）或（0,-6）；

当时，2的坐标为：（3圾，0）,（0,3圾），（-3&，0）,或（0,-3a）；

当80=8/时，2的坐标为：（3,0）或（0,-3）,

所以：符合条件的点8共有8个，

故选：D.

7.如图，在△NBC中，已知NABC和N/C2的平分线相交于点尸，过点尸作。£〃5C,交4B于D,交AC

于E,若4B+/C=8,则△/£>£■的周长为（）

A.6B.8C.10D.12

【解答】解：：//8C和NNC8的平分线相交于点F,

：.ZABF=ZFBC,ZACF=ZFCB,

■:DE//BC,

：.ZBFD=ZFBC,ZCFE=ZFCB,

：.NABF=NBFD,NACF=ZCFE,

：.BD=FD,CE=FE,

,：AB+AC=8,

:.AADE的周长为：AD+DE+AE=AD+DF+EF+AE=AD+BD+CE+AE=AB+AC=8.

故选：B.

8.如图，△48C中，AB=AC,ZB=40°,。为线段BC上一动点（不与点8,C重合），连接作/

4D£=40°,DE交线段/C于E,以下四个结论：①NCDE=NBAD；②当。为5c中点时，DEL

AC；③当△/£>£为等腰三角形时，NB4D=20°；④当/34D=30°时，BD=CE.其中正确的结论的

个数是（）

A.1B.2C.3D.4

【解答】解：①

AZB=ZC=40°,

AZBAD=1SO°-40°-NADB,NCDE=180。-40°-/ADB,

：.ZBAD=ZCDE；故①正确；

②・・•。为8C中点，AB=AC,

：.AD±BC,

：.ZADC=90°,

：.ZCDE=50°,

VZC=40°,

:・/DEC=90°,

C.DELAC,故②正确；

③・.,NC=40°,

/.ZAED>40°,

:./ADENNAED,

・・・△//）£为等腰三角形，

:・AE=DE,

：.ZDAE=ZADE=40°,

VZBAC=180°-40°-40°=100°,

/.ZBAD=60°,

或,••△ZQE为等腰三角形，

:・AD=DE,

：.ZDAE=ZAED=10°,

VZBAC=1SO°-40°-40°=100°,

；・/BAD=30°,

故③错误，

（4）VZBAD=30°,

：.ZCDE=30°,

AZADC=70°,

：.ZCAD=\S0°-70°-40°=70°,

・•・ZDAC=ZADC,

：・CD=AC,

U

：AB=AC9

:・CD=AB,

.MABD迫ADCE(ASA)f

：・BD=CE；故④正确；

9.在△45。中，AB=AC,且过△Z5C某一顶点的直线可将△NBC分成两个等腰三角形，则NA4C的度数

为.

【解答】解：①如图①，,.・48=4C,BD=CD,CD=AD,

：.ZB=ZC=NBAD=NCAD,

VZBAC+ZB+ZC=1SO°,

.\4Z5=180o,

・・・N5=45°,ZC=45°,ZBAC=90°.

②如图②，9：AB=AC,AD=BD,AC=CD,

:,/B=/C=/BAD,/CAD=/CDA,

,?/CDA=/B+/BAD=2/B,

：.NBAC=3/B,

VZBAC+ZB+ZC=180°,

/.5Z5=180°,

:・/B=36°,NC=36°,ZBAC=WS°.

③如图③，9：AB=AC,AD=BD=BC,

:・/B=/C,/A=/ABD,/BDC=/C,

/BDC=ZA+ZABD=2ZA,

：./ABC=/C=2/A,

VZA+ZABC+ZC=180°,

・・・5N4=180°,

・・・N/=36°,ZC=72°,NABC=72°.

④如图④，\'AB=ACfAD=BD,CD=BC,

：,ZABC=ZC,ZA=ZABD,ZCDB=ZCBD,

'：ZBDC=NA+NABD=2NA,

：./ABC=/C=3/A,

VZA+ZABC+ZC=180°,

④

­=180°,

°,zc=(-^-)°,NABC=°.

777

故答案为：108°或90。或36。或(」詈)°.

10.定义：如果一个三角形的一条边是另一条边长度的两倍，则称这个三角形为倍长三角形.若等腰A/BC

是倍长三角形，且一边长为6,则△/3C的底边长为3或6.

【解答】解：•••等腰A/BC是倍长三角形，

.••腰长=底边长的2倍或底边长=腰长的2倍，

如果腰长是6,底边长是3或12,

V6+6=12,

,此时不能构成三角形，

，底边长是3,腰长是6；

如果底边长是6,腰长是12或3,

3+3=6,

此时不能构成三角形，

.••底边长是6,腰长是12,

LABC的底边长是3或6.

故答案为：3或6.

11.如图，在△/2C中，D为边AC上一点,且3D平分N4BC,过/作NELAD于点E.若N4BC=

64°,NC=29°,AB=4,2C=10,则AE=3.

【解答】解：如图，延长4E交BC于点?

•:BD平分/4BC,

：.ZABE=NFBE.

在A4BE和△E3E中,

，ZAEB=ZFEB=90°

,BE=BE，

,ZABE=ZFBE

:.AABE冬AFBE(ASA),

：.AE=EF,AB=BF=4,

•'-ZBAF=ZBFA^-X(180°-64°)=58°-

VZC=29°,

：.ZCAF=ZAFB-ZC=29°,

：.ZCAF=ZC,

：.AF=CF.

•..2C=1O,

：.CF=BC-BF=6,

：.AF=6,

.'.AE=3.

故答案为：3.

12.如图，/8OC=9°,点/在上